高中数学二次函数分类讨论经典例题

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例1（1）关于的方程有两个实根，且一个大0??14)x?2mx?2(m?3x2于1，一个小于1，求的取值范围；m（2）x?2(m?3)x?2m?14?0mx),4[02的取值范围；关于有两实根都在的方程内，求

??2外，求m的取值范围⑶关于x的方程有两实根在31,0(m?3)x?m?14?2x?2（4）关于的方程有两实根，且一个大于4，一个小0?14?x(m?3)?2m?mx2x2于4，求的取值范围.

m3例求实数，上的最大值为13已知函数在区间3a?)?1x2?ax)(fx?(a]2?[,22的值。

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解（1）令，∵对应抛物线开口向上，∴方程有14?2m?3)x?f(x)?x?2(m2两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于（思考：需要吗？），0)?f(10??21即.??m4（2）令，原命题等价于

14m?)x?2)?x?2(m?3f(x2f(0)?0?2m?14?0??f(4)?0??0??14)?2m16?8(m?327??????m??5.

2(m?3)???7?m??350???4??2??m??5,m?1??4(m?3)?4(2m?14)?02?（3）令，原命题等价于14??2m2(m?3)xf(x)?x?2f(1)?01?2(m?3)?2m?14?0??21即得.??m??

4f(3)?09?6(m?3)?2m?14?0??（4）令，依题得142m??3)x??g(x)?mx2(m2m?0m?0??19或得.0?m??,??g(4)?0g(4)?013??例2（1）已知函数，若有解，求实数的取值22?ax??af(x)0)?f(xa范围；（2）已知，当时，若恒成立，求实数的取

2x?x4f(x)??a?f(x?[?1,1])xa值范围。2有解有解，即有解解：（1）222??1?a(x)0ax?a?2?0)?(fx??a 2?1x2有解所以.?|2|a??).,2?(??a max21x?时，（2）当时，又当恒成立

?]ax)?,1?x?[1x?[?1,]1f(.?x)]a[f(min，所以).?5?(??,a5??1)??[f(x)]f(min【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）恒成立；（2）?a)?f(xa?[f(x)]min[f(x)]?a;恒成立（（4）3）有解；

??aa(fx)?f(x)?a?f(x)a?x)][f(maxmax有解?.a)](x?[f min分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a是否为零，如果的最大值与二次函数系数的正负有关，也与对称轴)xf0a?,(a精品文档．

精品文档a21?的最大值只可能在端点或顶点处取得，解答时必f(x)的位置有关，但?x0a2须用讨论法。解、时，，0?a3x?f(x)??

3.，故上不能取得1在0a?)f(x][?,22

a?21的对称轴方程为)(a?0?f(x)?ax?(2a?1)x3.?x20a2

103（1）令，解得，?1a?f(?)?32

323此时，]2??x?,?[0220

3，因为最大，所以不合适。0a?)f(x1f(?)?02

3，解得2）令，（1f(2?)?a4

31此时，]2??x??[,023

331因为2 ，且距右端点较远，所以最大，合适。)2f(?,??,?0x?[?2]a02431 3（）令，得，1)xf(?)?223(a??02

1才合适。验证后知只有)22??a(?3213综上所述，，或).223a??a?(?24

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