含耦合电感和理想变压器的电路分析

•
•
jωL2 I 2 ± jωM I1
这
里在
•
U
和
•
I
参考方向关联下
•
I１
•
I２
同流入(出)同名端时
反之取
(ωM = X M 称为互感抗)
M 前取
六 互感线圈的串并联
1 串联 1) 顺接
u1 u2
= =
L1
di1 dt
+
M
di2 dt
L2
di2 dt
+
M
di1 dt
u
=
u1
+ u2
=
(L1
+
•
− jωM I1
即
(
R1
+
− ( R2
•
R2 + jωL1 ) I1 − (R2
•
− jωM ) I1 + (R2 +
− R3
•
jωM ) I2 + jωL2 )
•
=U
•
I2 =
s
0
这与前面方法的结果完全一样
三 耦合电感的去耦等效电路(互感消去法)
＋ i1
M
u1
L1
－
i2
＋
L2
k = M ≤ 1
L1L2
当 k = 1 时 称为全耦合 当 k = 0 时 称为无耦合
一般地 传输功率或信号(或变压器) K 值越大越好 磁场干扰 K 值越小越好 必要时要加以屏蔽 四 互感电压
仪表间的
对于两个相耦合的线圈 一个线圈的电流发生变化 将在另一线
R2 + jωL1 ) I 1 − ( R2 −
•
− jωM ) I 1 + (R2 + R3
•
jωM ) I 2
+ jωL2 )
=
•
I2
•
U
=
s
0
可以解出
和 •
•
I１ I２
缺点 按上法容易漏 jωM 一项 或搞错前面的
号
二 把互感电压作为受控源的计算方法
在正弦稳态分析时 可以把各互感电压作为受控源看待 并在正 确标定其极性后 用正弦稳态分析方法进行分析
•
I1 = 11.04∠ − 83.6° A
或用戴维南定理求(略)
例 求图 a 电路的输入阻抗
利用互感消去法 可得图 b 所示去耦等效电路 这样
般混联的电路计算方法求得该电路的输入阻抗为
Zi
=
jωM
+ [R1
+
jω(L1 − M )] × [R2 + jω(L2 − M )] R1 + R2 + jω( L1 + L2 − 2M )
<1 两线圈靠得越近 k 就越接近于 1 一般用 ϕ21 和 ϕ12 的几何平均
ϕ11
ϕ22
值表征这一耦合程度 称为耦合系数 k
k = ϕ21 ⋅ ϕ12 = M (推导见 P.196)
ϕ11 ϕ22
L1 L2
ψ11 = L1i1
ψ21 = Mi1 ψ22 = L2i2
ψ12 = Mi2
•
jωM I1
•
••
I
=
I1 +
I2
•
Z
=
U
•
I
=
jω L1 L2 − M 2 L1 + L2 − 2M
等效电感 L = L1L2 − M 2
L1 + L2 − 2M
2) 异侧(异名端相联)
6
U•
=
•
jωL1 I 1 −
•
jωM I 2
• U
=
jωL2
•
I2−
•
jωM I1
•
••
I = I1 + I 2
= =
L1 L2
di1 + M di2
dt
dt
di2 + M di1
dt
dt
又如
4
u1 u2
= =
L1 L2
di1 − M di2
dt
dt
di2 − M di1
dt
dt
若i１
i２ 均为正弦量
•
i1 → I 1
•
i2 → I 2
则
u1 u2
→ →
•
U1
•
U2
= =
•
•
jωL1 I1 ± jωM I 2
2) 反接
u1
=
L1
di1 dt
−
M
di2 dt
u2
=
L2
di2 dt
−
M di1 dt
u
=
u1
+ u2
=
(L1
+
L2
−2M )
di dt
=
L反
di dt
等效电感 L反 = L1 + L2 − 2M 2 并联
1) 同侧(同名端相联)
U•
=
•
jωL1 I 1 +
•
jωM I 2#43;
而当电流从 1 与 2′ 端(或1′ 与 2)同时流入 产生的磁通相互削弱 为
此 我们将 1 与 2 或1′ 与 2′ 称为同名端 用
或
表示 而将 1 与 2′ 1′ 与 2 称为异名端
同名端的判定
方法一 直流法
当 S 合上瞬间 电压表 V 1) 上正下负(正偏转) ⇒ 1 与 2 为同名端 2) 上负下正(反偏转) ⇒ 1 与 2′ 为同名端
2
－
(C)
(D)
La Lb
= =
L1 + M −M
Lc = L2 + M
举例 例 u = 5000 2 cos104 t V 求各支路电流
i
L1 = 20mH
iC
R = 50Ω
+
u
M = 25mH
－
L2 = 25mH
C = 1µF
解 去耦等效电路如下图
jω(L1 − M )
jωM
总结 P.201 中的划线
8
•
I1
R1
+
•
Us
−
•
+ jωM I 2 －
•
+ jωM I1 －
jωL1
jωL2
•
I2
R2
•
R3
•
I1
I2
•
•
I1− I2
(−RR1 1+I•1R+2
•
•
+ jωL1 ) I 1 − R2 I 2
( R2 + R3 + jωL2 )
=
•
I2
•
U
=
•
s − jωM I 2
圈上产生感应电压 互感电压的大小为
u２１
=
M
di１ dt
u12
=
M
di2 dt
由于互感磁通与自感磁通有彼此加强或削弱两种情况 因此在
同一线圈上的互感电压与自感电压可能彼此相加 也可能彼此相减
这与两个线圈的相对绕向 位置和电流参考方向有关
当两个施感电流同时作用
uu12
= =
u11 u22
± u12 ± u21
1
应电压 称为互感电压 记作 u１２
u12 =
dψ12 dt
=
M 12
di2 dt
u１２与ψ12 之间符合右手螺旋法则
注意 1) u１２ u２１的实际方向与两线圈的绕向有关 2) 若感应线圈两端接上负载 将有电流流过
三 耦合系数
由于互感磁通只是总磁通的一部分 互感磁通与自感磁通的比值
3
方法二 交流法
•
•
•
U3 =U1−U2
当有效值U3 ≈ U1 −U2 ⇒ 1 与 2 为同名端
当有效值U3 ≈ U1 + U2 ⇒ 1 与 2′ 为同名端
耦合电感(互感)的电路符号
互感电压前的
当u１与i１ u２ 与i２ 取关联方向
M 前取
号 反之取
如
号的问题 且两施感电流对同名端方向一致时 号
u1 u2
⇒
M 12
= ψ12 i2
互感量
通过电磁场理论可以证明 M12 = M 21 = M ≥ 0
3 互感电压的产生
当线圈 1 通变化的电流 i1 在线圈 2 产生互感磁链ψ21 从而产生 感应电压 称为互感电压 记作 u２１
u21
=
dψ21 dt
=
M 21
di1 dt
u２１与ψ21 之间符合右手螺旋法则 同理 当线圈 2 通电流 在线圈 1 产生互感磁链ψ12 从而产生感
可根据一
L1
L2
R1
R2
M
L1 − M L2 − M
R1
R2
(a)
(b)
耦合线圈(即耦合电感)一般用 L１ L２和 M 来表征 分析含耦合电 感元件电路时 必须考虑互感电压 故使用网孔电流法比较方便 对于有公共端钮的耦合电感常用去耦等效电路 把一个有互感的电 路转化为一般无互感的电路来分析
1 与 u２１ ϕ２１ 关联方向 时 P.196 图 8 2A
有
u１
=
L１
di１ dt
+
M
di２ dt
u２
=
L２
di２ dt
+
M