双线性变换法

4、当采样周期T较小时，等效精 度较好。
三、后向差分法
设模拟控制器传递函数为
图3-5 前向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程
dc(t) r(t) dt
以一阶后向差分近似微分，得
dc(t) C百度文库kT) c(k 1)T
dt
—计算机控制系统—
第三章 计算机控制系统设计方法
第一节 连续域-离散化设计 第二节 最少拍数字控制系统的设计 第三节 最少拍无纹波数字控制系统设计 第四节 大林算法
—计算机控制系统—
线性离散系统的数学描述形式和线性连续系统的 数学描述形式是相对应的，通常有差分方程、z传递函 数(又称脉冲传递函数)、单位脉冲响应序列(又称权序 列)、离散状态空间表达式等4种数学描述形式。分别 与连续系统的4种数学描述形式相对应。
s

2 T
1 1
D(z)

D(s)
|
s
z 1
T
(3-7)
下面讨论s平面和z平面之间的映射关系。
因为平面上的虚轴（ j 轴）是稳定与不稳定区域的分界线，所以 应着重研究 j 轴在z平面内的映象。
由 s z 1 得：Z=1+TS T
令 s j 代入后可见，s平面上 j 轴映射在z平面上将右移1个单位，
对比模拟控制器传递函数 显然此时的转换关系为
D(s) C(s) 1 R(s) s
s 2 z 1 T z 1
（3-16）
由此可得双线性变换（梯形积分规则或Tustin变换）的离散化公式为
D(z)

D(s)
|
s

2
z 1
T z 1
（3-17）
2、映射 由式（3-16）可得
1 T s
令k+1=n,上式的z变换为
(1 z 1 )c(z) Tz 1R(z)
或
D(z)

C(z) R(z)

Tz 1 1 z 1

T z 1
（3-6）
比较式（3-6）和式（3-3）可见，连续传递函数中的s在离散传递函数中 的置换公式为
s z 1 T
—计算机控制系统—
推而广之，即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z) 为：
所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。
—计算机控制系统—
前向差分法的特点总结如下：
1、直接代换，具有串联性，变换 方便；
2、整个s左半平面映射到z平面z=1 以左的区域，故D(s)与D(z)不具有 相同的稳定性；
3 、 因 为 D(s)|s=0=D(z)|z=1 ， 故 稳 态 增益维持不变；
—计算机控制系统—
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
—计算机控制系统—
图3-7 梯形规则数值积分
—计算机控制系统—
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
z

1
2 T
s
2
—计算机控制系统—
令s=jω ，可得|z|=1，相位随ω 而变化，此即z平面的单位圆，如图3-8 所示。可见，若D(s)稳定，D(z)也一定稳定。
—计算机控制系统—
图3-8 双线性变换法S平面稳定域 在z平面内的映象
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3、频率畸变与预修正
令s=jω ，z=ejω dt。这里，ω 表示s域的角频率，ω d表示z 域的角频率。 根据置换公式，可得
T
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(3-8) (3-9) (3-10)
—计算机控制系统—
代入式（3-9）得
C(k) C(k 1) Tr(k)
对上式进行z变换，经整理为
D(z) C(z) Tz R(z) z 1
(3-11)
比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为
s z 1 Tz
(3-12)
推广而言，后向差分的离散化公式为
D(z)

D(s)
|s
z
1
Tz
因为
s z 1
Tz
则
z 1 1 1 Ts
2 2 1 Ts
当 s j 时，可得
z1 1 22
—计算机控制系统—
(3-13)
四、双线性变换法（Tustin变换法）
1、离散化公式
图3-7中曲线r(t)以下的积分面积
二、前向差分法 设模拟控制器传递函数为
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程为
dc(t) r(t) dt
以一阶前向差分近似该微分，并代入（3-4）式，得
C(k 1)T C(kT) r(kT)
T
—计算机控制系统—
(3-3) (3-4) (3-5)
—计算机控制系统—
第—三计算章机控1-制--系-3统—
第三章 计算机控制系统设计方法
计算机控制系统属于数字控制系统。所以，计算机控制系统控制器的设 计属于数字控制器的设计。关于数字控制器的设计，有直接法和模拟法 两种，这两种方法各有其特色，本章将分别给予介绍。
第一节 连续域——离散化设计 一、设计的基本原理和步骤 连续域——离散化设计分以下五个步骤完成： 第1步：根据系统的性能和要求，选择采样频率。 第2步：教材3-2所示，由于保持器会引入延迟，根据系统预定的性能指标， 采用连续域的设计方法，设计出数字控制器的等效传递函数。保持器常 采用零阶保持器，其一阶和二阶近似式表示如下：
C(t)


t 0
r(t)dt
可采用个梯形面积之和来近似表示
C(k) C(k 1) T r(k) r(k 1)
2
其中前个梯形面积之和表示为C(k-1)。
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
D(z)
C(z) R(z)

2
1 z 1
T z 1
—计算机控制系统—
(3-15)
1 esT T
s
1 sT
2
1 esT
T
s
1 sT (sT )2
2 12
第—三计算章机控1-制--系-4统—
（3-1） （3-2）
图3-2 连续域内等效设计框图
—计算机控制系统—
第3步：选择适当的离散化方法，将D(s)离散化获得性能尽量等效的脉冲 传递函数D(z)。 第4步：针对由D(z)构成的离散闭环控制系统，检验其闭环性能。如图3-3 所示。 第5步：将D(z)编制成数字算法，在计算机上编程实现。