分式的定义与性质

分式的定义与性质
一、分式的定义
如果整式A 除以整式B,可以表示成A/B 的形式.且除式B 中含有字母,
那么称式子A/B 为分式.
其中,A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

例题
1、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？
（1）9x+4, （2）x 7 , （3）209y +,（4） 54-m , （5） 238y y -，（6）9
1-x 是分式的有 ；
2、下列各式中使分式的是______________.
πm y x x x 2)3(;8)2(;)1(2
+ 3、列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？
(1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.
（2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.
(3)x 与y 的差于4的商是 .
二、分式有意义的条件
对任意一个分式，若使分式有意义，则分母都不能为零。

例1、当x 取何值时，下列分式有意义？
（1）x 25 （2）x x 235-+ （3）2
522+-x x 答案：（1） ；（2） ；（3） ；
2．使分式224
x x +-等于0的x 值为（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不存在
3 、 对于分式5
312-+x x ， （1）当 时，分式有意义；
（2）当 时，分式的值为0；
（3）当 时，分式的值为1；
2、 当x 为何值时，分式x x x --21
|| 的值为0？
三、分式的基本性质
分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或者式子，分式的值不变
1、（1）填充分子，使等式成立；()
222(2)a a a -=++
（2）填充分母，使等式成立：()2223434
254x x x x -+-=---
2、不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。

（1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322
283a b
a b
--
3、把分式x
x y +（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值（
）
A ．扩大2倍
B ．缩小2倍
C ．改变
D ．不改变
4、下列等式正确的是 （ ）
A ．22b b a a =
B ．1a b
a b -+=--
C ．0a b
a b +=+ D ．0.10.330.22a b
a b
a b a b --=++
5、将分式22x x x +化简得1x
x +，则x 必须满足_________________________。

四、分式的约分
(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去．
(2)分式约分的依据：分式的基本性质．
(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．
(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．
例题、
1、下列分式中，最简分式有（ ）
32222
22222222
12,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b -++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
2、将下列各式约分：
()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a (3) d
b a
c b a 32232432-
(4) )(25)(152b a b a +-+- (5) b a ab a --2； (6) 2242x
x x ---；
5、分式的通分
（1）通分的概念：把几个异分母的分式化成同分母的分式，而不改变分式的值。

(2)分式约通分的依据：分式的基本性质．
（3）最简公分母：各分式分母中的系数的最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

例题、将下列各式通分
（1）1a ，234a b ，216ab c （2）12x +，42
x -
（3）3241,34,21x x x x x +--； （4）2
1,22---x x x x ；
分式的加减乘除
1、分式的乘除法
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘。

2、分式的加减法
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再按同分母分式加减法则进行计算。

例题
1.已知x 0≠,则
x
x x 31211++等于（ ） A.x 21 B.x 61 C.x 65 D.x
611 2.分式35,3,x a bx c ax b -的最简公分母是（ ） A.5abx B.15ab 5x C.15abx D.15ab 3
x
3.x 克盐溶解在a 克水中，取这种盐水m 克，其中含盐（ ） A.a mx 克 B.x am 克 C.a x am +克 D.a
x mx +克
4.=---+-+b
a 2a a
b b b a 2b a ; 5.+-=+-+-1b a b ab a ;
6.若ab=2,a+b=-1,则b a 11+ 的值为 ;
7.计算： （1）3
29122---m m ; （2）969392222++-+++x x x x x x x ;
8、计算：
（1）2234xy z ·（-2
8z y
） （2） 22ab cd ÷34ax cd - （3） 22329ab x x a b -⋅
（4） 22122a a a a
+⋅-+ （5）x x x x x +÷-22
21 （6） 222244(4)2x xy y x y x y -+-÷-
9.化简2142122+⋅--÷⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-a a a a a a a 10、计算：﹣x ﹣2）
11.先化简，再求值：
1
1123132--++-÷--x x x x x x ,其中x=2+1.
12、已知ab=1，试求分式：
的值．
分式方程
1、分式方程定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程解法
一般，先将分式方程两边同乘一个适当的整式（通常是各分式的最简公分母),约去分母，从而将分式方程转化成整式方程，然后再解这个整式方程。

例题
1、若关于x 的方程
81=+x mx 的解为x=41，则m . 2、若方程42123=----x
x x 有增根，则增根是 . 3、如果b a b a +=+111，则=+b a a b . 4、已知23=-+y x y x ，那么xy
y x 2
2+= .
5、全路全长m 千米，骑自行车b 小时到达，为了提前1小时到达，自行车每小时应多走 千米.
6、关于x 的分式方程4
42212-=++-x x k x 有增根x=-2，则k= . 7、解方程
（1）
31144x x x --=--． （2）213311=+---+x x x x
（3）11
316
2=---x x . （4) 1613122-=--+x x
x
8、某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走45分钟后，乙班的师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？
9、一个工厂接了一个订单，加工生产720 t 产品，预计每天生产48 t ，就能按期交货，后来，由于市场行情
变化，订货方要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？。