立体几何中空间思维的培养训练题
主视图
高三数学周测九（三视图与简单几何体）
1、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C
，，分别是GHI
△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
2、若某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的直观图
可以是（）
3、如右图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是()
A．①④B．②③C．②④D．①②
4、用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图
所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( )
A．9与13B．7与10
C．10与16D．10与15
5、一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的全面积（单
位：c2
m）为（）
A．B．
C．D．
E
F
D
I
A
H G
B C
E
F
D
A
B C
侧视
图1 图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
侧视图
俯视图
正视图
6、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线L ，使L 与棱
AB ,AD ,1AA 所成的角都相等，这样的直线L 可以作（ ）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
7、在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，CC 1的中点，则在空间中与三条直线A 1D 1，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条 C ．有且只有三条 D ．有无数条
8、如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面
11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的
图象大致是（ ）
9、如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.1V 为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，2V 为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A ．1V =2
V
B ．2V =
2
V
C ．21V V >
D ．21V V <
10、已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( )
A ．12
B ．2
2 C ．1 D ．2
11、一个正方体的展开图如图所示，,,B C D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，CD
与AB 所成角的余弦值为（ ） A
C
A
B
C D M
N
P A 1
B 1
C 1
D 1
12、某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（ ）
A. 22
B. 32
C. 4
D. 52
13、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是
A ．（
B ．（1,
C ． -+
D ．（0,）
14、如下图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的有几个
(1)模块①，②，⑤；(2)模块①，③，⑤；(3)模块②，④，⑤；(4)模块③，④，⑤； (5)模块①，④，⑤；(6)模块②，③，④；(7)模块②，③，⑤ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
高三数学周测九（三视图与简单几何体）参考答案
1、【解析】解题时在图2的右边放扇墙,可得答案A.
2、【解析】D 由正视图可排除A 、B 选项，由俯视图可排除C 选项．
3、
4、解析：C
5、解析：A
6、【解析】D 考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查学生分类、划归转化的能力。第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条。
7、答案：D
解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力。在EF 上任意取一点M,直线11A D 与M 确定一
个平面，这个平面与CD 有且仅有1个交点N, 当M 取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD 有不同的交点N,而直线MN 与这3条异面直线都有交点的.如右图： 8、【试题分析】: B 显然，只有当P 移动到中心O 时，MN 有唯一的最大值，淘汰选项A 、C ；P 点移动时，x 与y 的关系应该是线性的，淘汰选项D 。 9、D
10、本题主要考查空间几何体的基本性质，最值.
解析：由于有五条棱长都等于2，则四面体中至少有两个面是边长为2的正三角形，以其中一个为底面，则当另一个正三角形所在平面与它垂直时，四面体体积最大. 此时，底面积为3，高为3，所以，体积为1
3×3×3＝1 答案：C
11、解：还原正方体如右图所示设1AD =,
则AB =1,AF =
BE EF ==3AE =,CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角,
所以余弦值为cos 10ABE ∠==,选 D
12、C
解：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为,,m n k ，由题意得
=
1n ?=
a =
b =，所以22
(1)(1)6a b -+-=
228a b ?+=，22222
()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴
4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号。
13、【答案】A
【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况：（1）地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a ，a ，如图，此时a 可
以取最大值，可知AD=
，SD=
，则有<2+
，即
22
8a <+=，即有
(2)构成三棱锥的两条对角线长为a ，其他各边长为2，如图所示，此时a>0;
综上分析可知a ∈（
14、答案：B 方案(1)、(5)、(6)
思维训练空间题库
思维训练题库 1．小丽走进教室，看见教室里只有7名同学，那么现在教室里有几名同学？ 2．一只猫吃一只老鼠，用5分钟吃完；5只猫同时吃5只同样大小的老鼠，要几分钟吃完？ 3．小康同样的钱，可以买3支铅笔和2本练习本，是铅笔贵还是练习本贵？ 4．“六一”儿童节，妈妈给小华、小明、小刚买了3种不同的礼品，分别是：魔方、智力拼图、洋娃娃。现在知道小刚拿不是智力拼图，小明拿的不是洋娃娃，也不是智力拼图，想一想，他们每人拿的是什么礼物。 5．小丽走进教室，看见教室里只有7名同学，那么现在教室里有几名同学？ 6．桌上有10支点燃的蜡烛。风从窗户吹进来，吹灭了2支蜡烛，过了一会儿，又有一支蜡烛被吹灭。把窗关起来，再没有蜡烛被吹灭，第二天早上还剩几支蜡烛？ 8．一只猫吃一只老鼠，用5分钟吃完；5只猫同志吃6只同样大小的老鼠，要几分钟吃完？ 9．小朋友，张开手，五个手指人人有，手指之间几个“空”，请你仔细看一看？10．小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多
长？ 11．把一根木头锯成3段，要锯几次？如果每锯一次用3钟，一共要锯多少分钟？ 12．小林家住在三楼，他每上一层楼要走14级台阶，小林从一楼走到三楼要走多少级台阶？ 13．时钟5点打5下，一共需要4秒钟。问中午12钟打12下需要几秒钟？ 14．有13名学生，他们的身高两两不等。如下图所示排成了“十字形”。现知甲同学是横行8位同学中个子最矫者，乙是纵列6位学生中个子最高者，请你想一想，甲的个子 高还是乙的个子高？ 15．下图中有多少条线段？ 16．下面图形中有几个角？ 17．下图中共有多少个三角形？
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E F
（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC =，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ?面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
精选最新逻辑思维训练测试题库288题(含标准答案)
2020年逻辑思维训练试题288题[含答案] 一、问答题 1．大家好啊，初来乍到请多多关照啊～～ 题目：冷笑话式的脑筋急转弯. 玻璃杯和咖啡杯横穿马路,突然有辆车冲来,有人大声提醒,为何只有玻璃杯碎了? 一个五分熟的牛排和一个八分熟的牛排在街上相遇,为什么没有打招呼? 答案： 2．IQ题,给大家解解闷^_^ 题目：1、第九次结婚(打一地名)？ 2、我拿着鸡蛋扔石头，鸡蛋没破，为什么？ 3、老李带100元去买一件75元的衬衫,但老板却只找了5块钱给他,为什么? 4、什么事情是天不知道地知道，你不知道我知道？ 5、动物园的老虎从笼子里窜出来到处咬人.问那时候什么地方最安全? 6、一艘船限载50人,已载49人,后来一孕妇上船.结果船沉了.为什么? 7、哪个连的人比一般连的人要多? 8、增长智力最有效的办法是什么? 9、赵兄你托我办点事？？ 答案： 3．破绽在那里？ 题目：在酒吧间，名探查尔斯遇见了一位满头金发、面孔黝黑的青年在大谈生意经：昨天我刚从沙漠地带回来，洗尽一身尘垢， 刮去长了几个月的络腮胡子，修剪好蓬乱的头发，美美地睡了一觉。最值得庆幸的是我的化验分析报告，证实在那片沙漠地 带有个储量丰富的金矿。假如有谁愿意对这个有利可图的项目投资，请到210号房间来，这儿不便细谈。查尔斯端详着他那 古铜色的下巴，讪笑着说：你若想骗傻瓜的钱，最好还是再加工一下你的故事。这个青年在哪儿露出了破绽？ 答案： 4．IQ80以下看不懂，IQ150以上看了会疯掉的故事 题目：一九四五年的一天，克力富兰的孤儿院里出现了一个神秘的女婴，没有人知道她的父母是谁。她孤独地长大，没有任何人与她来往。
如何培养孩子的几何空间思维
如何培养孩子的几何空间思维 几何初步知识是小学数学的主要内容之一，通过对几何图形最基础的知识的教学，使学生逐步形成简单几何形体的形状、大小和相互位置关系的表象，能够识别所学的几何形体，并能根据几何形体的名称再现它们的表象，培养初步的空间观念。 学生对几何形体特征的理解，对周长、面积、体积的计算，往往是离开了这些几何实体，而依赖于头脑中对物体的形状、大小和相互位置关系的形象的反映，这就要求学生具有一定的空间观念。因此，我们在进行几何初步知识的教学时，要充分利用各种条件，运用各种手段，引导学生通过对物体、模型、图形的观察、测量、拼摆、画图、制作、实验等活动，让学生获取和运用几何初步知识，并在运用几何初步知识的过程中培养初步的空间观念。 本文就这一问题，谈一些粗浅的看法。 一、通过观察、演示、操作等感知活动，使学生逐步形成几何形体的表象 要认识几何形体，必须理解几何形体的本质属性，形成正确、清晰的几何概念。几何概念是人们在长期的生活、生产实践中，通过对大量的现实世界的空间形式进行高度的抽象概括后得到的。所以我们要重视引导学生进行观察等感知活动，使学生形成几何形体的表象，得到正确清晰的几何概念。 例如怎样认识长方体和正方体？教材没有给长方体下定义，而是通过课本中图形的观察，指出某些物体的形状是长方体。但是由6个面、12条棱、8个顶点所组成的立体不一定都是长方体，所以在教学时，就要拿出学生熟悉的日常生活中的实物，如装食品的纸盒、铅笔盒、保健箱等，引导学生仔细观察这些实物的面、棱、顶点的情况。然后把作为教具的空纸盒展开成平面图（相对的面和相对的棱课前分别涂上不同的颜色，见图47），让学生观察、比较一下，着重加深对长方体的“6个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等”、“相对的棱的长度相等”的认识，使具体事物的形象在头脑里得到全面的反映，从而使学生对长方体的理解更加深刻。接着再引入正方体的知识，学生通过对实物和平面展开图的观察，突出正方体这一属概念所具有的，区别于其它属概念的性质是长、宽、高都相等，并且能了解正方体和长方体之间的关系。 有些几何形体的概念，不仅要借助教具的演示，而且还要通过学生自己动手实际操作和测量，来理解它的本质涵义。例如“体积”的概念，本身是抽象的、先验性的。教学时，教师请学生观察教室里墙角的书柜之类的物品，想一想，这块地方不把书柜搬走，还
空间向量和立体几何练习题及答案
1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ＡBCD为正方形,平面ＰＡD⊥平面AＢＣＤ,点M在线段PB上,PＤ∥平面MAＣ,ＰA=PD=，ＡB=4． (１）求证:M为PＢ的中点； （２）求二面角B﹣ＰD﹣A的大小； （3）求直线MＣ与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1)设AC∩BD=O，则Ｏ为ＢD的中点,连接OM，利用线面平行的性质证明ＯＭ∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； (2）取AＤ中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得ＰＧ⊥平面AＢCD，则PG⊥AD，连接ＯG,则ＰＧ⊥OＧ，再证明ＯG⊥AＤ．以G为坐标原点,分别以ＧD、ＧO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PA Ｄ的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角Ｂ﹣PD﹣Ａ的大小；(3）求出的坐标，由与平面ＰBＤ的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BＤＰ所成角的正弦值． 【解答】（1）证明:如图，设AＣ∩BD=O, ∵AＢＣD为正方形，∴Ｏ为BD的中点,连接OM， ∵PD∥平面MAC,ＰＤ?平面PBD，平面PBＤ∩平面ＡMC＝OM, ∴PＤ∥ＯM,则,即Ｍ为ＰB的中点； (2)解：取AD中点Ｇ， ∵PＡ=PD，∴PG⊥AD, ∵平面PＡD⊥平面ABＣＤ,且平面PＡD∩平面ABCD=AＤ, ∴PG⊥平面ＡＢCＤ,则PG⊥AＤ,连接OG,则PＧ⊥ＯＧ, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥ＤＣ，则OG⊥AＤ. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GＰ所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PＡ=PD=,AＢ＝4,得D（2,0,０），A（﹣2，0,0),P(0,0，)，Ｃ(２,４，0），
立体几何练习题
数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上 的点，A 1M ＝AN ＝ 2a 3 ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面CBD ，E 是CD 中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 3．PA ，PB ，PC 是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为（ ） A ． 12 B C D 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的余弦值是 A ． 15 B 。13 C 。 12 D 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、 AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ．510 B ．3 2 C ．55 D ．515 6．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，A A 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 3 3 D ．3 7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） A.60o B. 90o C.105o D. 75o 8．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面 A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则 sin 〈CM ，1D N 〉的值为_________. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面ABCD 的距离是 . A B M D C
拓展学生思维空间 培养数学逻辑思维能力
拓展学生思维空间培养数学逻辑思维能力 【摘要】学生的逻辑思维能力得到发展，就好象掌握了打开知识大门的钥匙，就能更好地学习数学知识。学生的逻辑思维能力必须在平日的教学中有意识地培养、训练，才能得到发展。本文从指导审题，培养思维的多向性；加强对比，培养思维灵活性；训练“三多” ，培养思维的发散性；分层指导，培养思维的独创性等四方面进行阐述。 【关键词】“解决问题” 逻辑思维能力；数学综合素质 “解决问题”在小学数学教学中占有相当重要的地位，它可以帮助学生理解数学概念、性质、法则、公式，可以使学生受到思想品德教育，更重要的是可以有效地培养、发展学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。学生的逻辑思维能力有了发展，就好象掌握了打开知识大门的钥匙，就能更好地学习数学知识。但是学生的逻辑思维能力并不是随着知识的增长而自然增长，还必须在平日的教学中有意识地培养、训练，才能得到发展。那么在“解决问题”的教学中应如何培养学生的逻辑思维和解决问题的能力呢？结合多年的教学实践谈谈在这方面的认识与实践。 1 指导审题，培养思维的多向性 在“解决问题”的教学中，学生能否正确、迅速地解题，审题是关键。为了提高审题能力，我注重从指导正确的读题方法入手，引导学生认真审题。 1.1 指导正确的读题方法。总结多年的教学，我体会到，要准确读懂题意必须掌握正确的读题方法。而正确的读题方法应该是初读、再读、细读三个步骤。初读就是要学生通过默读分清题中的情节、条件和问题，读完后不看书想一想，用自己的话说一说题目中的意思；再读就是要学生用自己喜欢的、不同的符号将题中表达情节和数量关系的词语划下来，帮助理解题意，疑难之处也应标出来；细读就是要学生弄清条件与条件、问题与问题、条件与问题之间的联系，寻求解题的基本途径，从而明确解题思路的指向。 1.2 合理想象多向探求。为了帮助学生准确、迅速找到解题的方法，我注意引导学生根据不同条件，展开合理的想象、推理。例如：从“一本书80页，小红第一天看了全书的40%，第二天看了全书的30%”三个条件中，可以想象出什么结果。经过指导学生思考后得出：1、从第一个条件和第二个条件可知小红第一天读书的页数；2、从第一条件和第三个条件中可知小红第二天读的页数；3、从第二个条件和第三个条件中可知：（1）两天共看56页；（2）还剩24页没看；（3）第一天比第二天多看8页；（4）第一天看的是第二天的4/3 。4、从以上三个条件可知：（1）两天共看56页，（2）还剩24页没看；（3）第一天比第二天多看8页；（4）两天看的页数的比是4：3，……通过这样的训练，学生学会了多向思维，就能开阔思路，迅速找到解决问题的办法。
空间向量与立体几何练习题
空间向量与立体几何单元检测题 一、选择题： 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ） A 、a b b a +=+r r r r B 、() a b a b λλλ+=+r r r r C 、()() a b c a b c ++=++r r r r r r D 、b a λ=r r 2、已知向量a r =（1，1，0），则与a r 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（ 22，2 2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 2 55 Ｄ．2或255 - 6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，， 则D 的坐标为（ ） Ａ．7412 ?? - ??? ， ， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ｃ．12 9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角 P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）
空间向量和立体几何练习题及答案.
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，
立体几何大题练习题答案
立体几何大题专练 1、如图，已知PA丄矩形ABCD所在平面，M、N分别为AB、PC的中点; ⑴求证: 2Q.证明江1〉取FD的中点AE,NE t 丁Nft PC 的中点.A NEX^CD . 又四边形ABCU为矩形且M星BA中点' MN :* 寺CD垒MA , ￡ ：■ NEXMA.KP四边形MAEN是平行四也形, 昇 MN〃AE* 由于AEU罕面PAD,MN(Z^ffi PAD? A MN"平廊PAD, (2>V FA 丄平ABCD，ZPDA-45\ 代APAD是等 B?三肃形?桩AE」PH 由题意，CD丄AD,CD丄叭 :.CD丄平面PAD. 从而AE_LCD, 代AE丄平面PCD,故VIN丄平而PCH . Ml、If ：< 1)「1 {' 的方程为(x —a)* + (y 一h J —pf (2a+ b?0* ... IQ* V ■ ■ ■ V ■] ... 12* ……r ABC PA PC ABC 90 PEF PBC EF Q E F AC BC EF // AB....2 分又EF 平面PAB，AB 平面PAB， EF //平面PAB. ? (5) (2)Q PA PC，E为AC的中点， PE AC (6) P ABC E,F AC, BC EF // PAB PAC 又Q平面PAC 平面ABC PE 面ABC ................. 8 分 PE BC ............... 9 分 又因为F为BC的中点， Q ABC 900, BC EF .................... 10 分BC 面PEF ............... 11 分 又Q BC 面PBC 面PBC 面PEF ............... 12分 3.如图，在直三棱柱ABC-ABQ中，AC=BC点D是AB的中点
创新思维训练题及训练方式(完整版)
1．巧排队列 24个人排成6列，要求每5个人为—列，请问该怎么排列好呢? 2．升斗量水 一长方形的升斗，它的容积是1升。有人也称之为立升或公升。现在要求你只使用这个升斗，准确地量出0．5升的水。请问应该怎样办才能做到这一点呢？ 3．违纪开车 在美国城市街道的交叉路口上，明文规定着，有步行者横过公路时，车辆就应停在人行道前等待。可是偏偏有个汽车司机，当交叉路口上还有很多人横过马路时，他却突然撞进人群中，全速向前跑。这时旁边的警察看了也无所谓，并没有责怪他。你说这是为什么? 4．变换方位 在桌子上并排放有3张数字卡片组成三位数字216。如果把这3张卡片的方位变换一下，则组成了另一个三位数，这个三位数恰好用43除尽。是什么数、怎样变换的？ 5．月球飞鸟 月球上的重力只有地球上的六分之一。有一种鸟在地球上飞20公里要用1小时，如果把它放到月球上，飞20公里要多少时间？ 6．诚实与说谎 A、B、C、D4个孩子在院子里踢足球，把一户人家的玻璃打碎了。可是当房主人问他们是谁踢的球把玻璃打碎的，他们谁也不承认是自己打碎的。房主人问A，A说：“是C打的。”C 则说“A说的不符合事实。”房主人又问B，B说：“不是我打的。”再问D，D说是“A打的。”已经知道这4个孩子当中有1个很老实、不会说假话：其余3个都不老实，都说的是假话。请你帮助分析一下这个说真话的孩子是谁，打碎玻璃的又是谁? 7．最后一个字母 英语字母表的第一个字母是A。B的前面当然是A。那么最后一个字母是什么? 8．沉船 某人有过这样一次经历：他乘坐的船驶到海上后就慢慢地沉下去了，但是，船上所有的乘客都很镇静，既没有人去穿救生衣，也没有人跳海逃命，却眼睁睁地看着这条船全部沉没。 9．火车过隧道
立体几何大题训练与答案解析
1、如图，正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直，△ABE 是等腰 直角三角形，2,,45AB AE FA FE AEF ? ===∠= （1）线段CD 的中点为P ，线段AE 的中点为M ， 求证：//PM BCE 平面； （2）求直线CF 与平面BCE 所成角的正切值. 解：（1）取AB 的中点为N ，连MN ,PN ,则//MN EB ,//PN BC ∴面PMN //面EBC ,∴//PM BCE 平面 ………………………5分 (2)先证出FE ⊥面EBC ， ………………………8分 FCE ∴∠为直线CF 与平面BCE 所成角， ………………………11分 tan FE FCE EC ∠= = ………………………14分 2、己知多面体ABCDE 中，DE ⊥平面ACD ，//AB DE ，AC=AD=CD=DE=2，AB =1，O 为CD 的中点. (1)求证：AO ⊥平面CDE ； (2)求直线BD 与平面CBE 所成角的正弦值 A B C D E F P M . . A B C E O
3、如图，在△ABC 中，?=∠90C ，a BC AC 3==，点P 在AB 上，BC PE //交AC 于E ，AC PF //交BC 于F ． 沿PE 将△APE 翻折成△PE A '，使平面⊥PE A '平面ABC ；沿PF 将△BPF 翻折成△PF B '，使平面⊥PF B '平面ABC ． （1）求证：//'C B 平面PE A '； （2）若PB AP 2=，求二面角E PC A --'的平面角的正切值． 解：（1）因为PE FC //，?FC 平面PE A '，所以//FC 平面PE A '． B P F P A B F C ' B ' A E
创新思维训练题及答案
创新思维训练3 1．巧排队列 24个人排成6列，要求每5个人为—列，请问该怎么排列好呢 2．升斗量水 一长方形的升斗，它的容积是1升。有人也称之为立升或公升。现在要求你只使用这个升斗，准确地量出0．5升的水。请问应该怎样办才能做到这一点呢 3．违纪开车 在美国城市街道的交叉路口上，明文规定着，有步行者横过公路时，车辆就应停在人行道前等待。可是偏偏有个汽车司机，当交叉路口上还有很多人横过马路时，他却突然撞进人群中，全速向前跑。这时旁边的警察看了也无所谓，并没有责怪他。你说这是为什么4．变换方位 在桌子上并排放有3张数字卡片组成三位数字216。如果把这3张卡片的方位变换一下，则组成了另一个三位数，这个三位数恰好用43除尽。是什么数、怎样变换的5．月球飞鸟 月球上的重力只有地球上的六分之一。有一种鸟在地球上飞20公里要用1小时，如果把它放到月球上，飞20公里要多少时间 6．诚实与说谎 A、B、C、D4个孩子在院子里踢足球，把一户人家的玻璃打碎了。可是当房主人问他们是谁踢的球把玻璃打碎的，他们谁也不承认是自己打碎的。房主人问A，A说：“是C打的。”C 则说“A说的不符合事实。”房主人又问B，B说：“不是我打的。”再问D，D说是“A打的。”已经知道这4个孩子当中有1个很老实、不会说假话：其余3个都不老实，都说的是假
话。请你帮助分析一下这个说真话的孩子是谁，打碎玻璃的又是谁 7．最后一个字母 英语字母表的第一个字母是A。B的前面当然是A。那么最后一个字母是什么 8．沉船 某人有过这样一次经历：他乘坐的船驶到海上后就慢慢地沉下去了，但是，船上所有的乘客都很镇静，既没有人去穿救生衣，也没有人跳海逃命，却眼睁睁地看着这条船全部沉没。 9．火车过隧道 两条火车轨道除了在隧道内的一段外都是平行铺设的。由于隧道的宽度不足以铺设双轨，因此，在隧道内只能铺设单轨。 一天下午，一列火车从某一方向驶入隧道，另一列火车从相反方向驶入隧道。两列火车都以最高的速度行驶，然而，它们并未相撞。这是为什么 10．车祸 车祸发生后不久，第一批警察和救护车已赶到现场，发现翻覆的车子内外都是血迹斑斑，却没有见到死者和伤者，为什么 11．吊在半空中的管理员 当夜总会的侍者上班的时候，他听到顶楼传来了呼叫声。他奔到顶楼，发现管理员腰部束了一根绳子被吊在顶梁上。 管理员对侍者说：“快点把我放下来，去叫警察，我们被抢劫了。”管理员把经过情形告诉了警察，昨夜停止营业以后，进来两个强盗把钱全抢去了。然后把我带到顶楼，用绳子将我吊在梁上。警察对此深信不疑，因为顶楼房里空无一人，他无法把自己吊在那么高的梁上，那里也没有垫脚之物。有一部梯子曾被这伙盗贼用过，但它却放在门外。 然而，没过几个星期，管理员因偷盗而被抓了起来。你能否说明一下，没有任何人的帮助，管理员是怎样把自己吊在半空中的
空间立体几何练习题(含答案)
第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图
2016高考文科立体几何大题
立体几何综合训练 1、证明平行垂直 1．（2013?辽宁）如图，AB是圆O的直径，PA⊥圆O所在的平面，C是圆O上的点． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC． 2．（2013?北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证： （Ⅰ）PA⊥底面ABCD； （Ⅱ）BE∥平面PAD； （Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD． 3．（2011?福建）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB． （Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD； （Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
4．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知 ．M是PD的中点． （Ⅰ）证明PB∥平面MAC （Ⅱ）证明平面PAB⊥平面ABCD （Ⅲ）求四棱锥p﹣ABCD的体积． 2、求体积问题 5．如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1． （Ⅰ）求证：AB∥平面PCD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PAC； （Ⅲ）若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积． 6．（2011?辽宁）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD． （Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ； （Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．
7．（2013?安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=． （Ⅰ）证明：PC⊥BD （Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积． 8．（2008?山东）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，． （Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD； （Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积． 3、三视图 9．已知某几何体的直观图与它的三视图，其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．已知D是这个几何体的棱A1C1上的中点． （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线BC1∥平面AB1D；
(完整版)创新思维训练期末考试答案
创新思维训练考试答案 班级：默认班级成绩：96.0分(网上有错误的答案，太坑了，还有不一样的，要看清楚了) 一、单选题（题数：20，共 40.0 分） 1下列哪一项与思维导图无关？（） 2.0分 ?A、自由联想发散法 ?B、科学联想发散法 ?C、强制联想发散法 ?D、随机联想发散法 正确答案： D 我的答案： D 2思维导图包含哪些基本组成要素？（） 2.0分 ?A、核心主题与分支 ?B、关键词与联系线 ?C、颜色与图形 ?D、以上都是 正确答案： D 我的答案： D 3创意的萌芽阶段需要（）。 2.0分 ?A、严密的分析与推理 ?B、大量的知识储备 ?C、周密的计划与实施 ?D、信马由缰式的发散思维
正确答案： D 我的答案： D 4关于转变思考方向的描述，下列哪项是错误的？（） 2.0分?A、转变思考方向是突破思维定势的重要方法之一 ?B、转变思考方向包括逆向思维、侧向思维、多向思维等 ?C、头脑风暴法和思维导图有助于转变思考方向 ?D、转变思考方向对大多数人来说是容易做到的事情 正确答案： D 我的答案： D 5本课程涉及了哪些内容？（） 2.0分 ?A、创新的定义、原理、方法、练习等 ?B、批判性思维、平行思维和包容性思维 ?C、创新情境、创新人格、高峰体验 ?D、以上都包括 正确答案： D 我的答案： D 6关于六顶思考帽的描述，哪一项是不正确的？（） 2.0分?A、六顶思考帽就是用六种颜色的帽子代表六个不同的思维角度或思考方向 ?B、六顶思考帽一般适合于团队思维时使用 ?C、六顶思考帽有固定的使用顺序 ?D、红色思考帽代表情绪与直觉 正确答案： C 我的答案： C 7关于了结需要的描述，哪一项是错误的？（） 2.0分 ?A、了结需要越高的人越容易创新
空间立体几何练习题3(学生)
1、一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ） A ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①②③ Ｄ．②③④ 2、三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形． 3、圆台的正视图、侧视图都是 ，俯视图是 ． 4、给出下列命题： ① 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体； ② 如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ③ 如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体； ④ 如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台． 其中正确命题的个数是（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 5、利用斜二测画法得到： ① 三角形的直观图是三角形； ② 平行四边形的直观图是平行四边形； ③ 正方形的直观图是正方形； ④ 菱形的直观图是菱形． 以上结论，正确的是（ ） Ａ．①② Ｂ．① Ｃ．③④ Ｄ．①②③④ ① ② ③ ④
6、如图1所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图2中的（ ） 7、若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ） Ａ．圆柱 Ｂ．三棱柱 Ｃ．圆锥 Ｄ．球体 8、下列说法中正确的是（ ） Ａ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线 Ｂ．梯形的直观图可能是平行四边形 Ｃ．矩形的直观图可能是梯形 Ｄ．正方形的直观图可能是平行四边形 9、如图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ） Ａ．3 Ｃ．6 Ｄ． 10、下面的说法正确吗？ （１） 水平放置的正方形的直观图可能是梯形； （２） 两条相交直线的直观图可能平行； （３） 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直． x ' Ａ Ｂ ＣＤ 图2 图1
浅谈对学生空间思维能力的培养
浅谈对学生空间思维能力的培养 客观物质世界中绝大部分物体的结构和运动都是三维的，我们就是生活在这个三维空间里。但高中物理教学在研究物体的运动时，一般都限制在一维或二维的范围内，忽视了培养学生的空间思维能力。这对于学生步入社会从事实际工作或进一步深造都是不利的。我们认为应重视空间思维能力的训练和培养。下面我浅谈几点做法。 1.再现生活经验，在实践操作中培养空间观念。 学生的思维正处于由直观、形象思维向抽象、逻辑思维的过渡阶段。他们对几何图形的认识主要依赖于观察、实验和必要的动手操作。 如在教学平行线教学时，教师除了举出学生熟悉的事物：如练习本上的横线，马路上的横道线，双杠的两根直杠以外，重点是要充分利用学生生活知识经验，引导他们看一看横线、横道线、两根直杠的位置和方向，组织他们量一量两线之间的距离，再启发他们想一想，如果沿着横线、横道线、直杠的两端延长成直线，这两条直线会不会产生相交的情况。在观察、实践和想象的基础上使学生获得“同一平面”、“不相交”的空间知觉，建立具有这种特点的两条直线的表象，为理解平行线的空间观念打下基础。 2.借助实物模型，在认真的观察中培养空间观念。 数学是一门具有较强思维性质的学科，观察是进行思维活动的一个窗口，是接触现实世界的触角，是学生认识事物最直接的一种方法，也是形成和发现数学知识的基本方法之一。根据低年级学生的年龄特征，充分利用直观图形、实物的观察和实际操作，借助视觉、触觉、听觉等各种感官参与活动，是学生形成空间观念的有效途径。 如学生认识“立体图形”特征时，可以设计这样的情景：将牙膏盒（长方体），化妆品盒（正方体）、可乐罐（圆柱体）、蛋筒冰淇淋（圆锥体）和乒乓球（球）逐一展示，请学生想象一下，这些形体分别可以与哪些平面图形有关。通过不断感知，积累丰富的表象，这样才能为学生建立空间观念奠定基础。 3.以趣激智，培养学生的空间想象能力。 爱因斯坦曾经说过：“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象要概括世界的一切。”想象是思维的翅膀，往往和观察、实验、思考等活动结合起来。因此，在教学中，我们还要有意识地培养学生的空间想象能力。 如在学了长方形、正方形、三角形、圆形之后，呈现用这些图形拼成的一幅美丽的图画，让孩子们从这幅美丽的图画中找出所学的图形，在这具有趣味性和挑战性的问题情境中，激发了学生探究的欲望。在让孩子们用学过的图形画物体，
空间立体几何建系练习题
空间立体几何建系设点专题 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一?所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD _ AD，PA_底面ABCD， PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。 (1) 求证：BM //平面PAD; (2) 在侧面PAD内找一点N，使MN _平面PBD; (3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 19.(本題满分直分) 正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2t 点E%AB的中点. (1 )求证：轲"平面A^DEt (H)求二面角DSE①的大卜 (III)求多面体AyDyDBE的休积*
3. 已知多面体 ABCDE 中，AB 丄平面 ACD , DE 丄平面ACD, AC = AD = CD = DE =2a , AB = a , F 为 CD 的中点. 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，PB 丄平面ABCD , MA//PB , PB=AB=2MA , (I) 证明：AC//平面PMD ; (U)求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； (川)求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。 所成二面角的大小 (I)求证：AF 丄平面CDE ; (U)求异面直线AC , BE 所成角余弦值; (
5. 已知斜三棱柱ABC - AB。, . BCA =90“ , AC 二BC =2, A在底面ABC上 的射影恰为AC的中点D，又知BA _ AC i (I) 求证：AC i _平面ABC ; (II) 求CC i到平面AAB的距离； (III )求二面角A-AB-C的大小。 6. (湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD 的高都为2, AB= 4. (1)证明：PQ丄平面ABCD; (2)求异面直线AQ与PB所成的角；
文数立体几何大题训练
1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学 名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵， 将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵 ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中，AB ＝AD，A1B1＝A1D1. (1)证明：直线BD⊥平面MAC； (2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝3，三棱锥A-A1B1D1的体积V′＝23 3，求该组合体的体积． 解：(1)证明：由题可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱， ∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA， 又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD， ∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， 又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC. (2)设刍童ABCD-A1B1C1D1的高为h， 则三棱锥A-A1B1D1的体积V′＝1 3× 1 2×2×2×h＝ 23 3，∴h＝3， 故该组合体的体积V＝1 2×1×3×1＋ 1 3×(1 2＋22＋12×22)×3＝3 2＋ 73 3＝173 6 . 2.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F. ①求证：AD∥EF； ②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积． ①证明因为底面ABCD是边长为2的正方形， 所以BC∥AD.又因为BC?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BC∥平面PAD. 又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面 PAD＝EF， 所以BC∥EF.又因为BC∥AD，所以AD∥EF. ②解由①知，AD∥EF，点E是PD的中点，
思维训练练习题
思维训练练习题 (1)一个纸盒子中有6个梨，要把它们分给6名同学，使每人得到一个梨，同时纸盒中仍留一个梨，请问如何分? 答：最后一个梨放在盒子里最后一个人拿着。 (2)一些同学去野营，带了用软木塞塞住的瓶装饮料，由于软木塞与瓶口齐平，无工具打开，请问如何喝到瓶中的饮料? 答：把软木塞压到瓶子里就可以喝到。 (3)桌上只有两根火柴，请问如何用它们摆成一个正方形? 答：将两根火柴折断。 (4)满满一大瓶雪碧，一口只能喝1/50，你能在10秒钟之内让瓶中的雪碧干吗? 答：能,把它倒掉。 (5)你能站在水泥地上，手里拿着一只生鸡蛋，手松后鸡蛋下落三尺而不破碎吗? 答：能，下三尺而不落在水泥地上。比如落在水里 (6)给你一根普通蜡烛、一盒图钉、一张说明书，请你用最简单的办法将蜡烛安放在垂直的墙上。 答：用说明书把蜡烛包裹紧，然后用图钉钉牢。前提你只说了是安放在垂直的墙上，没说蜡烛与墙面的位置是否也要垂直。 (7)两个人，一个脸朝东，一个脸朝西站着，不准回头，不准走动，怎样才能看到对方的脸? 答：两个人面相向站着。 (8)汽车停在一条不转弯的路上，车头朝东，怎样才能使汽车不转弯行驶，车却停在离原停车点西面4千米处? 答：倒退往西行驶4千米。 (9)在北国的严冬，一个戴着大棉帽子、穿着大衣的人领着一个男孩在路上走，有人问这个人：“这是你的儿子吗?”这人说：“是的，他是我儿子。”这人又问这个小孩：“这是你爸爸吗?”孩子接头说：“不是。”请同学们想一下，这是怎么回事? 答：因为那是小孩的妈妈。 (10)有一辆卡车，装着很高的货，当要通过一处铁路桥时，发现货物高出桥洞一点点，卡车无法通过，卸货重装则很费事，请你想个简单的办法解决这一难题。答：把轮胎的气放掉一点点。
谈空间思维能力的培养
一、利用计算机绘制生动、形象的立体图形，使学生通过对直观图形透彻的观察，理解抽象的理论概念。 在"多面体与旋转体的体积"这一章中，主要内容是柱、锥、台、球四种体积公式的推导，关键是对立体图形分析与理解。为了帮助学生在观察图形的基础上从感性认识向理性认识过渡，我们运用我校的计算机设备，与专职电脑编程人员密切合作，设计编制了图形软件来辅助教学。我们先根据讲解的需要设计出基本图形，再配合编程人员利用计算机先进的绘图系统进行绘制。在绘制过程中，我们利用画面的连续移动构成动画来体现切割、旋转、移动等动态动作。在讲解祖原理时，其主要内容为：两个等高的几何体，若被平行于底的平面截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等。为了体现其中的关键点：两个几何体任意位置的平行截面相等，我们绘制了多幅不同位置截面的图形，并将截面涂上鲜明的色彩，按顺序编排好，连续播放时即形成了截面上下移动的动画效果，使学生形象地认识到不同位置的平行截面处处相等。又如在讲解锥体的体积公式推导时，由于要将三棱柱分割成三个三棱锥，图形变化较大，学生不易理解，因此我们将切割过程从头至尾展现给学生，在讲解时又将所要比较的两个三棱锥逐步恢复到切割前的状态，再分开。随着分开一复原一再分开的移动过程，学生们清楚自然地得出了所要推证的结论，同时也使得教师的讲解轻松而且顺理成章。有了锥的体积公式，我们又进一步依据大锥被平行于底的平面截去一小锥得到台体的思路，利用已推导出的锥体体积公式去推导台体的体积公式。我们利用动画效果使一平面进行移动呈现出动割大锥的过程，即让平面从大锥锥体某处以平行于底的方式插入，从另一侧抽出，留下切割的痕迹，进而将截得的小锥移到其它位置，将剩下的台体展现给学生。这一过程的加入，在学生的头脑中非常深刻地留下了台体与锥体的联系，可以说是过目不忘，收到了很好的效果。 二、充分利用计算机绘图多功能的优越性，从多方位、多角度、多侧面描绘立体图形，解决平面立体图形与真实立体图形在视觉上的差异。 我们在平面上绘制立体图形就要考虑到视觉差异的问题。比如，在纸上画一个立方体，它的某些面就必须呈平行四边形，才给人一种"体"的感觉，而实际上立方体的各个面均为正方形。为了不使学生把直观感觉当作概念，我们设计了一些旋转变形动作。在讲球的体积公式时，应用祖原理，找到了一个与半球体积相等的几何体，即与半球等高的圆柱中间挖去一个圆锥，证明的关键是推导出二者在等高处的平行截面面积相等。从图上看，这两个截面分别为椭圆和椭圆环，而实际形状应为圆和圆环。为了更形象地说明问题，我们将这两个截面设计为从原位置水平移动出来，再水平旋转９０度使其成为竖直放置，这样两个截面就恢复了实际形状。同时我们又让环形截面中的小圆逐渐缩小至一点，使圆环变成与另一截面大小一样的圆，通过二者色彩的互换闪烁，使学生形象直观地感觉到是两个面积相等的截面，然后通过理论证明它们的面积相等。这样，从直观到理论两方面的配合，加深了学生的理解，使得这个难点顺利解决。 三、利用多媒体辅助教学，引导学生通过观察图形主动积极地去寻找解题思路。 现代教学论的思想核心是确认教师在教学中的主导地位的同时，认定学生在学习活动中的主体地位。因此教学的最终目的是启发和调动学生的主动性、积极性，让学生"会学"。在多媒体教学的尝试中，为了打破传统教学中的"老师讲，学生听"的习惯，我们将课上的习题"从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥后，得到一个正三棱锥，求它的体积是正方体体积的几分之几？"根据题意设计成动画情景。一个正方体依次被切去了四个角，把切去的部分放到屏幕的四角，中间剩下一个三棱锥，求三棱锥的体积。学生根据画面的演示，立即想到剩余部分是由整体减去切掉的。有了思路后，再从画面中清晰地推导出每个角的体积是