中值定理证明方法总结

利用逆向思维设辅助函数 f (a) f (b) g (a) g (b) F ( x) h(a) h(b) f ( x) h(a) h(b) g ( x) f (a) f (b) f ( x) f (a) f (b) h( x) g (a) g (b) g ( x) g (a) g (b) h(a) h(b) h( x)
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f (b) f (a) F ( x) f ( x) 证: 作辅助函数 ( x) F (b) F (a) 则 ( x) 在[a, b] 上连续, 在 (a, b)内可导, 且 f (b) F (a) f (a) F (b) (a) (b) F (b) F (a) 使 由罗尔定理知, 至少存在一点 即 f (b) f (a ) f ( ) . F (b) F (a ) F ( ) 思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f (b) f (a) f ( )(b a) , (a , b) 两个 不 F (b) F (a) F ( )(b a) , (a , b) 一定相同 上面两式相比即得结论. 错!
f (b) f (a ) f ( x ) . g(b) g(a ) g( x )
直接积分消不去导数，故变形为
f (b) f (a ) g( x ) f ( x ) . g(b) g(a )
方程两边同时积分
f (b) f (a ) g( x ) C f ( x ) . g(b) g(a )
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几个中值定理的关系
罗尔定理 f ( ) 0 y f ( x) F ( x) y x f (a) f (b)
柯西中值定理
o a
b x
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f (b) f (a) f ( ) ba F ( x) x y f ( x) y n0
设 f ( x) , g ( x) , h( x) 都在 (a , b) 上连续 , 且在 [a , b] 内可导, 证明至少存在一点 (a , b) , 使
f (a) g (a) h( a )
f (b) g (b) h(b)
f ( ) g ( ) 0 h( )
说明 若取 h( x) 1, g ( x) x , f (a) f (b) ,即为罗尔定理; 若取 h( x) 1, g ( x) x , 即为拉格朗日中值定理; 若取 h( x) 1, g ( x) 0 , 即为柯西中值定理; ( 自己验证 )
显然 F(x) 在[a , b] 上连续 , 在 (a , b)内可导, 且 F (a) F (b) 0 , 因此,由罗尔定理知至少存在一点 f (a) f (b使 ) f( ) ( a , b) , F ( ) 0 , g即 (a) g (b) f ( ) g (a) g (b) g ( ) h ( a ) h ( b ) h(a) h(b) h( f) (a) f (b) f ( ) F ( ) fg 0) f (b) (( aa )) fg (( bb )) g ( ) f (a h(a) h(b) g (h ) ) h( ) ( h(a) h(b) g (a) g (b)
解题方法: 从结论入手, 利用逆向分析法, 选择有关中值定 理及适当设辅助函数 . (1) 证明含一个中值的等式或证根的存在 , 常用 罗尔定理 , 此时可用原函数法设辅助函数.
(2) 若结论中涉及到含一个中值的两个不同函数,
可考虑用柯西中值定理 .
(3) 若结论中含两个或两个以上中值 , 必须多次 使用中值定理 .
f (b) f (a) f ( ) F (b) F (a) F ( )
泰勒中值定理 o a b x
1 f (n) ( x0 )( x x0 ) n
n!
证明中值定理的方法
直观分析 辅助函数法 逆向分析 例如, 证明拉格朗日定理 : f (b) f (a) f ( )(b a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y f ( x) 方法1. 直观分析 由图可知 , 设辅助函数
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕
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解出积分常数 C ，则
f (b) f (a ) C f ( x) x ba
令辅助函数
f (b) f (a ) x F ( x) f ( x ) ba
柯西中值定理的结论:
f (b) f (a ) f ( ) . g(b) g(a ) g( )
将 改写为 x
● 将常数部分设为 k
● 恒等变形 , 将等式一端变为由 a 及 f (a) 构成的代数式 , 另 一端为由 b 及 f (b) 构成的代数式. ● 分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式 , 若 是,只要把端点 a 改成 x ， f (a) 改成 f ( x) , 则换变量后的端 点表达式为辅助函数.
y
f (b) f (a) F ( x) f ( x) xC ba o a (C 为任意常数 )

b
x
y
f (b ) f ( a ) ba
xC
方法2. 逆向分析 要证
即证
f (b) f (a) F ( x) f ( x) ba 原函数法 f (b) f (a) F ( x) f ( x) x ba 辅助函数
在 上连续, 在 显然 定理可知 , 存在一点
f ( ) 0 .
* 中值定理的统一表达式 设 f ( x) , g ( x) , h( x) 都在 [a , b]上连续 , 且在 (a , b) 内可导, 证明至少存在一点 (a , b) , 使 f (a) f (b) f ( ) g (a) g (b) g ( ) 0 h(a) h(b) h( )
解出积分常数 C ，则
f (b) f (a ) C f ( x) g( x ) . g(b) g(a )
令辅助函数
f (b) f (a ) F ( x) f ( x) g( x ) . g(b) g(a )
(2)常数变易法 此法适用于常数已分离出来的命题, 构造辅助函数的步 骤如下:
可适当减弱. 例如, 设 在 则至少存在一点 证: 设辅助函数 内可导,且 f (a 0) f (b 0) , 使
f (a 0) , x a a xb F ( x ) f ( x) , f (b 0) , x b
内可导, 由罗尔 使 F ( ) 0 , 即
证: 按三阶行列式展开法有
f (a) g (a) h( a )
f (b) g (b) h(b)
f ( ) g (a) g (b) f ( ) g ( ) h(a) h(b) h( )
f (a) h( a )
f (b) f (a) g ( ) h(b) g (a)
f (b) h ( ) g (b)
故在[ a , b ]上取得最大值
因此
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若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 使 则至少存在一点 不妨设
则由费马引理得 f ( ) 0 . 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,
y
o
y
1
1
x y o
1
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同样, 柯西中值定理要证
即证 设
f (b) f (a) F ( x) f ( x) g ( x) g (b) g (a)
原函数法
f (b) f (a) F ( x) f ( x) g ( x) g (b) g (a)
* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此
(4) 若已知条件或结论中含高阶导数 , 多考虑用 泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为恒等式 , 先证变式导数为 0 , 再利用 特殊点定常数 .
(6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的
技巧.
构造辅助函数的方法
(1)不定积分求积分常数法.
构造辅助函数 F ( x) 的步骤如下: ● 将欲证结论中的 改写为 x ； ● 通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式.(即易积 分形式)； ● 利用观察法或不定积分法 , 方程两边同时积分； （或解微 分方程） ●解出积分常数 C F ( x) ,则 F ( x) 即为所求的辅助函数。
o
1
x
机动
x
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2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为
在 ( a , b ) 内可导, 且
x a
lim f ( x) lim f ( x)
x b
在( a , b ) 内至少存在一点
使
证明提示: 设
证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 .
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以拉格朗日及柯西中值定理为例， 说明辅助函数 F ( x) 的 构造作法：.
拉格朗日中值定理的结论:
f (b ) f (a ) f ( ) ba
将 改写为 x
f (b ) f (a ) f ( x ) ba
方程两边同时积分
f (b) f (a ) x C f ( x) ba
二、拉格朗日中值定理
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
y
y f ( x)
o
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f (源自文库) ba f (b) f (a )
f (b) f (a ) ( ) x ( x) f ( x)
a b
三、柯西(Cauchy)中值定理
及 满足 : (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内
f (b) f (a ) f ( ) . 至少存在一点 使 F (b) F (a ) F ( ) a b 分析: F (b) F (a) F ( )(b a) 0 f (b) f (a) F ( ) f ( ) 0 要证 ( ) F (b) F (a) f (b) f (a) ( x) F ( x) f ( x) F (b) F (a)
第5讲
§5 微分中值定理的应用与技巧
5．1 基本概念、内容、定理、公式 罗尔中值定理 中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 应用
推广
泰勒公式
研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题
中值定理
一、罗尔( Rolle )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理
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一、罗尔( Rolle )定理 满足:
(1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )
y
y f ( x)
o
a
b x
在( a , b ) 内至少存在一点
证: M 和最小值 m . 若M=m,则
使 f ( ) 0.
中值定理的主要应用与解题方法
原函数的性质 中值定理
反映 反映
导函数的性质
中值定理的主要应用
(1) 利用中值定理求极限
(2) 研究函数或导数的性质
(3) 证明恒等式
(4) 判定方程根的存在性和唯一性
(5) 证明有关中值问题的结论
(6) 证明不等式
注：（1） 几个中值定理中最重要、最常用的是: 罗尔中值定理。 （2） 应用中值定理的关键为： 如何构造合适的辅助函数？（难点、 重点）