104753150620 姚鸿泰 关于SI模型的线性多步法求解讨论

高等数值分析课程论文关于SI模型的线性多步法求解讨论

姓名：姚鸿泰

学号： 104753150620

学院：数学与统计学院

专业：概率论与数理统计

时间： 2016年6月

关于SI 模型的线性多步法求解讨论

姚鸿泰 概率论与数理统计 104753150620

摘 要：本文首先介绍了SI 模型——易感染者与已感染者模型，并对该模型建模，得到非线性常微分方程.之后运用线性多步法求解该非线性常微分方程，并在最终给出误差图. 关键词：SI 模型；线性多步法；Adams 外插公式；Adams 内插公式；Adams 预估—校正公式

一、模型背景及建模

传染病经常在世界各地流行，如霍乱、天花、艾滋病、SARS 、H5N1等.建立传染病的数学模型，分析其变化规律，防止其蔓延是一项重要而艰巨的任务.此处仅就一般的传染规律讨论传染病的数学模型.

假设传染病传播期间该地区总人口不变，为常数n.开始染病人数为0x ，在时刻t 的健康人数为()t y ，染病人数为()t x .由于总人数为n ，所以有：

()()n t y t x =+. （1.1）

设单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数呈正比，比例为常数k ，称k 为传染系数，于是：

()()()().0d d 0x x t x t ky t

t x ==， （1.2） 注意到（1.1）式可得：

()()00,d d x x x n kx t

x

=-= （1.3） 上述模型就是SI 模型，即易感染者（Susceptible ）和已感染者（Infective ）模型.

二、Adams 方法的介绍

Adams 方法本质上就是由数值积分方法构造的线性多步法的一种形式.对于非线性常微分方程：

()()()⎩

⎨

⎧=='00,y x y x y x f y ， （2.1） 将))(,(x y x f y ='方程两端从k n x -到1+n x 积分得：

⎪⎩⎪⎨

⎧=+=⎰+--+0

01)())(,()()(1y x y dx x y x f x y x y n k

n x x k n n （2.2） 对))(,()(x y x f x F =取等距插值节点k n n n n x x x x --+ 11,,，对应的函数值为

))(,(,)),(,(11++--n n k n k n x y x f x y x f .如果k 取不同的值，以及)(x F 取不同的插值多项式

近似，由上式就可以推导出不同的线性多步公式. 1、Adams 外插

式子（2.2）中，如果k=0，并选择321,,,---n n n n x x x x 作为茶直接点，对函数()x F 作三次差值多项式：

∑∏=-≠=---⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=3

0303)()(i i n i j j j n i n j n x F x x x x x L ， （2.3）

差值余项为：

n n n n n n x x x x x x x x x x F x R ≤≤----=

----ξξ3321)

4(3))()()()((!

41)(， （2.4） 把)()()(33x R x L x F +=代入（2.2）得到：

⎰

⎰

++++=+1

1

)()()()(331n n

n n

x x x x n n dx x R dx x L x y x y （2.5）

略去第三项，得：),5,4,3()()()(1

31 =+

≈⎰

++n dx x L x y x y n n

x x n n .

对于上式积分部分用变量代换th x x n +=，并注意:

h x x x x x x n n n n n n =-=-=------32211,则:

)](9)(37)(59)(55[24

)]2)(2(3)()3)(1(2)()

3)(2(2)

()3)(2)(1(!3)([

)(3213211

031

-------+-=++-++++++-++++=⎰⎰

+n n n n n n n n x x x F x F x F x F h hdt

t t t x F t t t x F t t t x F t t t x F dx x L n n

由以上分析可得线性四步Adams 显示公式：

)

,5,4,3()],,(9),(37),(59),(55[24

3322111 =-+-+

=------+n y x f y x f y x f y x f h

y y n n n n n n n n n n （2.6）

其局部截断误差就是数值积分的误差，即：

⎰

⎰

+-+------==1

11

))()()()((!

41)(32)

4(3n n

n n n n

x x n n n x x n dx x x x x x x x x F dx x R R ξ（2.7） 因为))()()((321-------n n n n x x x x x x x x 在[]1,+n n x x 上不变号，并假设)()4(x F 在

[]1,+n n x x 上连续，利用积分中值定理，存在[]1,+∈n n n x x η使得：

)(720

251)(720251))()(()()(!

41)5(5)4(5321)

4(1n n n n n x x n n n y h F h dx

x x x x x x x x F R n n

ηηη==----=---⎰+ （2.7）

因为插值多项式)(3x L 是在[]n n x x ,3-上作出的，而积分区间为[]1,+n n x x ，故又称为Adams 外插公式. 2、Adams 内插

若取0=k ，并选择211,,,--+n n n n x x x x 作为插值节点，作函数)(x F 的三次插值多项式.类似于外插公式，可得：

[]2111519924

--+++-++

=n n n n n n f f f f h

y y （2.8） )(720

19)

5(5n n y h R η-= （2.9）

该公式称为Adams 内插公式，又称三步隐式方法.

3、Adams 预估—校正

由于Adams 内插公式是隐式方法，故用它做计算需使用迭代法.通常把Adams 外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，即

)

,5,4,3;,2,1,0(]519),(9[24]9375955[2421)(11)1(1321)

0(1 ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+-++=-+-+=--++++---+n k f f f y x f h y y f f f f h y y n n n k n n n k n n n n n n n （2.10）

当

183<≤∂∂L y

f h 在求解区域内成立时，迭代收敛. 但若上式中的第二式只迭代一次便得到Adams 预估-校正格式