M估计方法及其在电力系统状态估计中的应用

设 H 为 m ×n 阶雅可比矩阵 , m 、n 分别表示量
测量及状态量的个 数 , R - 1/ 2 H = [ l1 , l2 , …, l m ] T
表示加权雅可比矩阵 , 即
l
T i
是
R - 1/ 2
H
矩阵的行矢
量 ,把观测值矢量 z 构成的空间称为观测空间 , 由
R-
1/
2
H
矩阵的行矢量
l
数 ,其表达式为
Ψ( ui) =
ui c2/ ui
| ui | ≤c
| ui | > c
(11)
图 1 示出式 (9) 与 QL 及 QC 的 Ψ 函数 。
图 1 新方法与 QC 及 QL 的 Ψ 函数比较 Fig. 1 Comparison of Ψ f unctions among
QC, QL and n (2) 化为
6m
i=1
l
i
ri
σi
Ψc
ri
σi v ( li)
ri
=0
(7)
σi v ( li)
由于
R - 1/ 2 H
= [ l1 , l2 , …, l m ] T ,σi
=
R
1/ i
2
。并
记
ui
=
σi v
ri (
l
i
)
, 上式可以整理成矩阵形式
第 1 阶段 ,选择一种较为平缓的降权措施 ,以使不良
数据上的残差得以突出 ,而其它受不良数据影响一
开始残差即较大的量测 ,经过此阶段后 ,残差恢复正
常值 。第 2 阶段用 QC 估计的降权措施 ,对残差可疑
量测施以 0 权重 ,以加速收敛 。
3. 1 Ψ 函数表达
为实现 2 阶段法 , 本文提出了一种新的 Ψ 函
为第[ ( m + 1) / 2 ] 个排序统计量 , 方括号‘[ ]’表示
取整 ;σi 视为已知 。 式 (2) 中 Ψc 函数及尺度参数的选择是 M 估计
的 2 个重要方面 。
1. 2 残差的尺度换算
由于量测残差的方差往往不同 ,不便于进行统
计分析 ,所以需要利用尺度参数σ对残差进行换算 。
目前 主 要 有 2 种 换 算 方 法 , ① 内 部 学 生 化 残 差
KEY WORDS: power system state estimation ; M2estimation ; residual masking effect
摘要 :针对 QL 及 QC 估计的缺点 ,提出了一种新的电力系 统稳健估计方法 。在此基础上 ,利用残差灵敏度矩阵 ,提出 了减少残差屏蔽效应的措施 。分析表明 ,新方法可以结合现 有常规状态估计方法 。计算上易于实现且速度较快 ,在一定 程度上克服了残差屏蔽效应 。
r ( k) = z - h ( r ( k) )
H ( x) ≈ H ( x ( k) ) 得:
( H T R - 1 Q ( k) H)Δx ( k) = H T R - 1 Q ( k) r ( k)
(10) 将 Q ( k) 作为等价权 ,通过式 (10) 即可迭代求解 。
3 2 阶段法
2 阶段法的主要思想是 ,等价权分 2 阶段计算 ,
稳健估计是指 :在粗差不可避免的情况下 ,选择 适当的估计方法使未知量的估计值尽量少受粗差的 影响[3 ,4 ] 。稳健估计中 ,主要分 3 类 : M 估计 ;L 估 计及 R 估计 。早在 70 年代发展的非二次准则方法 属于 M 估计 ,这类方法计算时间较长 ,受当时计算
机技术的限制 ,并未得到广泛的应用 。 随着稳健估计理论的发展及计算机技术的进
i
j ≠i
l
T i
V
+
l
T j
V
|
(3)
是投影统计 (projection statistics) ; bi 是截断点 ,
即 P S i 大 于 bi 的 量 测 被 视 为 杠 杆 量 测 ; V = lj ,
j = 1 ,2 , …, m ; lomed 是 low median 的缩写 , 定义
M2estimator) 。
式 (2) 构成了一类估计 ,主要的几种是
(1) L S 估计 ;
(2) Huber 估计 , v ( l) = 1 ;
(3) Schweppe 型 , v ( li) = (1 - Kii) , Kii 定义
为 H ( H T R - 1 H) - 1 H T R - 1 的对角元 ,即加权帽子矩
27
极大似然估计的推广 。经典的具备尺度同变性的
M 估计方法可以表达为
6m
i =1
Ψ (σrii )
li
=0
(1)
式中
ri 为残差 r 的第 i 个分量 ;σ2i
=
σ2
P
i
1
=
Ri ;
Pi 为先验权 ,σ为单位权方差 ,又称为尺度参数 。
在电力系统状态估计中 , 一般将 Ri 看作已知 , 不再估计尺度参数 。一般情况下 , 可以认为先验权 Pi 已知 ,而尺度参数σ需要估计 。
第 20 卷 第 9 期 2000 年 9 月
中 国 电 机 工 程 学 报 Proceedings of t he CSEE
Vol. 20 No. 9 Sep . 2000
文章编号 :025828013 (2000) 0920026206
M 估计方法及其在电力系统状态估计中的应用
郭 伟 , 单渊达
步 ,使得稳健估计在电力系统状态估计中的应用越 来越受到关注[5 ] 。其中的 M 估计可以通过等价权 与常规最小二乘估计有机地结合 ,文[ 4 ]将其称为抗 差最小二乘法 。利用抗差最小二乘法 ,使得 M 估计 能转化为与常规最小二乘法完全一致的形式 ,在计 算上较方便 。
目前电力系统状态估计的 M 估计方法中 ,主要 有 QL ( Huber) 估计及其变种 QC 估计 ,以及在此基 础上采用一定计算技巧后得到的零残差辨识法 。文 [6 ,7 ]的研究表明 ,QC 估计及 QL 估计均能辨识及 抑制不良数据 ,而 QC 估计对残差超阈值量测以 0 权重 ,因而获得的是接近排除不良数据的最优状态 估计 ,结果可直接应用 ,而且收敛性能更好 。
可以看出 ,新方法 Ψ 函数符合一般的Ψ 函数要 求 ,并有如下特点 :
(1) 从 M 估计角度看 ,新方法类似于 Hampel 估 计 、Tukey 双权法 、Andrews 正弦法[4 ] , 属于有回降 的估计 ,但没有有限淘汰点 。
(2) 对中心区域 (| u | ≤ c) 的量测值 ,与 QC , QL 法同样 ,采用最小二乘法 ,以取得估计的基本效 率。
(internally st udentized residual) ,通常又称标准化残
差 (standardized residual) ; ② 外 部 学 生 化 残 差
(externally st udentized residual) 。
对标准化残差 ,尺度参数σ的估计σ^ 取
σ^ =
rT Pr m- n
差与外部学生化残差的期望均为 0 ,方差为 1 。
尺度参数的选择不仅仅是上述 2 种 ,另一常用
的稳健尺度是中位绝对离差 MAD (median absolute
deviation) 。
MAD = 1. 482 6 med |
l
T i
V
-
med
(
l
T j
V
)
|
(6)
i
j
式中 V = lj , j = 1 ,2 , …, m ; med 表示取中位数 。
阵的对角元 ;
(4) Welsch 型 , v ( li) = (1 - Kii) / 参数 σ的估计由学生化残差σ^ ( i) 计算 ;
Kii , 尺度
(5) Mili 型[8 ] v ( li)
=
min{
1
,
(
bi PS
i
)
2}
式中 PS i =
max V 1. 1926
|
l
T i
V
|
lomed lomed |
(4)
式中 P 为先验权矩阵 。
对外部学生化残差 ,尺度参数σ的估计σ^ ( i) 取
σ^ ( i)
=
(
mm-
nn-
r2N 1
i
)
σ^ 2
(5)
式中 rNi 为标准化残差的第 i 个元素 。 残差标准化使残差统一在一个尺度上 ,这种残差
称为尺度换算过残差 (scaled residual) 。例如 :标准化残
ABSTRACT: In view of t he disadvantages of QL and QC esti2 mation , a new power system robust estimation met hod based on M2estimation is presented. On t he basis of t his met hod , apply2 ing residual sensitivity matrix , a measure t hat can reduce resid2 ual masking effect is presented. Simulation result shows t hat t his new met hod can be well combined wit h t he conven2tional met hod. The calculation is simple and fast . It can overcome residual masking effect to some extent .
而 ,一些统计学家提出新的 M 估计形式[2 ]
6m
i =1
v ( li)
l iΨc
σi v
ri ( li)
=0
(2)
式中 v ( li) 为已知函数 ; Ψc 为 Huber 型 Ψ 函数 。
可见 ,结构空间的抗差 , 是将 Ψ 函数的定义域
扩展 ,使其不仅是残差的函数 ,而且包含结构空间的
信息 。这种类型的估计又称为 GM2 估计 (generalized
QC 估计的实质是对残差超阈值量测以 0 权 重 ,仿真计算表明 ,如果不良数据较多或其值偏离正 常值较大 ,则可能由于 0 权重量测过多而导致收敛 速度较慢 ,或精确性较差等问题 。QL 估计的权重 变化平缓 ,可以在一定的迭代次数后使不良数据上 的残差越来越突出 ,但收敛速度较慢 ,而且由于 Ψ 函数的特点 ,得不到最优状态估计 。
关键词 :电力系统状态估计 ; M 估计 ; 残差屏蔽效应
中图分类号 : TM711 0212 文献标识码 :A
1 引言
电力系统状态估计中一个非常重要的部分是不 良数据的检测 、辨识 。在不良数据的处理上 ,大致可 分为 2 类方法[1 ,2 ] : ①先进行状态估计 ,然后对不良 数据进行检测 、辨识 ; ②在估计过程的同时辨识并消 除不良数据 ,其中大部分属稳健估计方法 。
HT R- 1 Qr = 0
(8)
Q = diag{ Ψc ( ui) / ui}
(9)
式(8) 与普通的最小二乘法类似 , 对电力系统
非线性状态估计量测方程 , 可化为迭代形式 。将
r = z - h ( x ( k) ) - H ( x ( k) )Δx ( k) 代入式 (8) ,并由
28
中 国 电 机 工 程 学 报 第 20 卷
本文提出一种新的稳健估计方法 ,分 2 阶段选 择等价权 ,简称为“2 阶段法”。另外 ,针对残差屏蔽 效应 ,提出了相应的处理方法 。
2 M 估计及计算
2. 1 M 估计及其发展 M 估计是稳健估计中重要的一类 ,是 Huber 对
第 9 期 郭 伟等 : M 估计方法及其在电力系统状态估计中的应用
(3) 对中心区域以外 (| u | > c) 的量测值 ,采取 了一种折衷的策略 ,权因子随 | u | 的增大而减小 , 而不是如 QL 法保持固定 ,或是如 QC 法完全排除 。 这样 ,既考虑到不良数据的不利影响 ,又防止 QC 法 中不良数据定位不准的问题 。
T i
构成的空间称为结构空
间。
适当地选择 Ψ 函数可以使对 x 的 M 估计具有 较高的效率及较强的稳健性 , 一般情况下 ,Ψ 函数
是有界函数 ,意味着对观测空间有界 。但就结构空间
而言 ,上述估计未对观测值分布的空间位置对残差
的影响作任何限制 ,它不具备结构空间抗差能力 ,对
杠杆量测处的不良数据 , 没有良好的辨识能力 , 因
(东南大学电气工程系 ,江苏省 南京市 210096)
M2ESTIMATION AND ITS APPL ICATION IN POWER SYSTEM STATE ESTIMATION
GUO Wei , SHAN Yuan2da ( Sout heast University , Nanjing 210096 ,China)