含耦合电感和理想变压器的电路分析

R2 + jωL1 ) I 1 − ( R2 −
•
− jωM ) I 1 + (R2 + R3
•
jωM ) I 2
+ jωL2 )
=
•
I2
•
U
=
s
0
可以解出
和 •
•
I１ I２
缺点 按上法容易漏 jωM 一项 或搞错前面的
号
二 把互感电压作为受控源的计算方法
在正弦稳态分析时 可以把各互感电压作为受控源看待 并在正 确标定其极性后 用正弦稳态分析方法进行分析
•
− jωM I1
即
(
R1
+
− ( R2
•
R2 + jωL1 ) I1 − (R2
•
− jωM ) I1 + (R2 +
− R3
•
jωM ) I2 + jωL2 )
•
=U
•
I2 =
s
0
这与前面方法的结果完全一样
三 耦合电感的去耦等效电路(互感消去法)
＋ i1
M
u1
L1
－
i2
＋
L2
1) 当电流i１ 和i２ 分别从 1 2 端流入 图(a)
线圈 1 的磁通
ϕ1 = ϕ11 +ϕ12
线圈 2 的磁通
ϕ2 = ϕ21 + ϕ22
2) 当电流i１ 和i２ 分别从 1 2′ 端流入 图(c)
线圈 1 的磁通
ϕ1 = ϕ11 −ϕ12
线圈 2 的磁通
ϕ2 = ϕ22 −ϕ21
显然 当电流从 1 与 2 端(或1′ 与 2′ )流入时 产生的磁通相互增强
L2
+
2M )
di dt
=
L顺
di dt
等效电感 L顺 = L1 + L2 + 2M
在正弦电路中
5
•
•
•
U１ = j ( X L１ + X M ) I = j (ωL１ + ωM ) I
•
•
•
U ２ = j( X L２ + X M ) I = j (ωL２ + ωM ) I
•
•
•
•
•
U = U 1 +U 2 = jω(L1 + L2 + 2M ) I = j( X L1 + X L2 + 2 X M ) I
1
应电压 称为互感电压 记作 u１２
u12 =
dψ12 dt
=
M 12
di2 dt
u１２与ψ12 之间符合右手螺旋法则
注意 1) u１２ u２１的实际方向与两线圈的绕向有关 2) 若感应线圈两端接上负载 将有电流流过
三 耦合系数
由于互感磁通只是总磁通的一部分 互感磁通与自感磁通的比值
而当电流从 1 与 2′ 端(或1′ 与 2)同时流入 产生的磁通相互削弱 为
此 我们将 1 与 2 或1′ 与 2′ 称为同名端 用
或
表示 而将 1 与 2′ 1′ 与 2 称为异名端
同名端的判定
方法一 直流法
当 S 合上瞬间 电压表 V 1) 上正下负(正偏转) ⇒ 1 与 2 为同名端 2) 上负下正(反偏转) ⇒ 1 与 2′ 为同名端
对于耦合电感上的电压计算 不但要考虑自感电压 还应考虑互 感电压 所以含耦合电感电路的分析有它一定的特殊性
一 含耦合电感电路的基本计算方法
图示电路中
L１与 L２间有互感 M
求
•
I１
•
I２
M
•
I1
jωL1
jωL2
•
I2
•
+I
R2
•
R3
•
•
Us
I1
−
I2
•
•
I1− I2
L１ 上的互感电压大小为
•
•
U M 1 = jωM I 2
义自电感 L = ψ = N ϕ
ii
关联条件下 电感两端的电压
u = N dϕ = dψ = L di dt dt dt
二 互感 见 P.195 图 8 1
1 若线圈 1 中通以变化电流i１
ϕ11 自感磁通 ϕ21 互感磁通(耦合磁通)
一般地 ϕ11 ≥ ϕ21 当ϕ11 = ϕ21 全耦合
自感磁链 ψ11 = N1ϕ11
可根据一
L1
L2
R1
R2
M
L1 − M L2 − M
R1
R2
(a)
(b)
耦合线圈(即耦合电感)一般用 L１ L２和 M 来表征 分析含耦合电 感元件电路时 必须考虑互感电压 故使用网孔电流法比较方便 对于有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路 把一个有互感的电 路转化为一般无互感的电路来分析
L1 M
−
M
L2 = Lb + Lc Lc = L2 − M
上图 A 为公共点为同名端的耦合电感 如果公共端为异名端 如
下图 C 所示 其去耦等效电路如图 D
La
＋ i1
u1
L1
－
M
L2
i2
＋
u
2
＋
i 1
u1
－ －
Lc i1 + i2 Lb
i2
＋
u
•
I1 = 11.04∠ − 83.6° A
或用戴维南定理求(略)
例 求图 a 电路的输入阻抗
利用互感消去法 可得图 b 所示去耦等效电路 这样
般混联的电路计算方法求得该电路的输入阻抗为
Zi
=
jωM
+ [R1
+
jω(L1 − M )] × [R2 + jω(L2 − M )] R1 + R2 + jω( L1 + L2 − 2M )
= =
L1 L2
di1 + M di2
dt
dt
di2 + M di1
dt
dt
又如
4
u1 u2
= =
L1 L2
di1 − M di2
dt
dt
di2 − M di1
wk.baidu.com
dt
dt
若i１
i２ 均为正弦量
•
i1 → I 1
•
i2 → I 2
则
u1 u2
→ →
•
U1
•
U2
= =
•
•
jωL1 I1 ± jωM I 2
•
I1
Ｒ １
•
I2
+
•
U
•
I1
jω( L2 − M )
•
−
IC
•
IC
1 jωC
10
[ R1
+
jω( L1
−
M)+
jω( L2
−
•
M )] I1 −
jω( L2
−
•
M) Ic
•
=U
−
jω( L2
−
•
M ) I 1 + [ jω( L2
−
M) +
j(ωM
−
1 ωC
)]
•
Ic
=
0
得
•
Ic =0
同理
•
•
U M 2 = jωM I1
对回路 1 和 2 列 KVL 方程
整理得
R1 R2
•
•
I1 + jωL1 I1 + jωM
•
•
•
( I 2 − I 1 ) + jωL2 I2
•
I 2 + R2
+ jωM
•
•
(I1− I2
•
I1 + R3
•
) =Us
•
I2 = 0
( R1 + − ( R2
•
k = M ≤ 1
L1L2
当 k = 1 时 称为全耦合 当 k = 0 时 称为无耦合
一般地 传输功率或信号(或变压器) K 值越大越好 磁场干扰 K 值越小越好 必要时要加以屏蔽 四 互感电压
仪表间的
对于两个相耦合的线圈 一个线圈的电流发生变化 将在另一线
例
图示电路
•
U s1 =12∠0°V
•
U s2 = 10∠53.1°V R1 = 4Ω R2 = 5Ω
<1 两线圈靠得越近 k 就越接近于 1 一般用 ϕ21 和 ϕ12 的几何平均
ϕ11
ϕ22
值表征这一耦合程度 称为耦合系数 k
k = ϕ21 ⋅ ϕ12 = M (推导见 P.196)
ϕ11 ϕ22
L1 L2
ψ11 = L1i1
ψ21 = Mi1 ψ22 = L2i2
ψ12 = Mi2
2
－
(C)
(D)
La Lb
= =
L1 + M −M
Lc = L2 + M
举例 例 u = 5000 2 cos104 t V 求各支路电流
i
L1 = 20mH
iC
R = 50Ω
+
u
M = 25mH
－
L2 = 25mH
C = 1µF
解 去耦等效电路如下图
jω(L1 − M )
jωM
第八章 含耦合电感和理想变压器的电路分析
本章学习耦合电感元件和理想变压器元件 它们属于多端元件 实际电路中 如收音机 电视机中使用的中周 振荡线圈 整流电 路中使用的变压器等都是耦合电感元件与变压器元件
８ １ 耦合电感的伏安关系
一 磁链和电感量
当 L 通过 i 产生磁通ϕ 对 N 匝线圈产生的磁链为 ψ = Nϕ 定
•
•
jωL2 I 2 ± jωM I1
这
里在
•
U
和
•
I
参考方向关联下
•
I１
•
I２
同流入(出)同名端时
反之取
(ωM = X M 称为互感抗)
M 前取
六 互感线圈的串并联
1 串联 1) 顺接
u1 u2
= =
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
u
=
u1
+ u2
=
(L1
+
圈上产生感应电压 互感电压的大小为
u２１
=
M
di１ dt
u12
=
M
di2 dt
由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况 因此在
同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加 也可能彼此相减
这与两个线圈的相对绕向 位置和电流参考方向有关
当两个施感电流同时作用
uu12
= =
u11 u22
± u12 ± u21
•
jωM I1
•
••
I
=
I1 +
I2
•
Z
=
U
•
I
=
jω L1 L2 − M 2 L1 + L2 − 2M
等效电感 L = L1L2 − M 2
L1 + L2 − 2M
2) 异侧(异名端相联)
6
U•
=
•
jωL1 I 1 −
•
jωM I 2
• U
=
jωL2
•
I2−
•
jωM I1
•
••
I = I1 + I 2
u2
－
＋
i 1
u1
－
(A)
La
Lc
i1 + i2 Lb
i2
＋
u
2
－
(B)
当两耦合电感有一对公共端时(图 A) 可以用三个无耦合的电感
组成的 T 形网络来做等效替换 如图 B
对A图
u1
=
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
u2
=
M
di1 dt
+
L2
di2 dt
(1)
⇒
L1
= ψ11 i1
自感量
互感磁链 ψ21 = N2ϕ21
⇒
M 21
=
ψ21 i1
2 若圈 2 中通以变化的电流i２
互感量
ϕ22 自感磁通 ϕ12 互感磁通(耦合磁通)
一般地 ϕ22 ≥ ϕ12 当ϕ22 = ϕ12 全耦合
自感磁链 ψ22 = N2ϕ22
⇒
L2
=
ψ22 i2
自感量
互感磁链 ψ12 = N1ϕ12
2) 反接
u1
=
L1
di1 dt
−
M
di2 dt
u2
=
L2
di2 dt
−
M di1 dt
u
=
u1
+ u2
=
(L1
+
L2
−2M )
di dt
=
L反
di dt
等效电感 L反 = L1 + L2 − 2M 2 并联
1) 同侧(同名端相联)
U•
=
•
jωL1 I 1 +
•
jωM I 2
• U
=
jωL2
•
I2+
1 与 u２１ ϕ２１ 关联方向 时 P.196 图 8 2A
有
u１
=
L１
di１ dt
+
M
di２ dt
u２
=
L２
di２ dt
+
M
di１ dt
2
2 与 u１２ ϕ１２ 非关联方向 时
有
u21
=
−M
di1 dt
u12
=
−M
di2 dt
上式为
总结 P.201 中的划线
8
•
I1
R1
+
•
Us
−
•
+ jωM I 2 －
•
+ jωM I1 －
jωL1
jωL2
•
I2
R2
•
R3
•
I1
I2
•
•
I1− I2
(−RR1 1+I•1R+2
•
•
+ jωL1 ) I 1 − R2 I 2
( R2 + R3 + jωL2 )
=
•
I2
•
U
=
•
s − jωM I 2
3
方法二 交流法
•
•
•
U3 =U1−U2
当有效值U3 ≈ U1 −U2 ⇒ 1 与 2 为同名端
当有效值U3 ≈ U1 + U2 ⇒ 1 与 2′ 为同名端
耦合电感(互感)的电路符号
互感电压前的
当u１与i１ u２ 与i２ 取关联方向
M 前取
号 反之取
如
号的问题 且两施感电流对同名端方向一致时 号
u1 u2
而在图 B 中
u1
= La
di1 dt
+ Lb
di2 dt
= ( La
+
Lb
)
di1 dt
+
Lb
di2 dt
u2
=
Lb
di1 dt
+ ( Lb
+
Lc )
di2 dt
(2)
根据等效电路的概念可知,应使(1)式与(2)式两式前面的系数分别
9
相等 即
L1
M
= La = Lb
+
Lb
⇒
La
Lb
= =
•
Z
=
U
•
I
=
jω L1 L2 − M 2 L1 + L2 + 2M
等效电感 L = L1L2 − M 2
L1 + L2 + 2M
总之 当两互感线圈并联时 等效电感
异侧取
)
L
=
L1L2 − M 2 L1 + L2 m 2M
(同侧取
作业 P. 217 8 1
7
８ ２ 含耦合电感元件电路的计算方法
u1 u2
= =
L1
di1 dt
−
− M di1 dt
M di2 dt
+
L2
di2 dt
可见 列写 VAR 时 需要考虑 M 前的正负号 为简化分析(用原
模型分析不方便 往往不知道线圈的绕向) 需要引入 同名端 的
概念
五 互感线圈的同名端
若两线圈分别加上变化的电流i１ 及i２ P. 197 图 8 2B
⇒
M 12
= ψ12 i2
互感量
通过电磁场理论可以证明 M12 = M 21 = M ≥ 0
3 互感电压的产生
当线圈 1 通变化的电流 i1 在线圈 2 产生互感磁链ψ21 从而产生 感应电压 称为互感电压 记作 u２１
u21
=
dψ21 dt
=
M 21
di1 dt
u２１与ψ21 之间符合右手螺旋法则 同理 当线圈 2 通电流 在线圈 1 产生互感磁链ψ12 从而产生感