高考数学-三角函数(知识点归纳)
专题17 三角函数概念与诱导公式 (教师版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】知识点一：三角函数基本概念1．角的概念(1)任意角：①高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题17三角函数概念与诱导公式定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是{}Z k k S ∈+︒⋅==，αββ360．(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．(4)象限角的集合表示方法：2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．(2)角度制和弧度制的互化：rad 180π=︒,rad 1801π=︒,π︒=180rad 1．(3)扇形的弧长公式：r l ⋅=α，扇形的面积公式：22121r lr S ⋅==α．3．任意角的三角函数(1)定义：任意角α的终边与单位圆交于点)(y x P ，时，则y =αsin ，x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα．(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点P )(y x P ，是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则r y =αsin ，r x =αcos ，)0(tan ≠=x xyα三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号αsin R ＋＋－－αcos R＋－－＋αtan }2|{Z k k ∈+≠，ππαα＋－＋－记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T ．三角函数线有向线段MP 为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线段AT 为正切线知识点二：同角三角函数基本关系1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：1cos sin 22=+αα．(2)商数关系：)2(tan cos sin ππααααk +≠=；知识点三：三角函数诱导公式公式一二三四五六角)(2Z k k ∈+απαπ+α-απ-απ-2απ+2正弦αsin αsin -αsin -αsin αcos αcos 余弦αcos αcos -αcos αcos -αsin αsin -正切αtan αtan αtan -αtan -口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作2n πα⋅±；（2）无论有多大，一律视为锐角，判断2n πα⋅±所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当n 为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当n 为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．【方法技巧与总结】1．利用1cos sin 22=+αα可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用αααtan cos sin =可以实现角α的弦切互化．2．“ααααααcos sin cos sin cos sin -+，，”方程思想知一求二．222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα+=++=+222(sin cos )sin cos 2sin cos 1sin 2ααααααα-=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=【题型归纳目录】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别题型二：等分角的象限问题题型三：弧长与扇形面积公式的计算题型四：三角函数定义题题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的题型七：诱导求值与变形【典例例题】题型一：终边相同的角的集合的表示与区别例1．（2022·全国·高三专题练习）与角94π的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A ．245k π+ ，k Z ∈B ．93604k π⋅+，k Z ∈C ．360315k ⋅- ，k Z ∈D ．54k ππ+，k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】要写出与94π的终边相同的角，只要在该角上加2π的整数倍即可．【详解】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB 错误；又与94π的终边相同的角可以写成92()4k k Z ππ+∈，所以C 正确．故选：C ．例2．（2022·全国·高三专题练习）若角α的终边在直线y x =-上，则角α的取值集合为（）A ．2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z B ．32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D ．,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】D 【解析】【分析】根据若,αβ终边相同，则2,k k Z βπα=+∈求解.【详解】解：，由图知，角α的取值集合为:()32,2,4421,2,44,4k k Z k k Z k k Z k k Z k k Z ππααπααπππααπααππααπ⎧⎫⎧⎫=+∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫==+-∈⋃=-∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭故选：D.【点睛】本题主要考查终边相同的角，还考查了集合的运算能力，属于基础题.例3．（2022·上海市嘉定区第二中学高一阶段练习）设集合{}{}|45180,|135180,A k k Z k k Z αααα==︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈，集合{}|4590,B k k Z ββ==︒+⋅︒∈，则（）A ．AB =∅ B ．A BC ．B AD ．A B=【答案】D 【解析】【分析】考虑A 中角的终边的位置，再考虑B 中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系.【详解】.45180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =上的角，135180,k k Z α=︒+⋅︒∈表示终边在直线y x =-上的角，而4590,k k Z β=︒+⋅︒∈表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线,0;,0;,0;,0y x x y x x y x x y x x =≥=-≤=≤=-≥，它们构成直线y x =、直线y x =-，故A B =.故选：D.【点睛】本题考查终边相同的角，注意180k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线，而90k α⋅︒+的终边与α的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题.（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）如果角α与角45γ+︒的终边相同，角β与45γ-︒的终边相同，那么αβ-的可能值为（）A ．90︒B ．360︒C ．450︒D ．2330︒【答案】AC 【解析】根据终边相同可得角与角之间的关系，从而可得αβ-的代数形式，故可得正确的选项.【详解】因为角α与角45γ+︒的终边相同，故45360k γα ，其中k Z ∈，同理145360k βγ=-︒+⋅︒，其中1k Z ∈，故90360n αβ-=︒+⋅︒，其中n Z ∈，当0n =或1n =时，90αβ-=︒或450αβ-=︒，故AC 正确，令36090360n ︒=︒+⋅︒，此方程无整数解n ；令903060233n =︒+⋅︒︒即569n =，此方程无整数解n ；故BD 错误.故选：AC.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是（）A ．90αβ+=︒B ．180αβ+=︒C ．()36090k k αβ+=⋅︒+︒∈ZD ．()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z ，逐一判断正误即可.【详解】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.例6．（2022·全国·高三专题练习）写出两个与113π-终边相同的角___________．【答案】3π，53π-(其他正确答案也可)【解析】【分析】利用终边相同的角的定义求解.【详解】设α是与113π-终边相同的角，则112,3k k Z παπ=-∈，令1k =，得53πα=-，令2k =，得3πα=，故答案为：3π，53π-(其他正确答案也可)【方法技巧与总结】（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决．（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角．题型二：等分角的象限问题例7．（2022·浙江·高三专题练习）若18045,k k Z α=⋅+∈ ，则α的终边在（）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限【答案】A 【解析】【分析】分21,k n n Z =+∈和2,k n n =∈Z 讨论可得角的终边所在的象限.【详解】解：因为18045,k k Z α=⋅+∈ ，所以当21,k n n Z =+∈时，218018045360225,n n n Z α=⋅++=⋅+∈ ，其终边在第三象限；当2,k n n =∈Z 时，21804536045,n n n Z α=⋅+=⋅+∈ ，其终边在第一象限.综上，α的终边在第一、三象限.故选：A.例8．（2022·全国·高三专题练习（理））角α的终边属于第一象限，那么3α的终边不可能属于的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】【分析】由题意知，222k k ππαπ<<+，k Z ∈，即可得3α的范围，讨论3k n =、31k n =+、32k n =+()n Z ∈对应3α的终边位置即可.【详解】∵角α的终边在第一象限，∴222k k ππαπ<<+，k Z ∈，则223363k k παππ<<+，k Z ∈，当3()k n n Z =∈时，此时3α的终边落在第一象限，当31()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第二象限，当32()k n n Z =+∈时，此时3α的终边落在第三象限，综上，角α的终边不可能落在第四象限，故选：D.例9．（2022·全国·高三专题练习）θ是第二象限角，则下列选项中一定为负值的是（）A ．sin2θB ．cos2θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】表示出第二象限角的范围，求出2θ和2θ所在象限，确定函数值的符号．【详解】因为θ是第二象限角，所以22,2k k k Z ππθππ+<<+∈，则4242,k k k Z ππθππ+<<+∈，所以2θ为第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上，，所以sin 2θ<0.而,422k k k Z πθπππ+<<+∈，2θ是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是负数．故选：C ．例10．（2022·全国·高三专题练习）已知角α第二象限角，且cos cos22αα=-，则角2α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】【分析】由α是第二象限角，知2α在第一象限或在第三象限，再由coscos22αα=-，知cos02α≤，由此能判断出2α所在象限．【详解】因为角α第二象限角,所以()90360180360Z k k k α+⋅<<+⋅∈，所以()4518090180Z 2k k k α+⋅<<+⋅∈，当k 是偶数时，设()2Z k n n =∈，则()4536090360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第一象限角；当k 是奇数时，设()21Z k n n =+∈，则()225360270360Z 2n n n α+⋅<<+⋅∈，此时2α为第三象限角.；综上所述：2α为第一象限角或第三象限角，因为coscos22αα=-，所以cos02α≤，所以2α为第三象限角．故选：C ．【方法技巧与总结】先从α的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）nα的象限分布图示．题型三：弧长与扇形面积公式的计算例11．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB 及其所对弦AB 围成的图形．若弧田的弦AB 长是2，弧所在圆心角的弧度数也是2，则弧田的弧AB 长为_______，弧田的面积为_________．【答案】2sin1;211sin 1tan1-.【解析】【分析】（1）利用弧长公式解决，那么需要算出半径和圆心角；（2）用扇形的面积减去三角形的面积即可.【详解】由题意可知：111,,sin1sin1tan1tan1======AC BC BC AC AO OC ，所以弧AB 长122sin1sin1=⨯=，弧田的面积22111111222sin12tan1sin 1tan1⎛⎫=-=⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭扇形AOB AOB S S ，故答案为：2sin1；211sin 1tan1-.例12．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B C D 【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以()22222CD s AB OA =+=+=故选：B.例13．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r 的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（）ABCD2-【答案】D 【解析】【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果.【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =2S r π=，所以()122124S Srαππ==，因为剪下扇形OAB ，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以()()()2113244S S απππ====.故选：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为O ，墙壁截面ABCD 为矩形，且1AD =，则扇形OAD 的面积是__________.【答案】6π##16π【解析】【分析】计算AOD ∠，再利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意可知，圆O 的半径为1，即1OA OD ==，又1AD =，所以OAD △为正三角形，∴3AOD π∠=，所以扇形OAD 的面积是221112236S r AOD ππ=⨯⨯∠=⨯⨯=.故答案为：6π例15．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形ABC 的面积S 为22225cm π，若2BD DA =，则当该纸叠扇的周长C 最小时，BD 的长度为___________cm .【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，根据扇形ABC 的面积S 为22225cm π，由212252rl π=得到rl ，然后由纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解.【详解】解：设扇形ABC 的半径为r cm ，弧长为l cm ，则扇形面积12S rl =.由题意得212252rl π=，所以2450rl π=.所以纸叠扇的周长260C r l π=+≥==，当且仅当22,450,r l rl π=⎧⎨=⎩即15r π=，30l π=时，等号成立，所以()15BD DA cm π+=.又2BD DA =，所以()1152BD BD cm π+=，所以()3152BD cm π=，故()10BD cm π=.故答案为：10π例16．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4cm ，当它的半径为________cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm 2.【答案】121【解析】【详解】24l r +=，则()21142222S lr r r r r ==-=-+，则1,2r l ==时，面积最大为1，此时圆心角2lrα ，所以答案为1；2；1.【方法技巧与总结】（1）熟记弧长公式：l ＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2（弧度制(0,2]απ∈）（2）掌握简单三角形，特别是直角三角形的解法题型四：三角函数定义题例17．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知角θ的终边过点()1,1A -，则sin()6πθ-=（）ABCD【答案】D 【解析】【分析】由任意三角形的定义求出sin ,cos θθ，由两角差的正弦公式代入即可求出sin()6πθ-.【详解】因为角θ的终边过点()1,1A -，由任意三角形的定义知：sin θθ==sin()sin cos cos sin 666πππθθθ-=-=故选：D.例18．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知角α的终边经过点(-，则()tan sin 232πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭（）A ．32B ．34-C．D【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的定义、诱导公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】依题意，由三角函数的定义可知tan α=()22sin cos 2sin cos 2tan sin 23sin 22sin sin cos cos 2παπαααααπαπαααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭++-=-=-- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭22212sin cos 2tan tan sin cos tan 1ααααααα=--===++故选：D.例19．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边上一点()sin 3,cos3P ，若02απ≤≤，则α=（）A ．3B ．32π-C ．532π-D ．32π-【答案】C【分析】根据三角函数的定义求出tan α，结合诱导公式即可得解，注意角所在的象限.【详解】解：因为角α的终边上一点()sin 3,cos3P ，所以cos31tan 0sin 3tan 3α==<，又cos 30,sin 30<>，所以α为第四象限角，所以23,Z 2k k παπ=+-∈，又因02απ≤≤，所以532πα=-.故选：C.例20．（2022·北京·二模）已知角α的终边经过点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．725D ．2425【答案】A 【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin 2α.【详解】由题设43sin ,cos 55αα==-，而4324sin 22sin cos 2()5525ααα==⨯⨯-=-.故选：A【方法技巧与总结】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定义；题型五：象限符号与坐标轴角的三角函数值例21．（2022·全国·高三专题练习）如果cos 0θ<，且tan 0θ<，则sin cos cos θθθ-+的化简为_____.【答案】sin θ【解析】【分析】由cos 0θ<，且tan 0θ<，得到θ是第二象限角，由此能化简sin cos cos θθθ-+．解：∵cos 0θ<，且tan 0θ<，∴θ是第二象限角，∴sin cos cos sin cos cos sin θθθθθθθ-+=-+=．故答案为：sin θ．例22．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）若角α满足sin cos 0αα⋅<，cos sin 0αα-<，则α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据sin cos 0αα⋅<可知α是第二或第四象限角；根据第二或第四象限角正余弦的符号可确定结果.【详解】sin cos 0αα⋅< ，α 是第二或第四象限角；当α是第二象限角时，cos 0α<，sin 0α>，满足cos sin 0αα-<；当α是第四象限角时，cos 0α>，sin 0α<，则cos sin 0αα->，不合题意；综上所述：α是第二象限角.故选：B.例23．（2022·浙江·模拟预测）已知R θ∈，则“cos 0θ>”是“角θ为第一或第四象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B 【解析】【分析】利用定义法进行判断.【详解】充分性：当cos 0θ>时，不妨取cos 1,0θθ==时轴线角不成立.故充分性不满足；必要性：角θ为第一或第四象限角，则cos 0θ>，显然成立.故选：B.例24．（2022·重庆·高三开学考试）若tan 0θ>，则下列三角函数值为正值的是（）A ．sin θB ．cos θC ．sin 2θD ．cos 2θ【答案】C 【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式判断出正确选项.【详解】sin tan 0sin cos 0sin 22sin cos 0cos θθθθθθθθ=>⇒⋅>⇒=>，所以C 选项正确.当5π4θ=时，5ππtan 0,sin 0,cos 0,cos 2coscos 022θθθθ><<===，所以ABD 选项错误.故选：C例25．（2022·全国·高三专题练习（理））我们知道，在直角坐标系中，角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角．已知点()cos ,tan P αα在第三象限，则角α的终边在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出cos 0α<、tan 0α<，然后得出sin 0α>，即可得出结果.【详解】因为点()cos ,tan P αα在第三象限，所以cos 0α<，tan 0α<，则sin 0α>，角α的终边在第二象限，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））已知sin 0,cos 0αα><，则（）A ．sin 20α>B ．cos20α<C ．tan02α>D ．sin2α<【答案】C 【解析】【分析】由条件得到角α所在的象限，从而得到2α所在的象限，这样就可以得到答案.【详解】由sin 0,cos 0αα><知，α为第二象限角，所以2α为第一或第三象限角，所以tan02α>．故选：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角α的终边不在坐标轴上，且sin 2cos 2αα+=，则tan α=()A ．43B ．34C ．23D ．32【答案】A 【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cos α，从而求出sin α，根据sin tan cos ααα=即可求得结果．【详解】22sin cos 13cos 5sin 2cos 2ααααα⎧+=⇒=⎨+=⎩或cos 1α=，∵α的终边不在坐标轴上，∴3cos 5α=，∴34sin 2255α=-⨯=，∴sin 4tan cos 3ααα==．故选：A ．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））若α是第二象限角，则下列不等式正确的是（）A ．()cos 0α->B ．tan02α>C ．sin 20α>D ．()sin 0α->【答案】B 【解析】【分析】根据α是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.【详解】对于A ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()cos 0α-<，故选项A 不正确；对于B ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππππZ 422k k k α+<<+∈，当()2Z k n n =∈时，()ππ2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第一象限角，当()21Z k n n =+∈时，()5π3π2π2πZ 422n n n α+<<+∈，此时2α是第三象限角，所以2α是第一或第三象限角，所以tan02α>，故选项B 正确；对于C ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，所以2α是第三或第四象限角或终边落在y 轴非正半轴，所以sin 20α<，故选项C 不正确；对于D ：因为()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，所以()ππ2π2πZ 2k k k α--<-<--∈，所以α-是第三象限角，所以()sin 0α-<，故选项D 不正确；故选：B.【方法技巧与总结】正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．题型六：同角求值—条件中出现的角和结论中出现的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若tan 2θ=-，则2sin 2cos 1θθ+的值为___________.【答案】23-【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方关系可构造正余弦齐次式，分子分母同除2cos θ，代入tan θ即可得到结果.【详解】2222sin 22sin cos 2tan 42cos 12cos sin 2tan 243θθθθθθθθ===-=-++++.故答案为：23-.例30．（2022·河北·沧县中学模拟预测）已知tan 3α=，则22sin 22sin cos2cos -=-αααα___________．【答案】43【解析】【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数齐次式关系求解即可.【详解】解：22222222sin 22sin 2sin cos 2sin 2tan 2tan 23234cos2cos sin tan 33---⨯-⨯====----ααααααααααα．故答案为：43例31．（2022·广东惠州·一模）已知tan 2α=，32παπ<<，则cos sin αα-=（）A B ．C D ．【答案】A 【解析】【分析】由sin tan 2cos ααα==及22sin cos 1αα+=解出sin α与cos α即可求解.【详解】因为sin tan 2cos ααα==，且22sin cos 1αα+=，32παπ<<，所以sin α=cos α=，所以cos sin αα⎛-== ⎝⎭.故选：A.例32．（2022·全国·模拟预测）已知0πA <<，1sin cos 5A A +=，则1sin 21cos 2AA-=+（）A ．132B ．118C ．4918D ．4932【答案】C 【解析】【分析】结合同角的平方关系以及二倍角公式即可求出结果.【详解】由1sin cos 5A A +=及22sin cos 1A A +=，解得4sin 5A =，3cos 5A =-或4cos 5A =，3sin 5A =-.因为sin 0A >，所以4sin 5A =，3cos 5A =-，所以24sin 22sin cos 25A A A ==-，227cos 2cos sin 25A A A =-=-，所以2411sin 2492571cos 218125A A +-==+-，故选：C.例33．（2022·海南·模拟预测）已知角α为第二象限角，tan 3α=-，则cos α=（）A．BC．D【答案】A 【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函数的平方关系、商数关系求cos α即可.【详解】因为α是第二象限角，所以sin 0α>，cos 0α<，由sin tan 3cos ααα==-，22sin cos 1αα+=，可得：cos α=故选：A.例34．（2022·全国·高三专题练习）已知(,22ππα∈-，且212sin 5cos 9αα-=，则cos 2=α（）A ．13B ．79-C ．34-D ．18【答案】B 【解析】【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出cos α的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【详解】依题意，原等式化为：212(1cos )5cos 9αα--=，整理得：(4cos 3)(3cos 1)0αα+-=，因(,)22ππα∈-，则cos 0α>，解得：1cos 3α=，所以2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：B例35．（2022·全国·高三阶段练习（理））若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．65-B ．25-C ．65D ．25【答案】C 【解析】【分析】由已知得sin 3cos θθ=，从而sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，然后由平方关系求得22cos ,sin θθ，进而求得sin cos θθ，求值式应用二倍角公式和平方关系变形后可得结论．【详解】因为sin cos 2sin cos θθθθ+=-，所以sin 3cos θθ=，所以sin ,cos θθ同号，即sin cos 0>θθ，22222sin cos 9cos cos 10cos 1θθθθθ+=+==，21cos 10θ=，从而29sin 10θ=，229sin cos 100θθ=，所以3sin cos 10θθ=，22sin (1sin 2)sin (sin cos 2sin cos )sin (sin cos )sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++2936sin sin cos 10105θθθ=+=+=．故选：C ．例36．（2022·广东广州·三模）已知sin cos x x +=()0,πx ∈，则cos2x 的值为（）A ．12B C ．12-D ．【答案】D 【解析】【分析】将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,结合sin cos x x +=求出x 的范围，再利用22cos 2sin 21x x +=求解即可.【详解】解：将sin cos x x +=2sin x cos x =-12<0,所以π(,π)2x ∈，又因为sin cos x x +=０，所以π3π(,24x ∈，2x 3π(π,)2∈,又因为sin2x =-12,所以cos2x 故选：D.例37．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin cos 5θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（）A ．15B ．15-C ．75D ．75-【答案】C 【解析】【分析】利用平方关系，结合同角三角函数关系式，即可求解.【详解】()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=，242sin cos 025θθ=-<，()0,θπ∈ ，,2πθπ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，sin cos θθ>，()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=，所以7sin cos 5θθ-=.故选：C例38．（2022·山西晋中·模拟预测（理））若tan 1θ=-，则()cos 1sin 2sin cos θθθθ--等于（）A ．12B ．2C ．1-D ．13-【答案】C 【解析】【分析】化简原式为2tan 1tan 1θθ-+即得解.【详解】解：原式()222cos sin 2sin cos cos cos (sin cos )=sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅+-=--22cos (sin cos )sin cos θθθθθ-=+2tan 12=1tan 12θθ--==-+.故选：C例39．（2022·湖北·模拟预测）已知()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，则3sin sin sin 2ααπα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35C ．310D ．310-【答案】D 【解析】【分析】根据题意求出tan α，再将原式化简为：32sin sin tan tan 1sin 2αααπαα-=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求解即可.【详解】因为()cos 3cos 02πααπ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以sin 3cos 0αα--=，所以tan 3α=-()232sin 1sin sin sin tan 3sin cos cos tan 110sin 2αααααααπααα--====-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：D.【方法技巧与总结】（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．（2）若无象限条件，一般“弦化切”．题型七：诱导求值与变形例40．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】D 【解析】【分析】由三角函数的二倍角的余弦公式，结合诱导公式，即可求得答案.【详解】由题意得：2222πππππ27cos 22cos 12cos 12sin 113326699αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=---=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D ．例41．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.例42．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））()tan 165-︒=（）A ．2-B ．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】先利用诱导公式可得()tan 165tan15-︒=︒，在运用正切两角差公式()tan15tan 4530︒=︒-︒计算．【详解】()()()tan 165tan 18015tan15tan 4530-︒=-︒+︒=︒=︒-︒1tan 45tan 3021tan 45tan 30︒-︒===+︒︒故选：C ．例43．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知2cos sin 022a ππα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()tan -=πα（）A ．2B ．—2C ．12D ．12-【答案】C 【解析】【分析】根据诱导公式五、六可得2sin cos 0αα+=，由同角三角函数的关系可得1tan 2α=-，结合诱导公式二计算即可.【详解】由已知得2sin cos 0αα+=，12sin cos tan 2ααα∴=-∴=-，，∴1tan()tan 2παα-=-=.故选：C【方法技巧与总结】（1）诱导公式用于角的变换，凡遇到与2π整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任意角的三角函数化成锐角三角函数．（2）通过2,,2πππ±±±等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数．（3）2,,2παβππ±=±±±等可利用诱导公式把,αβ的三角函数化【过关测试】一、单选题1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（理））中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，13AA =，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．5πC ．112πD ．6π【答案】D 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，所以1r =，3R =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：D.2．（2022·海南中学高三阶段练习）二十四节气是中华民族上古农耕文明的产物，是中国农历中表示李节变迁的24个特定节令．如图，每个节气对应地球在黄道上运动15︒所到达的一个位置．根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（）A ．π3-B ．π2C ．5π12D ．π3【答案】B【解析】【分析】根据条件得到运行度数为6×15°，化为弧度即可得解.【详解】根据题意，立春是立冬后的第六个节气，故从立冬到立春相应于地球在黄道上逆时针运行了61590︒⨯=︒，所以从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为π2.故选：B3．（2022·河北·模拟预测）已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是圆心角等于23π的扇形，则该圆锥的体积为（）A B ．1627πC D ．1681π【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，从而可求出半径r ，再求出h ，进而可求出其体积【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则由题意可得2223r ππ=⨯，解得23r =，所以h ===所以圆锥的体积为22112333V r h ππ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭故选：C4．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知角θ的大小如图所示，则1sin 2cos 2θθ+=（）A ．5-B ．5C ．15-D ．15【答案】A 【解析】【分析】由图中的信息可知tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，化简1sin 2cos 2θθ+即可.【详解】由图可知，tan 54πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()()22222cos sin 1sin 2sin cos 2sin cos cos sin cos 2cos sin cos sin cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθ+++++===--+-tantan 1tan 4tan 51tan 41tan tan 4πθθπθπθθ++⎛⎫===+=- ⎪-⎝⎭-；故选：A.5．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））tan195︒=（）A．2-B．2-+C ．2D ．2【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式及两角差的正切公式计算可得；【详解】解：()()tan195tan 18015tan15tan 4530︒=︒+︒=︒=︒-︒tan 45tan 301tan 45tan 30︒-︒=+︒︒12==故选：C6．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）若21sin2512sin αα+=-，则tan α=（）A ．23-B ．32-C ．23D ．32【答案】C 【解析】【分析】通过“1”的替换，齐次化，然后得到关于tan α的方程，解方程即可【详解】22221sin 2(cos sin )cos sin 1tan 512sin cos sin cos sin 1tan αααααααααααα++++====----,解得2tan 3α=故选：C7．（2022·四川成都·模拟预测（文））已知向量(3cos 2,sin )a αα= ，(2,cos 5sin )b αα=+ ，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若a b ⊥ ，则tan α=（）A ．2B ．-2C ．3D ．34【答案】C 【解析】【分析】由a b ⊥可得向量的数量积等于0，化简可得6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，结合二倍角公式以及同角的三角函数关系式化为226tan tan n 10ta ααα-++=，可求得答案.【详解】由题意a b ⊥可得0a b ⋅= ，即6cos 2sin (cos 5sin )0αααα++=，即2226(cos sin )sin cos 5sin 0ααααα-++=，故22226cos sin sin c sin os 0cos αααααα-++=，即226tan tan n 10ta ααα-++=，由于π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 3,tan 2αα==-（舍去），故选：C8．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m =2sin18︒）．A ．4B 1+C ．2D 1【答案】A 【解析】【分析】根据2sin18m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，可得2sin182cos72m =︒=︒，4sin144cos54︒==︒()4sin 90544cos544cos54cos54︒+︒︒===︒︒.故选：A ．二、多选题9．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度B ．1801radπ︒=C ．若sin 0θ>，cos 0θ<，则θ为第二象限角D ．若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】CD 【解析】【分析】对于A ，利用正负角的定义判断；对于B ，利用角度与弧度的互化公式判断；对于C ，由sin 0θ>求出θ的范围，由cos 0θ<求出θ的范围，然后求交集即可；对于D ，由θ是第二象限角，可得222k k ππθππ+<<+，k Z ∈，然后求2θ的范围可得答案【详解】对于A ，经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，不是π弧度，所以A 错；对于B ，1︒化成弧度是rad 180π，所以B 错误；对于C ，由sin 0θ>，可得θ为第一、第二及y 轴正半轴上的角；由cos 0θ<，可得θ为第二、第三及x 轴负半轴上的角.取交集可得θ是第二象限角，故C 正确；对于D ：若θ是第二象限角，所以222k k ππθππ+<<+，则()422k k k Z πθπππ+<<+∈，当2()k n n Z 时，则22()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第一象限的角，当21()k n n Z =+∈时，5322()422n n n Z πθπππ+<<+∈，所以2θ为第三象限的角，综上，2θ为第一或第三象限角，故选项D 正确.故选：CD.10．（2022·全国·高三专题练习）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形（如图）的面积为1S ，圆心角为1α，圆面中剩余部分的面积为2S ，圆心角为2α，当1S 与2S0.618≈（黄金分割比）时，折扇看上去较为美观，那么（）A ．1127.5α=︒B ．1137.5α=︒C．21)απ=D．12αα=【答案】BCD 【解析】【分析】利用扇形的面积公式以及角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】设扇形的半径为R，由211122221212R S S R αααα===，故D 正确；由122ααπ+=，。
高考三角函数知识点总结
高考三角函数知识点总结一、基本概念和性质1.弧度制：单位圆上的弧所对应的圆心角的大小定义为该弧的弧度。
1弧度等于圆周的1/2π。
2. 三角函数：正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)、余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)。
3.三角恒等式：包括同角三角恒等式、余角三角恒等式、反三角函数同角恒等式等。
4.周期性：正弦函数、余弦函数、正割函数和余割函数的周期都是2π；正切函数和余切函数的周期是π。
二、基本关系式1.正弦函数：在直角三角形中，正弦函数是指对于一个锐角三角形，三角形的对边和斜边的比值。
- sin(x) = a / c，其中a是对边，c是斜边。
- sin(x) = y / r，其中y是斜边在y轴上的投影，r是半径。
2.余弦函数：在直角三角形中，余弦函数是指对于一个锐角三角形，三角形的邻边和斜边的比值。
- cos(x) = b / c，其中b是邻边，c是斜边。
- cos(x) = x / r，其中x是斜边在x轴上的投影，r是半径。
3.正切函数：在直角三角形中，正切函数是指对于一个锐角三角形，三角形的对边和邻边的比值。
- tan(x) = a / b，其中a是对边，b是邻边。
- tan(x) = y / x，其中y是斜边在y轴上的投影，x是斜边在x轴上的投影。
4.余切函数：余切函数是正切函数的倒数。
- cot(x) = 1 / tan(x)。
5.正割函数：在直角三角形中，正割函数是指对于一个锐角三角形，三角形的斜边和邻边的比值的倒数。
- sec(x) = 1 / cos(x)。
6.余割函数：在直角三角形中，余割函数是指对于一个锐角三角形，三角形的斜边和对边的比值的倒数。
- csc(x) = 1 / sin(x)。
三、平面内角与弧度制之间的关系1.弧度制与度数之间的转换：-弧度=度数×π/180-度数=弧度×180/π2.弧度制下的角的性质：-一个圆上的圆心角的弧度数等于该弧所对应的弧的弧度数。
高考数学之三角函数知识点总结汇编
三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)
高中三角函数知识点归纳总结(通用10篇)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式篇一sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)高中数学三角函数知识点总结：三倍角公式推导篇二sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina高中数学三角函数知识点总结：半角公式篇三tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)高中数学三角函数知识点总结：辅助角公式篇四Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))高中数学三角函数知识点总结：和差化积篇五sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)高中三角函数知识点归纳篇六1.做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原因是他们的畏惧心理。
高考数学中的三角函数知识点概览
高考数学中的三角函数知识点概览数学是高考中的一门必修科目，而三角函数则是数学中重要的内容之一。
掌握好三角函数的知识点可以增加高考数学的成绩，本文将对高考数学中的三角函数知识点进行概览，帮助学生更好地备考。
1、三角函数的定义在平面直角坐标系中，通过将点P(x,y)沿x轴(或y轴，原点)作垂线得到点M(x,0)，点P与点M的连线与x轴的夹角为θ(0≤θ≤2π)，定义：(1)正弦函数(A是θ的集合)：f(θ)=sinθ=y/r(2)余弦函数(B是θ的集合)：f(θ)=cosθ=x/r(3)正切函数(C是θ的集合)：f(θ)=tanθ=y/x其中，r是点P到原点的距离，x和y分别是点P在x轴和y轴上的坐标。
2、基本性质(1)正弦函数和余弦函数的值域都是[-1,1]，而正切函数的定义域是整个实数集。
(2)正弦函数和余弦函数的图像是相似的，只是在垂直方向上有不同的偏移量。
(3)正弦函数和余弦函数的图像都是关于原点对称的。
(4)正切函数的图像是周期为π的函数，其图像是关于原点对称的。
(5)三角函数与三角恒等式有关，其中最常用的是：sin^2θ+cos^2θ=1tanθ=sinθ/cosθ3、三角函数的图像(1)正弦函数和余弦函数的图像在相同的坐标系中，画出正弦函数和余弦函数的图像，可以发现：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，起伏在原点之上和之下。
它的周期是2π，在每个周期内，其最大值为1，在0、π、2π等点上取到；最小值为-1，在π/2、3π/2等点上取到。
余弦函数的图像与正弦函数的图像完全相似，只是在y轴上取值时，正弦函数是在原点上取到的，而余弦函数是在1和-1之间变化的。
它的周期也是2π，在每个周期内，其最大值为1，在π/2、3π/2等点上取到；最小值为-1，在0、π、2π等点上取到。
(2)正切函数的图像正切函数的图像是一条平移后的正弦函数图像。
其周期为π，其垂直渐近线为x=kπ（k∈Z），它的图像在x轴上有一个渐近点，在每个周期内，正切函数的值都在正无穷和负无穷之间变化。
高考数学三角函数知识点总结及练习
高考数学三角函数知识点总结及练习集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练 （一）基础知识1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。
4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
6.正弦余弦正切 余切7. 8. 二倍角公式——代换：令αβ=降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα半角公式：2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= 函数图10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1)sin(sin x y x y（2）−−−−→−=−−−−−−−−−→−=ωϕωω图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin 1x y x y（二）数学思想与基本解题方法1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。
2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。
3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。
4. 角的和与差的相对性如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性 如：422,22αααα==5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。
6. 数形结合：心中有图，观图解题。
高考数学中的三角函数解析
高考数学中的三角函数解析在高考数学中，三角函数是一个非常重要的概念。
难度不仅仅在于其本身的计算，更在于其运用。
本文将详细探讨三角函数的解析，包括知识点、考点、实例等。
希望能为广大高中生以及准备参加高考的同学提供一些参考。
一、三角函数的定义与知识点三角函数是数学中的一类特殊函数，它们的输入是一个角度，输出是其对应的函数值。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等等。
以正弦函数为例，其定义为：$$\sin x = \frac{y}{r}$$其中，$x$ 表示角度，$y$ 表示该角度下的三角形对边的长度，$r$ 表示该角度下的三角形斜边的长度。
根据这个定义，我们可以得出一些基本的知识点：1. 正弦函数的值域为 $[-1,1]$，当 $x=90k(k\in\mathbb{Z})$ 时取到最大值 1，$x=90k+270(k\in\mathbb{Z})$ 时取到最小值 -1。
2. 正弦函数的周期为 $360^\circ$ 或 $2\pi$。
3. 正弦函数的奇偶性：$\sin(-x)=-\sin x$，正弦函数是奇函数。
其他三角函数的定义和知识点也类似，不再一一赘述。
二、三角函数的运用三角函数的应用非常广泛，下面我们将介绍几个常见的运用场景。
1. 三角函数的图像分析三角函数的图像是高考中经常会出现的题型，不仅要求我们准确地画出函数图像，还需要根据图像求出一些具体的函数值或者性质。
对此，我们可以从以下几个角度进行分析。
（1）函数的周期：通过观察函数图像，我们可以知道其周期。
这个很容易理解，因为周期是函数图像上出现的一个最小重复单元，只需要找到这个周期就可以很方便地求出其他周期的函数值或性质。
（2）函数的最大值最小值：在一些特殊的角度下，函数取到最大值或最小值，这些角度常常是某些需要求解的问题的关键。
高考中常见的一个例子就是楼梯问题，这个问题可以利用正弦函数的最大值最小值求解。
关于这个问题的具体解法，可以参考其他文章。
高考数学之三角函数知识点总结
高考数学之三角函数知识点总结高考数学中，三角函数是一个重要的知识点。
它在解三角形、解三角方程和求极限等方面都有广泛应用。
下面是对高考数学中三角函数的知识点进行总结：一、基本概念和性质：1.三角函数的定义：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的定义。
2.三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的周期性。
3.三角函数的奇偶性：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的奇偶性。
4.三角函数的范围：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的范围。
二、基本公式和恒等变换：1.三角函数的和差化积公式。
2.三角函数的倍角公式。
3.三角函数的半角公式。
4.三角函数的和差化积公式的逆运算。
三、极坐标与三角函数：1.极坐标下的坐标转换。
2.极坐标下的两点间距离公式。
四、三角函数的解析式：1.任意角的解析式。
2.一些特殊角的解析式。
五、三角函数的图像与性质：1.正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数的图像和性质。
2.三角函数图像的平移、伸缩和翻转。
3.三角函数的性态。
六、三角函数的应用：1.三角函数在测量中的应用：测量高度、测量角度、计算地理位置等。
2.三角函数在力学中的应用：力的合成、平衡条件等。
3.三角函数在电路中的应用：交流电的正弦表达式等。
4.三角函数在几何中的应用：解三角形、求面积等。
5.三角函数在物理中的应用：波动现象、振动现象等。
以上是高考数学中三角函数的主要知识点总结。
掌握这些知识点，对于解答相关题目、理解相关概念都有很大帮助。
在备考高考数学时，应不断强化基础知识，多进行题目练习和真题训练，同时注重理解和巩固基本概念和性质，提高解题的能力和技巧。
新高考三角函数知识点归纳总结
新高考三角函数知识点归纳总结三角函数在新高考数学考试中扮演着重要的角色。
掌握三角函数的相关知识点，不仅可以帮助我们解决各类与角度、长度及图形性质相关的问题，还能够为以后的高等数学学习打下坚实的基础。
本文将对新高考中的三角函数知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地复习和应对考试。
一、三角函数的基本概念和性质三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的函数，表示角与某一边的长度的比值。
1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值，即sin(A) = a/c。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值，即cos(A) = b/c。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切值等于对边与邻边的比值，即tan(A) = a/b。
此外，我们还需了解三角函数在单位圆上的定义和性质：4. 单位圆的角度：单位圆的半径为1，角度以弧度制表示，其中360°等于2π弧度。
5. 弧度与角度的转换关系：1弧度约等于57.3°，即1弧度≈ 57.3°。
6. 三角函数的周期性：正弦函数和余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π。
二、三角函数的基本关系及推导1. 三角函数之间的基本关系：根据三角恒等式，我们可以推导出三角函数之间的基本关系。
例如，sin²A + cos²A = 1，tanA = sinA/cosA等。
2. 三角函数的和差化积公式：通过和差化积公式，我们可以将两个三角函数的和差表示为一个三角函数的乘积。
三、三角函数的图像和性质1. 正弦函数的图像和性质：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复。
2. 余弦函数的图像和性质：余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振幅为1，在0～2π的区间内周期性重复，与正弦函数的图像相位差90°。
3. 正切函数的图像和性质：正切函数的图像有无数个渐近线，它在每个π的整数倍处有一个垂直渐近线，且在每个π/2的整数倍处有一个水平渐近线。
高考数学之三角函数知识点总结
三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，定理1 同角三角函数的基本关系式， 倒数关系：tan α=αcot 1,商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α; （Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α; （ Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=s in α（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。
高中数学三角函数知识点总结
高考三角函数1.特别角的三角函数值：2．角度制与弧度制的互化：,2360π= ,1800π=3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l.α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p 〔x,y 〕, r=22y x +(1)正弦sin α=ry 余弦cos α=r x 正切tan α=xy(2)各象限的符号：sin α cos α tan α 5.同角三角函数的根本关系：〔1〕平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。
〔2〕商数关系：ααcos sin =tan αxy+O— —+xyO — ++ — +yO— + + —〔z k k ∈+≠,2ππα〕6.诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=-⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
高考数学-三角函数核心知识点(全)
三角函数核心内容一、角的概念的推广、弧度制●1．任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。
●2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，称为终边相同的角，记为{360,}S k k Z ββα==+⋅∈o●3．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：第二象限角的集合：{36090360180,}S k k k Z αα=⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈●4．坐标轴上的角终边在x 轴上的角的集合：{180,}S k k Z αα==⋅︒∈ 终边在y 轴上的角的集合：{18090,}S k k Z αα==⋅︒+︒∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{90,}S k k Z αα==⋅︒∈ ●5．角的度量：弧度制，角度制。
1rad 角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为1rad 角。
弧度和角度的换算：180()rad π︒=10.01745180rad rad π︒=≈1801()()57.305718rad π'=︒≈︒=︒●6．弧长和扇形面积公式 l R α=⋅ 21122S l R R α=⋅=⋅二、任意角的三角函数●1．任意角的三角函数的定义：设点(,)P x y 是角α终边上一点，点O 是坐标原点，22||r OP x y ==+，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan (0)y yx x r r xααα===≠。
●2．三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是： ＋＋－－xy ＋－－ ＋xy ＋－＋ －xyOOO●3．三角函数线：正弦线sin MP α=，余弦线cos OM α=，正切线tan AT α=。
三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式●1．同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。
（1）22sin cos 1αα+= （2）sin tan cos ααα= ●2．诱导公式：与角“32,,,,22k πππααπααα+-±±±”有关的诱导公式的记忆口诀是“奇变偶不变, 符号看象限”。
高三数学三角函数知识点
高三数学三角函数知识点一、概述数学中的三角函数是一个重要的概念，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在高三数学学习中，掌握三角函数的相关知识点可以帮助我们解决各种复杂的几何问题，同时也是高考数学必考的内容。
二、正弦函数与余弦函数1.定义正弦函数(sin)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinA=对边/斜边。
余弦函数(cos)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosA=邻边/斜边。
2.性质- 正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。
- 正弦函数与余弦函数的图像均为周期函数，周期为2π或360°。
三、正切函数与余切函数1.定义正切函数(tan)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanA=对边/邻边。
余切函数(cot)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余切函数的值等于邻边与对边的比值，即cotA=邻边/对边。
2.性质- 正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 余切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。
- 正切函数与余切函数的图像均为周期函数，周期为π或180°。
四、三角函数的基本关系1.正弦函数与余弦函数的关系- sin(π/2 - A) = cosA- cos(π/2 - A) = sinA2.正切函数与余切函数的关系- tanA = 1 / cotA- cotA = 1 / tanA3.正弦函数与余切函数的关系- sinA / cotA = cosA- cotA / sinA = cosA五、三角函数的图像与性质1.正弦函数与余弦函数的图像- 正弦函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余弦函数为偶函数，图像关于y轴对称。
2.正切函数与余切函数的图像- 正切函数为奇函数，图像关于原点对称。
- 余切函数为奇函数，图像关于原点对称。
高中数学三角函数知识点总结
高中数学三角函数知识点总结高中数学三角函数知识点总结一、锐角三角函数公式sin=的对边/斜边cos=的邻边/斜边tan=的对边/的邻边cot=的邻边/的对边二、倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA2)(注：SinA2是sinA的平方sin2(A))三、三倍角公式sin3=4sinsin(/3+)sin(/3-)cos3=4coscos(/3+)cos(/3-)tan3a=tanatan(/3+a)tan(/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)辅助角公式Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin+Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 四、降幂公式sin2=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos2=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan2=(1-cos(2))/(1+cos(2))推导公式tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos21-cos2=2sin21+sin=(sin/2+cos/2)2=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sinacos3a=cos(2a+a)=(2cosa-1)cosa-2(1-sina)cosa=4cosa-3cosasin3a=3sina-4sina=4sina(3/4-sina)=4sina[(3/2)-sina]=4sina(sin60-sina)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60-a)/2]cos[(60-a)/2]=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosa-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(3/2)]=4cosa(cosa-cos30)=4cosa(cosa+cos30)(cosa-cos30)=4cosa*2cos[(a+30)/2]cos[(a-30)/2]*{-2sin[(a+30)/2]sin[(a-30)/2]}=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)]=-4cosacos(60-a)[-cos(60+a)]=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)五、半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin2(a/2)=(1-cos(a))/2cos2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))六、三角和sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincos tan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)七、两角和差cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)八、和差化积sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 九、积化和差sinsin=[cos(-)-cos(+)]/2coscos=[cos(+)+cos(-)]/2sincos=[sin(+)+sin(-)]/2cossin=[sin(+)-sin(-)]/2十、诱导公式sin(-)=-sincos(-)=costan(—a)=-tansin(/2-)=coscos(/2-)=sinsin(/2+)=coscos(/2+)=-sinsin(-)=sincos(-)=-cossin(+)=-sincos(+)=-costanA=sinA/cosAtan(/2+)=-cottan(/2-)=cottan(-)=-tantan(+)=tan诱导公式记背窍门：奇变偶不变，符号看象限十一、万能公式sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]cos=[1-tan(/2)]/1+tan(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]十二、其它公式(1)(sin)2+(cos)2=1(2)1+(tan)2=(sec)2(3)1+(cot)2=(csc)2(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证:A+B=-Ctan(A+B)=tan(-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=n(nZ)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot( C/2)(7)(cosA)2+(cosB)2+(cosC)2=1-2cosAcosBcosC(8)(sinA)2+(sinB)2+(sinC)2=2+2cosAcosBcosC(9)sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*( n-1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0以及sin2+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0拓展阅读：学好函数的方法一、学数学就像玩游戏，想玩好游戏，当然先要熟悉游戏规那么而在数学当中，游戏规那么就是所谓的根本定义。
三角函数知识点归纳总结高三
三角函数知识点归纳总结高三高三数学中的三角函数知识点归纳总结在高三数学中，三角函数是一个重要的知识点，它是解析几何、微积分等学科的基础。
三角函数的内容较为繁杂，但只要掌握了基本的公式和性质，就能够顺利地解决各种问题。
以下是对高三数学中三角函数知识点的归纳总结。
1. 三角函数的定义三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数这六种函数。
其中，正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，其余函数的定义域为实数集减去相应函数零点的集合。
2. 基本公式和性质(1) 正弦函数和余弦函数的基本周期为2π，即sin(x+2π)=sinx，cos(x+2π)=cosx。
(2) 正切函数和余切函数的基本周期为π，即tan(x+π)=tanx，cot(x+π)=cotx。
(3) 正弦函数和余弦函数的和差公式：sin(x±y) = sinxcosy ± cosxsiny，cos(x±y) = cosxcosy ∓ sinxsiny。
(4) 正切函数和余切函数的和差公式：tan(x±y) = (tanx ±tany)/(1∓tanxtany)，cot(x±y) = (c otxcoty∓1)/(coty∓cotx)。
(5) 正切函数和余切函数的互余公式：tanx=cot(π/2−x)，cotx=tan(π/2−x)。
(6) 三角函数的奇偶性：sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx，tan(-x)=-tanx，cot(-x)=-cotx。
(7) 三角函数的周期性：有些三角函数的周期不是基本周期2π或π，而是它们的倍数，如sin3x和cos3x的周期为2π/3。
3. 三角函数的图像(1) 正弦函数和余弦函数的图像：它们的图像都是周期性的波形，正弦函数的图像在坐标系的x轴正半轴上方，余弦函数的图像在坐标系中x轴上。
(2) 正切函数和余切函数的图像：它们的图像分别是以x轴和y轴为渐近线的一组双曲线。
高考三角函数知识点归纳
高考三角函数知识点归纳三角函数是高中数学中的一大重要内容，也是高考数学中的重点难点。
下面将围绕高考数学三角函数知识点进行归纳。
1.弧度制与角度制：-角度制：一个圆的周长定义为360度，1度等于圆周长的1/360。
-弧度制：一个圆的半径为1时，一个弧长等于半径的弧度数为1弧径(弧度)。
弧度应该是弧长和半径数的比值。
2.正弦、余弦、正切：- 正弦：在直角三角形中，对于一个锐角，将其对边的长度除以斜边的长度，所得的比值称为这个锐角的正弦，记作sin。
- 余弦：在直角三角形中，对于一个锐角，将其邻边的长度除以斜边的长度，所得的比值称为这个锐角的余弦，记作cos。
- 正切：在直角三角形中，对于一个锐角，将其对边的长度除以邻边的长度，所得的比值称为这个锐角的正切，记作tan。
3.基本三角函数的基本性质：- 周期性：sin和cos的周期都为2π，tan的周期为π。
- 奇偶性：sin是奇函数，cos是偶函数，tan是奇函数。
- 五个特殊值：sin0=0，sin30°=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2，sin90°=1；cos0°=1，cos30°=√3/2，cos45°=√2/2，cos60°=1/2，cos90°=0；tan0°=0，tan30°=1/√3，tan45°=1，tan60°=√3，tan90° 不存在。
4.三角恒等式：- 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos²x + sin²x = 1；- 倒角公式：sin(2x)=2sin(x)cos(x)，cos(2x)=cos²(x)-sin²(x)；- 和差公式：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny, cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny。
高考数学三角函数知识点总结及练习
高考数学三角函数知识点总结及练习三角函数总结及统练本文旨在总结和统练三角函数的基础知识，包括以下内容：一、基础知识1.集合S表示与角α终边相同的角的集合，其中β=2kπ+α，k∈Z。
2.三角函数是x、y、r三个量的比值，共有六种定义。
3.三角函数的符号口诀为“一正二弦，三切四余弦”。
4.三角函数线包括正弦线MP=sinα、余弦线OM=cosα和正切线AT=tanα。
5.同角三角函数的关系包括平方关系、商数关系和倒数关系，可以用“凑一拆一，切割化弦，化异为同”的口诀记忆。
6.诱导公式口诀为“奇变偶不变，符号看象限”，其中包括正弦、余弦、正切和余切的公式。
7.两角和与差的三角函数包括正弦、余弦、正切和余切的公式，以及三角函数的和差化积公式。
8.二倍角公式包括sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α=cosα-sinα、tan2α=2tanα/1-tan2α，以及对应的cos、tan公式。
9.三角函数的图象和性质，包括函数y=sinx、y=cosx和y=tanx的定义和定义域。
总之，三角函数是数学中的重要概念，掌握其基础知识对于研究高等数学和其他相关学科都有很大的帮助。
对于函数 $y=\sin x$，其定义域为 $[-\pi/2,\pi/2]$，值域为$[-1,1]$。
当 $x=2k\pi+\pi/2$ 时，函数取最大值 $1$；当$x=2k\pi-\pi/2$ 时，函数取最小值$-1$。
函数的周期为$2\pi$，是奇函数。
在区间 $[2k\pi-\pi/2,2k\pi+\pi/2]$ 上是增函数，在区间$[2k\pi-\pi,2k\pi]$ 上也是增函数，其中$k\in\mathbb{Z}$。
在区间 $[2k\pi,2k\pi+\pi]$ 上是减函数。
对于函数 $y=Asin(\omega x+\phi)$，当 $A>0$ 且$\omega>0$ 时，函数图像可以通过将横坐标缩短到原来的$\dfrac{1}{\omega}$ 倍，纵坐标伸长为原来的 $A$ 倍，再将图像左移$\dfrac{\phi}{\omega}$ 个单位得到。
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高考三角函数1.特殊角的三角函数值：2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π=3.弧长及扇形面积公式弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .21α----是圆心角且为弧度制。
r-----是扇形半径4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α=r y 余弦cos α=r x 正切tan α=xy (2)各象限的符号：sin α cos α tan αxy+O— —+x yO — ++— +y O— ++ —5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。
（2）商数关系：ααcos sin =tan α （z k k ∈+≠,2ππα）6.诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质降幂公式： 1+cos α=2cos 22αcos 2α22cos 1α+=1-cos α=2sin 22αsin 2α22cos 1α-= 9．正弦定理 ：2sin sin sin a b cR A B C===. 余弦定理：2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.三角形面积定理.111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）两角和与差的三角函数关系 sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β cos(α±β)=cos α·cos β sin α·sin β βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±倍角公式 s in2α=2sin α·cos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1 =1-2sin 2αααα2tan 1tan 22tan -=sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba 。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===。
（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）△＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
（1）角与角关系：A +B +C = π；（2）边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a －b < c ，b －c < a ，c －a > b ； （3）边与角关系：正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）； 余弦定理 c 2 = a 2+b 2－2bc cos C ，b 2 = a 2+c 2－2ac cos B ，a 2 = b 2+c 2－2bc cos A ；它们的变形形式有：a = 2R sin A ，baB A =sin sin ，bc a c b A 2cos 222-+=。
5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+； 四．【典例解析】题型1：正、余弦定理（2009岳阳一中第四次月考）.已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=，3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）A.． 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0150答案 C例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。
解析：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，00sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理，sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器例2．（1）在∆ABC 中，已知23=a 62c 060=B ，求b 及A ； （2）在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解析：（1）∵2222cos =+-b a c ac B=22(23)(62)223(62)+-⋅cos 045 =212(62)43(31)+- =8 ∴2 2.=b求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：∵cos 222222(22)(62)(23)1,22222(62)+-++-==⨯⨯+b c a A bc ∴060.=A 解法二：∵sin 023sin sin45,22=a A B b2.4 1.43.8,+=21.8 3.6,⨯=∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A（2）由余弦定理的推论得：cos 2222+-=b c a A bc 22287.8161.7134.6287.8161.7+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ；cos 2222+-=c a b B ca 222134.6161.787.82134.6161.7+-=⨯⨯ 0.8398,≈ 03253'≈B ；0000180()180(56203253)''=-+≈-+C A B 09047.'= 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A 的取值范围。
题型2：三角形面积例3．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，AB =3，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==1tan tan(4560)21A +∴=+==--- .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+==A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=22① .0cos ,0sin ,180021cos sin 221)cos (sin 2<>∴<<-=∴=+∴A A A A A A A23cos sin 21)cos (sin 2=-=-A A A A , ∴-=sin cos A A 62② ① + ② 得 sin A =+264。
① － ② 得 cos A =-264。
从而 sin 264tan 23cos 426A A A +==⨯=---。
以下解法略去。
点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。