概率论与数理方法第七章习题答案

该似然函数不连续，不能用似然方程求解方法，只有回到极大似然估计原始定义，注意最大值只能发生在
1 X (1) X ( n) 2
时；而欲L( X ;1 , 2 )最大，只有使 2 1最小，即使 2尽 可能小，1尽可能大，但在上式的约束下，只能取 1 X (1)， 2 X ( n ) .
概率论与数理方法第七章习题答案
1 随机地取 8 只活塞环，测得它们的直径为（以 mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002
求总体均值μ 及方差σ 2 的矩估计，并求样本方差 S2。
解：μ ，σ 2 的矩估计是
ˆ X 74.002 , ˆ2
答：首先求数学期望
从而解方程
得 的矩法估计为 似然函数为
。
令
解得
的极大似然估计为
。
3 求均匀分布 U [ 1 , 2 ] 中参数 1 , 2 的极大似然估计．
解 先写出似然函数
1 ]n ， 1 X (1) X ( n ) 2 [ L(1 , 2 ) 2 1 0， 其他
其中
因此 的极大似然估计量 是 的无偏估计量。
x x e 2 , x 0 4 设连续型总体 X 的概率密度为 p x, 0 , X1 , X 2 ,L , X n 来自总 0, x0
2
ˆ ，并讨论 ˆ 的无偏性。 体 X 的一个样本，求未知参数 的极大似然估计量
答：
似然函数为
1 n ( X i x ) 2 6 10 6 n i 1பைடு நூலகம்
S 2 6.86 106 。
2 总体 X 的概率密度为 p x,
1 x , 0 x 1 0, x 0, or , x 1
，其中 1 为未知参数，样本
X1 , X 2 ,L , X n 来自总体 X，求未知参数 的矩法估计与极大似然估计。