百分位数

平均數(mean)，是普遍且最有用的中央位置量數。
平均數的計算是加總全部的觀測值，然後再除以觀
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測值的個數：
平均數=
全部觀測值的加總 觀測值的個數
–母體中觀測值的個數以 N 標示 –樣本中觀測值的個數以 n 標示
–母體的算術平均數以 表示
–樣本的算術平均數以 x 表示
第3章 數值敘述法 第67頁
3.3
3.14
幾何平均數
假設你有個 $1,000的2年期投資，並且在第1年成長 100 ％達到$2,000 。
但是在第 2 年這個投資遭受了50 ％的損失，從 $2,000 回到 $1,000 。
第 1 年與第 2 年的報酬率分別是R1 = 100% 與 R2 = –50%
算術平均數(與中位數)的計算是
n
x = i1 xi 0 7 12 5 133 14 8 0 9 22 210 21.0
n
10
10
第3章 數值敘述法 第70頁
3.11
平均數、中位數、眾數，哪一個最 好？
樣本的 10 個觀測值中只有 2 個超過這個數值，使得 這個統計量成為一個不良的中央位置量數。
中位數則保持相同的數值。
資料： {0, 7, 12, 5, 14, 8, 0, 9, 22, 33} N = 10 (偶數) 以遞增順序排列，中位數是 8 和 9的平均值：
0 0 5 7 8 9 12 14 22 33 中位數= (8+9)÷2 = 8.5
樣本和母體的中位數是以相同的方法計算。
第3章 數值敘述法 第68頁
3.5
眾數
中位數
平均數
第3章 數值敘述法
3.8
平均數、中位數、眾數
如果一個分配是不對稱的，譬如偏向左或偏向右， 這三種測量值可能會不同。例：
眾數
中位數
平均數
第3章 數值敘述法
3.9
平均數、中位數、眾數，哪一個最 好？
要從三種量數中選擇時，我們應該使用哪一個？
平均數通常是我們的第一個選擇。但是在某些情況 下選中位數又會比較好。
第3章 數值敘述法 第71頁
3.17
幾何平均數
我們的投資實例的幾何平均數是
Rg n (1 R1)(1 R2 ) (1 Rn ) 1
= 2 (11)(1 .50) 1 11 0
因此幾何平均數是 0%。這是唯一的「平均」報酬率， 讓我們能夠在投資的最後，從投資的最初價值，計 算投資的最終價值。於是，使用報酬率= 0%的複利 公式，我們算出
眾數
眾數(mode)被定義為出現最多次的觀測值。 對母體和大型的樣本而言，最好是指出眾數組 (modal class)。
眾數對所有的資料類型都是有用的，雖然最主要被 使用在名目資料。
對大型資料集而言眾數組比一個單一的眾數值更具 參考價值。
樣本和母體的眾數是以相同的方法計算。
第3章 數值敘述法 第69頁
當存有相對少量的極端觀測值(不是非常小就是非常 大，但非兩者並存)，中位數通常產生比較好的資料 中央位置量數。
第3章 數值敘述法 第70頁
3.12
順序與名目資料的中央位置量數
對順序和名目資料而言，計算平均數是無效的。 中位數適用於順序資料。 眾數，它取決於計算每一個觀測值出現的次數，則 適用於名目資料。但是，名目資料沒有「中央」。
最終的投資價值
1,000(1 Rg )2 1,000(1 0)2 1,000
第3章 數值敘述法 第71頁
3.18
幾何平均數
每當我們想要找出一個變數對時間的「平均」成長 率或變動率時，都可以使用幾何平均數。
然而，如果你想要估計未來任何單一期間的平均報 酬率，則 n 期報酬率(或成長率)的算術平均數是適 用的平均數。
3.6
眾數
例：資料 = {0, 7, 12, 5, 14, 8, 0, 9, 22, 33} N =10
哪一個觀測值出現最多次？ 這組資料的眾數是0。這如何是一個「中央」位置測量？
(一個眾數組)
Frequency(次數)
Variable(變數)
第3章 數值敘述法
3.7
平均數、中位數、眾數
如果一個分配是對稱的，平均數、中位數與眾數可 能是一致的。
第3章 數值敘述法 第72頁
3.13
幾何平均數
算術平均數是一個最普遍且最有用的中央位置量 數。 但是，又有另一種情況，當下平均數和中位數都不 是最好的量數。 當變數是一個成長率或變化率，例如一項投資在 經過數個時段後的價值，我們會需要另一種量數。
透過下列範例的說明，這個概念將會變得更明朗。
第3章 數值敘述法 第71頁
第3章
數值敘述法
數值敘述法
中央位置量數
算數平均數，中位數，眾數，幾何平均數
變異性量數
全距，變異數，標準差，變異係數
相對位置量數
百分位數， 四分位數
線性關係量數
共變異數，相關係數，判定係數，最小平方線
第3章 數值敘述法
3.2
算術平均數
算術平均數(arithmetic mean)又稱平均值， 簡稱為
算術平均數
母體平均數
樣本平均數
第3章 數值敘述法 第67頁
3.4
中位數
中位數的計算方法是將全部的觀測值按順序排列， 落在中央位置的觀測值就是中位數。
資料： {0, 7, 12, 5, 14, 8, 0, 9, 22} N = 9 (奇數) 以遞增順序排列，找出中位數： 0 0 5 7 8 9 12 14 22
3.16
幾何平均數
令Ri 表示在期間 i (i = 1, 2,…, n)的投資報酬率。 幾何平均數(geometric mean) Rg 的報酬率定義為
(1 Rg )n (1 R1)(1 R2 )(1 Rn)
為了要解出 Rg，我們導出下列的公式：
Rg n (1 R1)(1 R2 ) (1 Rn ) 1
R = R1 R2 100 (50) 25%
2
2
第3章 數值敘述法 第71頁
3.15
幾何平均數
但是這個數字會使人誤解。因為從開始到結束，這2 年期投資的價值並沒有改變，「平均」的複合報酬 率是 0 ％。
誠如你將會看到的，這就是幾何平均數(geometric mean)的值。
第3章 數值敘述法 第71頁
眾數很少會是最佳的中央位置量數。
中位數所具有的一項優點是它不像平均數那樣的對 極端值敏感。
第3章 數值敘述法 第70頁
3.10
平均數、中位數、眾數，哪一個最 好？
為了舉例說明，考慮範例4.1中的資料。
平均數是 11.0，且中位數是8.5。
現在假設回應者報告的33小時實際上是133小時(顯 然是沉迷於網際網路)。