高中数学必修4、5公式总结

高中必修4、5公式定理及常见规律

1.三角函数

1.1终边相同的角

⑴α与)(Z k k ∈+απ

表示终边相同的角度;

⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同; ⑶而α与)(Z k k ∈+απ

表示终边共线的角.

⑷终边相同的角的集合表示:},2|{Z k k S

∈+==παββ或者},360|{Z k k S ∈⋅+== αββ

1.2特殊位置的角的集合的表示

1.3孤独之与角度制互化

rad 1（弧度）π

180

=

度

7.53≈

1.4扇形有关公式

⑴弧长公式:R l

||α=;

⑵扇形面积公式:2||2

1

21R lR S α==扇形

(注 想象成三角形面积计算公式) 1.5任意角的三角函数定义

以角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ,点P 到原点的距离记为r ,则x

y r x r y ===

ααα

tan ,cos ,sin .

1.6三角函数的同角关系

⑴商数关系:

αααtan cos sin =, 其中Z k k ∈+≠,22ππ

α.

⑵平方和关系:

1cos sin 22=+αα;

1.7三角函数的诱导公式

诱导公式（一）απαsin )2sin(=+k ; απαcos )2cos(=+k ; απαtan )2tan(=+k ; 诱导公式（二）α

απsin )sin(-=+;

ααπcos )cos(-=+; ααπtan )tan(=+;

诱导公式（三）ααπ

sin )sin(=-; ααπcos )cos(-=-; ααπtan )tan(-=-;

诱导公式（四）ααsin )sin(-=-; ααcos )cos(=-; ααtan )tan(-=-;

诱导公式（五）ααπcos )2sin(=-; ααπ

sin )2cos(-=-;

诱导公式（六）ααπ

cos )2sin(

=+; ααπ

sin )2

cos(-=+; 1.8特殊的三角函数值

1.9三角函数的图象与性质

2.三角恒等变换

2.1三角函数呵、差公式（要记住）

()()()βαβαβαβα++-=C C sin sin cos cos ； ()())(sin cos cos sin βαβαβαβα---=S S

()())(sin cos cos sin βαβαβαβα+++=S S ； ()())(tan tan 1tan tan βαβαβαβα--+-=T T ；()())(tan tan 1tan tan βαβαβ

αβα++-+=T T

2.2三角函数二倍角公式（要记住）

()αααα2,cos sin 22sin S =； ()αααα222,sin cos 2cos C -=； ()αα

αα22

,tan 1tan 22tan T -= 2.3三角函数降幂公式（要记住） ααα2sin 21cos sin =

; 2

2cos 1sin 2αα-=；

2

2cos 1cos 2α

α+=

2.4三角函数半角公式（要记住）

2

cos 12

sin

θθ

-±

=;

2

cos 12

cos

θθ

+±

=;

2

2cos 12

sin 2

θ

θ

-=

;

2

2cos 12

cos 2

θ

θ

+=

;

2

sin 2cos 12

θ

θ=-； 2

cos 2cos 12

θ

θ=+;

θ

θ

θθθθθ

sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12

tan

-=

+=+-±

=

2.5辅助角公式(也称化一公式)（会用）

)sin(cos sin cos sin 22222

222ϕθθθθθ++=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⋅+=+b a b a b

b a a b a b a 注 其中辅助角ϕ与点),(b a 在同一象限,且a

b

=

ϕ

tan ;特殊情况: )4sin(2cos sin πθθθ±=±, )3

sin(2cos 3sin π

θθθ±=±

2.6三角函数求值常见公式变形（会用）

⑴

)tan tan 1)(tan(tan tan )tan tan 1)(tan(tan tan βαββαβαββα+-=--+=+a a

⑵

⎪⎭

⎫

⎝⎛±=±απαα4tan tan 1tan 1

⑶()

2

cos sin 2sin 1ααα

±=±

2.7三角变换的一般方法

⑴角的变换:包括角的分解和角的组合,如22),4(24

,222

,

)(αααππαπ

βαβαβ

αββαα

⋅

=+±=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-+=

()()βαβαα-++=2等.

⑵三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式; ⑶常值代换:如“1”的活用.145tan ,1cos sin

22

==+ αα等.

2.8三角函数化简、求值或证明的解题原则

基本原则:由繁到简、减名化角．．．．．．．．．

函数种类最少、项数最少、函数次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.

3.解三角形

3.1正余弦定理

⑴正弦定理:

R C c

B b A a 2sin sin sin ===,（其中R 为三角形AB

C 外接圆的半径）

变式:C B A c b a B

A B

A b a b a sin "sin :sin ::,sin sin sin sin =-+=-+

⑵余弦定理:

⎪⎩

⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222

22222 变形公式: ⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧-+=

-+=

-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222

⑶余弦定理的常见结论:ab b a c C ab b a c C ++=⇔=-+=⇔=222222120;60

⑷判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为

角角关系.若c 为最大边,

ABC c b a ∆⇔>+222为锐角三角形; ABC c b a ∆⇔=+222是直角三角形;

ABC c b a ∆⇔<+222为钝角三角形;

注

ABC ∆中,若B A 2sin 2sin =,可以得出B A 22=或π=+B A 22;而B A 2cos 2cos =,可以得出B A 22=,即B A =

3.2三角形面积公式

h a S ABC ⋅=

∆21,A bc B ac C ab S ABC sin 2

1

sin 21sin 21===∆、C 3.3三角形中常见规律

⑴三角形中的射影定理:在ABC ∆中,C c A a b cos cos ⋅+⋅=; ⑵在ABC ∆中,角

A 、

B 、

C 成等差数列⇔ 60=B ;ABC ∆为正三角形⇔角A 、B 、C 成等差数列,边a 、b 、c 成等比数列.