三角函数应用题

应用题专题----三角函数

【高考聚焦】

数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 数学应用性问题是指能用数学知识来解决的社会生活中有实际背景的实际问题。这类题目的立意、实际背景、创设的情景、设问的角度和方式新颖灵活，对考生的能力和数学素质要求较高.

解答应用性问题的要深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,其中函数、不等式、三角、线性规划、概率统计是较为常见的模型.

近几年全国各地的高考题中，应用性问题的题型有以下几个特点：

（1）三角应用题异军突起，成为应用性题目的一个新的命题热点，主要考查航行、测量等实际生活问题，主要体现数学在实际生活中的应用，考查知识点主要是正余弦定理、平面几何、三角函数、导数等知识.

(2) 以实际问题为背景建立函数模型解题是常见的应用性问题，解题过程一般体现导数的应用、二次函数最值、分段函数最值、基本不等式相结合的趋势。

（3）概率题考查古典概型、几何概型两个基本概率模型.

（4）线性规划在处理最优化问题中的应用。

应用题目的命制突出解决实际问题能力的考察，体现“贴近生活、背景公平、”的命题原则.

典型例题：

例1、

d βαB

D 变题：【2010·江苏】

某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24,tan β=1.20,,请据此算出H 的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m ，问d 为多少时，α-β最大

[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）

tan tan H H AD AD ββ=?=，同理：tan H

AB α=，tan h BD β=。 AD —AB=DB ，故得

tan tan tan H H h βαβ-=，解得：tan 4 1.24

124tan tan 1.24 1.20

h H αβα?===--。因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H h

d AD DB d αβ-=

===

， 2tan tan tan()()

1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d d

αβαβαβ--

--====

--+?+-+?+ ()

2()H H h d H H h d

-+≥-，

（当且仅当()125121555d H H h =-=?=时，取等号）故当555d =时，tan()αβ-最大。因为02

βα<<<

，则02

αβ<-<

，所以当555d =时，α-β最大。

故所求的d 是555m 。

小结：例2：

练习1．（上海17）（本题满分13分）

如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．

【解法一】设该扇形的半径为r 米. 由题意，得

CD =500（米），DA =300（米），∠CDO=0

60……………………………4分在CDO ?中，2

2cos 60,CD OD CD OD OC +-???=……………6分即()()22

5003002500300,2

r r r +--??-?

=…………………….9分解得4900

44511

r =

≈（米）. …………………………………………….13分【解法二】连接AC ，作OH ⊥AC ，交A C 于H …………………..2分由题意，得CD =500（米），AD =300（米），0

120CDA ∠=………….4分

2220

222,2cos1201

5003002500300700,2

ACD AC CD AD CD AD ?=+-???=++???

=在中 ∴ AC =700（米）

…………………………..6分

1200

22211

cos .214

AC AD CD CAD AC AD +-∠==??………….…….9分

在直角11

,350,cos 0,14

HAO AH HA ?=∠=中（米） ∴ 4900

445cos 11

AH OA HAO =

=≈∠（米）. ………………………13分

练习2：(苏三月)如图，ABC ?为一个等腰三角形形状的空地，腰CA 的长为3（百米），底

AB 的长为4（百米）

．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为1S 和2S ． ⑴若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度； ⑵求1

S S 的最小值．

例3：某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知AB =AC =6km ，现计划在BC 边的高AO 上一点P 处建造一个变电站. 记P 到三个村庄的距离之和为y .

（1）设PBO α∠=，把y 表示成α的函数关系式；（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？【点拨】建立函数关系，有关分式函数最值，借助导数求解. 【解】（1）在Rt AOB ?中，6AB =，所以OB =OA =32.所以 π4ABC ∠=由题意知π04

α≤≤.

所以点P 到A 、B 、C 的距离之和为 322sin 22(3232tan )3232cos cos y PB PA α

ααα

-=+=?

+-=+?

. 故所求函数关系式为()

2sin π32320cos 4y ααα-=+?≤≤.

（2）由（1）得22sin 132cos y αα-'=?，令0y '=即1sin 2α=

，又π04α≤≤，从而π6

α=. 当π06α≤<

时，0y '<；当ππ

α<≤时, 0y '>. 所以当π6α=

时，2sin 432cos y αα

-=+?取得最小值，此时π

32tan

OP ==（km ）

，即点P 在OA 上距O 点6km 处. 【答】变电站建于距O 点6km 处时，它到三个小区的距离之和最小.

【点评】本小题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、

B C

（例2图）

抽象概括能力和解决实际问题的能力.建立函数模型后要明确定义域．

练习：【2010·江苏】某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A 、B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km ，BC=10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A 、B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO 、BO 、OP ，设排污管道的总长为ykm 。（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad )，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP=x (km )，将y 表示成x 的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。

10．（1）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad )，则10

cos cos AQ OA BAO θ

∠，故10

cos OB θ

又1010OP tan θ=-，所以1010

1010cos cos y OA OB OP tan θθθ

=++=++- 所求函数关系式为2010sin 10

(0)cos 4

y θ

θθ

+≤≤

②若OP=x (km )，则OQ=10-x ，所以2

2(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+

所求函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+≤≤

（2）选择函数模型①，22

10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1)

'cos cos y θθθθθθθ

-----=

= 令'0y =得1

sin 2

θ= 04

θθ≤≤

∴=

当(0,

)6π

θ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,)64

ππ

θ∈时'0y >，y 是θ的增函数；

所以当6

θ=

时，min 1

2010210103103

y -?

+=+

此时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边103

km 处。

B C

P （第10题图）

例4：20.（2009福建卷理）（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，23)；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP=120o

（I ）求A , ω的值和M ，P 两点间的距离；

（II ）应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？ 18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，解法一

（Ⅰ）依题意，有23A =，34T =，又2T πω=，6πω∴=。23sin 6

y x π∴= 当 4x =是，223sin 33

y π∴==

(4,3)M ∴ 又(8,3)p

22435MP ∴=+=

（Ⅱ）在△MNP 中∠MNP=120°，MP=5，设∠PMN=θ，则0°<θ<60°

由正弦定理得00

sin sin120sin(60)MP NP MN

θθ==- 103sin 3NP θ∴=

,0103

sin(60)3

MN θ∴=- 故010*********

sin sin(60)(sin cos )33323

NP MN θθθθ+=+-=+ 0103

sin(60)3

θ=

+ 0°<θ<60°，∴当θ=30°时，折线段赛道MNP 最长亦即，将∠PMN 设计为30°时，折线段道MNP 最长解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP 中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP 即2225MN NP MN NP ++= 故22

()25(

MN NP MN NP MN NP ++-=≤ 从而23()254

MN NP +≤，即103

MN NP +≤

当且仅当MN NP =时，折线段道MNP 最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：①123943(26N ++，）；②123943(26

N --，）

；③点N 在线段MP 的垂直平分线上等

练习：如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段

OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数

[]8,4),2

||,0,0)(sin(∈<

>>+=x A x A y π

?ω?ω时的图象，图象的最高点为

)33

5(B ，DF ⊥OC ，垂足为F.

(Ⅰ)求函数)sin(?ω+=x A y 的解析式；

（Ⅱ）若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园 PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？

F P

例5：（2010福建理数）19．（本小题满分13分）

O 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，

轮船位于港口O 北偏西30且与该港口相距20海里的A 处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得

103,AC=10,>,,>AC OC OC AC AC =≥故且对于线段上任意点P 有OP OC ，而小艇的最

高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A 、C （包含C ）的任意位置相遇，设COD=(0<<90),103tan Rt COD CD θθθ∠?=则在中，，OD=

103

cos θ

，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan 30t θ+=

和103

cos t v θ

=，

所以

10103tan 30θ+103cos v θ=，解得1533

,30,sin (+30)sin (+30)2

v v θθ=≤≥

又故，从而30<90,30tan θθθ≤=由于时，

取得最小值，且最小值为3

，于是当30θ=时，

10103tan 30t θ+=取得最小值，且最小值为23

。

此时，在OAB ?中，20OA OB AB ===，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。