高中物理动能定理的推导过程

动能地定理推导过程

第一步：说明物体的运动状态，并导出加速度计算式。

如图5—5所示：物体沿着不光滑的斜面匀加速向上运动，通过

A处时的即时速度为v0，通过B处时的即时速度为v t，由A处到B处的

位移为S。通过提问引导学生根据v t2－v02=2as写出：

①

第二步：画出物体的受力分析图，进行正交分解，说明物体

的受力情况。

图5─6是物体的受力分析图（这个图既可以单独画出，也

可补画在上图的A、B之间），物体受到了重力mg、斜面支持力N、

动力F、阻力f。由于重力mg既不平行于斜面，也不垂直于斜面，

所以要对它进行正交分解，分解为平行于斜面的下滑分力F1和垂直

于斜面正压力F2。然后说明：物体在垂直斜面方向的力N=F2；物体平行斜面方向的力F＞f+F1(否则物体不可能加速上行)，其合力为：

②

第三步：运用牛顿第二定律和①、②两式导出“动能定理”。

若已知物体的质量为m 、所受之合外力为、产生之加速度为a。

则根据牛顿第二定律可以写出：

③将①、②两式代入③式：

导出：④

若以W表示外力对物体所做的总功

⑤

若以E ko表示物体通过A处时的动能，以E kt表示物体通过B处时的动能

则：⑥

⑦

将⑤、⑥、⑦三式代入④式，就导出了课本中的“动能定理”的数学表达形式：

W=E kt－E ko

若以△E k表示动能的变化E kt－E ko

则可写出“动能定理”的一种简单表达形式：

W=△E k

它的文字表述是：外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。这个结论叫做“动能定理”。第四步：在“动能定理”的基础上推导出“功能原理”。

在推导“动能定理”的过程中，我们曾经写出过④式，现抄列如下：

④

为了导出“功能原理”我们需要对其中的下滑分力做功项F1S进行分析推导。

我们知道，当斜面的底角为θ时，下滑分力F1和重力mg的关系如下：

（前面已有⑤、⑥、⑦式）⑧

上式中sinθ 如何表达呢？请看图5—7：物体在A处时的高度为h0，在B处时的高度为h t，则根据中学数学中所学过的三角函数知识可以写出下式：

⑨

将⑨式代入⑧式后进行推导：

⑩

将⑩式代入④式后进行推导：

若以代入⑾式，就导出了一种“功能原理”的数学表达形式：

Fs－fs=△E

+△E P

K

它的物理意义是：动力对物体做功Fs与物体克服阻力做功fs之差(不包括重力做的功)，等于物体动能的变化量与势能的变化量之和。

若在⑾式基础上进行移项变化可导出下式：

⑿

若以代入⑿式，就可以写为：

Fs－fs=E t－E0

再以代入上式就可以导出“功能原理”的另一种数学表达形式：W

=△E

F

它的物理意义是：外力对物体对所做的总功W F（不包括重力做的功），等于物体机械能的变化量△E。（当W F＞0时，△E＞0，机械能增加；当W F＜0时，△E＜0，机械能减少。

例题：如图5—12所示：一辆车通过一根跨过滑轮

的绳PQ提升井中质量为m的物体。绳的P端拴在

车后的挂钩、Q端拴在的物体上。设绳的总长不变，

绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都

忽略不计。

开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且

是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运

动，沿水平方向从A经过B驶向C，设A到B的距

离也是H，车过B点时的速度为v B。求：在车由A 移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。

解答：设：汽车开到B处时，物体上升的即时速度为v、上升的高度为h，可以写下列二式：

则：根据：“功能原理”(动能定理再做一遍)