2014年高考湖南卷理科数学

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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数学（理工农医类）

文档打印：株洲县五中 黄小红

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页．时量120分钟，满分150分．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．满足z i i z

+= （i 为虚数单位）的复数z= A ． 1122i + B ． 1122i - C ．1122i -+ D ．1122

i -- 2．对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽到的概率分别为123,,p p p ，则

A ． 123p p p =<

B ．231p p p =<

C ．132p p p =<

D ．123p p p ==

3．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++

则(1)(1)f g +=

A ． -3

B ．-1

C ．1

D ．3

4．5

1

2)2(x y - 的展开式中23x y 的系数为 A ．-20 B ．-5 C ．5 D ．20

5．已知命题P ：22

,,,x y x y q x y x y >-<->>若则命题：若则．在命题

①p q ∧ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨

中，真命题是

A ． ①③

B ． ①④

C ． ②③

D ． ②④

6．执行如图1所示的流程图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于

A ． [6,2]--

B ． [5,1]-

C ．[4,5]-

D ．[3,6]-

图1 图2

7．一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．某市生产总值连续两年持续增长，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为 q ，该市这两年生产总值的年平均增长率为

A ．2p q +

B ．(1)(1)12

p q ++- C

D

9．已知函数()sin(),f x x ϕ=- 且

230()0f x dx π=⎰ ，则函数()f x 的图象的一条对称轴是 A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6

x π= 10．已知函数221()(0)()ln()y 2

x f x x e x g x x x a =+-<=++与的图象存在关于轴对称的点，则 a 的取值范围是

A ．

(-∞ B

．(-∞ C ．

( D ．

(

正视图 俯视图

侧视图

二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．

（一）选做题（请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）

11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π 的直线l 与曲线2cos ,(1sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩

为参数）交于A ，B 两点，且|AB|=2，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程为____________．

12．如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，,AO BC ⊥

AB BC == O 则的半径等于____________．

13．51 |2|3,{|<}33

x ax x x -<-

<若关于的不等式的解集为, 则=___________.a

(二)必做题（14-16题） 14．若变量x ，y 满足约束条件4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

，且2z x y =+ 的最小值为6-，则_____.k =

15．如图4，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,a b

()a b < ，原点O 为AD 的中点，抛物线22(0)y px p => 经过,b C F a

=两点，则 16．在平面直角坐标系中，O

为原点，(1,0),A B -

动点D 满足|CD|=1|OA+OB+OD|，则的最大值是

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17． （本小题满分12分）ⅡⅢ 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为2335

和．现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立．

（Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；

（Ⅱ）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．

18． （本小题满分12分）

如图5，在平面四边形ABCD 中，1,2,AD CD AC === （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；

（Ⅱ）若cos 6BAD CBA ∠=∠= ， 求BC 的长．

19． （本小题满分12分）

如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,,AC BD O AC B D O ==四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形．

（Ⅰ）证明：1;O O ABCD ⊥底面

（Ⅱ）若1160,CBA C OB D ∠=--求二面角的余弦值．

图 6

20．（本小题满分13分）

已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈

（Ⅰ）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）若12

p =

，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．