2020高三数学冲刺训练含答案

2020 高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！ 一、选择题：
[
]1 已知：f ( x )
是 R 上的增函数，点
A (1,3)
、B (1,1)
在它的图像上， 1
( x )
为其反函数，则不等式
| f 1
(log x | 2
＜1 的解集是
(2,9)。

（A ）(1,3) ；
（B ）(2,8) ； （C ）(1,1) ； （D ）
[
]2 定义在 R 上的函数
f ( x )
满足
f ( x 2) 3 f ( x )
， 当
x [0, 2]
时 ，
f ( x ) x 2
2 x
，则当
x [4, 2] 时， f ( x )
的最小值是（A ） ；（B ）
9
1 1 3 9
；（D ） 1。

[
]3 设曲线
y x
4
ax b
在
x 1
处的切线方程为
y x
，则
（A ）a 3, b 3
；（B ）a 3, b
3
；（C ）a
3,b
3
；（D ）a
3,b 3。

[
]4 已知数列
10 1 11 、10 2 11
、10 3 11
、……、10 n 11
、……，它的前 n 项积大于
105
，
则正整数 n 的最小值为 （A ）8； （B ）10；
（C ）11；
（D ）12。

[
]5 集合
M
x,y y k,k R ，
N
x,y
y a
x
1,a 0且a 1
，若
M N
只有
一个子集，则实数 k 的取值范围为
（A ）（
，1）； （B ）（
，1]
；
（C ）（1，）；（D ）（
，
）。

[
]6 有 4 位学生参加某种竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、 乙两题中任选一题作答，选甲答对得 100 分，答错得 100 分；选
乙答对得 90 分，答错得
90
分。

若 4 位同学的总分为 0 分，则这
4 位同学不同得分情况的种数是
（A ）48；
（B ）36；
（C ）24；
（D ）
f 1
；（C ）
18。

[
]7 某班有 48 名学生，某次数学测验，算术平均分为 70 分，标准差
为 S
，后发现成绩记录有误，某甲得 80 分却记为 50 分，某乙得
70 分却记为 100 分，更正后计算得标准差为 小关系是
S ，则 S 与 S 之间大
1
1
（A ） 1
＞
S
；
（B ）S
1
S
； （C ）S 1
＞
S
5
； （D ）
S ＜ S 。

1
[
]8 四棱锥 P ABCD 中， AD 面PAB ， BC 面P AB ，底面 ABCD 为梯形，
AD 4，BC 8，AB 6 ， APD
CPB
， 满 足 上 述 条 件 的 四 棱 锥
P ABCD
的顶点
P
的轨迹是
（A ）圆； （B ）不完整的圆； （C ）抛物线； （D ）抛物线的 一部分。

[
]9 已知实数
a 0，
b 0
且
a b 1
（a 1）2
（b 1）2的取值范围为
（A ）
2
9
9 [ ，+） [0， ] 2
2
； （D ）
[0，5]。

[
]10 若 a
2 b
2
1,b
2
c
2
2, c
2
a
2
2
，则
ab bc ca
的最小值为
（A ）
3
1 2
； （B ）
3
1
2 ； （C ） 1
2
3
；
（D ）
1
2
3。

二、填空题：
11 已知曲线
y x
2 ，则过点 P （2，4）的切线方程为 _________________
；已知
曲线
1 4 y x 3 3 3
，则过点 P （2，4）的切线方程为 _________________。

12 若 x 1 y 2 5 ，则 z x y 的最小值等于 ________ 。

13 设 f ( x ) 2sin( x
)
，若
f ( x )
的图像向左平移至少 个长度单位后得到
8
S ，则
9
[ ， 5] ； （B ） ； （C ）
的图像恰为奇函数的图像，而向右平移至少个长度单位后得到的图
8
像恰为偶函数的图像，则f(x)的最小正周期为________。

14 将一个侧棱互不相等的四棱锥S ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有 5 种颜色可供，那么不同的染色方法种数为_________。

15 给出命题：①圆（x+2）
2（y-1）21
关于点M（-1，2）对称的圆方程为
（x+3）2（y-3）21；②双曲线x2y21
169
右支上一点P到左准线距离为18，则该点到右焦点距离为29
2
；③顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
（-4，-3）的抛物线方程只能是y2x；④P、Q是椭圆x24y216
4
上两个动点，O为坐标原点，直线OP、OQ的斜率之积为1
4
，则|OP|2|OQ|2
等于定值20 。

把你认为正确的命题序号填写在横线上_________________。

16已知椭圆的离心率为，
2F 、F是两个焦点，Q是椭圆上任意一点，12
则FQF
12
的最大值为_____。

三、解答题：
17 甲、乙两公司生产同一种产品，经测算，对于函数f(x)、g(x)及任意的x 0，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于
否则无失败风险。

g(x)万元，则甲公司有失败的风险，
（Ⅰ）试解释f(0)11、g(0)21的实际意义；（Ⅱ）当1
f(x)x 11
5，
3
9
2
g ( x ) x 21
时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双
方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用。

问此时甲、乙两公司 各应投入多少宣传费？
18 如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，PG 平面 ABCD ，
垂足为 G ，G 在边 AD 上，且
AG GD ， BG GC ，G B GC 2 ， E 是边
3
BC
的中点，四面体 P BCG 的体积是 8 3。

P
（Ⅰ）求异面直线 G E 与 PC 所成的角；
（ Ⅱ ） 求 点 D 到 平 面 PBG 的 距 离 ； A G
D
（Ⅲ）若点
F
是棱
PC
上一点且
DF GC
，
求 的值。

FC
1 PF
B
E
C
19 已知数列 {a
n
}
1 a
2 a
a
{b } a 2a a (a ) b n (n N ) 2 a a
a
n
n
（a ＞0）。

（Ⅰ）求数列
{b } n
的通项公式并证明：
n
a
a
n 1
32 1
；（Ⅱ）设
S n
是数列
{a }
n
的前 n 项的和，当 n 2 时
S 与 (n )a 3
是否有确定的大小关系？若有则
加以证明；若没有则说明理由。

与 满足关系： ，
， n 1 n 1
n n a
a n 1
4 n
20 从原点出发的某质点M，按照向量a (0,1)移动的概率为，按照向量
3
b (0,2)移动的概率为，设M可到达点(0,n)的概率为P。

3
（Ⅰ）求P
1、P
2
；（Ⅱ）求证：P P n
2n 1
1
(P P)
n 1n
；（Ⅲ）求P
n
的
表达式。

21已知点(x,y)在椭圆x2y2C:
1
a2b2（a＞b＞0）的第一象限上运动。

v2
v1
n
3
（Ⅰ）求点P( ,xy)
x 的轨迹C
/的方程；（Ⅱ）若把轨迹C/ 的方程表达式记
为：y f(x)，且在区间(0,3
3)
内y f(x)有最大值，试求椭圆C的离心率
的取值范围。

1B2A3D4C5B6B7D8B9A10C
11、420；4x y 40；4x y 40及x y 20；12、；13、2π；14、
2
15、②④；16、。

2
解17①：f(0)11表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要回避失败的风险至少要投入11万元的宣传费；g(0)21表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要回避失败的风险至少要投入21万元的宣传费。

②设甲、乙公司投入的宣传费分别为x、y 万元，当且仅当
1
y f(x)x 11
5
x g(x)y 21易解得……①，
……②时双方均无失败的风险，由①②得1
y ( y 21)11
5
y 16，所以x y 2125，故x
min 25,y
min
16。

解18：y
27
解19：①∵
1a2
(a )a
a a2a(a a)
b n 1n n
a a1a(a a)
n 1(a )a n
2a
n
2
2
b
n
2
＞0，∴lg b 2lg b
n 1n
，
又 a a
b 1
a a
13lg b (lg3)2
n
n
1
，所以b 32
n
n 1，
b 132
a n a
b 132
n
n 1
n 1
1
1
a
，
∴a a2a
n n b 132 a a a a
n 1n n 1
1。

②当n 2时a
n 1a
a a
n
321
1
10
(a a)
n
（当且仅当n 2时取等号）
∴a a
3
1
10
11
(a a)a a(a a)a a(a a)
1010
，
∴15a S a a (n 2)a[S a (n 2)a]a 2a a
104
∴65
10S a 10(n 2)a
2＜S a 2a (n 2)a
n n
，
∴S＜[(n 2)
n 61321251234
]a(n )a (n )a(n )a 189(321)189183。

解20：①点M到达点(0,1)的概率P
11
3。

点M到达点(0,2)的事件由两个互斥的事件组成：点M先按向量a (0,1)移动到达点（0，1），再按向量a (0,1)平移动到达点（0，2），此时概率为()2；
3
点M 按向量b (0,2)移动直接到达点（0，2），此时概率为。

故所求概率
3
217；
P ()2
339②
点M到达点(0,n 2)的事件由两个互斥的事件组成：从点(0,n 1)按向量
v
a (0,1)移动，此时概率为2
3
P
n
1
；从点（0，n）按向量v b (0,2)移动，此时概
率为1
3P
n。

于是
211
P P P P P (P P) 333；
③由②可知数列
n 2P
n 1
是以P P
21
为首项，为公比的等比数列，
93
n
n 12
n
1
，∴
n
n
n 1
，＜……，＜
4n
23n 1
＜，∵，，
n121
n 112
n
＜
n 1＜
n 1
v
v2 v1
2
即
n 2n 1n n 2n 1n 1n
P
11
即P P
n n 1111
()n 2()
933
n故
113
P ()n
434。

x a cos
解21：①椭圆C:x2y2
1
a2b2
（a＞b＞0）的参数方程为y b sin （θ为参数）
又设点(x,y)
00是轨迹C /上任意一点，则y b
x tan
x a
1
y xy ab s in
2
2
（θ为参
数）
消去参数θ得y ab
tan
1tan2b
a2b2x
2a2x
2
，故轨迹C
/的方程
a2x2y a2b2x b2y 0。

②把方程a
2x2y a2b2x b2y 0表达为函数解析式为：y f(x)a2b2x
b2a2x2
，可
证函数在(0,)上为增函数，在( ,
)a a
上为减函数，因此函数在(0,)上有
最大值且在x b
a 处取得最大值，要使函数在(0,3
3
)
内取到最大值，则只要3
＜即＜，从而＜a3a23e
＜1。

n
b b
b3b16
2。