测量控制网的最优化设计问题及其实现

测量控制网的最优化设计问题及其实现邓加娜(西南电力设计院四川成都东风路十八号 610021)摘要：本文简要介绍了测量控制网的最优化设计问题，阐述了确定必要观测的原则和最优地选取多余观测的方法，并结合实例，给出了具体实现方法。

关键词：测量控制网，最优化设计，GPS，必要观测，多余观测1．优化设计的目的随着市场经济和体制改革的深入，用户对测绘产品的要求已不仅仅停留在高质量、高速度上，同时要求更低的消耗，力求以最少的成本投入来获得给定精度的测绘产品，这种需求趋势在面向市场的招投标工程中体现得尤为显著。

如何对占测绘工程外业工作量1/3的控制网进行优化设计，使其既能满足用户的精度要求，又能使成本投入得到有效的控制，并力求最低消耗，以提高项目效益，是一个很值得研究、并具有实际利用价值的课题。

它对合理地组织生产、降低观测成本、缩短项目工期、减少外业工作量和劳动强度、提高作业效率和经济效益等方面，均具有及其重要的普遍意义和长远利用价值。

我们在若干工程中对此课题进行了研究和实践，取得了一些成效，给出了在计算机软件辅助下的解决方案和实现方法，在此提出，共业内同行商榷。

2．优化设计的分类一般而言，测量控制网的优化设计问题分为两类：一类是在给定控制点精度要求的约束条件下（通常称为目标函数），力求使观测成本为最低，称为一类优化；二是在观测条件有限的约束条件下，力求使控制点精度为最高，称为二类优化。

这里提及的观测条件是指人员设备的配置、测回数的多少、必要观测和多余观测的选择、最优权的配置等一切与测量控制网有关的支出，是取得满足给定精度的测绘产品所需的全部测量成本。

显然，一类优化问题在控制工程成本中更具实际意义，也是本文讨论和研究的对象。

测量控制网（包括常规网和GPS网）最优化设计问题，就其数学方法而言，是一个极值问题，没有高深的理论和复杂的算法。

只需对每一次网型和观测方案的改变，重复调用分析处理过程，并考察其精度情况和观测成本的变化，使其最终满足给定条件而终止优化。

这个过程用人工实现相当困难，但利用计算机软件实现却较容易。

3．优化设计模型与算法应该明确：这里的优化是在控制网点的位置已经过构网优化后（即网点的地理位置固定不变），对观测方案的优化，也即对边、角观测量和观测路径的优化。

优化的流程是首先确定最优必要观测，然后再选取最优多余观测，即可达到对观测方案优化的目的。

3.1确定必要观测的原则我们知道：一个控制网中的待定点点数确定后，其相应的必要观测数就随之确定，只要选取了必要观测路径和方案，就能确定待定点的坐标，问题是：所需的必要观测有多种不同的观测路径及其组合，究竟哪一条路径组合为最优必要观测呢？这就是我们要解决的问题。

为便于说明，先看最直观的情形：用两已知点A、B来确定待定点P，至少有下面8种不同的观测方案：上述观测方案中既包括只有必要观测的图7、8、9、10，也包括既有必要观测又有多余观测的图1、2、3、4、5、6。

很显然，如果上述各观测方案都成立，且P 点精度均满足我们的要求，无疑我们会选择图9或图10所示的最优必要观测方案，因为它们的设站数及其观测工作量为最少。

同样，对于复杂的控制网图形和多通道观测路径方案，我们对每一步观测路径，均按照上述原则进行必要观测的选取，直至确定网中每一个待定点的必要观测路径，即可得到对全网进行必要观测的路径方案。

通过研究上述必要观测路径变化时，待定点各观测矩阵的内部变化机理，我们发现：沿该点诸多观测路径组合的权系数矩阵中，其迹为最小的那一组观测，能使待定点获得最好的精度，换句话说：观测某点时，权系数矩阵的迹最小的那一组观测为最优必要观测。

有了上述认识，我们假定观测量的可能组合数（总观测数）为n ，则可根据待定点权系数矩阵的迹最小的原则来最优地确定必要观测。

3.2最优必要观测的选取如前所述，可用下式的极小值作为选取最优必要观测的标准：nn Q n n Q+--=)1)(1(η(1)式中：n ……总观测数nnQ ……权系数矩阵的对角元素采集必要观测的过程就是保证以最小中误差确定全部网点的过程。

在算法上，一般不利用直接计算)1)(1(--n n Q 和nn Q 来获得η，因为那将对每个观测路径组合求N 阶矩阵的逆，算法和效率上滞后，而是采用立即计算，这时仅当向下一个待定点过渡时，才对N 阶矩阵求逆，而对待定点的每一个观测路径组合，只需求二阶分块矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=2210A B A A 的逆，式中：A 1……由改正数方程系数组成的(N-2)×(N-2)阶矩阵；A 2……二阶矩阵，1222112112-⎢⎣⎡⎥⎦⎤=a a a a A ；B 2……2×（N-2）阶矩阵。

经矩阵变换可求得η的纯量形式为：++++++=+=+++-=-===--∑∑∑∑')1()1(22)1(1131'22212121222121)1)(1()(2)(j j j j j j n j jjjn j ji i i i nn n n Q c c c c QccaaQ Q η∑-==-+-+-++++++++4111')3()3(22)3(11')2()2(22)2(11)(2...)(2n j j n j j n j j n j j j j j j j j Q c c c c Qc c c c (2)其中：⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤==---)2(22221)2(11211212......N N C C C C C C B A C ，⎢⎣⎡⎥⎦⎤=-2221121112a a a a A][⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤==-------')2)(2('2)2('1)2(')2(2'22'21')2(1'12'11111'.....................n n n n n n T Q Q Q Q Q Q Q Q Q A A Q对每一个待定点，按照（2）式计算各条必要观测路径的η，并取其最小者，就可得到该段观测路径中的最优必要观测。

应该指出，用上述方法确定的最优必要观测，与有经验的控制网设计人员得到的结果相差甚微，一般不超过10％，事实上：对水准网，由于iH L m Mi0= (3)因此，那些构成最短周长路线的观测，就是最优必要观测；对导线网，由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑=+=ni in n i i Dm S M 12,12212ρμβ (4)故具有最短周长和最少拐弯的导线节（直伸导线环节），就是最优必要观测。

对测角网，由于)(221ββρβctg ctg n Sm M ++=2 (5)所以，决定精度的因素是到待定点的距离S 、参加方向角传递的角数n 、以及求距角余切的平方和。

因此，在一个不太大的控制网中决定必要观测，让有控制网设计经验、且熟悉测量控制网平差前的误差累积规律的人员，创造性地解决这个问题就可以了，而不必进行前述复杂的计算。

3.3最优地选取多余观测显然，确定了必要观测并不能保证待定点获得给定的精度，但我们知道，增多余观测能提高未知量及其函数的权，但各个多余观测对整个控制网强度的影响是互不相同的。

因此，我们的任务是：从全部可能的多余观测中只挑选那些能保证以给定精度求定未知量的最少数量的多余观测。

即选取最优多余观测，以使其点位精度满足我们的设计要求。

由于多余观测本身也是控制网图形的一部分，它们与必要观测、其它多余观测构成闭合图形，对它们可建立r=n-t 个条件方程，设其系数矩阵为：()3212222111211.....................∙=⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎡=r IIrn r r nn A A a a a a a a a a a A (6)由于子阵3∙r A 的向量的正交性，若在建立条件方程时，使每个条件方程只包含一个多余观测，则可以得到矩阵*A ：()E A A II **=现假定我们要估算第k 个（k=1,2,…,r ）多余观测。

此时，权系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡=)()()(2)(1)()()(2)(1)(2)(2)(22)(21)(1)(1)(12)(11............................................................k ti k tjk t k t k tt k ijk i k i k t k jk k k tk j k k kQ Q Q Q Q Q QQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q (7)其中)(k ij Q 由递推公式kji k it kt k t k ijk ijq q q Q Q ++++--=,)1()(1 (8)确定。

按分组平差理论，在每组仅含一个条件方程时，有tII k t kFP q α1-+=Tkk k t k t P q αα1,-++=式中F 为权函数的系数矩阵，P 为权对角阵，而TII II T n k n k TIIT II T II ki k ik kkP A A P A A *1*1)1(1)1(**)1()1()(ααα--∙--∙-∙-∙-∙-=其中*)1(ik II A ∙-为仅含子阵*II A 中k-1行的子阵；nk A ∙-)1(为仅含矩阵A 中k-1行的子阵；*kII α为子阵*II A 的第k 行。

由此可见，估算每个多余观测都要进行(k-1)阶矩阵求逆，效率低下，但如果按TKII T k kt F Q q *11)(α--+=计算则较简便，其中 T KIIT F *1)(α-为向量*kII α按矩阵T F 的向量展开后的系数列向量。

由（8）式知，对某一个多余观测，)1(-k ij Q 为固定，kji k it kt k t q q q ++++,1越大，则)(k ij Q 越小，因此可用最大值∑==+++ti i kit kt k t kqq 12,1max(9)作为取舍各个相互竞争的多余观测的判定准则，由此在众多的多余观测中选出最优多余观测。

以简单测角网图九为例：图九为确定C 、D 点的位置，由(5)式知，保证获得C 、D 点坐标的最优必要观测为角1、2、3、4 (如表1)，这时：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=469.0221.000243.0469.00000605.0263.100079.1466.0F⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=*10148.1653.1030.1732.2010011010010148.1653.0030.1732.100010111A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=*-82.036.128.246.113.349.131.082.229.200.129.143.132.056.024.073.1)(1TIIT A F ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=269.0218.000218.0279.00000961.1241.100241.1381.10Q现假定要求网中每个待定点均满足2<+y xQ Q。