一类混合整数规划问题的全局最优性条件

因为对任意的 i ∈ M , q ≤ 0 ，可得到： i
x(a0 + (A x) ) ≤ 0, ∀i ∈ M 和 diag(X (a + A x)) ≺ 1 (v − u) Q ≺ 1 (v − u) Q ≺ 1 (v − u) A 。
i
0i
0
0
2
2
2
( ) 反之，如果 (SC) 成立，令 1 2
v−u
i
j
2
对任意 x ∈ S ，令
x i
:=
⎧⎪⎪⎨1−,1如, 如果果xi x=i
= v
u
( ) ⎪
⎪⎩
a0 i
+Ax 0
,如果x
i
i
∈ (u, v)
X := diag(x ,..., x ).
1
n
对 Q = diag(q ,..., q ), q ∈ R ，令
1
n
i
⎧min{0, q }, 如果i ∈ M
1
2
n
1
2
n
素都为 0 的对角矩阵。
定义 2.1 设 f : R n → R , L = { l | l : R n → R } , 如果 f (x) ≥ f (x ) + l(x) − l(x ),
0
0
∀x ∈ Rn ，则称 l 是 f 在 x 处的 L-次梯度， f 在 x 处的所有 L-次梯度的集合称为 f 在 x 处
Rn +
表示 R n 上的非负子空间， S n 表
ห้องสมุดไป่ตู้
示 n 阶实对称矩阵；对于 x , y ∈ R n , x ≥ y 表示 x ≥ y , i = 1, .. ., n ；A 0 表示 A
i
i
是半正定矩阵；用 d i a g (α , α , ..., α ) 表示对角线上的元素为 α , α , ..., α ，其余元
−∂ f (x) ∩ N (x) ≠ ∅ 。
L
L ,S
值得注意的是,对一般函数 f ，集合 S ，以及一般的函数集合 L ，计算 ∂ f ( x ) 和 L
N ( x ) 是很困难的。但当 f 是二次函数， L 是由一些二次函数所成的集合时，却有下 L ,S
列结论。
设 S 表示 n × n 对称矩阵的集合，带二次约束的二次规划问题的一般形式为： n
Q = diag( X (a + A x)) ，则
0
0
Q =Q，A−Q 0
( ) 即 A − Q
0
和
diag( X (a 0
+
A x)) 0
≺
1 2
v−u
Q 成立。
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定理3.2(问题 (MQP) 的全局充分性条件)令 x ∈ S 。 如果 (SC) 成立，则 x 是问题 (MQP)
类似地，由定义， −l ∈ N (x) 当且仅当
1
L,S
−l (x) + l (x) ≤ 0, ∀x ∈ S
1
1
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令 l (x) = 1 xTQx + β T x ，则上式成立当且仅当
1
2
1n ∑ q (x
− x )2 + (β
+ q x )(x
− x ) ≥ 0 ，对任何 x ∈ S
− x ) ≥ 0 ，对所有 x
∈
u, v
;
2i i
i
i
ii
i
i
i
通过分别讨论 xi 的如下三种情形:
x = u, x = v, x ∈ (u, v), ，及讨论 q 的如下两种情况:
i
i
i
i
q ≥ 0 和 q ≤ 0 ，我们很容易验证1等价于
i
i
x (β + q x ) ≤ 1 (v − u) min{0, q }.
的全局极小点.
证明: 该结论由定理2.1和引理3.1可直接得到。
{ } [ ] { } 当 S :=
x | x ∈ −1,1 , i ∈ M; x ∈
i
j
−1,1 , j ∈ N
, 易得如下结论:
推论3.3 令 x ∈ S 和 N = ∅ ， 如果 X (a + A x) ≤ 0 及 diag(X (a + A x)) ≺ A ，则 x 是规划
0
0
0
的 L-次微分，记作 ∂ f ( x ) 。 L
注意在上面定义中若 L 是定义在 R n 上的线性函数的集合，那么对于定义在 R n 上的实
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值凸函数 f ，有 ∂ f ( x ) = ∂ f ( x ) ，其中 ∂ f ( x ) 是凸分析意义下的次微分。 L
(QQP )
min 1 xT A x + aT x
2
0
0
s.t. 1 xT A x + aT x + c ≤ 0, i = 1, ..., m
2
i
i
i
其中 A ∈ S , a ∈ Rn , c ∈ R, i = 1, ..., m 。为行文方便，令 f (x) := 1 xT A x + aT x ，对每个
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一类混合整数规划问题的全局最优性条件
王杉林
兰州大学数学与统计学院，甘肃兰州（730000）
E-mail: wangshanl05@lzu.cn
摘 要：本文研究了带箱约束混合二次规划问题的全局最优性条件。利用全局次微分（L次微分）方法，对一般二次函数的L-次微分进行了全面刻画，最后建立了带箱约束混合二次 规划问题一个局部最优解是全局最优性的一个充分条件。
q i
:=
⎨ ⎩qi
,
i
如果 i
∈
N
Q = diag(q , ..., q ).
1
n
性质 3. 1 对任意的 x = (x ,..., x ) ∈ S, 有
1
n
{ ∂ f ( x ) = 1 x T Q x + β T x | A − Q
L
2
} 0 , Q = d i a g ( q ) ; β = a + ( A − Q ) x
x
∈∂ L
f
(x)
和
−l(x)
=
−
1 2
xT Qx
−
βT
x
∈
N L,S
(x)
，这里 Q
=
diag (q )
，满足如下
的条件: A − Q 0, β = a + ( A − Q)x 和 diag( X (β + Qx)) ≺ 1 (v − u) Q ，即
0
0
2
A − Q 0 和 diag( X (β + Qx)) ≺ 1 (v − u) Q ， 2
2 ii i =1
i
i
ii
i
i
所以， −l ∈ N (x) 当且仅当
1
L,S
1． 对任意的 i ∈ M ,
[ ] 1 q (x 2i i
− x )2 i
+ (β i
+ q x )(x
ii
i
−
x i
)
≥
0
，对所有
xi
∈
u, v
;
2． 对任意的 i ∈ N ,
{ } 1 q (x
− x )2 + (β
+ q x )(x
ii
ii
2
i
通过分别讨论 x 的如下两种情形: x = u, x = v, 及讨论 q 的如下两种情况: q ≥ 0 和 q ≤ 0 ，
i
i
i
i
i
i
我们很容易验证2等价于
x (β + q x ) ≤ 1 (v − u)q
ii
ii
2
i
引理3.1 令 x ∈ S ，则 −∂ f (x) ∩ N (x) ≠ ∅ 当且仅当
关键词：非凸二次规划, L-次微分,全局优化条件
中图分类号：O221.2
文献标示码：A
1. 引言
考虑下列优化问题：
( MQP )
min f (x) := 1 xT Ax + xT a 2
s.t. xi ∈[u, v], i ∈ M
x j ∈{u, v}, j ∈ N
( ) 其中 A∈ Sn , a = a1,..., an ∈ Rn , M , N ⊂ {1,..., n}, 且 M ∩ N = ∅, M ∪ N = {1,...n}, u, v 都为整数
且 u < v 。(MQP) 是一类特殊的二次规划问题，同时也是组合优化理论重要的研究对象。它
也有很多实际的应用，例如二次分配问题，图论中的极大团问题，背包问题等等。Beck,A.and
Teboulle,M.在文献[1]中研究了当
x
∈
{−
1
,
}n
1
时的全局最优性充要条件，在文[2]中作者又
研究了 x ∈[u , v ]n 时的一个全局最优性充分条件。本文推广了上述文献中的一些结果，给出 ii
i
ni
i
2
0
0
i = 1, ..., m ， g ( x) := 1 xT A x + aT x + c 。 S = {x ∈ Rn | g (x) ≤ 0, i = 1, ..., m} ，
i
2
i
i
i
i
取 L = {l : Rn → R | l(x) = 1 xT Ax + bT x, A ∈ S , b ∈ Rn } ，容易看出 L 是线性空间，于是当
定 义 2.2 (L- 正 则 锥 ). 对 一 个 给 定 的 集 合 D ∈ R n , D 的 L- 正 则 锥 N 是 L ,D
{ } 指: N L , D
:=
⎧ l ∈ L : l(y) − ⎨ ⎩∅ ,如 果 x ∉ D
l(x)
≤
0, ∀ y
∈
D
如果x∈ D
注意到如果集合 L 是线性函数所成的集合,则 N = N ,此处 N 是指一般凸分析意
s.t. xi ∈[u, v], i ∈ M
x j ∈{u, v}, j ∈ N
( ) 其中 A∈ Sn , a = a1,..., an ∈ Rn , M , N ⊂ {1,..., n}, 且 M ∩ N = ∅, M ∪ N = {1,...n}, u, v 都为整数
且u < v。
令
{ } { } [ ] { } S := x | x ∈ u, v ,i ∈ M; x ∈ u, v , j ∈ N ，L := 1 xTQx + β T x | Q = diag(q), q, β ∈ Rn 。
了 (MQP) 的一个全局最优性充分条件。
2. 非凸优化问题的全局最优性条件
本小节主要根据文[1]给出了 L-次微分的概念，并利用此概念考虑了非凸优化问题的全 局优化条件和 Lagrange 乘子条件之间的关系，建立了对于一般带二次约束二次优化问题的 全局最优性条件。
我们将用到下列符号： R n 是 n 维欧式空间，
{ } ( ) N ( x ) = − 1 x T Q x − β T x | d ia g ( X ( β + Q x ) ) ≺ 1 v − u Q .
L ,S
2
2
证明： 设 l ∈ ∂ f (x) 则有 L-次微分定义得
0
L
l (x) − l (x) ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ Rn
L
L,S
(SC )
( ) x(a0 + ( A x) ) ≤ 0, ∀i ∈ M 及 diag( X (a + A x)) ≺ 1 v − u A
i
0i
0
0
2
证明：由命题，我们有 −∂ f (x) ∩ N (x) ≠ ∅ 当且仅当存在 q, β ∈ Rn 使得
L
L,S
l(x)
=
1 2
xT Qx
+
βT
L
2
n
}0
定理 2.2[3]
对于问题 (QQP)
，设 x
∈S
，如果存在 λ i
≥
0, i
= 1,..., m 满足：
λ ∑ A m i=1 i i
+
A 0
局极小解。
0,
(∑m i =1
λ i
A i
+
A 0
)x
+
(∑m i =1
λ i
a i
+
a) 0
=
0
且
m
∑
λg ii
(x)
=
0
，那么
x
是
(QQP)
的一个全
i =1
此定理的证明见文[2]。
定理 2.2 给出了 x 是 (QQP) 的一个全局极小解的充分条件。
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3. 带箱约束混合二次规划问题的全局最优性充分条件
考虑下列在引言中所给的优化问题
( MQP )
min f (x) := 1 xT Ax + xT a 2
L ,D
D
D
义下的凸集的正则锥。
考虑优化问题（P） min{ f (x) : x ∈ S = {x ∈ Rn | g (x) ≤ 0, i = 1,..., n}}。 i
定 理 2.1 设 f : R n → R , S ⊂ R n , x ∈ S . 令 L = {l | l : Rn → R}, 使 得 对 任 意 l ∈ L 有 −l ∈ L .如果 f ∈ L ,那么 x 是（P）的一个全局极小点的充要条件是
0
0
取l (x) 0
=
1 2
xTQx +
xT β
，ϕ(x) = f (x) − l (x) ， 0
显然对任意 x ∈ Rn ，ϕ (x) = 1 xT ( A − Q) x + xT (a − β ) ≥ ϕ (x) 2 即ϕ (x) 在 x 取得极小值，注意到ϕ (x) 是二次函数，故ϕ (x) 是凸函数，因此 A − Q 0 ， ∇ϕ (x) = 0 ；再由 ∇ϕ (x) = 0 可知： β = a + ( A − Q ) x
2
n
l ∈ L 时−l ∈ L 。
性质 2.1 设 h ( x ) = 1 x T A x + a T x + c , A ∈ S , a ∈ R n , c ∈ R 。
2
n
{ 则 ∂ h ( x ) = 1 x T A x + b T x | A = A − B , b = a + B x , B ∈ S , B