圆周运动(二)圆周运动中的动力学问题

2.“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术， 演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动 而不掉下来。如图所示，已知桶壁的倾角 为θ，车和人的总质量为m，做圆周运动 的半径为r，若使演员骑车做圆周运动时 不受桶壁的摩擦力，求1)．人和车的速度； 2)．桶面对车的弹力.
解析： 对人和车进行受力分析如图所示，根 据直角三角形的边角关系和向心力公式可列 方程：mgtan θ＝mv2/r，FNcos θ＝mg，解 得v＝ √grtan θ ， FN＝mg/cos θ 。
FT
解析指导
（1）小球离开锥面：支持力为零
2 FT sin m0 r
mg
考点定位
圆周运动的临界问题
r l sin FT cos mg
g 5 0 2 rad/s l cos 2
（2）当细线与竖直方向成60°角时
解题技巧
找到临界状态
FT sin 600 m 2 r r l sin 600 0 FT cos60 mg
学科素养培养 二．用极限法分析圆周运动的临界问题
1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述 的过程中存在着临界点．
2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明 题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．
3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明 题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．
图5
FN
60°
mg
解析 (1)对小物块受力分析
FNcos 60° ＝mg FNsin 60° ＝mR′ω2 0
(1)若 ω＝ω0， 小物块受到的摩擦力恰好为零， R′＝Rsin 60° 求 ω0； (2)若 ω＝(1± k)ω0，且 0＜k≪1，求小物块受 到的摩擦力大小和方向．
联立解得：ω0＝ 2g R
解析：设座椅的质量为 m，匀速转动时，座椅的运动半径为 R＝r＋Lsin θ， 受力分析如右图， 由牛顿第二定律， 有 F 合＝mgtan θ， F 合＝mω2R 三式得转盘角速度 ω 与夹角 θ 的关系 gtan θ ω＝ . r＋Lsin
题后反思 (1)应首先确定圆心位置及半径，然后画出圆轨迹，为确定 向心力打下基础． (2)匀速圆周运动的合力就是向心力．实际应用中，画出物 体受力示意图后，一般按“正交分解”的方法，把各力沿半径 方向以及垂直于半径方向(在圆轨迹所在平面内)分解，则沿半 v2 径指向圆心方向有 F 向＝F 合＝m R ，垂直于半径(沿切线)有 F 合 ＝0.
例题 1．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘， 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω 匀速转动 时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ ，不 计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．
1．在光滑水平面上，一根原长为l的轻质 弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与 质量为m的小球连接，如图17所示．当 小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率 为v1时，弹簧的长度为1.5l；当它以O 为圆心做匀速圆周运动的速率为v2 时， 弹簧的长度为2.0l.求v1与v2的比值．
解析；设弹簧的劲度系数为k，当小球以v1做匀速圆周运动时有： k(1.5l－l)＝mv12/1.5L 当小球以v2做匀速圆周运动时有： k(2.0l－l)＝mv22/2.0L 两式之比得： v1∶v2＝ √3∶2√2
【例1】如图7所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为 m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥 面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做 匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取10 m/s2，结 果可用根式表示)求： (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
3．质量为m的飞机以恒定速率v在空 中水平盘旋，如图所示，其做匀速 圆周运动的半径为R，重力加速度为 g，则此时空气对飞机的作用力大小 为
析 飞机在空中水平盘旋时 在水平面内做匀速圆周运动， 受到重力和空气的作用力两 个力的作用，其合力提供向 心力F向＝mv2/R. 飞机受力情况示意图如图所 示，根据勾股定理得： F＝m √ (g2+ v4/R2).
g 2 5 rad/s 0 l cos 60
课堂探究
【例 2】(2013· 重庆· 8)如图 5 所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的 水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对 称轴 OO′重合．转台以一定角速度 ω 匀速旋 转，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过 一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对 罐壁静止，它和 O 点的连线与 OO′之间的夹 角 θ 为 60° ，重力加速度大小为 g.
圆周运动（二） 圆周运动中的动力学分析
1．向心力的来源： 向心力是依据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹 力或摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分 力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．如图 甲所示的圆锥摆和火车以规定速率拐弯时．向心力由重力和 弹力的合力提供；图乙中随圆盘一起转动的物体和汽车在水 平路面上转弯则是由静摩擦力提供向心力． 2．向心力的确定 (1)确定圆周运动的轨道所在的平面， 确定圆心的位置． (2)分析物体的受力情况，找出所有的力 沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．
课堂探究 小结:解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象；明确物体做圆周运动的平面是
至关重要的一环． (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、 轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的 来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
课堂探究
【例 2】(2013· 重庆· 8)如图 5 所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的 水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对 称轴 OO′重合．转台以一定角速度 ω 匀速旋 转，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过