普通高中数学参赛课件《基本不等式》(18)
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中原好教育联盟
普通高中课程标准实验教科书
为了赛制的公平公正，参赛学校请：
基本不等式 统一使用此模版作为PPT展示
封面上请不要标注“xxx学校” 开始说课只需报抽签后的出场代码
科目： 高中数学 序号：
中原好教育联盟
教学目标
1.了解基本不等式的推导过程，理解基本不等式的 几何意义： 2.会用基本不等式求最值.
G
F
C
A
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF, CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b, 则
1. 正方形ABCD的面积S=
，
2. 4 个 直 角 三 角 形 的 面 积 之 和
S’=
。
aH E
b
a2 b2
B
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
问题1:图中四个直角三角形的面积和与正方形ABCD的面积 有什么关系？
即
a b ≥ ab
2
问题6： 你能用前面所学知识给上式证明吗？
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
要证
a b ab(a 0,b 0) 2
即证 a b 2 ab
只要证 a b 2 ab 0
只要证 ( a b )2 0
是显然成立的，当且仅当 a b 等号成立。
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
基本不等式: 若a>0，b>0，则
当且仅当a=b 时取等号. 适用范围： a>0,b>0
a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基 基本不等式的几何解释
_
几何意义：半径不小于弦长的一半
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
填表比较：
100 m2 y
x
当x y时，2(x y) 40成立，此时x y 10
所以，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的 篱笆是40m.
三相等
中原好教育联盟
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜
园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是一多正少？
x y 解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，
例2
若x 3,求函数y x 4 x3
的最小值。
小结：
中原好教育联盟 四、当堂训练 检验效果
1.下列各式正确的是（ ）
、x 4 4 x
B、e x
1 ex
2
C. y x 2, xy 0 xy
D、sin x 2 2 2 （0 x )
sin x
2.已知x 5 ,求函数y 4x 2 1 的最小值。
a2 b 2 2ab
注意强调 当且仅当a b 时, a2 b 2 2ab
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
因此我们得到： 重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ， 我们有
a2 b 2 2ab，当且仅当 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b时，等号成立。
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
问题5：
替换后得到：( a )2 ( b )2≥2 a b 即 a b≥2 ab
中原好教育联盟
（1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最一短正的篱笆是多少？
x y 解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，
则 xy 100，篱笆的长为2(x y) m.
x y xy x y 2 100, 2
二定
2(x y) 40
问题2：它们有相等的情况吗？何时相等？
问题3：当a, b为任意实数时，上式还成立吗？ 问题4：你能给出它的证明吗？等号何时成立？
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
作差法
证明: a2 b 2 2ab (a b )2,当a b时，(a b )2 0,当a b时,(a b )2 0,
所以
中原好教育联盟 一、情境引入
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会会徽的《赵 爽弦图》。 颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客.你能在这个 图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
中原好教育联盟
二、自主学习、掌握双基
D
指导语：请根据课本并结合学案回
答问题，重要概念在课本上标注出来。
2x 2y 36, x y 18
y
xy 矩形菜园的面积为 m2
xy x y
x
xy (18)2 即xy 81 二定 2
2
得x （y 即x y __9___）时，xy 81成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大 面积是81m2
三相等
中原好教育联盟 三、例题探究 灵活应用
4
4x 5
中原好教育联盟 五、课堂小结
六、作业
课本第100页练习题：第1, 2 题
中原好教育联盟
谢谢！
适用范围 “=”成立条件
a,b∈R a=b
a>0,b>0 a=b
中原好教育联盟
三、例题探究 灵活应用
指导语： 请大家组内交流讨论，找到解决问题的方法。
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，这个矩形的 长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
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为了赛制的公平公正，参赛学校请：
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教学目标
1.了解基本不等式的推导过程，理解基本不等式的 几何意义： 2.会用基本不等式求最值.
G
F
C
A
正方形ABCD中,AE⊥BE,BF⊥CF, CG⊥DG,DH⊥AH,设AE=a,BE=b, 则
1. 正方形ABCD的面积S=
，
2. 4 个 直 角 三 角 形 的 面 积 之 和
S’=
。
aH E
b
a2 b2
B
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
问题1:图中四个直角三角形的面积和与正方形ABCD的面积 有什么关系？
即
a b ≥ ab
2
问题6： 你能用前面所学知识给上式证明吗？
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
要证
a b ab(a 0,b 0) 2
即证 a b 2 ab
只要证 a b 2 ab 0
只要证 ( a b )2 0
是显然成立的，当且仅当 a b 等号成立。
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
基本不等式: 若a>0，b>0，则
当且仅当a=b 时取等号. 适用范围： a>0,b>0
a b 叫做正数a，b的算术平均数， 2
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基 基本不等式的几何解释
_
几何意义：半径不小于弦长的一半
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填表比较：
100 m2 y
x
当x y时，2(x y) 40成立，此时x y 10
所以，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的 篱笆是40m.
三相等
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（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜
园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是一多正少？
x y 解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，
例2
若x 3,求函数y x 4 x3
的最小值。
小结：
中原好教育联盟 四、当堂训练 检验效果
1.下列各式正确的是（ ）
、x 4 4 x
B、e x
1 ex
2
C. y x 2, xy 0 xy
D、sin x 2 2 2 （0 x )
sin x
2.已知x 5 ,求函数y 4x 2 1 的最小值。
a2 b 2 2ab
注意强调 当且仅当a b 时, a2 b 2 2ab
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
因此我们得到： 重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ， 我们有
a2 b 2 2ab，当且仅当 aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ b时，等号成立。
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
问题5：
替换后得到：( a )2 ( b )2≥2 a b 即 a b≥2 ab
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（1）用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最一短正的篱笆是多少？
x y 解：设矩形菜园的长为 m，宽为 m，
则 xy 100，篱笆的长为2(x y) m.
x y xy x y 2 100, 2
二定
2(x y) 40
问题2：它们有相等的情况吗？何时相等？
问题3：当a, b为任意实数时，上式还成立吗？ 问题4：你能给出它的证明吗？等号何时成立？
中原好教育联盟 二、自主学习、掌握双基
作差法
证明: a2 b 2 2ab (a b )2,当a b时，(a b )2 0,当a b时,(a b )2 0,
所以
中原好教育联盟 一、情境引入
右图是在北京召开的第24届国际数学家大会会徽的《赵 爽弦图》。 颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客.你能在这个 图案中找出一些相等关系或不等关系吗?
中原好教育联盟
二、自主学习、掌握双基
D
指导语：请根据课本并结合学案回
答问题，重要概念在课本上标注出来。
2x 2y 36, x y 18
y
xy 矩形菜园的面积为 m2
xy x y
x
xy (18)2 即xy 81 二定 2
2
得x （y 即x y __9___）时，xy 81成立
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大 面积是81m2
三相等
中原好教育联盟 三、例题探究 灵活应用
4
4x 5
中原好教育联盟 五、课堂小结
六、作业
课本第100页练习题：第1, 2 题
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谢谢！
适用范围 “=”成立条件
a,b∈R a=b
a>0,b>0 a=b
中原好教育联盟
三、例题探究 灵活应用
指导语： 请大家组内交流讨论，找到解决问题的方法。
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，这个矩形的 长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、 宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？