流体力学教案第11章气体的一维高速流动

第十一章气体的一维高速流动

前面各章研究了不可压缩流体的运动，即认为流体在流动中其密度不变。所得到的不可压缩流体的运动规律，不仅适用于液体的运动，也适用于流速不高的气体运动。当然，严格说任何流体都是可压缩的。不过，在我们通常所研究的流体运动中，液体的密度变化非常小，往往可以忽略不计；而气体在低速运动时，其密度变化也不大，若忽略其变化，把密度作为常数来处理，可使问题大为简化，而又不致引起大的误差。例如，通常在常温下空气流速低于70m/s时，其密度变化不高于2%，以皮托管测量气体流速为例，忽略密度变化所引起的误差不超过1%。当流速增高时，气体的密度变化就会增大，若再按不可压缩流体处理，所引起的误差就会增大。所以，对于气体的高速流动，必须考虑其密度的变化，按可压缩流体处理。故研究气体的高速流动，通常称为可压缩流体动力学，又叫气体动力学。

§11-1声速和马赫数

一、流体的可压缩性与微弱扰动的传播

在可压缩性介质中，压强扰动以波的形式传播，其传播速度的大小与介质的压缩性有关。例如，声音即为一微弱的压强性不同，可压缩性小的传播速度高，可压缩性大的传播速度低。由此可见，声速值反映了流体可压缩性的大小。

图11-1 微弱扰动的传播

下面说明微弱扰动波的传播过程。如图11-1所示，管中充满可压缩流体，左端装有一活塞，原处于静止状态。当活塞突然以速度d V向右运动时，活塞附近的流体首先被压缩，其压强产生一微小增量d p，密度也有一微小增量d ；同时，这一层流体质点也以速度d V 向前运动。这一层被压缩了的流体随之又压缩其前方邻近的一层流体，使其也产生一个微

小增量d p 、d ρ和d V 。这样一层一层向前传播，形成了一个已受扰动和未受扰动区域的分界面，这个分界面以速度a 向前运动。在扰动分界面尚未到达的区域，即未受扰动区，气体质点的速度为V =0，其压强、密度和温度分别为p 、ρ和T ；在扰动分界面之后，即已受扰动的区域，气体的各物理参数分别为d V 、p p d +、ρρd +和T T d +。扰动分界面即相当于一道扰动波，并以a 的速度向前传播，而波后受扰动的气体质点以速度d V 运动。应注意区分波的传播速度a 和质点的运动速度。下面将推导微弱扰动的传播速度。

二、微弱扰动的传播速度——声速

为确定扰动的传播速度a ，可利用质量守恒定理和动量定理。

如图11-2所示，在时刻t ，波面位于截面1处。在t +d t 时刻，波面位于截面2处，这时1-2之间的流体质量为tA a d )d (ρρ+，A 为管道横截面积。而在时刻t ，该区域的质量为

tA a d ρ，两者之差是由于截面1处的流体质点已具有速度d V ，d t 时间内，该截面处的流体质点向前运动的距离为d V d t ，到达截面1'处。

根据质量守恒定理，可建立方程： ()()t V A t aA t aA d d d d d d ρρρρρ++=+ 得

ρ

ρρ

d d d +=

a V (1)

根据动量定理：研究在t 时刻位于1-2之间的质量系统经d t 时间的动量变化。在时刻t ，该系统占据1-2之间的体积，其质量为tA a d ρ；在时刻t +d t ，该系统占据1’-2之间的体积，

t 1

1’

’t +d t 2

图11-2

比原体积减少了A d V d t ，但其质量仍为tA a d ρ。现列出该系统的动量方程：

()[]t pA A p p V tA a d d )0d (d -+=-ρ，得

a

p V ρd d =

(2)

由(1)和(2)两式可得： ρ

ρ

ρρd d d 2+=

p a

由于是微弱扰动，

1d ≈+ρ

ρ

ρ所以 ρ

d d p

a =

(3) 即为微弱扰动在可压缩性流体中的传播速度。在推导中，所讨论的是压缩性扰动；如果按膨胀性扰动推导，也会得到同样的结果。

声波就是一种微弱扰动波，声音的传播速度公式即为(3)式。因此，微弱扰动的传播速度通常称为声速。

公式(3)适用于气体、液体和一切弹性连续介质。

式(3)是声速的通用表达式，要计算某种流体中的具体声速值。尚需确定d p 和d ρ的关系。 对于液体来说，可用液体的弹性模量关系式，ρρd /d p E =，得

ρ

ρE

p a =

=

d d (4)

三、气体中的声速

对于气体，比值ρd /d p 取决于微弱扰动所引起的热力学过程。最早进行研究的是牛顿，他认为微弱扰动引起的温度变化很小，可以忽略不计，按等温过程处理。因而得出

RT p

a ==

ρ

d d 的结论。按该式计算的0︒C 情况下空气中声音传播速度为280m/s ，但当时实际测量的声音传播速度为330m/s 。两者相差超过17%。牛顿曾解释为空气中的灰尘和水份阻碍了声音的传播。后来拉普拉斯纠正了这一理论错误，认为声波的传播过程是绝热的，又因为是微弱扰动，可视为等熵过程。由等熵方程：

常数==C p

k

ρ

可得

ρ

ρp k p =d d 代入(3)式，使可得到 kRT p

k p a ===

ρ

ρd d (4)

用该式计算的声速值与实测值基本一致。

声速值反映了流体的可压缩性，声速值的大小与流体种类和所处状态有关。对于某种气体来说，它仅是温度的函数，因此，声速值也是气体的状态参数之一。在同一流场中，由于各点的温度随气体的速度而变化，故各点的声速值也不同，所以有当地声速之称。

四、马赫数

在气体动力学中，常用气体流速与当地声速之比 a

V M =

作为气体流动的一个重要参数，称为马赫(Mach)数，M <1为亚声速流动；M =1为声速流动；M >1为超声速流动。在随后各节的讨论会看到，不同的范围的气流，其性质有很大的差别，引入马赫数的概念对研究气体高速流动有着重要意义。