高二数学课件第二章第十一节导数概念导数运算
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十一节 导数概念、导数的运算
1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度
f t df t
v(t),就是平均速度v(t,d)=_________d_______在d趋于0时的极限.
Baidu Nhomakorabea
(2)函数f(x)在x=x0处的导数
f (x ) f(x)g(x)g(x)f(x)
(5) ( g ( x ) ) = ______(_f_(x_)_)_2______(f(x)≠0).
f (x )
(6)若y=f(u),u=g(x),则y′x=f′u·u′x.
【即时应用】
(1)y=x3+sinx，则y′=________.
(2)y=(2x2+3)·(3x-2)，则y′=_______. (3)f(x)= e x ，则f′(x)=______.
【即时应用】 (1)思考：曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0) 的切线,两说法有区别吗? 提示:有.前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是__________. 【解析】∵y′=2x，∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案：2
原函数 f(x)=lnx(x＞0)
f(x)=logax(a＞0, a≠1,x＞0) f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__1x _(_x _＞_0_)_
1
f′(x)=__x _l n_a__ _(_a_＞__0_,_a_≠__1_,_x_＞__0_)_
f′(x)=_c_o_s_x_
(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是______.
【解析】f′(e)= ，1
e
∴所求的切线方程为 y-f(e)=f′(e)(x-e)， 即y-lne=1 (x-e)，化简得x-ey=0.
e
答案：x-ey=0
(4)曲线y=sinx+cosx在x=π处的切线方程是_________. 【解析】根据y=sinx+cosx求导可得y′=cosx-sinx，所以当 x=π时，y′=-1,又因为切线过点(π,-1)，所以可得曲线在x=π 处的切线方程为y+1=-(x-π),即y=-x+π-1. 答案：y=-x+π-1
【即时应用】 (1)思考：f′(x0)与(f(x0))′相等吗？ 提示：在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值， 不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是 一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0.
x ln 3
5.导数运算法则
(1)(Ｃf(x))′=Ｃf′(x);
(2)(f(x)±g(x))′=_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)_;
(3)(f(x)g(x))′=__f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_)_;
fx
(4) ( 1 ) =__ _( f_(_x_)_) 2_(f(x)≠0);
x
(4)f(x)=e-x+ln(2x+1),则f′(x)=________.
【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.
3
【解析】∵f(x)= x1 3+2x+1,
3
∴f′(x)=x2+2,
∴f′(-1)=(-1)2+2=3.
答案：3
3.导数的实际意义 (1)物理意义 若物体的运动方程为s=f(t),则f′(t)为物体在任意时刻t的_瞬__ _时__速__度__v_(_t_). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点__(_x_0,_f_(_x_0_)_)_处的_切__线__的__斜__率__.相应地，切线方程为 _y_-_f_(_x_0_)_=_f_′_(_x__0)_(_x_-_x_0_)_.
f xdf x
_______d______的极限值叫作f(x)的导函数，记作_f_′__(_x_)_.
f xdf x
(2)符号表示为_______d_____→f′(x)(d→0).
【即时应用】
(1)思考：f′(x)与f′(x0)有何区别与联系? 提示:f′(x)是x的一个函数,f′(x0)是常数,是f′(x)在点x0处的一个 函数值. (2)f′(x)是f(x)= 1 x3+2x+1的导函数，则f′(-1)的值是____.
①定义：设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值
fx0dfx0 在d趋于0时(d≠0)趋于_确__定__的_极__限__值___，则称
d
此_极__限__值__为函数f(x)在x=x0处的导数或_微__商___，记作_f_′__(_x_0)__.
②符号表示为__f__x_0__d_d__f__x_0__→f′(x0)(d→0).
f′(x)=_-_s_i_n_x_
【即时应用】
(1)y=x-5，则y′=_________.
(2)y=4x，则y′=__________.
(3)y=log3x，则y′=_________. (4)y=sin ，则y′=__________.
3
答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) 1 (4)0
4.一些基本的初等函数的导数公式表 (公式对函数定义域内的自变量x有效)
原函数 f(x)=C f(x)=xα(α≠0) f(x)=ex f(x)=ax(a＞0,a≠1)
导函数 f′(x)=_0_ f′(x)=_α_x_α_1_(_α__0_)_ f′(x)=_e_x f′(x)=_a_x_(_l_n_a_)_(_a_＞__0_,_a_≠__1_)
(2)有一机器人的运动方程为s=t2+ 1 (t是时间，s是位移)，则
t
该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为________.
【解析】∵s=t2+ 1 ,∴v=s′(t)=2t- . 1
t
t2
∴该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为：
s′(1)=2×1- =1 1.
12
答案：1
2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点，则d趋于0时，比值
1.物体的瞬时速度及函数f(x)在x=x0处的导数 (1)瞬时速度 若物体的运动方程为s=f(t)，则物体在任意时刻t的瞬时速度
f t df t
v(t),就是平均速度v(t,d)=_________d_______在d趋于0时的极限.
Baidu Nhomakorabea
(2)函数f(x)在x=x0处的导数
f (x ) f(x)g(x)g(x)f(x)
(5) ( g ( x ) ) = ______(_f_(x_)_)_2______(f(x)≠0).
f (x )
(6)若y=f(u),u=g(x),则y′x=f′u·u′x.
【即时应用】
(1)y=x3+sinx，则y′=________.
(2)y=(2x2+3)·(3x-2)，则y′=_______. (3)f(x)= e x ，则f′(x)=______.
【即时应用】 (1)思考：曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处的切线与过点P0(x0,y0) 的切线,两说法有区别吗? 提示:有.前者P0一定为切点,而后者P0不一定为切点. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是__________. 【解析】∵y′=2x，∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案：2
原函数 f(x)=lnx(x＞0)
f(x)=logax(a＞0, a≠1,x＞0) f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__1x _(_x _＞_0_)_
1
f′(x)=__x _l n_a__ _(_a_＞__0_,_a_≠__1_,_x_＞__0_)_
f′(x)=_c_o_s_x_
(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是______.
【解析】f′(e)= ，1
e
∴所求的切线方程为 y-f(e)=f′(e)(x-e)， 即y-lne=1 (x-e)，化简得x-ey=0.
e
答案：x-ey=0
(4)曲线y=sinx+cosx在x=π处的切线方程是_________. 【解析】根据y=sinx+cosx求导可得y′=cosx-sinx，所以当 x=π时，y′=-1,又因为切线过点(π,-1)，所以可得曲线在x=π 处的切线方程为y+1=-(x-π),即y=-x+π-1. 答案：y=-x+π-1
【即时应用】 (1)思考：f′(x0)与(f(x0))′相等吗？ 提示：在对导数的概念进行理解时，特别要注意f′(x0)与 (f(x0))′是不一样的，f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值， 不一定为0；而(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是 一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′=0.
x ln 3
5.导数运算法则
(1)(Ｃf(x))′=Ｃf′(x);
(2)(f(x)±g(x))′=_f_′__(_x_)_±__g_′__(_x_)_;
(3)(f(x)g(x))′=__f_′__(_x_)_g_(_x_)_+_f_(_x_)_g_′__(_x_)_;
fx
(4) ( 1 ) =__ _( f_(_x_)_) 2_(f(x)≠0);
x
(4)f(x)=e-x+ln(2x+1),则f′(x)=________.
【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.
3
【解析】∵f(x)= x1 3+2x+1,
3
∴f′(x)=x2+2,
∴f′(-1)=(-1)2+2=3.
答案：3
3.导数的实际意义 (1)物理意义 若物体的运动方程为s=f(t),则f′(t)为物体在任意时刻t的_瞬__ _时__速__度__v_(_t_). (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x) 上点__(_x_0,_f_(_x_0_)_)_处的_切__线__的__斜__率__.相应地，切线方程为 _y_-_f_(_x_0_)_=_f_′_(_x__0)_(_x_-_x_0_)_.
f xdf x
_______d______的极限值叫作f(x)的导函数，记作_f_′__(_x_)_.
f xdf x
(2)符号表示为_______d_____→f′(x)(d→0).
【即时应用】
(1)思考：f′(x)与f′(x0)有何区别与联系? 提示:f′(x)是x的一个函数,f′(x0)是常数,是f′(x)在点x0处的一个 函数值. (2)f′(x)是f(x)= 1 x3+2x+1的导函数，则f′(-1)的值是____.
①定义：设函数f(x)在包含x0的某个区间上有定义，如果比值
fx0dfx0 在d趋于0时(d≠0)趋于_确__定__的_极__限__值___，则称
d
此_极__限__值__为函数f(x)在x=x0处的导数或_微__商___，记作_f_′__(_x_0)__.
②符号表示为__f__x_0__d_d__f__x_0__→f′(x0)(d→0).
f′(x)=_-_s_i_n_x_
【即时应用】
(1)y=x-5，则y′=_________.
(2)y=4x，则y′=__________.
(3)y=log3x，则y′=_________. (4)y=sin ，则y′=__________.
3
答案：(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) 1 (4)0
4.一些基本的初等函数的导数公式表 (公式对函数定义域内的自变量x有效)
原函数 f(x)=C f(x)=xα(α≠0) f(x)=ex f(x)=ax(a＞0,a≠1)
导函数 f′(x)=_0_ f′(x)=_α_x_α_1_(_α__0_)_ f′(x)=_e_x f′(x)=_a_x_(_l_n_a_)_(_a_＞__0_,_a_≠__1_)
(2)有一机器人的运动方程为s=t2+ 1 (t是时间，s是位移)，则
t
该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为________.
【解析】∵s=t2+ 1 ,∴v=s′(t)=2t- . 1
t
t2
∴该机器人在时刻t=1时的瞬时速度为：
s′(1)=2×1- =1 1.
12
答案：1
2.函数f(x)的导函数 (1)若x取定义域内的任意一点，则d趋于0时，比值