矩阵多项式与多项式矩阵
第四章多项式与矩阵
第四章多项式与矩阵计划课时：24 学时( P l59-220)・§ 4.1带余除法多项式的整除性(2学时)教学目的及要求：理解多项式的定义及整除的定义，掌握带余除法及整除的性质教学重点、难点：带余除法及带余除法定理的证明本节内容分以下四个问题讲授：一. 多项式的定义(P159定义1), , 2 n -1 “ na0 a1x a2x m…"a n a n x注：在讲多项式的定义时，重点放在形式表达式上注意区分零多项式和零次多项式.二•消去律问题(P i6i推论4.1.2)f (x) = 0, f (x)g(x) = f (x)h(x)二g(x) = h(x)在证这个结论时要强调指出，并不是在上式两端除去f(x)而得结论，因为这时我们还没讲多项式的除法.三.带余除法仞1定理4.1.3)f (x) =g(x)q(x) r(x),g(x) =0,r(x) =0,或degr(x) < degg(x)这里要强调指出，用多项式g(x)去除f (x)时要求g(x)=0.注意：带余除法定理的证明是本章的难点之一。
先通过一个具体的例子来演示多项式的长除法。
四•整除的定义、性质以及整除的判定f (x)二u(x)g(x)注意到这里定义整除时用的是多项式的乘法，不涉及多项式的除法，因此由该定义就可得到：零多项式整除零多项式，0=g(x) 0，所以0|0 (而不能用记号 -).作业：P214, 1 , 2, 3, 4, 5.§4.2 最大公因式(4学时)教学目的及要求：理解最大公因式、互素的定义和性质，掌握辗转相除法教学重点、难点：1. 辗转相除法2. 辗转相除法的证明本节内容分以下三个问题讲授：—.最大公因式的定义(P l64 - 167).注意：1.最大公因式的最大性是由整除来体现的.2.最大公因式一定是存在的.二. 最大公因式的求法(P l66 - 167).(1)辗转相除的过程.(2)d(x)二f(x)u(x) g(x)v(x)注意：辗转相除过程中最后一个不为零的余式r s(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，推下去,容易得到r s(x) = f(x)u(x) g(x)v(x)但满足上式的u(x),v(x)不唯一(可举例说明).三. 多项式的互素(P170)注意:教材中讲的是多个多项式互素的问题.在讲授时，应详细讲解两个多项式互素问题：f (x)与g(x)互素= (f (x), g(x)) =1.另外，补充三个性质：(1) . (f(x),h(x)) =1,(g(x), h(x)) =1,则(f(x)g(x),h(x)) =1.(2) . h(x) f(x)g(x),且(h(x), f (x)) =1,则h(x) g(x).(3) . g(x) f (x), h(x) f (x),且(g(x),h(x)) =1,则g(x)h(x) f (x).注意下面两个结论的不同之处：(f (x),g(x)) =d(x)= f(x)u(x) g(x)v(x)二d(x)(f(x),g(x)) =1= f (x)u(x) g(x)v(x) =1作业：P215 7 , 8, 10, 11, 12, 19.§ 4.3 多项式的分解(4学时)教学目的及要求：理解不可约多项式、k重因式的定义，掌握它们的性质及因式分解唯一性定理教学重点、难点：因式分解存在与唯一性定理本节内容分为下面三个问题讲授：一. 不可约多项式的定义及性质(P170-172)(1) .不可约多项式是针对次数大于零的多项式而谈的•换句话说,我们不讨论零多项式与零次多项式的可约性问题•(2) .不可约多项式p(x)与任意多项式f(x)的关系是：要么(p(x), f(X)) =1 ,要么p(x) | f (x),仅仅只有一个成立•二. 多项式分解成不可约多项式的乘积与数域有关若F, F都是数域，且F F, f(x)・ F[x},则f(x)在F[x]中的不可约分解与 f (x)在F[x}中的不可约分解一般不同•例若f(x) =x4 -4, Q是有理数域，R是实数域•则在Q[x]中，f (x)的不可约分解是2 2f(x)=(x -2)(x 2).而在R[x]中，f (x)的不可约分解是f(x) =(x-、2)(x 、2)(x2• 2).三. 多项式的导数(P174的定义3)设f (x)二a0 a/ a2x2亠亠a n」x n」-a n x n记f (x)的导数为f (x),则f (x) =a1 2a2x (n_ 1)a n4x n^ na n x nJ这里导数的定义是纯粹形式上的.不涉及函数、连续、极限等概念.作业：P215 13 ，14，15，16，17，18.§ 4.4最大公因式的求法(I ) (2学时)教学目的及要求：理解矩阵的准等价、准初等变换、简单矩阵的定义，掌握用准初等变换将矩阵化为简单矩阵的方法教学重点、难点：1. 用准初等变换求多项式系的最大公因式的方法2. 定理4.4.7的证明本节内容分下面三个问题讲授：多项式系矩阵A 的最大公因式（R 75定义1 ） 注：给定一个矩阵A,则A 一定能确定一个多项式系 「fjx ）, f 2（x ）,…，f m （x ）l 而这m 个多项式的最大公因式又叫矩阵 A 的最大公因式. 二.矩阵的准等价与矩阵的准初等变换（R 76）A 三Bu A 与B 有相同的最大公因式,行数不一定等，列数也不一定相等相A 与B 准等价,A 是3行4列,B 是2行3列. 要注意到矩阵的准初等变换与矩阵的初等变换差别较大 三•准初等变换与矩阵最大公因式的关系 （R 77）定理445准初等变换不改变矩阵的最大公因式 .（证明略）.该定理的证明比较长，但并不复杂•可由3个引理直接得到，这样的证明简明扼要• 有了定理445,定理446,定理447,便得到了求多个多项式最大公因式的矩阵求法例2给出了求8个多项式最大公因式的矩阵准初等变换法 •与辗转相除法比较，该方法优越的多•作业：P 215-21620.§ 4.5最大公因式的矩阵求法（II ） （4学时）教学目的及要求： 掌握用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法 教学重点、难点：1. 用X-矩阵的行初等变换求多项式的最大公因式的方法2. 定理4.5.3的证明本节内容分下面四个问题讲授： 一.方法（I ）与方法（I ）的区别.§ 4.4的例2给出了求f,X ）, f 2（X ）,f 8（X ）最大公因式的矩阵准初等变换法.它们的最大公0 -1 0 例如 A = 0 1 0 -10 2 -2 B 』3 0 4 <0 1 一1 丿注：两个矩阵准等价时因式是(X-1).因此一定有u1 (x), u2 (x)^ , u8(x)使f i（x）U i（x） f2（x）U2（x）：”-h f8（X）U8（X）=X — 1.但方法(I)并没有告诉我们U i (x),U2(x)^ ,U8(x)如何求•本节讲的方法(n )就弥补了这一点.二.x-矩阵与初等变换(P182)⑴ 以F[x]中多项式为元素的矩阵称为F上的x-矩阵，根据这一定义，以数为元素的矩阵是x-矩阵的特殊情形•换句话说，以数域F上的数为元素的矩阵也是F上的x-矩阵•此时矩阵中的元素是零多项式或者零次多项式•⑵ 由于以F上的为元素的矩阵也是x-矩阵，因此，通常讲的矩阵的初等变换必是x-矩阵的初等变换的特殊情形•三• n个基本结论(P182」84)引理 4.5.1 ，定理 4.5.2 ,定理4.5.3.(证明略).在上述几个结论的支持下，可得到求多项式f'x), f2(x)，…,f s(x)最大公因式d(x),并同时可求出相应的U i(x)，U2(x)，，U s(x)使得f^xlu^x) f2(x)U2(x) f s(x)U s(x) =d(x)详细讲解例1( P185).作业：P216 21 ( 1)，22.§ 4.6多项式的根(4学时)教学目的及要求：理解多项式函数、k重根的定义及相关理论，理解代数学基本定理及韦达定理,掌握综合除法、有理根的筛选法教学重点、难点：1. 综合除法、多项式根的个数、有理根的筛选法2. 定理4.6.9的证明本节内容可分下面四个问题讲授:•从函数的观点看多项式(P187)前面我们总是把多项式看做形式表达式本节我们将从函数的视角考察多项式f（x）二a n X n ' a n_x n4「' a1X ' a。
第二章 矩阵的标准型
d1 d 2 求史密斯标准型的方法 ：A d r 0 0
2014年12月20日 沈阳理工大学 13
P32例4设A 为6 6阶 - 矩阵，RA 4, 初等因子组为
13， - 1， - 1 ，2，2， 1， 试求A 的不变因子，行列式因 子，史密斯标准型 . 解：不变因子： 行列式因子： 3 d 4 2 1 - 1 D1 d1 1 d 3 2 1 - 1 D2 d 2 D1 d 2 D3 d 3 D2 3 1 - 1 d1 1 4 2 5 D4 d 4 D3 1 - 1
注： (1) 矩阵A 的史密斯标准形 S ( )对角线
为A 的不变因子。
上的元素为A 的不变因子； (2)d k 1 d k , (k 2,3, r );
(3)求A 的史密斯标准形方法 2 : 不变因子法。
2014年12月20日 沈阳理工大学 12
相似矩阵
若A ∽B , 则
2
沈阳理工大学 7
练习1
1- 求A 1 2
2 - 的史密斯标准型 2 1 - 2
- - 2
2 1
练习2：P 中第一小题 541
2014年12月20日
2 1 2 1 1- 1 2 ~ 2 0 1 2 1 2 1 - 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 2 ~ 0 - - ~ 0 0 0 2 - 2 - 2 1 S 2 1
多项式矩阵理论
如何求gcd 以gcrd为例.
Why:
04级研究生《线性系统理论》教案
Gcd 的性质 以gcrd为例 gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:
(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.
04级研究生《线性系统理论》教案
非既约矩阵的既约化
1
通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。
2
实质：降低行或列的次数
3
含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。
4
实现既约化以后，次数不能被降低了。
5
6.12 Smith形
史密斯形的特征
04级研究生《线性系统理论》教案
特征： Smith形的求法 见书。 对Smith形的一些讨论 对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）
次数
6.10 列次数和行次数
03
01
02
04级研究生《线性系统理论》教案
如
多项式矩阵的列（行）次表示式
列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，
1
2
行次表示式
6.11 既约性
一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
多项式矩矩阵
多项式矩矩阵多项式矩阵（Polynomial Matrix）是一种特殊的矩阵形式，它的每个元素都是一个多项式。
多项式矩阵在数学和工程领域中有广泛的应用，特别是在信号处理、控制系统和密码学等领域。
我们来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数和变量的乘积相加而得到的表达式，例如2x² + 3x + 1就是一个二次多项式。
而多项式矩阵则是将多项式作为矩阵的元素，构成的一个矩阵形式。
多项式矩阵的表示形式为：P = [P₁(x) P₂(x) ... Pₙ(x)]其中P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)是多项式。
这个矩阵的元素可以是标量，也可以是多项式。
多项式矩阵的加法和乘法运算与普通矩阵类似，只是将加法和乘法运算定义在多项式集合上。
多项式矩阵的加法运算是对应元素相加，乘法运算是将每个元素与另一个矩阵的对应元素相乘后再相加。
多项式矩阵的加法可以表示为：[P] + [Q] = [P₁(x) + Q₁(x) P₂(x) + Q₂(x) ... Pₙ(x) + Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法可以表示为：[P] · [Q] = [P₁(x)Q₁(x) + P₂(x)Q₃(x) + ... + Pₙ(x)Qₙ(x)]多项式矩阵的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律，即[P] · [Q] ≠ [Q] · [P]。
这是因为多项式乘法不满足交换律。
多项式矩阵还可以进行转置运算，转置运算是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
多项式矩阵的转置运算可以表示为：[P]ᵀ = [P₁(x)ᵀ P₂(x)ᵀ ... Pₙ(x)ᵀ]其中P₁(x)ᵀ、P₂(x)ᵀ、...、Pₙ(x)ᵀ分别表示P₁(x)、P₂(x)、...、Pₙ(x)的转置。
多项式矩阵的求逆运算是指对于一个可逆的多项式矩阵[P]，存在一个多项式矩阵[Q]，使得[P] · [Q] = [Q] · [P] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
矩阵的最小多项式和特征多项式
矩阵的最小多项式和特征多项式矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
矩阵的最小多项式和特征多项式是研究矩阵性质的重要工具，它们能够揭示矩阵的内在结构和特征。
我们来介绍矩阵的特征多项式。
给定一个n阶方阵A，特征多项式是一个关于变量λ的多项式，记作p(λ)=|A-λI|，其中I是单位矩阵。
特征多项式的根称为矩阵的特征值，它们是方程p(λ)=0的解。
特征值具有重要的几何和物理意义，它们描述了矩阵A对向量空间的变换效果。
特征多项式的计算比较简单，只需要计算矩阵A与单位矩阵I的差的行列式。
例如，对于一个二阶矩阵A，特征多项式为p(λ)=|A-λI|=λ^2-(a+d)λ+ad-bc，其中a、b、c、d是矩阵A的元素。
特征多项式的根不仅与矩阵的性质相关，还与矩阵的最小多项式密切相关。
矩阵的最小多项式是一个次数最低的首一多项式，使得它在矩阵A上为零。
最小多项式的根是矩阵的特征值，但一个特征值可能对应多个最小多项式。
矩阵的最小多项式与特征多项式之间存在着重要的关系。
根据代数学基本定理，一个n阶矩阵A的最小多项式至少有一个一次因子，这个一次因子的根就是矩阵A的特征值。
而特征多项式是最小多项式的一个因子，因此特征值也是最小多项式的根。
矩阵的最小多项式不仅可以帮助我们求解特征值，还可以揭示矩阵的内在结构。
例如，一个矩阵的最小多项式是一个一次多项式，说明矩阵A是一个可逆矩阵。
而一个矩阵的最小多项式是一个二次多项式，说明矩阵A是一个不可逆矩阵。
通过研究矩阵的最小多项式和特征多项式，我们可以得到矩阵的若干重要性质。
例如，我们可以根据特征多项式的根的个数和重复次数，判断矩阵的可对角化性。
如果特征多项式的根都是单根，即重复次数为1，则矩阵是可对角化的。
如果特征多项式的根有重复根，则矩阵不可对角化。
通过矩阵的最小多项式，我们还可以得到矩阵的Jordan标准形。
Jordan标准形是一种特殊的矩阵形式，它可以将矩阵分解为若干个Jordan块的直和。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomialmatrix）是指将多项式作为元素，构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构，可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论（matrix theory）的范畴，主要涉及求解系统矩阵方程，求解极大值问题，求解微分方程等等。
定义：设有一个n阶矩阵A，它的元素均由单项式组成，则称A为多项式矩阵。
特别地，若A的元素均为实数项式，则称A为实数多项式矩阵；若A的元素均为复数项式，则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括：1、交换律：多项式矩阵间的加法满足交换律，即A+B=B+A，其中A，B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律：多项式矩阵间的加法满足结合律，即（A+B）+C=A+(B+C)，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律：多项式矩阵的加法满足元素恒等律，即若A+B=C，则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性：若A+B=C，则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素，其中A，B，C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性：若A与B的任意一个元素相乘，其积仍然是多项式，则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程：利用多项式矩阵的可加性和可积性，可以用于求解系统矩阵方程，即（A+B）X=C，其中A，B，C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题：多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题，即求解如何使多项式函数达到最大值，从而解决求极值问题。
3、求解微分方程：多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程，通过解决多项式微分方程，可以求出曲线的极值，解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理：多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号，如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题，它涉及的主要研究领域包括：1、多项式线性方程组的求解：多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组，即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵（polynomial matrix）是由多项式组成的矩阵。
它在数学和工程领域有着广泛的应用，尤其在控制论、信号处理和图像处理等领域中扮演着重要角色。
本文将介绍多项式矩阵的定义、基本性质和一些应用。
首先，我们来定义多项式矩阵。
一个m行n列的多项式矩阵可以写为：[P] = [P11, P12, ..., P1n;P21, P22, ..., P2n;...Pm1, Pm2, ..., Pmn]其中Pij是一个多项式，表示矩阵的第i行第j列的元素。
多项式可以是任意阶数的，可以包含常数项、线性项、二次项等。
这个定义与一般的实数矩阵相似，只是矩阵中的元素是多项式而不是实数。
接下来，我们将讨论多项式矩阵的一些基本性质。
首先，多项式矩阵的加法和减法与实数矩阵的加法和减法类似，只需对应位置上的多项式进行相加或相减。
例如，矩阵[P] + [Q]的第i行第j列的元素为Pij + Qij。
同样，矩阵[P] - [Q]的第i行第j列的元素为Pij - Qij。
多项式矩阵的乘法也有所不同。
在实数矩阵中，矩阵的乘法是通过将一行的元素与另一列的元素逐个相乘，然后求和得到的。
而在多项式矩阵中，我们需要使用多项式的乘法规则。
具体地说，矩阵[P]和[Q]的乘积[PQ]的第i行第j列的元素为多项式Pi1 * Q1j + Pi2 * Q2j + ... + Pin * Qnj。
注意，Pi1和Q1j是对应位置上的多项式，它们相乘后得到一个新的多项式。
多项式矩阵还有一个重要的性质是可逆性。
一个多项式矩阵[P]是可逆的，如果存在一个多项式矩阵[Q]，使得[PQ] = [QP] = [I]，其中[I]是单位矩阵。
这个性质类似于实数矩阵的可逆性。
当一个多项式矩阵可逆时，我们可以使用矩阵的逆矩阵来解线性方程组，计算行列式等。
多项式矩阵在控制论中有着广泛的应用。
在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来调节系统的行为。
多项式矩阵可以用来表示系统的状态空间方程和传输函数。
第5节-矩阵多项式
A的最小多项式为
I A
() 1
=(+1)2
设 f 100, A的最小多项式为 12 因此可设 f g a b, 即
100 g 12 a b, 由 1 1 0 可得：
1 a b 100 a
解得：
a 100 b 99
又由 A 0 可得： f A 100 A 99I
例：主对角元为0 的n阶Jordan 块J的最小多项式为 P( ) = (- 0 )n
例：主对角元为0 的n阶Jordan形 J=diag (J1, J2, …, Js )的最小多项式为
P( ) = (- 0 ) k 其中k是J的Jordan块 Ji 的最大阶数。
最小多项式的性质
（1）矩阵A的任意化零多项式能被A的最小多项式整除。 （2）相似矩阵有相同的最小多项式。 （3）矩阵A的特征多项式与最小多项式有相同的根。 证明
f () ( 1)m1 ( 2 )m2 ( s )ms 设A的Jordan标准形为J diag(J1, J2 ,, Jt )
其中，Ji为Jordan块
且设 A PJP1
则有 f (A) Pf (J )P1
pdiag( f (J1), f (J2 ),, f (Jt )) P1
O
例设
2
0 5
( 1)2
A的第3个不变因子为(+1)2 ,则A的最小多项式为( I A 3 1 6 ( 1)3
2 0 5 • 由于A的特征多项式与最小多项式有相同的根 • 故A的最小多项式具有下列形式为
（ ）= (+1)k , k =1或2或3
即：若 为矩阵A的特征值，则 p为 的p特A征 值。
化零多项式
• 设p（z）是复数域上的多项式，A是n阶矩阵，如
矩阵的最小多项式和特征多项式
矩阵的最小多项式和特征多项式
最小多项式和特征多项式是两类重要的关于矩阵特性的多项式。
这两类多项式在线性代数和矩阵理论中扮演着重要角色，可用于分析矩阵的性质，解一类矩阵
模型问题。
首先，我们来说一说什么是最小多项式。
设A为n阶矩阵，如果存在一个次数最小的多项式f(x)使得f(A)=0，那么我们称f(x)为矩阵A的最小多项式。
特别的，
如果f(x)的系数是实数，我们称f(x)为矩阵A的最小实多项式。
最小多项式是研究
矩阵性质非常重要的一种工具，也是矩阵可对角化的必要条件。
再说说特征多项式。
定义对方阵 A，设xI-A的行列式为多项式det(xI-A)，则
称det(xI-A)为矩阵 A 的特征多项式。
特征多项式的根就是矩阵的特征值，特征多
项式的次数等于矩阵的秩。
特征多项式是分析矩阵性质和解方程的重要工具，例
如用于求解矩阵的特征值和特征向量。
最小多项式与特征多项式的关系是十分紧密的。
首先，它们之间具有包含关系，即最小多项式的因子一定是特征多项式的因子。
其次，使用最小多项式可以得到
一种判断方阵对角化的方法。
如果一个矩阵的最小多项式可以分解为一次因数的乘积，则该矩阵能够对角化。
最后，特征多项式及其根决定了矩阵的谱，最小多项式的性质又可以进一步揭示矩阵谱的划分和特性。
以上所述，就是关于矩阵的最小多项式和特征多项式的基本知识。
对于更深入的矩阵理论或应用问题，如求解某一特定矩阵的最小多项式或特征多项式，还需配合其它数学方法和工具，如特征值、特征向量、矩阵行列式等进行解析。
第九章__多项式矩阵
例3 ：求下列矩阵的最小多项式
(1)
3 2 2 B=1 8 2 −2 −14 −3
−1 −2 6 (3) C = −1 0 3 −1 −1 4
n
n −1
+ L + a1 A + a 0 I
−1= an (ຫໍສະໝຸດ PJP = P (an Jn
−1
) + a n −1 ( P J P
n −1
)
n −1
+
−1
L + a1 ( P J P = Pf (J )P
−1
) + a0I
n −1
+ a n −1 J
+ L + a1 J + a 0 I ) P
−1
di
例2 ：已知对角块矩阵 A = diag( A1 , A2 ,L , Ar ) ,而 而
m1 (λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 分别为子块 A1 , A2 ,L , Ar
的最小多项式， 的最小多项式，则 A 的最小多项式为
[m1 ( λ ), m2 (λ ),L , mr (λ )] 的最小公倍数。 即为 m1 ( λ ), m2 ( λ ),L , mr ( λ ) 的最小公倍数。
3 0 (4) D = 0 0
1 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 5
解： （1）首先求出其 ）首先求出其Jordan标准形为 标准形为
−1 J =0 0 所以其最小多项式为
0 −1 1 0 −1 0
( λ + 1) 。
第二章多项式矩阵
第二章多项式矩阵本章主要讲授多项式矩阵的基本概念和理论, 包括多项式矩阵的余数定理、Smith标准型定理和多项式矩阵的理想、互质等。
多项式矩阵的理论也是讲授第三章的重要基础。
§2.1 多项式矩阵记号：实数域R ，复数域C 。
记[]m nR λ×为n m ×的实系数多项式矩阵全体，[]m nC λ×为n m ×的复系数多项式矩阵全体。
容易验证,[]m nC λ×和[]m nR λ×分别为域C 和R 上的线性空间，[][]nn nn R C ××λλ分别为域C 和R 上的线性代数。
[]nm C A ×∈∀λλ)(,有[]λλC a ij ∈)(N N ijij ijij a a a a λλλ)()1()0()(L ++=其中令[]{})(deg max λij a N =. 则有()NNA A A A A λλλλ++++=L 2210, 其中()mxnl ijl Ca A ∈=)(。
多项式矩阵)(λA 可以看成为系数矩阵的多项式, N 称为是)(λA 的次数, 记为()[]λA N deg =注意：如果0)(=λA 则称)(λA 没有次数定义1（正则）若[]nn NN C A A A A ×∈+++=λλλλ01)(L , 且[]0det ≠N A , 则称)(λA 是正则的。
()λA 正则⇒[]n N A ×=))(det(deg λ 其中, det[()]A λ的n N ×次项系数即)det(N A定理1若)()(),(λλλA C B A nn 且×∈正则, 则∃唯一的)(1λQ 和)(1λR , 使)()()()(11λλλλR A Q B += (*)且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或, 同样, ∃唯一的)(2λQ 和)(2λR 使()())()(22λλλλR Q A B += (**)且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明： 若[][])(deg )(deg λλA B <, 则令01=Q , B R =1, 定理得证.若[][]N A B M =≥=)(deg )(deg λλ 记N M p −=, 然后令[]nn p p pp C QQQ Q ×−−∈+++=λλλλ)0(1)1()(1)(L由（*）式可以推出[][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−=−−−−=−==−−+−−−−−−−−−)()()()(1111)1(1)1()()0(11)(1)1(1)(λλλλA Q B R A A Q A Q A Q B Q A A Q B QA B Q N N p N p p N p p M N N p M p N M p L L可以验证Q 1(λ)和R 1(λ)满足定理要求.唯一性：即只需证0)(0)(0)()()()(1111==⇒=+=λλλλλλR Q R A Q B 时 假设Q 1(λ)≠00)()(1)0(1)1(1)(11≠+++=L L L Q Q Q Q Q λλλLL +=++NL N L A QR A Q λλλλ)(111)()()(由[]00det )(1≠⇒≠N L N A Q A 此时)()()(11λλλR A Q +不可能=0⇒矛盾 同理可证(**)式 #定理 2 nn C A ×∈][)(λλ正则, []nm C B ×∈λλ)(,则∃唯一的[]nm C R Q ×∈λλλ)(),(11使（*）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 11=<λλλR A R 或；m m C A ×∈][)(λλ正则, []n m C B ×∈λλ)(, 则∃唯一的[]n m C R Q ×∈λλλ)(),(22使（**）成立, 且[][]0)()(deg )(deg 22=<λλλR A R 或.证明：仿定理1 #以上两个定理可以叫作多项式矩阵的余数定理.定义2（多项式矩阵的秩）nm C A ×∈][)(λλ, r 称为A （λ）的秩并记)]([λA rank r =,系指)(λA 的任何k ≥ r +1阶子式均为C （λ）中的零, 而A (λ)至少存在一个r 阶子式是C [λ]中的非零多项式.例：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=112)(22λλλλA 非正则但r = 2 ⇒ 非奇异 {一般多项式矩阵}⊃{满行秩或满列秩多项式矩阵}⊃{非奇异多项式矩阵}⊃{正则多项式方阵}⊃{}A I n −λ§2.2 Smith 标准型定义3（单模态矩阵）mxmC M )()(λλ∈称为单模态的, 系指0)](det[≠∈=ααλCM 常数定义4（初等矩阵）mm C ×][λ中三类[][]mj i j i j i ij m i i i i e e e e e e e e K C e e e e e K L L L L L ,,,,,,,,0,,,,,,,)(11111111+−+−+−=≠∈=αααα[][]][)(,,)(,,,,)(11λλαλαλαC e e e e e e K m i j j i ij ∈+=−L L L对A (λ)左乘相当于作行初等变换, 右乘相当于作列初等变换, 其中第3类不同于mm C ×中的初等矩阵初等矩阵的性质： 1 它的逆仍为初等矩阵2初等矩阵与单模态矩阵的关系：初等矩阵是单模态矩阵, 多个初等矩阵之积也是单模态矩阵.定义5（等价）nm C B A ×∈][)(),(λλλ称为是等价的, 系指存在m m sC M M ×∈][,1λL , nn t C N N ×∈][,1λL 均初等矩阵, 使t s N N N A M M B L L 211)()(λλ=容易证明：1．反身性：任何A (λ)与自身等价2．对称性：B (λ)与A (λ)等价⇔ A (λ)与B (λ)等价3．传递性：C (λ)与B (λ)等价, B (λ)与A (λ)等价⇒ C (λ)与A (λ)等价.定义6（行列式因子）nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则对自然数j ≤ r , A (λ)中必有非零j 阶子式, A (λ)中全部j 阶子式的（首一）最大公因式d j (λ)称为A (λ)的j 阶行列式因子.定理3nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则其各阶行列式因子d j (λ), j ≤r 有 r j d d j j ≤−)()(1λλ其中1)(0=λd证明：A (λ)的j 阶子式可以写成j -1阶子式以多项式为系数的线性组合, 因此, )()(1λλA d j −任一j 阶子式)()(1λλj j d d −⇒#定义7（不变因子） nm C A ×∈][)(λλ, []r A rank =)(λ, 则称)(/)()(1λλλσ−=i i i d d , r i ≤为A (λ)的不变因子.定理4 在nm C ×][λ中)()(.λλB A ⎯→←, 以)(),(λλ∧k k d d 分别表示A （λ）和B （λ）的k 阶行列式因子, 则1 [][])()(λλB rank A rank =2 [])()()(λλλA rank r k d d k k =≤=∧3 )(λA 和)(λB 有相同的不变因子.证明：容易验证初等矩阵左乘和右乘均不改变)(λA 的行列式因子, 所以结论1、2、3易证. #下面来证上述定理的逆命题.引理 1 nm ijC A ×∈=][))(()(λλαλ, 若0)(11≠λα又)(11λα不能除尽某个)(λαij , 则)()(λλA B ↔∃且[][])(deg )(deg 1111λαλβ<证明：根据不能为)(11λα除尽的元)(λαij 所处位置分为三种情形. (1) 设)(1λαi 不能为)(11λα除尽, 则有 [])](deg[)(deg )()()()(11111λαλδλδλγλαλα<+=i考虑初等矩阵[])(1λγ−i k[]))(~()(~)()(1λαλλλγiji A A K ==−其中)()(~1λδλα=i令)(~)(1λλA K B i = 则)()(.λλA B ⎯→← 且)(11λδβ=即[][])(deg )(deg 1111λαλβ< (2)设)(1λαj 不能为)(11λα除尽,证明与(1)相仿. (3) 若)(1λαi 和)(1λαj 都可被)(11λα除尽, 其中n j mi ≤≤但kl α∃不能为)(11λα除尽, 令[])()(1)(~1λλγλA K A k −=,其中)(λγ是1k α除以11α的商, 即)()()(111λαλγλα=k .此时 )(~λA 元)(~λαij 有111~αα=k , )1(~1γααα−⋅+=l kl kl . 令))(()(~)(1λγλλij k A K C =⋅=于是11111~ααγ==k ,)1(~11γαααγ−⋅+==l kl kl l . 于是l 1γ不能为11γ除尽, ⇒（2） #引理2 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=−−01)(001)(1212n n mm I N I M M L ML δδλγγλ 均为初等矩阵之积, 其中γi , δj 为多项式 证明：[][][])()()()(1331221λγλγλγλm m K K K M L =[][][])()()()(21211,11λδλδλδλK K K N n n n n L −−= [][][])()()(1313212λδλδλδn n K K K L = #引理3 nm C A ×∈][)(λλ,若 n j m i ij ≤≤αα11, 则有)(00)(.'11λαλA B B ⎯→←⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=, 且B’的元均能被11α除尽. 证明：因为 n j m i ij ≤≤αα11, 所以)()()(11λλαλC A ⋅=.记⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D gf C T 1)(λ, 其中1)1(][)(×−∈m C g λλ,)1(1][)(−×∈n C f λλ,)1()1(][)(−×−∈n m C D λλ.令 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(m I g M λ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−101)(n TI f N λ. 由引理2可知, M 、N 为初等矩阵之积.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−='111100001)(B gf D MAN T αλα, 其中])[(11'Tgf D B −=λα, 且B ’的元均能被11α除尽. #定理5（Smith 标准型定理）nm C A ×∈)()(λλ,[]r A rank =)(λ 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡↔000)()(λλS A (Smith 标准形)其中[])(),(),()(21λσλσλσλr diag S L =, 且1),()(1−≤+r i i i λσλσ 证明：假设m ≥ n , 对A (λ)的列数n 用归纳法 (Ⅰ) n=1时,令[]Tm A )(),()(1λαλαλL =,则1 若m i i ≤≤2)()(1λαλα则由引理3[]TA 0,0,)(11.L αλ⎯→←2 若有i α不能为1α除尽,由引理1可知有[][])(deg )(deg )()(1111.λαλβλλ<⎯→←A B若)(λB 满足条件1则结论成立, 否则又可有[][])(deg )(deg )()()(11)1(11..1λβλβλλλ<⎯→←⎯→←A B B这样重复下去, 就能有矩阵与A （λ）等价且满足条件1 所以, n =1时定理成立 (Ⅱ)假设n = l -1时定理成立 (Ⅲ)当n = l 时 1 若lj mi ij ≤≤αα11则由引理3有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎯→←'00)(11.B A αλ其中B ’的元均能被11α除尽, 由于B ’之列数l -1且[]1'−=r B rank , 按(Ⅱ)有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎯→←000'1.S B[][])1()1(321,,−×−∈=r r r C diag S λσσσL且1,2|1−=+r i i i L σσ显然2σ是B ’的一阶行列式因子, 而行列式因子对于等价矩阵是不变量, 这表明2σ是B '各元的最大公因子, 同此211|σα, 令111ασ=则定理得证.2 若存在ij α不能为11α除尽, 则由引理1可知,存在)()(.λλA B ⎯→←且[][]1111deg deg αβ<, 仿照n=1情形中条件2, 总能找到)()(~.λλA A ⎯→←使l j m i ij ≤≤,,~)(~11αλα.这就归结到条件1. #推论 1 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡000)(λS 是nm C A ×∈][)(λλ的Smith 标准形, 则)(),(),(21λσλσλσr L 是 A （λ）的不变因子, )()()(21λσλσλσk L 是A （λ）的k 阶行列式因子.推论2 对nm C A ×∈][)(λλ，则其Smith 标准形唯一. 推论 3 若n m C A ×∈][)(λλ和nm C B ×∈][)(λλ的行列式因子或不变因子相同，则)()(.λλB A ⎯→←定理6 在n n C ×][λ中下述提法等价1 mm C M ×∈][)(λλ是单模态2 m I M ↔&)(λ 3 M (λ)是初等矩阵之积4 []mm C M M ×−∈][)()(1λλλ和证明: 1°⇒2°: 由于[]m M rark =)(λ则有],,,[)(21.m diag M σσσλL ⎯→← 由det[M (λ)]为常数, []{}m diag σσσL ,,det 21=m σσσL 21为常数（非零）m σσσL ,,21⇒均非零常数（首一）⇒2°2°⇒3° 显然3°⇒4° 初等矩阵之逆仍为初等矩阵4°⇒1° [][]1)(det )(det 1=⋅−λλM M[]=⇒)(det λM 非零常数 #§2.3 多项式矩阵的理想与互质（自学） 定义8（理想） 设nn C M ×⊂][λ是nn C ×][λ的子空间, 又具性质nn C B M A MA B ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M是nn C ×][λ的一个左理想.若M 具性质nn C B M A MB A ×∈∈∀∈][)(,)()()(λλλλλ则称M 是nn C ×][λ的一个右理想例：{}nn LC B A B X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ（其中n n C A ×∈][)(λλ）是nn C ×][λ的一个左理想.{}nn R C B B A X X A ×∈∀==][)(),()()()())((λλλλλλλ是nn C ×][λ的一个右理想.其中A (λ)称为它们的生成元.定理7 若nn C M ×∈][)(λλ是单模态, 则1° n n LL C A A M A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ2° n n R R C A M A A ×∈∀=][)())()(())((λλλλλ证明：1°L L L A M A M M A A M L))()(())()()(())(())()((1λλλλλλλλ⊂=⊂− ()()L L A M A )()()(λλλ=⇒ 2° 同上可证 # 定理8 n n C M ×∈][)(λλ则M 是单模态当且仅当()()R L n n M M C )()(][λλλ==×证明：n n Rn L n C I I ×==][)()(λ 当：()L n n nM C I )(][λλ=∈×()()1)(det )(det )()(=⇒=∴λλλλM N M N I n())(det λM ⇒为非零常数)(λM ⇒单模态“仅当”：由定理7, 令n I A =)(λ即可 #定义9（多项式矩阵生成的理想）若,,][)(r i C A nn i≤∈×λλ则 ()()()L r L L A A A M )()()(21λλλ+++=L 称为r i A i ≤),(λ生成的左理想, 而()()()R r R R A A A N )()()(21λλλ+++=L 称为由r i A i ≤),(λ生成的右理想定义10（互质）r i A i ≤),(λ称为左互质, 是指()()()n n Rr R R C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL而r i A i ≤),(λ称为右互质, 是指()()()n n Lr L L C A A A ×=+++][)()()(21λλλλL定理9 r i A i ≤),(λ左互质当且仅当多项式矩阵方程n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.右互质当且仅当n r r I A Y A Y A Y =+++)()()()()()(2211λλλλλλL 有解.证明：r i A i ≤),(λ左互质()()()R r R R n n A A A C )()()(][21λλλλ+++=⇔×L)()()()()()(2211λλλλλλr r n X A X A X A I +++=⇔L 有解同理可证右互质情形. #定理10 r i C A nn i ≤∈×][)(λλ, 则下面各条件等价1° r i A i ≤),(λ是左互质的2°若[]rnn r C A A A A ×∈=][)()(),()(21λλλλλL则[]C nA rank ∈∀=00)(λλ3°[][]0,0,)()(),(),(21L L n rI A A A A ⎯→←=⋅λλλλ 证明:1°⇒2°⇒3°⇒1°1°⇒2° 由定理9可知有n r r I X A X A X A =+++)()()()()()(2211λλλλλλL记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=)()()()(21λλλλr X X X X 则有n i I X A =)()(λλn I X A C =∈∀)()(o o o λλλ2°⇒3° 由[]C n A rank ∈∀=o o λλ)([]0,0),()(L λλS A ⎯→←⇒⋅其中[])(),(),()(21λσλσλσλn diag S L = 且[]n S rank =)(0λn i i ≤⇒)(λσ均无任何根(在C 中))(λσi ⇒均为非零常数 ⇒考虑首一 n I S =)(λ3°⇒1° 存在单模态矩阵nn C M ×∈][)(λλ和rnrn C N ×∈][)(λλ, 使 [][]0,,0,)()()(),(),(21L L n r I M N A A A λλλλλ=记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=)(,),()(,),()(,),()(1221111λλλλλλλrr r r r N N N N N N N L LL L nn ij C N ×∈][)(λλ则)()(),()(111111λλλλ−−==M N X M N X r r L 可使n r r I X A X A =++)()()()(11λλλλL#同理可以证明下面定理定理11 r i C A n n i ≤∈×][)(λλ,则下述条件等价:1 r i A i ≤),(λ是右互质的2 C n A rank A A A r ∈∀=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=00~1~)()()()(λλλλλM3 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛⎯→←00)(.~M n I A λ定义11 (公因子) n n C A ×∈][)(λλ,若存在nn C C B ×∈][)(),(λλλ,使)()()(λλλC B A =,则B (λ)称为A (λ)的一个左因子, C (λ)称为A (λ)的一个右因子.若B (λ)同为A i (λ)r i ≤的左因子, 则B (λ)称为A i (λ)r i ≤的左公因子. 若F(λ)为A i (λ)r i ≤的左公因子且A i (λ)的任意左公因子都是F (λ)的左因子, 则F (λ)称为)(λi A 的最大左公因子.相似的可以有右公因子和最大右公因子的概念.定理12 n n i C A ×∈][)(λλr i ≤为左互质当且仅当其最大左公因子是单模态矩阵,而右互质当且仅当其最大右公因子是单模态矩阵.证明：左互质情形“当”：设D(λ)是单模态矩阵且为A i (λ),r i ≤的最大左公因子, 则有r i C B n n i ≤∈×][)(λλ使)()()(λλλi i B D A =令[]rn n r C A A A ×∈=][)(),()(1λλλλL 则[]n A rank ≤)(λ无妨记A(λ)的Smith 标准形为[]0,0),(L λS , 于是有单模态矩阵n n C M ×∈][)(λλ和rn rn C N ×∈][)(λλ, 使[])(0,0),()()(λλλλN S M A L =.记⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=rr r r r r N N N N N N N N N N L L L 212221211211)(λ,则有()()r r N N N MS A A A 1121121,,,,L L =⇒MS 是)(λi A 的左公因子⇒n n C F ×∈∃][)(λλ使MSF=D因为 det(D )为非零常数所以 det(S(λ))也为非零常数n I S ⎯→←⇒⋅)(λ [][]0,0,)(),(1L L n rI A A ⎯→←⋅λλ 由定理10 )(λi A ⇒左互质“仅当”：由n n iC A ×∈][)(λλr i ≤为左互质 可以推出 r i C X nn i ≤∈∃×][)(λλ使n r r I X A X A X A =++L 2211设D 是)(λi A 的最大左公因子, A i =DB i则上式变成[][]1det ))(det(1111=++⋅=++r r nr r X B X B D I X B X B DL L λ())(det λD ⇒为非零常数)(λD ⇒单模态.类似地可证右互质情形.#作业：1．求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−20012021λλλλ和的不变因子和Smith 标准形。
矩阵的多项式
矩阵的多项式在数学中，矩阵的多项式是指由矩阵构成的多项式。
它在矩阵论、线性代数和数值计算中都有广泛的应用。
本文将从以下几个方面介绍矩阵的多项式：定义、特征值、Jordan标准型、求解和应用。
一、定义设A为n阶方阵，多项式f(x)=a0+a1*x+a2*x^2+···+am*x^m(a0,a1,a2,···,am属于数域)。
则f(A)= a0*In+ a1*A+ a2*A^2+ ··· + am*A^m 矩阵称为A的多项式。
其中，In是n阶单位矩阵。
二、特征值对于矩阵A的特征多项式f(x) = |x*In - A|，当f(x)的根为λ1，λ2，...，λn时，λi称为矩阵A的特征值，且它们是n次多项式f(x)的根。
特征值可以帮助我们判断矩阵的性质。
例如：若A的特征值均大于零，则A为正定矩阵。
若A的特征值均小于零，则A为负定矩阵。
若A的特征值均不为零，则A为非退化矩阵。
三、Jordan标准型矩阵的Jordan标准型是指将特定类型的矩阵转化为一种更易于研究的标准形式，主要用于计算矩阵的幂和指数函数等高阶函数值，是矩阵多项式求解的一个必要步骤。
矩阵A的Jordan标准型是指存在一个可逆矩阵P，使得 P^-1 * A * P = J其中，J是Jordan矩阵，具有如下形式：J(d, k) = [λ1, 1, 0, ···, 0][0, λ1, 1, ···, 0][0, 0, λ2, 1, 0][···, ···, ···, ···, ···][0, 0, 0, ···, λn]其中，λi是A的第i个特征值，d1,d2,···，dr 分别是λ1，λ2，···λr的重数。
多项式矩阵
rank
D(s) N (s)
rankU
(s)
D(s) N (s)
rank
R(s)
0
rankR(s)
所以,当条件(2.7)成立时,必有 rankR(s)= p,即 R(s)为非奇异.性质2.2知 所有gcrd都是非奇异的.
性质2.4 设 R(s)是p p和q p 的多项式矩阵 D(s)和N(s)
(2.6)
将(2.5)代入(2.6),即得
R(s) [U11(s)D1(s) U12 (s)N1(s)]R1(s) W (s)R1(s) 其中W (s)为多项式矩阵， R1(s)为R(s)的右乘因子
R(s)为D(s)和N (s)一个右公因子
例2.1 求多项式矩阵
D(s)
s 1
3s 1 S2 s 2, N(s) [1
N (s)和D(s) ,使得 N (s) N (s)R(s), D(s) D(s)R(s)
则称多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子.
易得：N(s)和D(s) 有相同的列数.行数可以不同. 定义2.4 若多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子 ,并且是
N (s)和D(s) 的任一右公因子 R1(s)的左倍式（即R(s) W (s)R1(s)）
有U
(s)
D(s) N (s)
U11(s) U21(s)
U12 U 22
(s) (s)
D(s) N(s)
R(s)
0
(2.4)
则 p×p的多项式矩阵 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd.
证 1)先证 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd 令
V
(s)
U
矩阵和多项式的关系
矩阵和多项式的关系矩阵和多项式是数学中两个重要的概念，它们之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨矩阵和多项式之间的关系。
首先，我们来介绍一下矩阵。
矩阵是由数个数排成的矩形阵列，通常用大写字母表示。
矩阵可以进行加、减、乘、转置等运算，是线性代数中的重要概念。
矩阵可以表示线性方程组，也可以用于解决线性变换的问题。
而多项式则是由一系列项组成的代数式，通常用小写字母表示。
多项式可以进行加、减、乘、除、求导等运算，是代数学中的重要概念。
多项式可以表示函数，也可以用于解决插值、逼近等问题。
那么，矩阵和多项式之间有什么关系呢？其实，矩阵和多项式之间有着密切的联系。
我们可以将一个多项式表示成一个矩阵，这个矩阵被称为伴随矩阵。
伴随矩阵的定义如下：设$f(x)$是一个$n$次多项式，$A$是一个$n\times n$的矩阵，$A$的第$i$行第$j$列元素为$a_{ij}$，则$f(x)$的伴随矩阵$A_f$为：$$A_f=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n-1} & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n-1} & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1,n-1} & a_{n-1,n} \\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{n,n} \\\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$表示$f(x)$中$x^i$的系数的第$j$个系数。
伴随矩阵的作用是将多项式转化为矩阵，从而可以利用矩阵的性质解决一些多项式问题。
矩阵多项式的定义
矩阵多项式的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠矩阵多项式。
你说这矩阵多项式啊，就好像是一个神秘的魔法盒子。
咱先说说矩阵，这就像是一个整齐排列的队伍，里面的每个元素都有自己的位置和作用。
那多项式呢，就像是一串串漂亮的珠子串起来的项链。
当把矩阵和多项式结合起来，哇哦，那可就热闹啦！就好像是让这个队伍的每个成员都戴上了特别的项链。
你想想看，一个普通的矩阵，它有着自己的特点和规律。
但一旦和多项式掺和在一起，那就变得丰富多彩起来了。
它不再是简单的排列组合，而是有了更多的变化和可能性。
比如说，我们常见的那些数字矩阵，它们就像是一群规规矩矩的士兵。
可一旦给它们加上多项式的装饰，它们就变得个性十足啦！有的变得更
强大，有的变得更有趣。
这就好比是给一辆普通的汽车加上各种酷炫的改装零件，一下子就变得与众不同了。
矩阵多项式不也是这样吗？它能让原本平淡无奇的矩阵
变得魅力四射。
而且啊，矩阵多项式在很多领域都有大用处呢！在数学里，它就像是一把万能钥匙，能打开很多难题的大门。
在科学和工程中，它也是个厉
害的角色，能帮助解决各种复杂的问题。
你说这神奇不神奇？咱平时生活中也有很多类似的情况呀。
就像一件普通的衣服，搭配上不同的配饰，马上就有了不一样的风格。
矩阵多项
式不也是这样在数学的世界里玩出花样来的嘛！
总之，矩阵多项式可真是个有趣又有用的东西。
它就像一个隐藏的宝藏，等待着我们去发现和探索。
别小看了它哦，说不定哪天它就能给我们带来大大的惊喜呢！让我们一起好好去研究研究这个神奇的矩阵多项式吧！。
2016矩阵分析-第1章多项式矩阵与矩阵多项式-1.4(讲)
A1 0 A 0 A 2 并设 A1 , A2 的最小多项式分别为 g1 ( x ), g2 ( x ).
则A的最小多项式为 g1 ( x ), g2 ( x )的最小公倍式.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
推广： 若A是一个准对角矩阵
A1 A2 A s 且 Ai 的最小多项式为 gi ( x ), i 1,2,..., s 则A的最小多项式是为 [ g1 ( x ), g2 ( x ),..., gs ( x )].
A 的最小多项式没有重根.
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
练习：
1 1 求矩阵 A 1 1 1 1 1 1 的最小多项式. 1
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
解： A的特征多项式
x 1 1 f ( x ) | E AE | 1
1.4 矩阵的零化问题
1 0 2 8 5 4 2 A 0 1 1 , 2 A 3 A A A 4E . 例1. 设 求 0 1 0
3 f ( ) E A 2 1 解：A的特征多项式
用 f ( )去除 2 8 3 5 4 2 4 g( ), 得
g( ) f ( )(2 5 4 3 5 2 9 14) (24 2 37 10)
2016级矩阵分析
1.4 矩阵的零化问题
f ( A) 0,
2 A8 3 A5 A4 A2 4 E 24 A2 37 A 10 E
3 48 26 0 95 61 0 61 34
2016级矩阵分析
矩阵的特征多项式与最小多项式
矩阵的特征多项式与最小多项式矩阵是线性代数中的重要概念，而矩阵的特征多项式和最小多项式则是研究矩阵性质和计算矩阵的关键工具。
本文将介绍矩阵的特征多项式和最小多项式的概念、定义、性质以及它们在线性代数中的应用。
一、特征多项式特征多项式是矩阵的一个重要特征，它能给出矩阵的特征值，进而揭示了矩阵的一些重要性质。
矩阵A的特征多项式可以表示为：P(λ)=|A-λI|对于n阶矩阵A，其特征多项式的次数为n。
特征多项式的根即矩阵的特征值，因此我们可以通过求解特征多项式的根来得到矩阵的特征值。
二、最小多项式最小多项式是描述矩阵A最简单的多项式，它不仅能揭示矩阵的性质，还能够描述矩阵的最小特征多项式。
对于矩阵A，定义其最小多项式为满足P(A)=0的最低次数的多项式P(x)。
最小多项式P(x)具有以下性质：1. P(x)的次数小于等于n（n为矩阵的阶数）；2. P(x)是关于x的首一多项式（即最高次项系数为1）；3. 如果P(A)=0，则P(x)一定是A的最小多项式；4. P(x)具有唯一性。
最小多项式的计算通常需要借助于特征多项式。
首先，计算出矩阵的特征多项式P(λ)，然后将λ替换为A，得到特征多项式P(A)，令其为零，即可得到最小多项式P(x)。
三、特征多项式与最小多项式的关系特征多项式和最小多项式有着紧密的联系。
首先，矩阵的特征多项式的根即为其特征值，而矩阵的特征值同样也是最小多项式的根。
其次，最小多项式是特征多项式的约化。
也就是说，最小多项式的所有根都是特征多项式的根，但特征多项式的所有根未必都是最小多项式的根。
此外，特征多项式和最小多项式都可以用于计算矩阵的幂。
根据矩阵A的特征值λ，我们可以得到A的特征向量v，进而得到矩阵A 的特征矩阵S，使得AS=SD，其中D是对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵A的特征值。
利用这个特性，我们可以通过特征矩阵S将矩阵A进行对角化，从而计算矩阵的幂A^n。
四、应用举例特征多项式和最小多项式在线性代数和相关领域有广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§8矩阵多项式与多项式矩阵
设A 是n 阶阵，则为矩阵A 的特征多项式 事实上，n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 因此有
一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱）
Th 2.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即
0111=++++--E a A a A a A n n n n （矩阵）
注：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。
eg 1.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=010110201A 试计算E A A A A A 432)(2458-++-=ϕ
解：A 的特征多项式为
12)(23+-=-=λλλλA E f
取多项式432)(2
458-++-=λλλλλϕ
)()()149542(235λλλλλλr f +⋅-+-+=
余项103724)(2+-=λλλr 由上定理0)(=A f ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=+-==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕ
Df 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。
根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f -=λλ)(
Df 3.设A 是n 阶矩阵，则的首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。
显然：①矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。
②矩阵A 的最小多项式是唯一的
Th 3.矩阵A 的最小多项式的根必是A 的特征根；反之，A 的特征根也必是A 的最小多项式的根——特征多项式与最小多项式之间的关系。
由此可得，求最小多项式的一个方法：
设n n C A ⨯∈，其所有不同的特征值为s λλλ,,,21 ，则其特征多项式为ks s k k A E f )()()()(2121λλλλλλλλ---=-=
则A 的最小多项式必具有如下形式：
ns s n n m )()()()(2121λλλλλλλ---=
其中s i k n i i ,,2,1 =≤
eg 2.求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=031251233A 的最小多项式)(λm 解：)4()2()(2--=-=λλλλA E f
A ∴的最小多项式,只能是：
)4)(2()(--=λλλm ,或2)2()(-=λλm ，)2()(-=λλm ,)4()(-=λλm 及)()(λλf m =
经计算可知：)4)(2()(--=λλλm 是A 的最小多项式，由此可得：
Th 4.若A 的特征多项式没有公因子，则特征多项式为最小多项式。
下面定理给出了求最小多项式的另一种方法：
Th 5.设A 是n 阶矩阵，)(1λ-n D 是特征矩阵A E -λ的n -1阶行列式因子，则A 的最小多项式为)()
()()(1λλλλn n n E D D m ==-——n 阶不变因子。
eg 3.求⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=012024012A 的最小多项式
3)(λλ=n D λλ=-)(1n D 2)()(λλλ==∴n E m
二、多项式矩阵：——在线性控制系统理论中有着重要的应用。
Df 1.称n m ij a A ⨯=))(()(λλ为λ矩阵，或多项式矩阵，其中)(λij a 是λ的多项式。
Df 2.若n 阶多项式矩阵)(λA 的行列式0)(≠λA （非零多项式），则称)(λA 是满秩的（秩=n ）或非奇异的。
Df 3.若)(λB ∃使E A B B A ==)()()()(λλλλ，则称)(λA 是可逆的，或称)(λA 是单模矩阵，记为)()(1
λλ-=A B 。
注意：非奇异比可逆的定义要广，可逆一定非奇异，非奇异未必可逆，这里，非奇异与可逆是两个不同的概念，要与数字矩阵区别开来。
Th 1.n 阶多项式矩阵)(λA 可逆⇔)(det λA 为非零常数。
注：)(λA 也可象A 一样，进行初等变换。
①互换的任意两行（列）
②以非0数c ()P ∈乘以)(λA 的一行（列）
③以多项式)(λϕ乘)(λA 的某一行（列）并加到另一行（列）
Df 4.由单位阵E ，经过一次上述初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵。
Df 5.多项式矩阵)(λA 称为与)(λB 等价，若)(λA 经过有限次初等变换能变为)(λB 记为)()(λλB A ≅
亦具有自反性，对称性，传递性。
Th 2.对任一非零多项式矩阵)(λA ，有：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=≅000)(0)()()()(21 λλλλλr d d d J A 其中1≥r 是)(λA 的秩，),,2,1()(r i d i =λ是首项系数为1的多项式，且
1,,2,1)()(1-=+r i d d i i λλ
称)(λJ 为)(λA 的更密斯（Smith ）标准形，称)(λi d 为)(λA 的不变因子。
同数字矩阵一样，也可以定义)(λA 的k 阶行列式因子与初等因子。
eg1.求多项式矩阵：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-+-=200100)1(0)(λλλ
λλλA 的Smith 标准形。
解：利用初等变换可得： )()2()1(0
000
001)(λλλλλλJ A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≅
且有1)(1=λd ,λλ=)(2d ,)2)(1()(3--=λλλλd
Th3.若)()(λλB A ≅，则)(λA 与)(λB 必有相同的秩及相同的各阶行列式因子。
Th4. ⇔≅)()(λλB A )(λA 与)(λB 具有相同的行列式因子，或不变因子。
利用多项式矩阵与Smith 标准形等价还可以求出一个矩阵A 的Jordan 标准形。
eg2.求：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----=411301621A 的Jordan 标准形。
解：)()1(0001000141131
6212λλλλλλλJ A E =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=- )2)(1()()(1)(321--===∴λλλλλλλd d d
∴ 初等因子为2)1(,1--λλ，故
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=100110001~J A
由上述重要结论：B E A E B A -≅-⇔λλ~，——J A ~的主要理论依据。
§9.矩阵的分解
Th1.若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积，即。
若阶矩阵的各阶顺序主子式不为0，则可分解成单位下三角阵，非奇异矩阵，单位上三角矩阵的乘积，即。
实对称（正定）矩阵可分解成，其中为主对角线元素全为正的非单位下三角矩阵。
实对称（正定）矩阵可分解为，其中为正交矩阵。
若为矩阵，则存在酉矩阵，使。
其中。
若为非奇异的阶复矩阵，则存在酉矩阵和主对角线上元素全为零的上三角阵，使。
（舒尔）。
若为非奇异的阶实矩阵，则存在正交矩阵和主对角线上元素全为正的上三角矩阵，使。
本定理称为矩阵的分解。
设求的分解。
解：是非奇异的阶实矩阵。
由知：存在分解。