第03讲 等腰三角形和等边三角形

A B C P 2O P 3
1第3讲 等腰三角形和等边三角形
几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。

——波利亚 知识方法扫描
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是一种轴对称图形，它
的底角相等，它的底边上的高和中线，顶角的平分线重合。

三边相等的三角形叫等边三角形，等边三角形三个内角都是60º。

在出现等腰三角形的题目中，常用的辅助线作出等腰三角形底边上的高（对
称轴）。

这样可以得到一对全等的直角三角形。

根据题目的条件与结论，选取合
适的对称轴往往是解题的突破口。

此外，在有一个角是60º的情况下，构造等边
三角形也是常用的方法。

经典例题解析
例1．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）在等边三角形ABC 所在平面
内确定一点P,使PAB ∆、PAC ∆、PBC ∆都是等腰三角形。

则满足条件的点P 共
有（ ） （A ）1个 （B ）4个 （C ）7个 （D ）10个
解 除了等边三角形ABC 的中心外，我们考察BC 垂直平分线上的
点：
P 1是A 点上方的点，A P 1等于等边三角形ABC 的边长；
P 1是BC 下方的点，A P 2等于等边三角形ABC 的边长；
P 3也是BC 下方的点，三角形P 3BC 是等边三角形。

在AB ，AC 的垂直平分线上也各有3个点，一共是3+3+3+1=10
个点。

选D 。

例2．（2003年全国初中数学联赛试题）如图，AA ′，BB ′分别是∠EAB ，
∠DBC 的平分线，若AA ′＝BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为________。

解 设∠BAC 的度数为x 。

因AB ＝BB ′，
所以∠B ′BD ＝2x ，∠CBD ＝4x 。

又AB ＝AA ′，
故∠AA ′B ＝∠ABA ′＝∠CBD ＝4x 。

因∠A ′AB ＝2
1（180°－x ）， 所以2
1（180°－x ）＋4x ＋4x ＝180°。

解之得 x ＝12°。

B
G
评注 本题的结果告诉我们：两条外角平分线相等的三角形不一定是等腰三
角形。

例3．（2002年河南省初中数学竞赛试题）如图，D 为等边三角形ABC 内一
点，BF=AB ，∠DBF=∠DBC ，求∠BFD 的度数。

解 因△ABC 是等边三角形，故AC=BC=AB ，∠ACB=60º。

连结CD 。

在△ACD 和△BCD 中，AC=BC ，DA=DB ，
CD=CD ，于是△ACD ≌△BCD ， ∠ACD=∠BCD=12
∠ACB=30º，BF=BC 。

所以BF=BC 。

在△BFD 和△BCD 中，BF=BC ，∠DBF=∠DBC ，BD=BD ，于是 △BFD ≌△BCD ，故∠BFD=∠BCD=30º。

例4．（1999年重庆市初中数学竞赛试题）
如图，等腰直角ΔABC 中，∠BAC=90°, AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于F ，过F 作
FG ⊥CD 交BE 延长线于点G ，求证：
BG=AF+FG 证明 过C 作AB 的平行线交AF 的延长线于P.
在△ABE 和△APC 中，因AF ⊥BE ，故∠ABE=∠CAP 。

又因
CP ⊥AC,AB=AC ，故△ABE ≌△APC. 则有BE=AP. ①
在△ABE 和△ACD 中，因AB=AC ，AE=AD ，∠BAC=∠CAB ，所以，△ABE
≌△ACD ，有∠ABE =∠ACD
因∠AEB 和∠CMF 分别是∠ABE 和∠ACD 的余角，所以∠AEB=∠CMF ，
则∠CMF=∠P 。

因∠ACB=45º，故∠FCP=90º-45º=45º，有∠MCF=∠FCP 。

又FC=FC ，所
以△MCF ≌△PCF ，则MF=PF 。

②
又因∠AEB=∠CMF ，知△MGE 为等腰三角形，所以EG=MG 。

③
由①②③知 BE+EG=AP+MG=AF+FP+MG=AF+FM+MG
即 BG=AF+FG 。

例5．（1997年荆州市初中数学竞赛试题）如图所示，ΔABC 是边长为1的
等边三角形，ΔBDC 为等腰三角形，顶角∠BDC=120º，M,N 分别是线段AB,AC
上的点，且∠MDN=60º，延长AC 到T ，使CT=BM. （1）求证：∠CTD=∠BMD;
（2）求ΔAMN 的周长。

解 (1)∵△BDC 是顶角∠BDC=120º的等腰三角形。

∴∠DBC=∠DCB=30º. 又△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60º.
∴∠MBD=∠NCD=∠TCD=90º. 又DB=DC,MB=TC,
∴△MBD ≌△TCD.故∠CTD=∠BMD.
(2) 由上 △MBD ≌△TCD 得 ∠CDT=∠BDM,且DT=DM.
B
D E
A
B
D
E
F
A
C
D
E
而∠BDC=∠BDM+∠MDN+∠NDC=120º,∠MDN=60º,
∴∠BDM+∠NDC=60º,∴∠NDT=∠CDT+∠NDC=60º=∠NDM.
∴△NDT≌△NDM.. ∴ MN=NT=NC+CT=NC+MB.
故△AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+NC+MB+AN
=AB+AC=1+1=2.
例6．（第5届希望杯数学邀请赛试题）如图，五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD．求证：AD平分∠CDE．
证明延长DE到F，使得EF=BC，连结AF，AC。

因∠ABC+∠AED=180°，
而∠AEF+∠AED=180°，所以∠ABC=∠AEF。

在△ABC与△AEF中，AB=AE，∠ABC=∠AEF，BC = EF，所以
△ABC≌△AEF，于是AC=AF。

又CD=BC+DE=EF+DE=DF。

在△ACD与△AFD中，AC=AF，CD= DF，AD=AD，所以△ACD≌△AFD，于是∠ADC=∠ADF，即AD平分∠CDE．
评注由上面的证法可以看出：题目中的条件∠BAE=∠BCD=120°是多余的。

例7．（第6届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题）在等腰ΔABC中，AB=AC，∠A＝20°，顶角在AB上取一点D，使AD=BC，求∠BDC的度数解因AD=BC，∠A＝20°，
故∠ABC=∠ACB=80º。

如图作△EAD≌△ABC，连结EC。

则∠EAD=∠EDA=80º，∠AED＝20°
AE=DE=AB=AC。

因∠EAC=∠EAD-∠CAB=60º，故△AEC
是等边三角形。

∠AEC＝∠ACE＝60º。

∠DEC=∠CEA-∠AED=40º，而ED=EA=EC，
故∠EDC=∠ECD=70º。

于是∠BDC=180 º-∠EDC-∠ADE=180 º-70º-80º=30°。

评注构造等边三角形来解题，是一种重要的解题方法。

例8．等腰三角形ABC中，AB= AC,∠A=100，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+ BE=BC．
证法1 由已知条件不难算出：∠1=∠2=20º，∠5=60º，
∠7=40º
延长BE到G，使BG=BC，连结CG，不难得到
∠G=80º，∠8=40º,∠6=60º。

C D E A B E F P Q S
在BC 上截取BF=BA ，连结EF ，易证△ABE ≌△FBE,从而∠3=∠5=60º，EF=AE ．
在△EFC 与△EGC 中，∠4=180º-（∠5+∠3）=60º=∠6，CE=CE ，∠7=∠8，故△EFC ≌△EGC ，EF=EG ，从而EG=AE ．
AE+BE=EG+BE=BG=BC.
∴AE+BE=EG+BE=BG=BC.
证法 2 由已知条件可以算出：∠1=∠2=20º，
∠5=60º,∠C=40º，
在BC 上截取BG=BE ，连结EG ，计算后可知∠7
=∠BEG=80º，∠4=∠7-∠C=40º，
于是∠4=∠C ，EG=GC ．
又在BC 上截取BF=BA ，连结EF.显然△ABE ≌△FBE ，从而∠5=∠3，于是∠3=60º，又AE=EF.
因∠6=∠3+∠1=60º +20º= 80º =∠7，故EF=EG ，从而AE= GC ．
∴ AE+BE=GC+BG=BC.
证法3 在BC 上截取BG=BE ，连结EG ．易求得∠4=40º，
∠7=80º，从而∠5=100º=∠A ．
过E 作EF ∥BC 交AB 干F ，显然△AEF 也是等腰三角形，
从而AF=AE ，于是有FB=EC.又∠3=∠1=∠2，故有 EF=FB.
又∠6=∠ABC= 40º=∠4，所以△AEF ≌△GEC ，故有AE=GC ．
∴ AE+BE=GC+BG= BC.
证法4 延长BE 到G ，使EG=EA.不难算出∠1=∠2=20º，
∠4=60º。

，从而∠G=∠5=300º，
再过A 作AM ⊥BC ，M 为垂足，由等腰三角形性质知M
是BC 的中点．
连结GA ，过B 作BN ⊥GA ，垂足为N ，∠GBN=90º-∠G=60º，∠3= ∠GBN-∠2=60º-20º=40º =∠ABC.又AB 是公共边，故有Rt △ABN ≌Rt △ABM ，
从而BN=BM.但BN=21BG , BM=2
1BC ，BG=BC,即BE+EG=BC ，也就是BE+AE=BC. 同步训练
一 选择题
1．（2002年河南省初二数学竞赛试题）如图，在Rt △ABC
中，∠ACB=900，D 、E 点在AB 上，AC=AD ，BE=BC ，则∠DCE
的大小是 ( )
(A) 600 (B)450 (C) 300 (D) 随∠A 的大小而变化
2．（1997年安徽省初中数学竞赛试题）如图，在 △ABC 中，∠ABC= 60º，∠ACB= 45º，AD ， CF 都 是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD ，CF 于Q ， S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）
(A)2 (B) 3 (C)4 (D)5
A
B C D A B C E A B
C O
3．（2000年北京市初二数学竞赛试题）已知α是等边三角形的一个底角，是β顶角为30°的等腰三角形的一个底角，γ是等腰直角三角形的一个底角，则
（A ）α<β<γ （B ）γ<α<β （C ）β<α<γ （D ）α<γ<β
4．(1998年“希望杯”数学邀请赛试题)等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形的某一边的长度的一半，则其顶角等于
（A ）30° （B ）30°或150° （C ）120°或150° （D ）30°或120°或150°
5．(2001年“希望杯”数学邀请赛试题)如果一个三角形的外角平分线平行于三角形的一条边，那么这个三角形一定是（ ）
（A ）直角三角形（B ）等边三角形（C ）等腰三角形（D ）等腰直角三角形
二 填空题
6．（1995年昆明市初中数学竞赛题）如图，
∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30. BD 平分∠ABC ，
AD ∥BC ，则四边形ABCD 的周长为 ．
7．（2000年河北省初中数学竞赛试题）在ΔABC 中，若
AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 边上的一点， 且有
AE=AD ，已知∠EDC=12º，则∠B=
8．（2003年重庆市初中数学竞赛决赛试题）如图，已
知六边形ABCDEF 的各个内角等于120度，
AB+AF=5,AF+FE=6,AB=CD.则六边形ABCDEF 的周
长为 。

9．(杭州市第三届“求是杯”初二学生数学竞赛试题)已知等腰三角形ABC 中,一腰上的高等于1,这条高与底边的夹角等于45°, △ABC 的面积等于 .
10．(1998年“希望杯”数学邀请赛试题)如图, △ABC 中,AC=BA=5，∠ACB=80°,O 为△ABC
中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段
AO 的长是 . 三 解答题 11．（1998年天津市初二数学竞赛题）如图，四边
形ABCD 中，BC> CD>AD ，O 为AB 中点，∠AOD=
∠COB=60°．求证：CD+AD>BC.
12．（1992年“汉江杯”初中数学竞赛试题）如图，
∠ABD=∠ACD=60º ∠ADB=90º-∠BDC ，求证：AB=AC.
13．(1986年武汉市初中数学竞赛试题)P 是等边三
A B C A'
C'B'D 角形ABC 的BC 边上任一点，连AP ，以P 为顶点作∠APQ=60º ，PQ 交∠C 的外角平分线于Q ，那么△APQ 是什么三角形？证明你的结论。

14．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠CAB=30°，
AC=BC=AD ．求证：BD=CD ．
15．（江苏省第十七届初中数学竞赛试题）在△ABC 中，
已知∠C=600，AC ＞BC ，又△ABC ‘、△BCA ’都是△ABC 形外的等边
三角形，而点D 在AC 上，且BC=DC （1） 证明△C ‘BD ≌△B ’DC ；
（2） 证明△AC ‘D ≌DB ’A ； （3） 对△ABC 、△ABC ‘、△CAB ’，从面积大小关系上，
你能得出什么结论？。