车桥竖向耦合振动研究及数值解法
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的不平顺激励，被广泛使用。下图为德国低干扰不平顺谱高低不平顺的部分样本。
-2-
http://www.paper.edu.cn
高 低 不 平 顺/m
0.025
0.020
0.015
0.010ຫໍສະໝຸດ Baidu
0.005
0.000
-0.005
-0.010
-0.015
-0.020
-0.025 0
300
600
900
1200
1500
⎜⎛ −1 0
0 ⎟⎞
Tbr 为转换矩阵，为：Tbr = ⎜ 0 − 1 0⎟
⎜⎝ dh ex
1 ⎟⎠
因此作用在桥梁上的横向力、竖向力、力矩为 Fbw ＝{Fbw y
Fbw z
M
}x T
bw
，竖向力值
Fbw z = −(Nr + Nl) ，力矩 M bw x ＝ e x (Nl + Nr) 。（ ex 表示桥梁截面形心与线路中心的横 向偏心距，对于单线桥模型， e x ＝0）。
Jcyφc′′+ K2θ (2φc − φt1 − φt2 ) + C2φ (2φc′ − φt′1 − φt′2 ) + lK2z (Zt2 − Zt1 + 2lφc )
+lC2z (Zt′2 − Zt′1 + 2lφ′) = 0
（2）
（3）前转向架浮沉 Zt1
M
t
Zt′1′
+
K1z
(2Zt1
−
Z
以将该运动方程写成如下形式：
N r + Nl ＝ M wg － K1y[zwi − ztj − (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j − (−1)i l1φt′j ]
（9）
4.1.2 轮轨力 当车辆发生位移时，轮轨之间出现相对位移，从而产生轮轨力。作用在轮对上的轮轨力
Fwr 与作用在轨道上的轮轨力 Frw ，是作用力与反作用力的关系。 Frw = {Fry Frz M rx }T ,
一般为桥梁单元的节间荷载，将其转换成桥梁单元的等效节点荷载，然后借助于桥梁
单元定位向量组集得到桥梁运动方程的右端项 Pb 求解桥梁的运动方程， Pb 可写成：
nw
∑ Pb = Fbw , i(Fbw y Fbw z M bw x ) （ nw 为桥上总轮对数） i =1
（11）
4.2 几何相容条件方面
当桥梁发生位移时，桥上轨道和桥一起产生位移，而轨道位移与轮对的位移存有一定的
协调关系，由此导致桥上车辆受到激振力，形成车辆运动方程的右端项。设考虑轨道不平顺
后的轨道中心位移为 urs ，即： urs ＝Trb ub ＋ ys
其中， Trb 为桥梁位移与轨道中心位移之间的转换矩阵。轨道中心的位移Ur 可由桥梁
θw
=
θb
＋
λe ya + 2l 0
zc
（12）
即为车桥接触点的几何相容条件式， i 代表一个轮对下的接触点。
由于在对桥梁进行有限元动力分析时，只能得到振动过程中每一时刻桥梁有限个节点的
位移，而轮对在桥面上的运动是连续的，因此，轮轨接触点出对应的桥梁截面的位移 ub 必
须根据轮对所处位置的桥梁单元两端节点的位移插值得到。
程可以写成如下形式：
M
vU
′′
v
+
CvU
′
v
+
K vU v
=
Pv
(7)
其中
M
v
、
CV
、
KV
为车辆质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
U
′′
v
，
U
′
v
，U
v －车辆
自由度的位移、速度、加速度列向量；P v －振动过程中作用于车辆各自由度的荷载列向量。
{ } { ) M v = diag M C Jcy Mt Jty M t Jty ， Uv = ZC φC Zt1 φt1 Zt2 φt2 T ，
+
l1C1z
(−
Z
′
w1
+
Z
′
w2
−
2l1φt′1 )
−
K 2φ
(φC
− φt1)
−C2φ (φc′ − φt′1) = 0
（4）
(5)后转向架浮沉 Zt2
M t Zt′′2
+
K1z
(2Zt2
−
Zw3
−
Zw4 )
+
C1z
(2Zt′2
−
Z
′
w3
−
Z
′
w4
)
−
K2Z
(Z
C
−Zt2
−
lφc )
−C2Z (ZC′ − Zt′2 − lφc′) = 0
截面形心的位移Ub 经过坐标转换得到， Ur ＝ Trb U b ； ys 是由于轨道不平顺引起的轨道
中心的位移向量，可写成： ys ＝{0
ya
zv
λe ya + zc 0 0 }T 2l 0
桥梁和车辆之间接触点处的几何相容条件为： uvi
=
u
i b
+
ys 。
由于轮对之间是紧密接触的，因此有： zw = zrs = −zb + exθb + zv
http://www.paper.edu.cn
车桥竖向耦合振动的研究及数值解法
曾婵娟
武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 (430070)
E-mail：chjzeng@163.com
摘 要：对于车桥耦合振动这一类复杂的问题，必须将轨道不平顺、车辆、桥梁三者作为一 个整体系统完整地进行研究，本文建立了较完善的车辆竖向分析模型和精确的轮对运动方 程，详细建立了车桥耦合关系，在此基础上，建立车桥系统控制方程，运用数值方法求解， 得到详细的求解步骤，可有效的分析高速车桥系统的动力学特性，为高速铁路桥梁的工程设 计提供理论依据。 关键词：竖向耦合振动，分析模型，轨道不平顺，数值方法
（5）
（6）后转向架点头 φt 2
J tyφt′′2
+ l1K1Z
(−Zw3
+
Zw4
−
2l1φt2 ) +
l1C1z
(−
Z
′
w3
+
Z
′
w4
−
2l1φt′2 )
−
K2φ (φC
− φt2 )
−C2φ (φc′ − φt′2 ) = 0
（6）
式中， l 为机车车体上两转向架中心之间的距离之半， l1 为轮对轴距之半。以上 6 个方
（1）假定初始条件：列车入桥前，桥梁的位移、速度和加速度为零；
（2）取 ∆t 时间段，由桥梁和轨道不平顺求解作用于车辆上的轮轨力，形成车辆运动方
程的右端荷载项；
（3）求解车辆振动方程，由 newmark − β 法得到 uv′t+∆t 、 uv′′t+∆t 、 uvt+∆t ；
（4）由车辆位移求解作用于桥梁上的轮轨力，形成桥梁运动方程的右端荷载项；
（二）考虑车体与前后转向架的浮沉与点头运动,共 6 个自由度的车辆竖向振动模型,该模
型按二系悬挂系统处理车辆,仍假定轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。
（三）考虑轮轨弹性接触的车辆竖向振动模型:即在上述模型的基础上,假定轮对与轨道为
弹性接触,各轮对竖向位移作为独立的自由度加以考虑。
本论文的研究考虑车体与转向架的浮沉与点头运动 6 个自由度，按二系悬挂系统处理车
辆，假定轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。车体与前后转向架轮对的运动方程可
以通过对各刚体逐一应用 D' Alembert 原理获得，运动方程式经整理后如下：
（1）车体浮沉 Zc
M
c
Z
′′
c
+
C2
z
[2
Z
′
c
−
Zt′1
−
Zt′2 ] +
K2z[2Zc
−
Zt1
−
Zt 2 ]
=
0
（1）
（2）车体点头φc
（5）求解桥梁振动方程，由 newmark − β 法得到 ub′t+∆t 、 ub′′t+∆t 、 ubt+∆t ；
（6）判断位移是否收敛，如果不收敛，采用 Aitken 加速迭代技术进行改善；进入下一 步，返回（2）重复迭代。
6. 结论
本文在总结和吸取前人研究成果的基础上，针对高速铁路列车－桥梁系统竖向耦合振动 问题而展开，旨在对车桥竖向系统的动力响应进行深入、细致的研究，充分认识车桥动力相 互作用的原理和车桥系统动力相应的规律，采用了较完善的机车车辆分析模型和精确的轮对 运动方程，详细建立了车桥耦合关系，即接触点处的几何相容条件和静力平衡条件，给出了 由于桥梁位移和轨道不平顺而引起的作用在车桥上的轮轨力，以及由于车辆位移引起的作用 在桥梁上的轮轨力，在此基础上，建立车桥系统控制方程运用数值方法求解，得到详细的求 解步骤，可有效的分析高速车桥系统的动力学特性，为工程设计提供依据。
桥梁车辆振动问题的研究一直得到国内外学者的普遍关注。列车通过桥梁时将引起桥 梁结构的振动，而桥梁的振动又反过来影响车辆的振动,这种相互作用、相互影响的问题就 是车辆与桥梁之间振动耦合的问题，随着车辆速度的提高、振动的加强,这种相互耦合作用 更加明显[1,2]。。
对于车桥系统的分析研究，本文采用将车桥系统以轮轨接触处为界，分为桥梁和车辆两 个子系统，分别建立车辆和桥梁的运动方程的方法，两者之间通过轮轨接触处的位移协调条 件与轮轨相互作用力的平衡关系相联系。
3. 轨道不平顺
轨道不平顺是指支承引导车轮的轨道接触面沿轨道延长与理论的平顺轨道面的偏差。它是列 车—桥梁相互作用的主要激励源之一,通常将轨道不平顺看成平稳的随机过程,采用数值模拟 的方法模拟。本研究采用德国高速低干扰轨道谱进行计算，利用三角级数模拟。德国高速低 干扰谱在科研和工程领域被广泛认可，被普遍认为是一种适用于进行高速铁路动力仿真分析
w1
−
Zw2
)
+
C1z
(2Z
′
t1
−
Z
′
w1
−
Z
′
w2
)
−
K2Z
(Z
C
−Zt1
+
lφc
)
−C2Z (ZC′ − Zt′1 + lφc′) = 0
（3）
（4）前转向架点头 φt1
-1-
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Jtyφt′1′ + l1K1Z (−Zw1
+
Zw2
−
2l φ1 t1)
2.2 桥梁运动方程
将桥梁结构离散成有限元模型，相应的桥梁节点运动方程式为：
M U ′′ + C U ′ + K U = Pb
(8)
M 、 C 、 K 分别为桥梁的质量阻尼和刚度矩阵。 Pb 为桥梁所受的整体外力向量,桥梁位移
向量U = {xb yb zb θb φb ψ b } T ，即由三个线位移和三个角位移组成。
示，可以采用 newmark − β 逐步积分法求解，将整个振动过程划分为许多个时间间隔 ∆T ,
按短时间增量计算响应，在每个时间间隔的起点和终点建立动力平衡条件，在每一时间采用
-4-
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迭代的解法，迭代的收敛条件是每一时刻车辆和桥梁的振动满足力的平衡和变形协调条件。 程序的迭代主要过程如下：
距离/m
图 1 德国低干扰不平顺谱高低不平顺的部分样本
1800
4. 车桥耦合关系的建立
车桥耦合关系体现为以下方面[5,6]：（一）轮轨接触处车辆位移与桥梁位移之间的几何 相容条件；（二）轮轨接触处轮轨相互作用力的静力平衡条件。
4.1 静力平衡方面
4.1.1 轮对的平衡方程
由 D' Alembert 原理，可以得到轮对的浮沉运动平衡方程：
Mw
Z
′′
w
-
M
wg
+
K1 y [ zwi
− ztj
− (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j
− (−1)i l1φt′j ] +
Nr
+ Nl = 0
其中， i 表示第 i 个轮对， j 表示第 j 个转向架；一系悬挂作用于轮对上的垂向力为
Fpzw = K1y[zwi − ztj − (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j − (−1)i l1φt′j ] ； Nr, Nl 为左右轮所受的法向 力；另外，在建立轮对运动方程时，忽略轮对垂向惯性力的影响，即 Mw Z ′′ w＝0。由此可
即轨道所受的竖向力、横向力和力矩，由接触点的静力平衡条件得到作用于桥梁上的轮轨力.
4.1.3 车辆作用于桥梁上的力
作用在轨道上的轮轨力 Frw 可近似认为全部传给桥梁，于是可将其从轨道坐标转换到桥
梁坐标系下，即：
Fbw = Tbr Frw
（10）
-3-
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由此可以由桥梁位移和轨道不平顺求得车辆运动方程的右端荷载项 Pv ，进行车辆振动
方程的求解。
5. 车辆振动方程组的数值模拟
至此，已经分别建立了车辆和桥梁的运动方程及耦合关系，整个车桥系统的运动由方程 式（7）～（12）控制，构成车桥系统的控制方程。
对于车桥耦合振动这样复杂的体系，由于参与振动的车厢节数、车辆位置均随着时间而 变化，因此车桥体系动力相互作用方程组为一时变方程组[7, 8,9]，其系数无法用单一的函数表
M C , M t 为 车 体 、 每 台 转 向 架 的 质 量 ， Jcy ， J ty 为 车 体 、 转 向 架 的 点 头 转 动 惯 量
w1, w2, w3, w4 表示轮对第 1－4 个轮对。 Z w 表示轮对浮沉自由度。
2. 桥梁的动力分析
2.1 桥梁模型
建立桥梁模型，一般两种方法——有限元法和模态坐标法。采用有限元方法，用空间 杆系单元以及板壳单元、实体单元来模拟桥梁结构,是目前建立桥梁分析模型的主流，实际 的桥梁结构十分复杂，往往还需采用板壳单元、实体单元与杆系单元一起结合来模拟桥梁结 构。
1. 车辆模型及运动方程
由于车辆竖向和横向振动之间的耦合效应较弱，往往将车桥竖向和横向振动分平面进
行。对于车辆的竖向振动研究，一般可以采用如下车辆振动模型[3,4]：
（一）考虑车体的浮沉与点头 2 个自由度的车辆竖向振动模型,车辆按一系悬挂系统考虑,
忽略转向架的质量,认为轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。
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高 低 不 平 顺/m
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0.010ຫໍສະໝຸດ Baidu
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⎜⎛ −1 0
0 ⎟⎞
Tbr 为转换矩阵，为：Tbr = ⎜ 0 − 1 0⎟
⎜⎝ dh ex
1 ⎟⎠
因此作用在桥梁上的横向力、竖向力、力矩为 Fbw ＝{Fbw y
Fbw z
M
}x T
bw
，竖向力值
Fbw z = −(Nr + Nl) ，力矩 M bw x ＝ e x (Nl + Nr) 。（ ex 表示桥梁截面形心与线路中心的横 向偏心距，对于单线桥模型， e x ＝0）。
Jcyφc′′+ K2θ (2φc − φt1 − φt2 ) + C2φ (2φc′ − φt′1 − φt′2 ) + lK2z (Zt2 − Zt1 + 2lφc )
+lC2z (Zt′2 − Zt′1 + 2lφ′) = 0
（2）
（3）前转向架浮沉 Zt1
M
t
Zt′1′
+
K1z
(2Zt1
−
Z
以将该运动方程写成如下形式：
N r + Nl ＝ M wg － K1y[zwi − ztj − (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j − (−1)i l1φt′j ]
（9）
4.1.2 轮轨力 当车辆发生位移时，轮轨之间出现相对位移，从而产生轮轨力。作用在轮对上的轮轨力
Fwr 与作用在轨道上的轮轨力 Frw ，是作用力与反作用力的关系。 Frw = {Fry Frz M rx }T ,
一般为桥梁单元的节间荷载，将其转换成桥梁单元的等效节点荷载，然后借助于桥梁
单元定位向量组集得到桥梁运动方程的右端项 Pb 求解桥梁的运动方程， Pb 可写成：
nw
∑ Pb = Fbw , i(Fbw y Fbw z M bw x ) （ nw 为桥上总轮对数） i =1
（11）
4.2 几何相容条件方面
当桥梁发生位移时，桥上轨道和桥一起产生位移，而轨道位移与轮对的位移存有一定的
协调关系，由此导致桥上车辆受到激振力，形成车辆运动方程的右端项。设考虑轨道不平顺
后的轨道中心位移为 urs ，即： urs ＝Trb ub ＋ ys
其中， Trb 为桥梁位移与轨道中心位移之间的转换矩阵。轨道中心的位移Ur 可由桥梁
θw
=
θb
＋
λe ya + 2l 0
zc
（12）
即为车桥接触点的几何相容条件式， i 代表一个轮对下的接触点。
由于在对桥梁进行有限元动力分析时，只能得到振动过程中每一时刻桥梁有限个节点的
位移，而轮对在桥面上的运动是连续的，因此，轮轨接触点出对应的桥梁截面的位移 ub 必
须根据轮对所处位置的桥梁单元两端节点的位移插值得到。
程可以写成如下形式：
M
vU
′′
v
+
CvU
′
v
+
K vU v
=
Pv
(7)
其中
M
v
、
CV
、
KV
为车辆质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；
U
′′
v
，
U
′
v
，U
v －车辆
自由度的位移、速度、加速度列向量；P v －振动过程中作用于车辆各自由度的荷载列向量。
{ } { ) M v = diag M C Jcy Mt Jty M t Jty ， Uv = ZC φC Zt1 φt1 Zt2 φt2 T ，
+
l1C1z
(−
Z
′
w1
+
Z
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w2
−
2l1φt′1 )
−
K 2φ
(φC
− φt1)
−C2φ (φc′ − φt′1) = 0
（4）
(5)后转向架浮沉 Zt2
M t Zt′′2
+
K1z
(2Zt2
−
Zw3
−
Zw4 )
+
C1z
(2Zt′2
−
Z
′
w3
−
Z
′
w4
)
−
K2Z
(Z
C
−Zt2
−
lφc )
−C2Z (ZC′ − Zt′2 − lφc′) = 0
截面形心的位移Ub 经过坐标转换得到， Ur ＝ Trb U b ； ys 是由于轨道不平顺引起的轨道
中心的位移向量，可写成： ys ＝{0
ya
zv
λe ya + zc 0 0 }T 2l 0
桥梁和车辆之间接触点处的几何相容条件为： uvi
=
u
i b
+
ys 。
由于轮对之间是紧密接触的，因此有： zw = zrs = −zb + exθb + zv
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车桥竖向耦合振动的研究及数值解法
曾婵娟
武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 (430070)
E-mail：chjzeng@163.com
摘 要：对于车桥耦合振动这一类复杂的问题，必须将轨道不平顺、车辆、桥梁三者作为一 个整体系统完整地进行研究，本文建立了较完善的车辆竖向分析模型和精确的轮对运动方 程，详细建立了车桥耦合关系，在此基础上，建立车桥系统控制方程，运用数值方法求解， 得到详细的求解步骤，可有效的分析高速车桥系统的动力学特性，为高速铁路桥梁的工程设 计提供理论依据。 关键词：竖向耦合振动，分析模型，轨道不平顺，数值方法
（5）
（6）后转向架点头 φt 2
J tyφt′′2
+ l1K1Z
(−Zw3
+
Zw4
−
2l1φt2 ) +
l1C1z
(−
Z
′
w3
+
Z
′
w4
−
2l1φt′2 )
−
K2φ (φC
− φt2 )
−C2φ (φc′ − φt′2 ) = 0
（6）
式中， l 为机车车体上两转向架中心之间的距离之半， l1 为轮对轴距之半。以上 6 个方
（1）假定初始条件：列车入桥前，桥梁的位移、速度和加速度为零；
（2）取 ∆t 时间段，由桥梁和轨道不平顺求解作用于车辆上的轮轨力，形成车辆运动方
程的右端荷载项；
（3）求解车辆振动方程，由 newmark − β 法得到 uv′t+∆t 、 uv′′t+∆t 、 uvt+∆t ；
（4）由车辆位移求解作用于桥梁上的轮轨力，形成桥梁运动方程的右端荷载项；
（二）考虑车体与前后转向架的浮沉与点头运动,共 6 个自由度的车辆竖向振动模型,该模
型按二系悬挂系统处理车辆,仍假定轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。
（三）考虑轮轨弹性接触的车辆竖向振动模型:即在上述模型的基础上,假定轮对与轨道为
弹性接触,各轮对竖向位移作为独立的自由度加以考虑。
本论文的研究考虑车体与转向架的浮沉与点头运动 6 个自由度，按二系悬挂系统处理车
辆，假定轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。车体与前后转向架轮对的运动方程可
以通过对各刚体逐一应用 D' Alembert 原理获得，运动方程式经整理后如下：
（1）车体浮沉 Zc
M
c
Z
′′
c
+
C2
z
[2
Z
′
c
−
Zt′1
−
Zt′2 ] +
K2z[2Zc
−
Zt1
−
Zt 2 ]
=
0
（1）
（2）车体点头φc
（5）求解桥梁振动方程，由 newmark − β 法得到 ub′t+∆t 、 ub′′t+∆t 、 ubt+∆t ；
（6）判断位移是否收敛，如果不收敛，采用 Aitken 加速迭代技术进行改善；进入下一 步，返回（2）重复迭代。
6. 结论
本文在总结和吸取前人研究成果的基础上，针对高速铁路列车－桥梁系统竖向耦合振动 问题而展开，旨在对车桥竖向系统的动力响应进行深入、细致的研究，充分认识车桥动力相 互作用的原理和车桥系统动力相应的规律，采用了较完善的机车车辆分析模型和精确的轮对 运动方程，详细建立了车桥耦合关系，即接触点处的几何相容条件和静力平衡条件，给出了 由于桥梁位移和轨道不平顺而引起的作用在车桥上的轮轨力，以及由于车辆位移引起的作用 在桥梁上的轮轨力，在此基础上，建立车桥系统控制方程运用数值方法求解，得到详细的求 解步骤，可有效的分析高速车桥系统的动力学特性，为工程设计提供依据。
桥梁车辆振动问题的研究一直得到国内外学者的普遍关注。列车通过桥梁时将引起桥 梁结构的振动，而桥梁的振动又反过来影响车辆的振动,这种相互作用、相互影响的问题就 是车辆与桥梁之间振动耦合的问题，随着车辆速度的提高、振动的加强,这种相互耦合作用 更加明显[1,2]。。
对于车桥系统的分析研究，本文采用将车桥系统以轮轨接触处为界，分为桥梁和车辆两 个子系统，分别建立车辆和桥梁的运动方程的方法，两者之间通过轮轨接触处的位移协调条 件与轮轨相互作用力的平衡关系相联系。
3. 轨道不平顺
轨道不平顺是指支承引导车轮的轨道接触面沿轨道延长与理论的平顺轨道面的偏差。它是列 车—桥梁相互作用的主要激励源之一,通常将轨道不平顺看成平稳的随机过程,采用数值模拟 的方法模拟。本研究采用德国高速低干扰轨道谱进行计算，利用三角级数模拟。德国高速低 干扰谱在科研和工程领域被广泛认可，被普遍认为是一种适用于进行高速铁路动力仿真分析
w1
−
Zw2
)
+
C1z
(2Z
′
t1
−
Z
′
w1
−
Z
′
w2
)
−
K2Z
(Z
C
−Zt1
+
lφc
)
−C2Z (ZC′ − Zt′1 + lφc′) = 0
（3）
（4）前转向架点头 φt1
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Jtyφt′1′ + l1K1Z (−Zw1
+
Zw2
−
2l φ1 t1)
2.2 桥梁运动方程
将桥梁结构离散成有限元模型，相应的桥梁节点运动方程式为：
M U ′′ + C U ′ + K U = Pb
(8)
M 、 C 、 K 分别为桥梁的质量阻尼和刚度矩阵。 Pb 为桥梁所受的整体外力向量,桥梁位移
向量U = {xb yb zb θb φb ψ b } T ，即由三个线位移和三个角位移组成。
示，可以采用 newmark − β 逐步积分法求解，将整个振动过程划分为许多个时间间隔 ∆T ,
按短时间增量计算响应，在每个时间间隔的起点和终点建立动力平衡条件，在每一时间采用
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迭代的解法，迭代的收敛条件是每一时刻车辆和桥梁的振动满足力的平衡和变形协调条件。 程序的迭代主要过程如下：
距离/m
图 1 德国低干扰不平顺谱高低不平顺的部分样本
1800
4. 车桥耦合关系的建立
车桥耦合关系体现为以下方面[5,6]：（一）轮轨接触处车辆位移与桥梁位移之间的几何 相容条件；（二）轮轨接触处轮轨相互作用力的静力平衡条件。
4.1 静力平衡方面
4.1.1 轮对的平衡方程
由 D' Alembert 原理，可以得到轮对的浮沉运动平衡方程：
Mw
Z
′′
w
-
M
wg
+
K1 y [ zwi
− ztj
− (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j
− (−1)i l1φt′j ] +
Nr
+ Nl = 0
其中， i 表示第 i 个轮对， j 表示第 j 个转向架；一系悬挂作用于轮对上的垂向力为
Fpzw = K1y[zwi − ztj − (−1)i l1φtj ] − C1z [z′w1 − zt′j − (−1)i l1φt′j ] ； Nr, Nl 为左右轮所受的法向 力；另外，在建立轮对运动方程时，忽略轮对垂向惯性力的影响，即 Mw Z ′′ w＝0。由此可
即轨道所受的竖向力、横向力和力矩，由接触点的静力平衡条件得到作用于桥梁上的轮轨力.
4.1.3 车辆作用于桥梁上的力
作用在轨道上的轮轨力 Frw 可近似认为全部传给桥梁，于是可将其从轨道坐标转换到桥
梁坐标系下，即：
Fbw = Tbr Frw
（10）
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由此可以由桥梁位移和轨道不平顺求得车辆运动方程的右端荷载项 Pv ，进行车辆振动
方程的求解。
5. 车辆振动方程组的数值模拟
至此，已经分别建立了车辆和桥梁的运动方程及耦合关系，整个车桥系统的运动由方程 式（7）～（12）控制，构成车桥系统的控制方程。
对于车桥耦合振动这样复杂的体系，由于参与振动的车厢节数、车辆位置均随着时间而 变化，因此车桥体系动力相互作用方程组为一时变方程组[7, 8,9]，其系数无法用单一的函数表
M C , M t 为 车 体 、 每 台 转 向 架 的 质 量 ， Jcy ， J ty 为 车 体 、 转 向 架 的 点 头 转 动 惯 量
w1, w2, w3, w4 表示轮对第 1－4 个轮对。 Z w 表示轮对浮沉自由度。
2. 桥梁的动力分析
2.1 桥梁模型
建立桥梁模型，一般两种方法——有限元法和模态坐标法。采用有限元方法，用空间 杆系单元以及板壳单元、实体单元来模拟桥梁结构,是目前建立桥梁分析模型的主流，实际 的桥梁结构十分复杂，往往还需采用板壳单元、实体单元与杆系单元一起结合来模拟桥梁结 构。
1. 车辆模型及运动方程
由于车辆竖向和横向振动之间的耦合效应较弱，往往将车桥竖向和横向振动分平面进
行。对于车辆的竖向振动研究，一般可以采用如下车辆振动模型[3,4]：
（一）考虑车体的浮沉与点头 2 个自由度的车辆竖向振动模型,车辆按一系悬挂系统考虑,
忽略转向架的质量,认为轮对的竖向加速度、速度及位移与桥梁一致。