第二章 质点组力学讲解

的位矢为 Pi
作用在点

Pi 上各力的合力为
Fi

F (i) i

F (e) i
则质点
Pi 的运动微分方程为
mi
d
2
ri
dt 2


F (i) i

F (e) i
mi
d
2
ri
dt 2


F (i) i


F (e) i
应用于整个质点组，得
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2
第二章 质点组力学
§2.1 质点组 一、质点组的内力和外力 1 质点组
由许多（有限或无限）相互联系着或者说相互 作用着的质点所组成的系统
2 质点组的内力和外力
内力：质点组中质点间的相互作用的力。 特征：任何一对质点（例如第i个质点和
第j个质点）间的相互作用力，满足牛顿第三 定律，相等而相反，且在一条直线上。
4 xdm
3

dm
4 x ( 1x2 )dy 3 2
( 1x2 )dy 2
据相似三角形 y h
xa
y hx a
dy h dx a
XC
Xdm
dm
4 xdm
3

dm
4 x ( 1x2 )dy 3 2
( 1x2 )dy 2
dy h dx a
x
h
a y
解:如图建立坐标系，在距离顶点为 y 的地方，选取一半径为 x 的半圆薄片,作
微元，圆锥体的密度设为 ，则
O
x
dm (1 x2 )dy
2
y
又半圆薄片质心离圆心的距离
hx
d 4r 4x
3 3
即所选微元的x坐标为
4x
3
y
a
XC
Xdm
dm

n
n
F (i) i

F (e) i
i 1
i 1
n
Fi(i) 0
i 1
n
i 1
mi
d
2
ri
dt 2

n
n
F (i) i

F (e) i
i 1
i 1

n F (e)
i i 1
n
n mi
i 1
d
2
ri
dt 2

dn dt [ i1 (mi
r1 , r2 , . . . . .rn.
则，质心C对同n 一点O的位矢（矢量表达）：

rC
OC

mi ri
i1 n
mi
i1
在直角坐标系中（分量表达），则为
n
mi xi
XC

i1 n
mi
i1
n
mi yi
YC

i1 n
mi
i1
n
mi zi
断质心x,y,z坐标中，那些是零，那些不是零 （2）应用公式求解，对连续体
xdm X C dm
ydm YC dm
zdm ZC dm
在这一步，应适当选取微元，并合理表达出微
元质量及坐标，积分时能利用各种几何关系尽
量减少变量或积分变量。
例2.正圆锥体底边半径为a,高为 h,今用一通过 其轴的平面，将其等分为二，则任意一半的质心 和轴的距离为 a ，试证明之。假定正圆锥体的密 度是常数。
dm
r cosrddr rddr



cosd
a r 2dr

0

a
d rdr
0

2sin a3 3
2 a2 2
2 sin 3a

对于半圆片:

2
2 sin 4a X C 3 a 3
求质心的一般步骤: （1）根据对称性，建立适当坐标系，并判
3 总体的研究方法
我们要研究质点组中各质点的运动情况，我 们就需对各质点应用牛顿运动二阶微分方程，若 分x,y,z方向则一个质点就需三个，n 个质点需 3n个。并且质点间的相互作用力，即内力通常 未知，所以用隔离物体法研究相互作用着的各质 点的运动情况是不切实际的，但我们应用动力学 定理或定律常可把其内力消去，从而使得质点组 整体的某些运动特征
3
分析：应适当建立坐标系，由对称关系，在直角 坐标系中，以对称轴为x轴，于是质心必在x轴上
适当选取一微元，设其坐标为x,则
xdm X C dm
设均匀扇形面积的密度为 ，任取一小面元
则 ds
dm ds rddr
x r cos
xdm
XC
XC
Xdm
dm
4 xdm
3

dm
4 x ( 1x2 )dy 3 2
( 1x2 )dy

4 3
2
x3dx x2dx
4
3
a x3dx
0
a x2

a
0
§2.2 动量定理与动量守恒定律
一、动量定理
设有n个质点组成的质点组，其中某一个质点
的质量为 mi ，对某惯性参照系的坐标原点O
ZC

i1 n
mi
i1
若为连续体，则需用重积分来计算
xdm X C dm
ydm YC dm
zdm ZC dm
r 若 是相对质心C的位矢， y
则
i
n

0 rC
OC

mi ri
i1 n
a

mi
n
i1
mi ri

0
x
i1
例1，求均匀扇形薄片的质心，并证明半圆片的 质心离圆心的距离为 4a
dri )] dt
d[ (mivi )]
i 1
dt

dP dt
n
P (mivi )
为质点组的总动量，等于质点组中各i 1质点 Nhomakorabea量的矢量和
则

dP dt

n i 1
F (e)
i
或
n
dP Fi(e)dt i 1
此即质点组动量定理，即质点组动量对时 间的微商等于作用在质点组上诸外力之矢量和， 或者质点组动量的微分等于作用在质点组上 诸外力的元冲量之矢量和

用数学形式表达： fij f ji 0 fij 表示第j个质点对第i个质点的作用力
若质点组由n个质点组成，则质点组中诸内力
之和必等于零，即：

n n
F i
fij 0
i1 j1
ji
外力： 质点组以外的物体对质点组内任意质点
的作用力
在力学中，如果，一质点组不受任何外力，则该 质点组就称为孤立系或闭合系。
4.质心
人们在应用动力学定律研究质点组的运动时， 发现：在质点组中恒存在一特殊点，它的运动很 容易被确定，若以这个特殊点作为参考点有 问题简化。我们把这个特殊点，称做质点组的 质量中心，简称质心。其具体定义：
设n 个质点组成的质点组，它们的质量分别为 m1, m2, m3, …..mn，位于P1,P2,P3…….Pn诸点。 这些点对某一指定的参照点O的位矢分别为：