抛物线入门压轴系列一等腰三角形直角三角形

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抛物线综合题——线段最大值,三角形面积最大值,直角三角形,等腰三角形,平行四边形专题

抛物线综合题突破线段，三角形面积最大值，直角三角形，等腰三角形，平行四边形专题1.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点•点A的横坐标为-3,点B在y 轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m,过点P作PC±x轴于C,交直线AB 于D.(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2S^BPD；(3)是否存在点P,使4PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A (-3, 0), B (0, 3)两点. (1)求这条抛物线的解析式； (2)设C是抛物线对称轴上的一动点，求使N CBA=90°的点C的坐标; (3)探究在抛物线上是否存在点P,使得^APB的面积等于3?若存在，求出点P的坐标;若不存在,请说明理由3.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=-x+3交于A、B两点，点A 在y轴上，点B在x 轴上，抛物线与x轴的另一交点为C,点P在点B右边的抛物线上，PM±x轴交直线AB 于M。

(1)求抛物线解析式．(2)当PM=2BC时，求M的坐标.(3)点P运动过程中，4APM能否为等腰三角形？若能，求点P的坐标，若不能说明理由.4. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所示，A点的坐标(-6,0), B点的坐标(4, 0) 点D为BC中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A,B,C三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+8(1)求抛物线的解析式(2)如图①，将Z BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G,当点G 恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标； (3)如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线y=ax2+bx+8的对称轴上是否存在点F,使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在,请说明理由．5.如图①，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于O、A两点直线y=-x+3与y轴交于B点，与该抛物线交于A, D两点，已知点D横坐标为-1.(1)求这条抛物线的解析式(2)如图①，在线段OA上有一动点H (不与O、A重合)，过H作x轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q点，若x轴把4POQ分成两部分的面积之比为1：2,请求出H点的坐标；(3)如图②，在抛物线上是否存在点C,使4ABC为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在,请说明理由图①图②备用图6.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3, 5).点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE±x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P的横坐标为m (m>0),当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.(3)当点P运动到抛物线的顶点时，请在直线PE上找到一点Q,使OQ+CQ最小.并求出点Q 的坐标.7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A (-1, 0)、B (3, 0)两点，直线y=x-2与x轴交于点D，与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P 作PF±x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若PE=3EF,求m的值；(3)连接PC,是否存在点P,使4PCE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出相应的点P的横坐标m的值8.如图，抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2.(1)求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；(2) P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求4ACE面积的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0)，与y轴交于C(0，-3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把4POC沿CO翻折，得到四边形POP’ C，那么是否存在点P，使四边形POP' C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.10.如图，抛物线y=ax2+bx与直线l交于点A (1, 5)、B (6, 0),点C是l上方的抛物线上的一动点，过C作CD±x轴于点D,交直线l于点E.连结AC、BC.(1)求抛物线的解析式；(2)设点C的横坐标为n,△ABC的面积为S,求出S的最大值；(3)在抛物线上是否存在点P,使得4PAB是直角三角形，且始终满足AB边为直角边？若存在，求出所有符合条件的P 的坐标；若不存在，简要说明理由11.在平面直角坐标系xoy中，y=ax2-2ax-3a(@<0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，经过A的直线l:y=kx+b与y轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；5(2)点E是直线l上方的抛物线上的一点，若4ACE的面积的最大值为4，求a的值(3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.112.已知抛物线y= - x2 - 2x+a(aW0)与y轴交于点A，顶点为M，直线y= -x - a分别与x 轴,y轴交于点B，C,并且与MA交于点N点(1)若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M，A的坐标；(2)将4NAC沿着y轴翻转，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相交于点D，连接CD，求a的值及4PCD的面积；(3)在抛物线y=-x2-2x+a (a>0)上是否存在点P，使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.。

中考数学专题抛物线中的角度问题(初三数学压轴题讲解)

中考数学压轴题专题一：利用抛物线中的角度求点的坐标（原创）二次函数中的角度问题通常要构造直角、相似、全等三角形把角度问题转化为边的问题，求抛物线中的点坐标方法一般采用两种方法，第一种是求线与线的交点，这时需要联立方程；第二种是几何法，过点做坐标轴的垂线，再利用三角函数或者是相似三角形去求解！例1.抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m 的值，若不存在，请说明理由．解题思路：1.利用∠BCO+2∠PCB＝90°和∠BCO+∠CBO＝90°推出∠CBO=2∠PCB2.得出∠CMB=∠MCB得到BC=BM3.求出M的坐标，进而求出直线CM的直线解析式4.联立直线CM方程和抛物线方程，求交点坐标例2.已知抛物线y＝x2+x﹣3与x轴交于点A（1，0）和点B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线点第三象限上一动点（不与点A，B，C重合），作PD⊥x轴，垂足为D，连接PC．且∠CPD＝45°，求点P的坐标；解题思路：45度可以联想到等腰直角三角形1.延长PC交x轴于点E，得出等腰直角三角形2.求出E点坐标，进而求出直线CE的解析式3.联立直线CE方程和抛物线方程，求交点坐标例3.抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；解题思路1.分情况讨论，分P在原点的左右侧进行讨论2.P在原点右侧比较简单3.P在原点左侧要结合P在原点右侧的情况，可以得出等腰△OGD，求出G点坐标4.利用GD的直线直线方程或相似三角形求出P点坐标例4.已知抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5与x轴交于点A（﹣1，0）和B（﹣5，0），与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交抛物线于M，连AC、CM．tan ∠ACM＝2时，求M点的横坐标；解题思路：1.构造一线三垂直利用相似求出点F坐标2.求出直线CF的解析式3.联立直线CF方程和抛物线方程，求交点坐标（求交点可以利用韦达定理）例5.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点D的坐标为（1，﹣4）．点P在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；解题思路：1.分情况讨论，P在直线BC的上方和下方2.P在直线BC上方，利用∠PCB＝∠CBD得出PC平行BD，利用斜率相等求出直线PC解析式联立PC方程和抛物线方程，求交点坐标3.P在直线BC的下方，∠PCB＝∠CBD得出等腰三角形CFB，4.可以得出△BCD为直角三角形，，推出F为BD的中点5.求出直线CF的方程，再联立抛物线方程求出交点坐标例6.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；解题思路：1.过点B做OA平行线2.∠ABD＝2∠BAC得出∠ABD=2∠EBA，得出∠FBD=∠BAC3.利用tan∠FBD=tan∠BAC求出D点做坐标例7.已知抛物线y＝（x﹣1）2，D为抛物线的顶点，直线y＝kx+4﹣k与抛物线交于P、Q两点．求证：∠PDQ＝90°；解题思路思路1.构造一线三垂直思路2.证明直线PD和直线DQ斜率之积为-1思路3.利用勾股定理逆定理证明例8.如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．连接BD，F为抛物线上一动点，当∠F AB ＝∠EDB时，求点F的坐标；解题思路：1.分点F在x轴下方时和上方时进行分类讨论2.AB在x轴上，利用tan∠FAB＝tan∠EDB去求最简便例9.如图，已知抛物线C1：交x轴于点A，B，交y轴于点C．在抛物线上存在点D，使，求点D的坐标．解题思路：1.分D在BC上方和下方讨论2.找到特殊点发现tan∠OBC=3.利用角平分线的性质去求F坐标4.求联立直线BF和抛物线方程求D点坐标例10，平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+5x﹣4与x轴交于点A，B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；解题思路：利用tan∠ACB=tan∠FDB去求解例11.已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2，BC平分∠PCO时，求点P的横坐标．解题思路：1.角平分线联想到角平分线＋平行线得到等腰三角形2.利用PE=PC去求解（两点之间的距离公式）例12.抛物线y＝x2﹣1，M（﹣4，3），N是抛物线上两点，N在对称轴右侧，且tan∠OMN ＝，求N点坐标；解题思路：构造一线三垂直课后练习1.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．直线DC交x轴于点E，tan∠AED＝，求a的值和CE的长；2.已知抛物线y＝（x+1）2+1，点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上。

初三数学压轴题二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题

二次函数与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、最值专题1. 二次函数y= x2 2x 3图像如下，分别求：和最小，差最大（1）在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P 点坐标.（2）在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P 点坐标.讨论直角三角（3）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为直角三角形，求出P坐标.（4）在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．讨论等腰三角（5）连接AC,在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，求出P坐标.yyyB O A xB O A xB O A xCCCDDD122.已知抛物线y＝ax ＋bx＋c 经过A( －1，0) 、B(3 ，0) 、C(0 ，3) 三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1) 求抛物线的函数关系式；(2) 设点P是直线l 上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3) 在直线l 上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 已知：如图一次函数y＝1x＋1 的图象与x 轴交于点A，与y 轴交于点B；二次函数y＝2 1 x22＋bx＋c 的图象与一次函数y＝（1）求二次函数的解析式；1x＋1 的图象交于B、C两点，与x 轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）2（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x 轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．yC 2BxA O D E22、（2013?连云港）如图，抛物线y=-x 2+mx+n与x 轴分别交于点A（4，0），B（-2 ，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、(西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板A BC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（-1，0）．如图所示， B 点在抛物线y=12 x2+2+12x-2 图象上，过点 B 作BD ⊥x 轴，垂足为D，且B 点横坐标为-3．（1）求证：△BDC ≌△COA；（2）求BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．39、（潼南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90 °，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A，B 两点，抛物线的顶点为D．（1）求b，c 的值；（2）点 E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A、B 除外），过点 E 作x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点 E 的坐标；（3）在（2）的条件下：①求以点E、B、F、D 为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由．2 bx c a6．如图，已知抛物线y ax ( 0)的顶点坐标为Q 2, 1 ，且与y 轴交于点 C 0,3 ，与x轴交于A、B 两点（点A在点 B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点 A 运动（点P 与A不重合），过点P作PD∥y 轴，交AC于点D．(1) 求该抛物线的函数关系式；(2) 当△ADP是直角三角形时，求点P 的坐标；(3) 在问题(2) 的结论下，若点E在x轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．4。

二次函数压轴题等腰三角形,直角三角形,平行四边形

二次函数等腰三角形存在性问题1、如图，已知直线y=3x ﹣3分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线y=x 2+bx+c 经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使△ABM 为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标．2、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.3、如图，点A 在x 轴上，OA =4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．4、如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．二次函数直角三角形存在性问题1、如图，抛物线y=-x2+mx+n与x轴分别交于点A（4，0），B（-2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，直线y=kx+n （k ≠0）经过B ，C 两点，已知A （1，0），C （0，3），且BC=5．（1）分别求直线BC 和抛物线的解析式（关系式）；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以B ，C ，P 三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，在平面直角坐标系中，直线123y x =-+交x 轴于点P ，交y 轴于点A ，抛物线212y x bx c =-++的图象过点(1,0)E -，并与直线相交于A 、B 两点. ⑴ 求抛物线的解析式（关系式）； ⑵ 过点A 作AC AB ⊥交x 轴于点C ，求点C 的坐标；⑶ 除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得MAB ∆是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由.二次函数平行四边形存在性问题1、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图，抛物线经过A（－1，0），B（5，0），C（0，－5）三点．2（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．OA BC3、如图，矩形OABC在平面直角坐标系xoy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在边BC上，且抛物线经过O、A两点，直线AC交抛物线于点D。

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略【基础知识点】性质：等腰三角形两个底角相等（简称：等边等角）；推论：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）判定：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形类型一、与等腰三角形有关最值问题例．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中△BAC＝△DAE＝90°，点M为边DE的中点，若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离最小值为__________．【答案】4【详解】解：连接AM，如下图所示：点M为边DE的中点，且Rt△ADE为等腰三角形，AM DE ∴⊥，12AM DE DM==，在Rt△ADE中，2AD=，由勾股定理可知：222AD AM DM=+，故有AM DM==当A、B、M三点不共线时，由三角形的三边关系可知：此时一定有BM AB AM>-，当三点共线且M点位于A、B之间时，此时有BM AB AM=-，∴4BM AB AM≥-=-4【变式训练1】如图，AD为等腰△ABC的高，其中△ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD，AC上的动点，且AE=CF，当BF＋CE取最小值时，△AFB的度数为（）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C【详解】如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小， △AC=BC ，△CH=AC ，△△HCB=90°，AD△BC ，△AD//CH ，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC ，△FH=CE ，△FH+BF=CE+BF 最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C ．【变式训练2】如图，C 是线段AB 上一动点，ACD △，CBE △都是等边三角形，M ，N 分别是CD ，BE 的中点，若6AB =，则线段MN 的最小值为______．【解析】连接CN ，△ACD △和BCE 为等边三角形，△AC CD =，BC CE =，60ACD BCE B ∠=∠=∠=︒ △18060DCE ACD BCE ∠=︒-∠-∠=︒， △N 是BE 的中点，△CN BE ⊥，302BCEECN BCN ∠∠=∠==∠︒，△90DCN DCE ECN ∠=∠+∠=∠︒，设AC a =，△12CM a =△6AB =，△6BC a =- ，△cos )CN BCN BC a =∠⨯=-△MN==△当92a=时，MN的值最小为【变式训练3】在ABC中，90ACB∠=︒，60B∠=︒，4AB=，点D是直线BC上一动点，连接AD，在直线AD的右恻作等边ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，则线段CD 的长度为__________．【答案】3【详解】解：如图，以AC为边向左作等边三角形ACF，连接DF，△90ACB∠=︒，60B∠=︒，△30BAC∠=︒，△4AB=，△122BC AB==，△2223AC AB BC，△ACF是等边三角形，△CF AC AF===60FAC∠=︒，△ADE是等边三角形，△AD AE=，60DAE∠=︒，△FAC DAC DAE DAC∠-∠=∠-∠，△CAE FAD∠=∠，在ACE和AFD中，AC AFCAE FADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ACE AFD SAS≅，△CE DF=，当DF BC⊥时，DF的长是最小的，即CE的长最小，△906030FCD'∠=︒-︒=︒，Rt CFD'，△12D F CF'==3CD'=，△当线段CE的长度最小时，则线段CD的长度为3．故答案是：3．【变式训练4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝BD、CE为△ABC的两条中线，且BD△CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为_____．【答案】【详解】解：连接DE ．△AB ＝AC ，△△ABC ＝△ACB ，△BE ＝12AB ，DC ＝12AC ，△BE ＝CD ，△BC ＝CB ，△△EBC △△DCB （SAS ），△△ECB ＝△DBC ，EC ＝BD ，△BN ＝CN ，△EN ＝DN ， △BD △EC ，△△EDM ，△BCN 都是等腰直角三角形， △AE ＝EB ，AD ＝DC ，△DE //BC ，DE ＝12BC ，△EN NC＝DE BC ＝12，△CN ＝2EN ，△BN ＝2EN ，△AE ＝BE ＝△EN ＝3，BN ＝6，△BN ＝CN ＝6，△BC ＝作点A 关于直线BD 的对称点H ，连接EH 交BD 于M ，连接AM ，此时AM +EM 的值最小，最小值＝线段EH 的长，过点H 作HT △AB 于T ，延长BD 交AH 于J ． △AJ//EN ，AE ＝EB ，△BN ＝NJ ＝6，△AJ ＝JH ＝2EN ＝6，△S △ABH ＝12•AB •HT ＝12•AH •BJ ，△HT △AT=△ET ＝AE ﹣AT ＝，△EH△AM +EM +BC 的最小值为．故答案为类型二、等腰三形存在性问题例1．（几何图形种）如图，在矩形ABCD 中，=8AB ，=5AD ，点E 是线段CD 上的一点（不与点D ，C 重合），将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，当△'C CD 为等腰三角形时，CE 的长为___________．【答案】52或203【详解】解：△四边形ABCD 是矩形 △90C ∠=︒，8,5CD AB BC AD ====△将△BCE 沿BE 折叠，使得点C 落在'C 处，△BCE BC E '≌,90C E CE BC E BCE ''∴=∠=∠=︒，BC BC '=，设CE x =，则8DE CD x x =-=- ①当C D C C ''=时，如图过点C '作,C F CD C G BC ''⊥⊥，则四边形C GCF '为矩形C D C C ''=，142C G DF FC CD '∴====，4EF x =-在Rt BC G '中，3BG =，532C F CG '∴==-= 在Rt C FE '中222C E C F EF ''=+，即()22224x x =+-，解得52x =，52CE ∴= ②当CC CD '=时，如图，设,CC BE '交于点O ，设OE y =,BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC '，11422OC OC CC CD ''∴====3OB =在Rt OCE 中222OE OC CE +=，即2224y x += 在Rt BCE 中，222BE BC CE =+，即()2223+5y x =+ 联立()22222243+5y x y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩，解得203163x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，203EC ∴= ③当DC DC '=时，如图，又BC BC '=，DB ∴垂直平分CC ',BC BC EC EC ''==，BE ∴垂直平分CC ' 此时,D E 重合，不符合题意综上所述，203=EC 或52，故答案为：52或203例2．（坐标系中）在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(78，0)外，还可以是_____．【答案】（1-，0）、（4-，0）、（9，0）【详解】设P （a ，0），△A （0，3），B （4，0），△PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，△△ABP 是等腰三角形，△①当PB =AB 时，△|a -4|=5，△a =-1或9，△P （-1，0）或（9，0）， ②当PA =PB 时，△（a -4）2=a 2+9，△a =78，P （78，0），③当PA =AB 时，△a 2+9=25，△a =4（舍）或a =-4，△P （-4，0）．即：满足条件的点P 的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．【变式训练1】如图，正方形ABCO 的边OA 、OC 在坐标物上，点B 坐标为()3,3．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转角度()090αα︒<<︒，得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ．连AP 、AG ．（1）求证：AOG △ADG ；（2）求PAG ∠的度数；并判断线段OG 、PG 、BP 之间的数量关系，说明理由；（3）当12∠=∠时，求直线PE 的解析式（可能用到的数据：在Rt 中，30°内角对应的直角边等于斜边一半）．（4）在（3）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）45PAG ∠=︒，PG OG BP =+；（3）3y -；（4）(0,3)-或3)【详解】（1）证明：在Rt△AOG 和Rt△ADG 中，AO ADAG AG=⎧⎨=⎩，△AOG △ADG （HL ）．（2）在Rt △ADP 和Rt △ABP 中，AD ABAP AP =⎧⎨=⎩ΔΔADP ABP ∴≅（HL ），则DAP BAP ∠=∠；ΔΔAOG ADG ≅，1DAG ∴∠=∠；又190DAG DAP BAP ∠+∠+∠+∠=︒，2290DAG DAP ∴∠+∠=︒，45DAG DAP ∴∠+∠=︒， PAG DAG DAP ∠=∠+∠，45∴∠=︒PAG ；ΔΔAOG ADG ≅，DG OG ∴=，ΔΔADP ABP ≅，DP BP ∴=，PG DG DP OG BP ∴=+=+．（3）解：ΔΔAOG ADG ≅，AGO AGD ∴∠=∠，又190AGO ∠+∠=︒，290PGC ∠+∠=︒，12∠=∠，AGO PGC ∴∠=∠，又AGO AGD ∠=∠，AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠，又180AGO AGD PGC ∠+∠+∠=︒，180360AGO AGD PGC ∴∠=∠=∠=︒÷=︒，12906030∴∠=∠=︒-︒=︒；△在Rt ΔAOG 中，2,3AG OG OA ==，222AG OG OA =+△222(2)3OG OG =+，解得OG =G ∴点坐标为0)，3CG = 在Rt ΔPCG 中，2PG CG =，222PG CG PC =+△222(2)CG CG PC =+，△3PC ==，P ∴点坐标为：(3，3)，设直线PE 的解析式为：y kx b =+，则033b k b +=+=⎪⎩，解得3k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴直线PE 的解析式为3y =-．（4）①如图1，当点M 在x 轴的负半轴上时，AG MG =，点A 坐标为(0,3)，∴点M 坐标为(0,3)-．②如图2，当点M 在EP 的延长线上时，由（3），可得60AGO PGC ∠=∠=︒，EP ∴与AB 的交点M ，满足AG MG =，A 点的横坐标是0，G M ∴的横坐标是3，∴点M 坐标为3)．综上，可得点M 坐标为(0,3)-或3)．【变式训练2】如图，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ，将△AOB沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，直线CD 与x 轴交于点C ，与AB 交于点D ．（1）点A 的坐标为，点B 的坐标为；（2）求OC 的长度；（3）在x 轴上有一点P ，且△PAB 是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P 的坐标．【答案】（1）(4,0)，(0,3)；（2）78；（3）(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【详解】解：（1）对应一次函数334y x =-+，当0y =时，3304x -+=，解得4x =，即(4,0)A ，当0x =时，3y =，即(0,3)B ，故答案为：(4,0)，(0,3)；（2）(4,0),(0,3)A B ，4,3OA OB ∴==，由折叠的性质得：AC BC =，设OC a =，则4BC AC OA OC a ==-=-，在Rt BOC 中，222OB OC BC +=，即2223(4)a a +=-，解得78a ，即OC 的长度为78；（3）设点P 的坐标为(,0)P m ，则4PA m =-，PB 5AB ，根据等腰三角形的定义，分以下三种情况：①当PB AB =时，PAB △5=，解得4m =±，此时点P 的坐标为(4,0)P -或(4,0)P （与点A 重合，不符题意，舍去）； ②当PA AB =时，PAB △是等腰三角形，则45m -=，解得9m =或1m =-，此时点P 的坐标为(1,0)P -或(9,0)P ；③当PA PB =时，PAB △是等腰三角形，则4m -=解得78m =，此时点P 的坐标为7(,0)8P ；综上，点P 的坐标为(4,0)-或(1,0)-或(9,0)或7(,0)8．【变式训练3】如图，在直角坐标系中，直线l ：y ＝43x +8与x 轴、y 轴分别交于点B ，点A ，直线x ＝﹣2交AB 于点C ，D 是直线x ＝﹣2上一动点，且在点C 的上方，设D （﹣2，m ）（1）求点O 到直线AB 的距离；（2）当四边形AOBD 的面积为38时，求点D 的坐标，此时在x 轴上有一点E （8，0），在y 轴上找一点M ，使|ME ﹣MD |最大，请求出|ME ﹣MD |的最大值以及M 点的坐标；（3）在（2）的条件下，将直线l ：y ＝43x +8左右平移，平移的距离为t （t ＞0时，往右平移；t ＜0时，往左平移）平移后直线上点A ，点B 的对应点分别为点A ′、点B ′，当△A ′B ′D 为等腰三角形时，求t 的值．【答案】（1）4.8；（2）当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）t的值为﹣2﹣、4、﹣或9．【详解】（1）当x ＝0时，y ＝43x +8＝8，△A （0，8），△OA ＝8；当y ＝43x +8＝0时，y ＝﹣6，△B （﹣6，0），△OB ＝6．△AB10，△点O 到直线AB 的距离＝OA OBOA⋅＝4.8．（2）当x ＝﹣2时，y ＝43x +8＝163，△C （﹣2，163），△S 四边形AOBD ＝S △ABD +S △AOB ＝12CD •（x A ﹣x B ）+12OA •OB ＝3m +8＝38，解得：m ＝10， △当四边形AOBD 的面积为38时，点D 的坐标为（﹣2，10）．在x 轴负半轴上找出点E 关于y 轴对称的点E ′（﹣8，0），连接E ′D 并延长交y 轴于点M ，连接DM ，此时|ME ﹣MD |最大，最大值为线段DE ′的长度，如图1所示．DE ′= 设直线DE ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将D （﹣2，10）、E ′（﹣8，0）代入y ＝kx +b ，21080k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得：53403k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，△直线DE ′的解析式为y ＝53x +403，△点M 的坐标为（0，403）．故当点M 的坐标为（0，403）时，|ME ﹣MD |取最大值（3）△A （0，8），B （﹣6，0），△点A ′的坐标为（t ，8），点B ′的坐标为（t ﹣6，0）， △点D （﹣2，10），△B ′D8116t -+，A ′B ′10，A ′D△A ′B ′D 为等腰三角形分三种情况：①当B ′D ＝A ′D8116t -+t ＝9； ②当B ′D ＝A ′B ′8116t -+＝10，解得：t ＝4；③当A ′B ′＝A ′D 时，有10解得：t 1＝﹣2﹣，t 2＝﹣．综上所述：当△A ′B′D 为等腰三角形时，t 的值为﹣2﹣4、﹣或9．类型三、等腰三角形中的动点问题例1.如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P 沿射线AB运动，点Q沿折线BC−CA运动，且它们的速度都为1cm/s．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接PQ，PC，设点P的运动时间为t(s)．（1）当点Q在线段BC上运动时，BQ的长为_______（cm），BP的长为_______（cm）（用含t的式子表示）；（2）当PQ与△ABC的一条边垂直时，求t的值；（3）在运动过程中，当△CPQ是等腰三角形时，直接写出t的值．【答案】（1）t；(6−t)；（2）当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）当t=3或t=9时，∆CPQ为等腰三角形．【详解】解：（1）点Q从点B出发，速度为1cm/s，点P从点A出发，速度为1cm/s，△BQ=tcm，AP=tcm，△BP=(6−t)cm，故答案为：t；(6−t)；（2）根据题意分三种情况讨论：①如图所示：当PQ⊥CB时，∠PQB=90°，△三角形ABC为等边三角形，△∠A=∠ACB=∠ABC=60°，△∠QPB=30°，△QB=12PB，由（1）可得：t=12(6−t)，解得：t=2；②如图所示：当PQ⊥AB时，∠QPB=90°，△∠ABC=60°，△∠BQP=30°，△QB=2PB，由（1）可得：t=2(6−t)，解得：t=4；③如图所示：当PQ⊥AC时，∠AQP=90°，△∠A=60°，△∠APQ=30°，△AP=2QA，由（1）可得：t=2(12−t)，解得：t=8；综上可得：当t=2或t=4或t=8时，PQ与△ABC的一条边垂直；（3）根据题意，分情况讨论：①当点Q在BC边上时，CQ=PQ时，如图所示：过点Q作QE⊥AB，△∠ABC=60°，△∠BQE=30°，△BE=12BQ=12t，△QE=√32t，CQ=6−t，PE=6−t−1 2t=6−32t，△PQ=√PE2+QE2=√(6−32t)2+(√32t)2△CQ=PQ，△(6−t)2=(6−32t)2+(√32t)2，解得：t=3或t=0（舍去）；②当点Q在BC边上时，CP=CQ时，如图所示：过点P作PF⊥AC，△∠CAB=60°，△∠APF=30°，△AF=12AP=12t，△PF=√32t，CQ=6−t，CF=6−12t，△CP=√PF2+CF2=12(√3 2△CP=CQ，△(6−t)2=(6−12t)2+(√32t)2，解得：t=0（舍去）；③当点Q在BC边上时，CP=PQ时，如图所示：由图可得：∠CQP>60°，∠QCP<60°，∠CQP≠∠QCP，△这种情况不成立；④当点Q在AC边上时，只讨论CP=PQ情况，如图所示：过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，△∠CAB=60°，∆ABC为等边三角形，△∠AQE =30°，AF =BF =3，△CF =3√3，AQ =12−t ， △AE =6−12t ，△QE =√32(12−t)，△EP =t −(6−12t)=32t −6，△PQ =√QE 2+EP 2=√34(12−t)2+(32t −6)2，△CF =3√3，PF =t −3，△PC =√CF 2+FP 2=√(3√3)2+(t −3)2，△PC =PQ ，△34(12−t)2+(32t −6)2=(3√3)2+(t −3)2，解得：t 1=9或t 2=6（舍去），综上可得：当t =3或t =9时，∆CPQ 为等腰三角形．【变式训练1】如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =；（1）试说明ABC ∆是等腰三角形；（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)． ①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【详解】解：（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，在Rt △ACD 中，AC 5x ，△AB ＝AC ，△△ABC 是等腰三角形；（2）①S △ABC ＝12×5x ×4x ＝40cm 2，而x ＞0，△x ＝2cm ，则BD ＝4cm ，AD ＝6cm ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ．当MN △BC 时，AM ＝AN ，即10−t ＝t ，此时t ＝5，当DN △BC 时，AD ＝AN ，此时t ＝6，综上所述，若△DMN 的边与BC 平行时，t 值为5或6； ②ΔADN 能成为等腰三角形，分三种情况：（△）若AD =AN =6，如图：则t =61=6s ；（△）若DA =DN ，如图：过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ，由1122ACDSAD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯，解得245DH =，在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==，3615AN t s ∴==；（△）若ND =NA ，如图：过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142NQ CD ==，5AN ∴==，51ANt s ∴==；综上，点N 运动的时间为6s ，365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【变式训练2】在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （b ，0），C （c ，0），a ≠0且a ，b ，c 满足条件()20a b +=．（1）直接写出△ABC 的形状；（2）点D 为射线BC 上一动点，E 为射线CO 上一点，且△ACB =120°，△ADE =60° ① 如图1，当点E 与点C 重合时，求AD 的长；② 如图2，当点D 运动到线段BC 上且CD =2BD ，求点E 的坐标；【答案】（1）等腰三角形，证明见解析；（2）①6；②0,7.E【详解】解：（1） ()20a b +=，030a b c 解得：3a bc∴ A （b -，0），B （b ，0），C （3，0），,OA OB ∴= 而,OC AB ⊥ ,AC BC ∴=ABC ∴是等腰三角形.（2）① △ACB =120°，△ADE =60°，,ACBD DAC 60,DACACD ∴是等边三角形，,AD CD AC,AC BC =30,ABCCAB 90,DAB ∴∠=︒2BD BC CD AD,AD DC BC ∴==3,,CO COAB 6,BC6.AD②在CE 上取点F ，使CF =CD ，连接DF ，记,AD CE 的交点为K ，如图所示：△AC =BC ，△ACB =120°， △△ACO =△BCO =60°， △△CDF 是等边三角形， △△CFD =60°，CD =FD ， △△EFD =120°， △△ACO =△ADE =60°，,AKCFKD △△CAD =△CED ，又△△ACD =△EFD =120°， △△ACD △△EFD （AAS ）， △AC =EF ，由（1）得：c =3， △OC =3， △△AOC =90°，△ACO =60°， △△OAC =30°， △BC =AC =2OC =6，EF =AC =6，△CD =2BD ， △BD =2，CF =CD =4， △CE =EF +CF =6+4=10， △OE =CE -OC =1037-=， △0,7.E 【变式训练3】如图，在等边△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝6cm ，现有两点M 、N 分别从点A 、B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为1cm/s ，点N 的速度为2cm/s ．当点N 第一次回到点B 时，点M 、N 同时停止运动，设运动时间为ts ．（1）当t 为何值时，M 、N 两点重合；（2）当点M 、N 分别在AC 、BA 边上运动，△AMN 的形状会不断发生变化． ①当t 为何值时，△AMN 是等边三角形； ②当t 为何值时，△AMN 是直角三角形；（3）若点M 、N 都在BC 边上运动，当存在以MN 为底边的等腰△AMN 时，求t 的值．【答案】（1）当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①2t =，△AMN 是等边三角形；②当32t =或125时，△AMN 是直角三角形；（3）8t =【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合，x ×1+6＝2x ，解得：x ＝6，即当M 、N 运动6秒时，点N 追上点M ；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，△AB＝AC＝BC＝6cm，△△A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，△t＝6﹣2t，解得t＝2，△点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图2，若△AMN＝90°，△BN＝2t，AM＝t，△AN＝6﹣2t，△△A＝60°，△2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得32t=；如图3，若△ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得125t=．综上所述，当t为32或125s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，△AN＝AM，△△AMN＝△ANM，△△AMC＝△ANB，△AB＝BC＝AC，△△ACB是等边三角形，△△C＝△B，在△ACM和△ABN中，△△AMC＝△ANB，△C＝△B，AC＝AB，△△ACM△△ABN（AAS），△CM＝BN，△t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．。

2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与三角形的综合问题

2019中考数学压轴题分类复习之抛物线与三角形的综合问题例题1：如图1，对称轴为直线x=的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一交点为A（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第一象限内抛物线上的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在x轴是否存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）由对称轴的对称性得出点A的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式；（2）作辅助线把四边形COBP分成梯形和直角三角形，表示出面积S，化简后是一个关于S的二次函数，求最值即可；（3）画出符合条件的Q点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相等列比例式；②在直角△OCQ和直角△CQM利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解并取舍．解：（1）由对称性得：A（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），把C（0，4）代入：4=﹣2a，a=﹣2，∴y=﹣2（x+1）（x﹣2），∴抛物线的解析式为：y=﹣2x2+2x+4；（2）如图1，设点P（m，﹣2m2+2m+4），过P作PD⊥x轴，垂足为D，∴S=S梯形+S△PDB=m（﹣2m2+2m+4+4）+（﹣2m2+2m+4）（2﹣m），S=﹣2m2+4m+4=﹣2（m﹣1）2+6，∵﹣2＜0，∴S有最大值，则S大=6；（3）如图2，存在这样的点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB为直角三角形，理由是：设直线BC的解析式为：y=kx+b，把B（2，0）、C（0，4）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+4，设M（a，﹣2a+4），过A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的解析式为：y=x+，则直线BC与直线AE的交点E（1.4，1.2），设Q（﹣x，0）（x＞0），∵AE∥QM，∴△ABE∽△QBM，∴①，由勾股定理得：x2+42=2×[a2+（﹣2a+4﹣4）2]②，由①②得：a1=4（舍），a2=，当a=时，x=，∴Q（﹣，0）．同步练习：1.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．。

中考讲义：等腰三角形与直角三角形,解直角三角形

中考讲义：等腰三角形与直角三角形，解直角三角形第一部分：等腰三角形一．基础知识1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形．3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等．(2)两底角相等．(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴．线段的垂直平分线：性质定理：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等判定定理：与线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线可以看做是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．4．等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形．(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．5．等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60．6．等边三角形的判定：(1)三条边都相等的三角形是等边三角形．(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．(3)有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．7．等腰直角三角形的性质：顶角等于90，底角等于45，两直角边相等．等腰直角三角形的判定：(1)顶角为90的等腰三角形．(2)底角为45的等腰三角形．8.等腰三角形的两大特性。

9.构造等腰三角形（两圆一线找等腰）。

第二部分：直角三角形基础知识1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a 、b 斜边为c 则a 、b 、c 满足逆定理：若一个三角形的三边a 、b 、c 满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合 2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据， 3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】 2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质： ⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半 3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形 ⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】第三部分，解直角三角形基础知识锐角三角函数的概念1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c bcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、都叫做∠A 的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数30°45°60°sinα 21 22 23cos α 23 2221tan α33134、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）弦切关系：tanA=AAcos sin 5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；（解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

初中数学压轴题(等腰三角形问题)

满分解答
（1）∵C（0，），∴OC= .
∵tan ACO= ，∴OA=1.∴A(-1，0). ∵点 A,C 在抛物线 y=ax2-2ax+b 上，
∴
，解得
，
∴此抛物线的解析式为 y= x2-x- ；
∴P(3- ,0)，综上所述，当△MPQ 为等腰三角形时，点 P 的坐标为(1，0)或(3- ,0).
然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点 P 重合在一起．
满分解答
（3）抛物线的对称轴是直线 x＝2，设点 P 的坐标为(2, y)． ①当 OP＝OB＝4 时，OP2＝16．所以 4+y2＝16．解得 y 2 3 ．当 P 在 (2, 2 3) 时，B、O、P 三点共线（如图 2）． ②当 BP＝BO＝4 时，BP2＝16．所以 42 ( y 2 3)2 16 ．解得 y1 y2 2 3 ． ③当 PB＝PO 时，PB2＝PO2．所以 42 ( y 2 3)2 22 y2 ．解得 y 2 3 ．综合①、②、③，点 P 的坐标为 (2, 2 3) ，如图 2 所示．
满分解答
图2
图3
图4
②我们先讨论 P 在 OC 上运动时的情形，0≤t＜4．
如图 1，在△AOB 中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7， AB 4 2 ，所以 OB＞AB．因此∠OAB＞∠
AOB＞∠B．
如图 4，点 P 由 O 向 C 运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以 PQ//x 轴．
图2
图3
考点伸展
如图 3，在本题中，设抛物线的顶点为 D，那么△DOA 与△OAB 是两个相似的等腰三角形．
由 y 3 x(x 4) 3 (x 2)2 2 3 ，得抛物线的顶点为 D(2, 2 3 ) ．

专题01 有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题

专题1 有关等腰三角形、等边三角形和直角三角形的常见压轴题1．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）问题背景（1）如图1，已知△ABC ，△ADE 均为等边三角形，且点D 在线段BC 上，求证：△ABD ≌△ACE ；尝试应用（2）如图2，已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 为线段BC 上一点，以BP 为边作等边三角形BPQ ，连接CQ ，M 为线段CQ 的中点，连接AM ，AP ．求证：AP ＝2AM ；拓展创新（3）已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，G 为平面内一点，若∠AGB ＝90°，∠BGC ＝150°，请直接写出AG BG的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解题思路分析】（1）根据等边三角形的性质可得,AB AC AD AE ==，根据BAC DAE Ð=可得BAD CAE Ð=Ð，进而根据SAS 即可证明ABD ACE △≌△；（2）将ABP △绕A 点旋转120°，得到∆ADC V ，连接,DM QD ，则旋转角120PAD Ð=°，进而证明四边形CDQP 是平行四边形，由点M 是CQ 的中点，可得M 是平行四边形对角线的交点，则PM DM =，进而根据等腰三角形三线合一性质可得AMP Rt ∆，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；（3）将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，旋转角120GAS Ð=°,分情况讨论，①当G 点在三角形∆ABC V 内部时， ②当G 点在三角形∆ABC V 外部时，根据等腰三角形的性质求得ASG AGS Ð=Ð，设AG a =，则AS AG a ==,进而根据勾股定理求得BG ，进而求得AG BG的值．【解析】（1）Q △ABC ，△ADE 均为等边三角形，60ABD ADE BAC DAE \Ð=Ð=Ð=Ð=°,,AB AC AD AE==BAD DAC DAC CAE\Ð+Ð=Ð+ÐBAD CAE\Ð=Ð\ABD ACE △≌△（SAS ）；（2）如图，将ABP △绕A 点旋转120°，得到∆ADC V ，连接,DM QD ，则旋转角120PAD Ð=°ABP ADC \△≌△，,BP DC AP AD \==，120,BAC AB AC Ð=°=Q ，30ABC ACB \Ð=Ð=°，Q 120PAD Ð=°，AP AD =，1(180120)302APD ADP \Ð=Ð=°-°=°，60DCP ACD ACB \Ð=Ð+Ð=°，BPQ Q △是等边三角形，\PQ BP =，60QPB Ð=°，PQ DC \=，DCB QPB Ð=Ð，//PQ DC \，\四边形CDQP 是平行四边形，Q 点M 是CQ 的中点，\点M 是平行四边形CDQP 对角线的交点，PM DM \=，AP AD =Q ，AM PD \^，Rt V ∆AMP 中Q 30APD Ð=°，2AP AM\=（3）①当G 点在三角形∆ABC V 内部时，如图，将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，则ASB AGC △≌△,\AS AG =，120GAS Ð=°，1(180120)302ASG AGS \Ð=Ð=°-°=°，Q 360120ASB AGC AGB BGC Ð=Ð=°-Ð-Ð=°,90GSB ASB ASG \Ð=Ð-Ð=°,903060SGB ABG AGS \Ð=Ð-Ð=°-°=°，30SBG \Ð=°，如图，过点A 作AT SG ^，设AG a =，则AS AG a ==,在Rt AST △中，30ASG Ð=°Q ，12AT SA \=，ST TG \===，SG \=，在Rt SBG △中Q 30SBG Ð=°，2BG SG \==\AG BG =（3）①当G 点在三角形∆ABC V 外部时，如图，将∆AGC V 绕点A 顺时针旋转120°，得到ASB △，则ASB AGC △≌△,\AS AG =，120GAS Ð=°，30ASG AGS \Ð=Ð=°，Q 1509060ASB AGC AGB BGC Ð=Ð=Ð-Ð=°-°=°,30GSB ASB ASG \Ð=Ð-Ð=°,903060SGB ABG AGS \Ð=Ð-Ð=°-°=°，90SBG \Ð=°，设AG a =，则AS AG a ==,由①可知SG =Rt V 在Rt SBG △中Q 30BSG Ð=°则12BG SG =，\AG BG =综上所述，AG BG 2．（2021·湖北新洲·九年级月考）已知关于x 的一元二次方程2()20()b c x ax b c ---=+有两个相等的实数根，且a 、b 、c 分别是ABC ∆中A Ð、B Ð、C Ð的对边．（1）求证：ABC ∆直角三角形；（2）若a b =，设点P 为AB 边上任一点，PE BC ^于E ，M 为AP 的中点，过A 作BC 的平行线，MD ME ^交此平行线于D ．当点P 在线段AB 上运动的时候，求32MD ME 的值．【答案】（1）见解析；（2）3322MD ME =．【解题思路分析】（1）根据已知条件得出Δ＝0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）过M 作GF ⊥BC ，交AD 于F ，交BC 于G ，由题意得出△ABC 是等腰直角三角形，△BEP 、△AFM 为直角三角形，证出∠D ＝∠2，得出△DMF ∽△MEG ，得出对应边成比例DM MF ME EG=，设BE ＝x ，则BP x ，EC ＝a −x ，PA a a −x ），得出AM 、MF 、EG ，即可得出答案．【解析】（1）Q 关于x 的一元二次方程22(0)b c x ax c b ++-=-有两个相等实数根，2()(240)()a b c c b \∆=+---=，整理，得222a b c =＋，ABC ∆∴是直角三角形．（2）过M 作GF ⊥BC ，交AD 于F ，交BC 于G ，如图所示：∵a ＝b ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AD //BC ，∴∠B ＝∠MAF ＝45°，∴△BEP 、△AFM 为直角三角形，在Rt △DMF 和Rt △MEG 中，∠DFM ＝∠MGE ＝90°，∴∠D ＋∠1＝90°，∠2＋∠1＝90°，∴∠D ＝∠2，∴△DMF ∽△MEG ，∴DM MF ME EG=，设BE ＝x ，则BPx ，EC ＝a −x ，PAax（a −x ），∵MG 是梯形∴AM ＝12PA ，MF ＝AM •sin 45°＝2a x -，EG ＝12EC ＝12（a −x ），∴()()12112a x DM MF ME EG a x -===-，∴3322MD ME =3．（2021·武汉市卓刀泉中学九年级月考）如图1，点P 为等腰Rt △ABC 斜边AB 下侧一个动点，连AP 、BP ，且∠APB ＝45°，过C 作CE ⊥AP 于点E ，AB ＝12．（1）若∠ACE ＝15°，求△ABP 的面积；（2）求CE AP的值；（3）如图2，当△APC 为等腰三角形时，则其面积为．【答案】（1）18+；（2）12CE AP =；（3）18或36+【解题思路分析】（1）过点B 作BH ⊥AP 于H ，证明∠BAH =30°，然后求出BH ，AH ，PH 即可解决问题；（2）过点B 作BF ⊥CE 于F ，先证明四边形BFEH 是矩形，得到EF =BH =PH ，BF =EH ，再证明△ACE ≌△CBF ，得到CE =BF =EH ，AE =CF ，即可推出AP =AE +PH +EH =2CE ；（3）分当PA =PC 时，当AP =AC 时，两种情况根据（1）（2）的结论进行求解即可．【解析】解：（1）如图所示，过点B 作BH ⊥AP 于H ，∴∠BHA =∠BHP =90°∵△ABC 是等腰直角三角形，且AB 是斜边，∴AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠CAB =∠CBA =45°，∵CE ⊥AP ，∴∠AEC =90°，∵∠ACE =15°，∴∠CAE =90°-∠ACE =75°，∴∠BAH =∠CAE -∠CAB =30°，∴162BH AB ==，∴AH ==∵∠APB =45°，∴∠HBP =∠HPB =45°∴6BH PH ==，∴6AP AH HP =+=+∴(11=66=1822ABP S AP BH ×=´´++△（2）如图，过点B 作BF ⊥CE 于F ，∵BF ⊥CE ，CE ⊥AP ，BH ⊥AP ，∴∠BFE =∠FEH =∠BHE =90°，∴四边形BFEH 是矩形，∴EF =BH =PH ，BF =EH ，∵∠ACE +∠BCE =∠ACB =90°，∠BCE +∠CBF =90°，∴∠ACE =∠CBF ，又∵AC =BC ，∴△ACE ≌△CBF （AAS ）∴CE =BF =EH ，AE =CF ，∵AE +PH =AE +EF =CF +EF =CE ，∴AP =AE +PH +EH =2CE ，∴12CE AP =；（3）如图所示，当PA =PC 时，∵PA =PC ，AP =2CE ，∴PC =2CE ，∠PAC =∠PCA∵CE ⊥AP ，∴∠CEP =90°，∴∠CPE =30°，∴∠PCE =60°，()1==180=752PAC PCA CPA -o o ∠∠∠，∴∠ACE =15°，∴由（1）可知6AP =+∴132CE AP ==+，∴(11=633622APC S AP CE ×=++=+△．如图所示，当AP =AC 时，∵CA =CB ，∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=即222=2=144AC BC ，∴AC BC ==∴PA AC ==∴12CE AP ==∴11=22APC S AP CE ×=´△，∴综上所述，当△APC 为等腰三角形时，则其面积为18或36+故答案为：18或36+4．（2021·重庆十八中两江实验中学九年级月考）已知：在△ABC 中，∠ABC =90°，点D 为直线BC 上一点，连接AD 并延长，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ．（1）如图1，若∠BAC =60°，CE =12AC ，AB =1，求线段AE 的长度；（2）如图2，若AC =EC ，点F 是线段BA 延长线上一点，连接EF 与BC 交于点H ，且∠BAD =∠ACF ，求证：AF =2BH ；（3）如图3，AB =2，BC =6，点M 为AE 中点，连接BM ，CM ，当|CM -BM |最大时，直接写出△BMC 的面积．【答案】（12）见解析；（3）24【解题思路分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求得AC ,根据已知条件求得CE ,根据勾股定理即可求得AE ；（2）作EQ BC ^，证明ABC ∆≌CQE △，进而可得,AB CQ BC QE ==，由已知可得ACE V 是等腰直角三角形，进而证明45FCB BFC Ð=Ð=°，FBH EQH △≌△，即可证明2AF BH=（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM BM AM BM AB -=-£，当,,A M B 三点共线时，CM BM -取得最大值为AB 的长，进而勾股定理求得AC ,根据三角形的面积公式可得AE =，在Rt ACE △中，勾股定理求得EC ，进而求得BM ，根据三角形面积公式求解即可求得△B MC 的面积．【解析】（1）Q ∠ABC =90°，∠BAC =60°，AB =1，30ACB \Ð=°，2AC \=，Q CE =12AC ，1CE \=，ABC Rt ∆中，AE ===；（2）如图，作EQ BC ^，,EQ BC AC EC ^^Q ，90EQC ACE \Ð=Ð=°，90,90QEC QCE QCE QCA Ð+Ð=°Ð+Ð=°Q ，QEC QCA \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，ABC CQE \Ð=Ð，在ABC ∆和CQE △中，ABC CQE BCA QECAC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î\ABC ∆≌CQE △，,AB CQ BC QE \==，,AC CE AC CE =^Q ，ACE ∆是等腰直角三角形，45CAE CEA \Ð=Ð=°，180BAD CAE ACB ABD Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，45BAD ACB \Ð+Ð=°，Q BAD ACF Ð=Ð，45ACF ACB \Ð+Ð=°，即45FCB Ð=°，45FCB BFC \Ð=Ð=°，BC BF \=，,CQ AB BC EQ BF ===Q ，BQ AF \=，在FBH ∆与EQH △中90BHF QHE FBH EQH BF EQ Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=îFBH EQH \△≌△，1122BH QH BQ AF \===，2AF BH \=；（3）90ACE M Ð=°Q ，为AC 的中点，AM CM \=，CM BM AM BM AB \-=-£，当,,A M B 三点共线时，CM BM -取得最大值为AB 的长，如图，在ABC Rt ∆中，AC ===ACE S =Q △1122AC CE AE BC ××=××，6EC AE \=，AE \=，在Rt ACE △中222AC EC AE +=，(222EC EC ö\+=÷÷ø，解得EC =20AE \==，110282BM AE AB \=-=-=，11862422BMC S BM BC \=××=´´=△．5．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）如图，在ABC V 中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，动点P 从点A 出发，沿AC 以每秒5个单位长度的速度向终点C 匀速运动，设点P 的运动时间为t 秒（0t >），过点P 作AB 的垂线交AB 于点M ．（1）AC =________．（2）求PM 的长，（用含有t 的代数式表示）（3）若将点P 绕点M 逆时针旋转90°于点N ．①求BN 的长（用含t 的代数式表示）②在点P 运动的同时，作点B 关于点N 的对称点Q ，连结PQ ．当AQP V 为等腰三角形时，直接写出t 的值．【答案】（1）8；（2）PM =3t ；（3）①当1007t <£时，BN =10-7t ；当10875t <£时，BN= 7t-10；②t=887或109t =【解题思路分析】（1）利用勾股定理求出答案；（2）证明△AMP ∽△ACB ，即可求出答案；（3）①利用勾股定理求出AM ，结合旋转的性质求出BN 的长；②根据等腰三角形两边相等分三种情况，构建线段的方程解答．【解析】解：（1）在ABC ∆中，90ACB Ð=°，10AB =，6BC =，∴AC 8===,故答案为：8；（2）由题意得AP =5t ，∵PM ⊥AB ，∴90ACB AMP ÐÐ==°，∵∠A =∠A ，∴△AMP ∽△ACB ，∴PM AP BC AB =，∴5610PM t =，∴PM =3t ；（3）①∵点P 绕点M 逆时针旋转90°于点N ，90AMP Ð=°，∴点N 在射线AB 上，∵90AMP Ð=°，AP =5t ，PM =3t ，∴4AM t ===，∴AN=AM +MN =AM +MP =4t +3t =7t ，∴当1007t <£时，BN=AB-AN =10-7t ；当10875t <£时，BN=AN-AB =7t -10；②能，分三种情况：当AQ=PQ 时，∵PQ =2102(107)1410AQ AB BN t t =-=--=-，22(107)(104)1010QM BN BM t t t =-=---=-，又∵90PMQ Ð=°，222PQ PM QM =+，∴ 222(14101010)(3)()t t t -=+-，解得t =0（舍去）或t=887；当AP=AQ 时，∵5AQ AP t ==，(12207)2014BQ t t BN -=-==，AQ +BQ =AB =10，∴5(2014)10t t +-=，解得109t =；当AP=PQ 时，∵(72210)1420BQ t N t B -=-==，28AQ AM t ==，AB +BQ=AQ ，∴1014208t t +-=，解得53t =，∵5385>，∴舍去；综上，当AQP ∆为等腰三角形时， t=887或109t =．6．（2021·西安市铁一中学九年级开学考试）如图1．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD ＝AE ，连接BE ，点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点，连接NM 、NP ．（1）图1中，线段NM 、NP 的数量关系是，∠MNP 的度数为；（2）将△ADE 绕点A 顺时针旋转到如图2所示的位置．连接MP ．你认为△NMP 是什么特殊三角形，请写出你的猜想并证明你的结论；（3）把△ADE绕点A在平面内旋转，若AD＝3，AB＝5，请写出△MNP面积的最大值．【答案】（1）MN NP=，60゜；（2）等边三角形，证明见解析；（3）【解题思路分析】（1）根据AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再根据三角形中位线定理可知MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP=60°；（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD=CE，∠ABD=∠ACE，再由（1）同理可证；（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN=12BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．【解析】（1）∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥AB，PN∥AC，∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，∴∠MNP=60°，故答案为：MN=NP，∠MNP=60°．（2）△MNP是等边三角形，理由如下：由旋转得：∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，∴MN=12BD，PN=12CE，MN∥BD，PN∥CE，∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，∴∠MNP =∠MNE +∠ENP =∠ACE +∠ABE +∠EBC +∠EBC -∠ECB =180°-∠BAC =60°，∴△MNP 是等边三角形；（3）由三角形三边关系可知：BD ≤AB +AD ，即BD ≤8，∴BD 的最大值为8，由（2）知：△MNP 是等边三角形，MN =12BD∴MN =4S △MNP 最大，24MNP S =V 7．（2021·沙坪坝·重庆八中九年级月考）已知，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 在边AC 上运动，连接BD ，过C 作//CM AB 交BD 的延长线于点M ．（1）如图1，点D 为AC 边上的中点，BD =CM 的长；（2）如图2，过点A 作AE BM ^于点E ，交CM 于点F ，连接DF ，求证：BD AF DF =+；（3）如图3，过点A 作AE BD ^交BD 的延长线于点E ，P 为BE 的中点，AB =CP 的最小值．【答案】（1）CM =；（2）见解析；（3【解题思路分析】（1）证明)(ASA BDA MDC ∆≅∆，得到CM =AB ，BCD Rt ∆中，利用勾股定理解得BC 的长，再在ABC Rt ∆中，利用勾股定理解题即可；（2）延长AF 交BC 的延长线于T ,证明()BCD ACT ASA ≌△△，()DCF TCF SAS ≌△△，再根据全等三角形对应边相等的性质、线段的和差性质解题；（3）取AB 中点Q ，取BQ 中点G ，连接PQ ，PG ，CG ，过点G 作GH BC ^于点H ，解得AQ ，BG 的长，当C 、P 、G 在同一条直线上时，CP 有最小值，再利用勾股定理解得BG 的长，继而解得BH 的长，再运用勾股定理求解．【解析】解：（1）如图，在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC BC =，Q //CM AB45,MCD BAD MDC BDA\Ð=Ð=°Ð=ÐQ 点D 为AC 边上的中点，CD AD\=)(ASA BDA MDC ∆≅∆\MC AB\=设,2DC x CB AC x===BCD Rt ∆中，222DC BC BD +=222(2)x x \+=255x \=1x \=或1x =-（舍去）2CB AC \==在Rt ABC V 中，AB \==CM AB \==;（2）证明：如图，延长AF 交BC 的延长线于T ,∵AE BM ^，AC BC ^，∴90BCD AED Ð=Ð=°，∵BDC ADE Ð=Ð，∴90AED BCD Ð=Ð=°，∴CBD CAT Ð=Ð，∵90BCD ACT Ð=Ð=°，CB CA =，∴()BCD ACT ASA ≌△△，∴CD CT =，BD AT =，∵ABC ∆是等腰直角三角形∴45ACM BAC Ð=Ð=°，∴45DCF TCF Ð=Ð=°，∵CF CF =，∴()DCF TCF SAS ≌△△，∴FD FT =，∵AT AF FT AF FD =+=+，AT BD =，∴BD AF FD =+．（3）取AB 中点Q ，取BQ 中点G ，连接PQ ，PG ，CG ，过点G 作GH BC ^于点H ，11112222AQ BQ AB BG QG BG ===´=====P Q 为BE 的中点，Q 为AB 的中点，PQ \为ABE △的中位线，//PQ AE\AE BD^Q PQ BD\^90BPQ \Ð=°G Q 是BQ12PG BQ \==\当C P G 、、三点在同一条直线上时，CP 有最小值，,45GH BC CBA ^Ð=°Q 45BGH CBA \Ð=Ð=°BH GH\=设=BH GH x =BG \==x \=在等腰直角三角形ABC 中，90ACB Ð=°，AC =BC ，AB=222AC BC AB \+=222BC \=BC \CH BC BH\=-==在Rt CGH△中，52 CG===52CP CG PG\=-==8．（2021·诸暨市开放双语实验学校九年级期中）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DC E中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．【答案】（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，证明见解析；（3【解题思路分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．【解析】解：（1）①如图1．∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC ﹣∠CED =60°．故答案为：60°．②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ．故答案为：AD =BE ．（2）∠AEB =90°，AE =BE +2CM ．理由：如图2．∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°，∴∠ACD =∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）点A到BP．理由如下：∵PD=1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．∵∠BPD=90°，∴点P在以BD为直径的圆上，∴点P是这两圆的交点．①当点P在如图3①所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交BP于点E ，如图3①．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD，AH+1，∴AH②当点P在如图3②所示位置时，连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，AH﹣1，∴AH．综上所述：点A到BP．9．（2021·重庆字水中学九年级三模）如图，在等边ABCV中，AD是BC边上的高，点E为线段AD上一点，连EB、EC．（1）如图1，将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上．Ð的度数；①求CEF②求证：AB AF=+；=时，请直接写出（2）如图2，若4AB=，将线段EB绕点E旋转过程中与边AC交于点H，当AE CH+的最小值．BH CE【答案】（1）① 120°；②证明见解析；（2）【解题思路分析】（1）①延长BE到H交AC于H，根据等边三角形的性质可以得到AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD=30°，∠ABC=60°，即可得到∠EBC=∠ECB，由旋转的性质可以得到BE=EF，∠F=∠ABH，再根据∠FEH=∠F+∠FBH=2∠FBH，∠CEH=∠EBC+∠ECB=2∠EBC即可求解；②在BA上截取BG=AE，过点E作EM⊥AB于M，连接EG，由等腰三角形的性质可以得到AM=GM，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出AM AE==，即可求解；（2）将AB绕点A逆时针旋转90°到AT，连接EF，证明△BHC≌△TEA，得到BH=ET，即可得到BH+CE=BE+ET，要想BH+CE的值最小，即BE+ET的值最小，当B、E、T三点共线时，BE+ET的值最小，由此求解即可.【解析】解：（1）①延长BE到H交AC于H，∵三角形ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴AD是BC的垂直平分线，∠BAD=∠CAD=30°，∠ABC=60°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，由旋转的性质可得：BE=EF，∴∠F=∠ABH，∵∠FEH=∠F+∠FBH=2∠FBH，∠CEH=∠EBC+∠ECB=2∠EBC，∴∠CEF=∠CEH+∠HEF=2∠FBH+2∠EBC=2∠ABC=120°；②如图，在BA上截取BG=AE，过点E作EM⊥AB于M，连接EG，∵BE=FE，∴BM=FM，又∵AF=BG，∴AM=GM，∵∠EAM=30°，∴AE=2ME，∴AM AE==，∴2=+==，AG AM MG AM=+，∵AB BG AG∴AB AF=；（2）如图，将AB绕点A逆时针旋转90°到AT，连接EF，∴∠TAE=∠BCH=60°，AT=AB=BC，∠BAT=90°∵AE=CH，∴△BHC≌△TEA（SAS），∴BH=ET，∵BE=CE，∴BH+CE=BE+ET，∵要想BH+CE的值最小，即BE+ET的值最小，∴当B、E、T三点共线时，BE+ET的值最小，∴此时△ABT为等腰直角三角形，∴BT==，∴BH+CE的最小值为10．（2021·吉林省第二实验学校九年级月考）已知Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝4，AC=3，点P从点B处出发，以每秒2个单位长度的速度沿B﹣A﹣C，运动时间为t秒，以AP为斜边作等腰直角三角形PQA，点Q始终在点A的右上方，（1）用t表示线段AP的长．（2）点Q落在线段BC上时，求t的值．（3）点P在线段AB上运动时，点A'是点A关于直线QP的对称点，当点A'与△ACB的顶点所连线段平行△ACB 的一条直角边时，求△ABC与AA P'△重叠部分的面积S的值．（4）点E是线段AC中点，当直线QE把△ABC的面积分为 2：3 两部分时，直接写出t的值．【答案】（1）()420272422t tAPt tì-££ï=íæö-<£ç÷ïèøî；（2）27；（3）17156或247；（4）3441或2223或13041或7023【解题思路分析】（1）分当P在线段AB上时和当P在线段AB上时两种情况讨论求解即可；（2）先利用AC=3，AB=4∠C＞∠B，即∠C＞45°，则当P在AC上时，Q不可能在BC上，过点过点Q作QH⊥AB交AB于H，然后证明△BQH∽△BCA，得到QH BHAC AB=，即可求解；（3）分①当A C'∥AB时②当A B'∥AC时两种情况利用相似三角形进行求解即可得到答案；（4）以AB为x轴，以AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别讨论当P在AB上和P在AC上时两种情形讨论求解即可.【解析】：（1）当P在线段AB上时，由题意可得：AP=AB-BP，BP=2t，∴AP=4-2t（0≤t≤2）；当P在线段AB上时，AP=2t-4（722t<£）；∴()420272422t tAPt tì-££ï=íæö-<£ç÷ïèøî；（2）∵AC =3，AB =4∴∠C ＞∠B ，∵∠C ＞45°，∴当P 在AC 上时，Q 不可能在BC 上，∴P 只能在AB 上时，Q 才能在BC 上，过点Q 作QH ⊥AB 交AB 于H ，∵CA ⊥AB ，QH ⊥AB ，∴CA ∥QH ，∴△BQH ∽△BCA ，∴QH BH AC AB=，∵△AQP 是等腰直角三角形，∠AQP =90°，∴QH =AH =HP =122AP t =-，∴BH =2+t ∴2234t t -+=，解得27t =；（3）①当A C '∥AB 时，设A A '与BC 交于M ，过点M 作ME ⊥AB 于E ∴ACA 'Ð=90°∵A '是A 关于QP 的对称点，∴AP =A P '，∠PQA =PQA '∠=90°，∠QPA =QPA '∠∵∠PAQ =45°，∴∠QPA =QPA '∠=45°，∴∠APF =90°，∴四边形ACA P '是正方形，PF ∥AC ，∴AC =AP =3，∴BP =1，∵ME ⊥AB ，CA ⊥AB ，∴ME ∥AC ，AE =ME ，∴△BEM ∽BAC ，△BPF ∽△BAC ，∴ME BE AC AB =，PF BP AC AB =，∴434ME ME -=，134PF =，解得127ME =，34PF =，∵△ABC 与△AA ′P 重叠部分的面积S 即为四边形APFM 的面积，561712121=∙-∙=-=\∆∆PF PB ME AB S S S BPF ABM②当A B '∥AC 时，设A A '与BC 交于M ，过点M 作ME ⊥AB 于E ，同理可以求得127ME =，72421=∙==\∆ME AB S S ABM ，综上所述，S 的值为17156或247；（4）如图所示，建立平面直角坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，3），E （0，32），直线EQ 于BC 交于G ，①当P 在AB 上时，AP =4-2t ，过Q 作QH ⊥AB 于H ，∴AH =QH =HT =2-t ，∴Q （2-t ，2-t ），设直线EQ 的解析式为11y k x b =+，直线BC 的解析式为y kx b =+，∴()1113222b t k t b ì=ïíï-=-+î，304b k b =ìí=+î，解得：11321242b t k t ì=ïïí-ï=ï-î，334b k =ìïí=-ïî∴直线EQ 的解析式为123422t y x t -=+-，直线BC 的解析式为334y x =-+，联立123422334t y x t y x -ì=+ïï-íï=-+ïî解得()6287t x t -=-，∵621=∙=∆AB AC S ABC ，直线EQ 把△ABC 的面积分为2:3的两部分∴52678)2(621´=--´=∆t t CE S CEG 或53678)2(621´=--´=∆t t CE S CEG ，∴52678)2(62321´=--´´t t 或53678)2(62321´=--´´t t ，解得3441t =或2223t =；②当P 在AC 上时，AP =2t -4，过Q 作QH ⊥AB 于H ，∴AH =QH =HT =t -2，∴Q （t -2，t -2），设直线EQ 的解析式为22y k x b =+，()2223222b t k t b ì=ïíï-=-+î，解得22322724b t k t ì=ïïí-ï=ï-î，∴直线EQ 的解析式为273242t y x t -=+-，联立273242334t y x t y x -ì=+ïï-íï=-+ïî解得()62720t x t -=-，同理可得526207)2(62321´=--´´t t 或536207)2(62321´=--´´t t ，解得13041t =或7023t =；综上所述，t 的值为3441或2223或13041或7023.11．（2021·长春市第二实验中学九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝8cm，点P从点A出发，沿AC方向以2cm/s的速度向终点C运动，PD⊥AC，PD＝PA，点F在射线AC上，FP＝2PA，以PD、PF为邻边构造矩形PDEF，设点P的运动时间为t（s）．（1）AF＝（用含t的代数式表示）．（2）当点B落在DE上时，求t的值．（3）连接BF，△ABF是等腰三角形时，求t的值．（4）当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，直接写出t的值．【答案】（1）6t；（2）t＝2；（3）t 83或56；（4）t的值为：1，43或57【解题思路分析】（1）由点P的运动可知，AP＝PD＝2t，PF＝2PA＝4t，进而可得AF＝6t；（2）当点B落在DE上，易得四边形DPCB是矩形，则DP＝BC，可求出t的值；（3）先分析Rt△ABC，可知，AB＝；根据题意需要分类讨论，AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况，再结合等腰三角形三线合一的性质，可求解；（4）需要分类讨论，当点E分别在边BC，AC，AB的垂直平分线时，画出对应图形，可求出t的值．【解析】解：（1）由点P的运动可知，AP＝2t，∴PD＝AP＝2t，PF＝2PA＝4t，∴AF＝AP＋PF＝6t．故答案为：6t．（2）当点B落在DE上时，如图1，由题意可知，∠DPC＝∠D＝∠BCA＝90°，∴四边形DPCB是矩形，∴DP＝BC＝4，即2t＝4，∴t＝2．（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，由勾股定理可得，AB＝若△ABF是等腰三角形，则需要分AB＝AF，BA＝BF，FA＝FB三种情况：①当AB＝AF时，如图2，此时AF＝6t＝则t②当BA＝BF时，如图3，∵BC⊥AF，∴点C是AF的中点，即AC＝CF＝8，∴AF＝6t＝16，∴t＝83；③当FA ＝FB 时，如图4，此时点F 在AB 的垂直平分线MN 上．∴AM ＝MB ＝∵∠A ＝∠A ，∠AMN ＝∠ACB ＝90°，∴△AMF ∽△ACB ，∴AM ：AC ＝AF ：AB ，即8＝6t ：解得t ＝56．综上，当△ABF 是等腰三角形时，t 83或56；（4）当点E 在△ABC 的边的垂直平分线上时，需要分三种情况：点E 在边BC ，AC ，AB 的垂直平分线时，①当点E 在线段BC 的垂直平分线上时，如图5，由题意可得，∠EFC ＝∠C ＝∠CQE ＝90°，∴四边形EFCQ 是矩形，∴PD ＝EF ＝CQ ＝12BC ＝2，即2t ＝2，∴t ＝1；②当点E在线段AC的垂直平分线上时，如图6，此时点F是AC的中点，即AF＝8，∴6t＝8，∴t＝43；③当点E在线段AB的垂直平分线上时，如图7，由（3）可知，AN：AB＝AM：AC，∴AN：8，∴AN＝5，∴FN＝AN﹣AF＝5﹣6t，又∠ENF＝∠ANM，∠EFN＝∠AMN＝90°，∴△EFN∽△AMN，∴EF：FN＝AM：MN＝AC：BC＝2：1，∴2t：（5﹣6t）＝2：1，解得t＝57；综上，当点E在△ABC的边的垂直平分线上时，t的值为：1，43或57．12．（2021·南师附中树人学校九年级月考）如图1，若△DEF的三个顶点D，E，F分别在△ABC各边上，则称△DEF是△ABC的内接三角形．（1）如图2，点D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF是△ABC的内接．A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰三角形或等边三角形D．直角三角形（2）如图3，已知等边三角形ABC，请作出△ABC的边长最小的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）（3）问题：如图4，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，是否存在△ABC的内接等边三角形DEF？如果存在，如何作出这个等边三角形？①探究1：如图5，要使△DEF是等边三角形，只需∠EDF＝60°，DE＝DF．于是，我们以点D为角的顶点任作∠EDF＝60°，且DE交BC于点E，DF交AC于点F．我们选定两个特殊位置考虑：位置1（如图6）中的点F与点C重合，位置2（如图7）中的点E与点C重合．在点E由位置1中的位置运动到位置2中点C的过程中，DE逐渐变大而DF逐渐变小后再变大，如果存在某个时刻正好DE＝DF，那么这个等边三角形DEF就存在（如图8）．理由：是等边三角形．②探究2：在BC上任取点E，作等边三角形DEF（如图9），并分别作出点E与点B、点C重合时的等边三角形DBF′和DCF″．连接FF'，FF″，证明：FF'+FF″＝BC．③探究3：请根据以上的探究解决问题：如图10，△ABC是不等边三角形，点D在AB边上，请作出△ABC的内接等边三角形DEF．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）B；（2）见解析；（3）①有一个角是60°的等腰三角形；②见解析；③见解析【解题思路分析】（1）通过已知条件判断三角形全等即可；（2）过三点作对边的垂线即可；（3）①运用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这一定理即可；②通过证明三角形全等得到BE＝F′F和EC＝FF″，即可证明FF'+FF″＝BC；③运用②的结论，确定等边三角形一个点F，再通过截取确定点E，即可作出所求三角形．【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AD＝BE＝CF，∴AB ﹣AD ＝BC ﹣BE ＝AC ﹣CF ，∴BD ＝CE ＝AF ，在△ADF 和△BED 中，AD BE A B AF BD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADF ≌△BED （SAS ），∴DF ＝ED ，在△ADF 和△CFE 中，AD CF A C AF CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADF ≌△CFE （SAS ），∴DF ＝EF ，∴DF ＝DE ＝EF ，∴△DEF 是等边三角形，故答案为：B ；（2）如图所示，△ABC 的边长最小的内接等边△DEF 即为所求；（3）①∵DE ＝DF ，∠EDF ＝60°，∴△DEF 是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），故答案为：有一个角是60°的等腰三角形；②连接FF ′和FF ″，∵△DBF ′、△DEF 、△DCF ″都是等边三角形，∴DB ＝DF ′，DE ＝DF ，DC ＝DF ″，∠BDF ′＝∠EDF ＝∠CDF ″＝60°，∴∠BDE ＝∠F ′DF ，∠EDC ＝∠FDF ″，在△DBE 和△DF ′F 中，DB DF BDE F DF DE DF ''=ìïÐ=Ðíï=î，∴△DBE ≌△DF ′F （SAS ），∴BE ＝F ′F ，在△DEC 和△DFF ″中，''''DE DF EDC FDF DC DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEC ≌△DFF ″（SAS ），∴EC ＝FF ″，∴BC ＝BE +EC ＝F ′F +FF ″，即FF '+FF ″＝BC ；③以BD 为边作等边△BDF ′，以CD 为边作等边△CDF ″，连接F ′F ″交AC 于点F ，连接DF ，在BC 上截取BE ＝F ′F ，连接DE ，DF ，△DEF 即为所求．13．（2021·合肥实验学校九年级二模）等腰直角△AOB 和等腰直角△COD 按如图方式放置，∠AOB ＝∠C OD ＝90°，连接AC 、BD ，二者交于点P ．（1）求证：BD ＝AC；（2）连接OP ，若OP 平分∠AOD ，且角∠AOD ＝40°，求∠BDO 的度数；（3）点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，连接MN ，求MN BD的值．【答案】（1）见解析；（2）25°；（3【解题思路分析】（1）由题意，先证明△BOD ≌△AOC ，即可得到结论成立；（2）易证得∠APB =90°，由圆周角定理的推论可知点P 、O ，在以AB 为直径的圆上，则45BPO BAO Ð=Ð=°，再根据外角的性质及角平分线的性质求解即可；（3）先证明BOD ∆∽MON ∆，再根据对应边成比例，即可求得MN BD的值．【解析】解：（1）∵∠AOB ＝∠COD ＝90°，∴∠AOB+∠AOD ＝∠COD+∠AOD ，即BOD AOC Ð=Ð，∵BO =AO ，DO =CO ，∴△BOD ≌△AOC ，∴BD ＝AC ；（2）如图，设AO 、BD 相交于点E ，∵△BOD ≌△AOC ，∴∠DBO =∠CAO ，∵∠AEP =∠ABE +∠BAE ，∴∠AEP +∠PAO =∠ABE +∠BAE +∠DBO =∠BAO +∠ABO =90°，∴∠APE =90°，∴点P 在以AB 为直径的圆上，∵∠AOB =90°，∴点O 在以AB 为直径的圆上，∴∠BPO =∠BAO =45°；又∵∠POD =12∠AOD =20°，∴∠PDO =∠BPO -∠POD =25°；（3）连接OM 、ON ，如图：∵点M 、N 分别是AB 、CD 的中点，∴OB OD OM ON==45AOM DON Ð=Ð=°，∴90MON MOA AOD DON AOD Ð=Ð+Ð+Ð=°+Ð，又∵90BOD BOA AOD AOD Ð=Ð+Ð=°+Ð，∴BOD MON Ð=Ð，∴BOD ∆∽MON ∆，∴=MN OM BD OB =14．（2021·湖南郴州·中考真题）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AGC AHB ∆≅∆；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG Ð=°；②若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG ∆为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②当EH 的长度为2时，AQG ∆为等腰三角形【解题思路分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，∠HAG =90°，从而得∠BAH =∠CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AGC AHB ∆≅∆，得AH =AG ，再证明AFG AEH ∆≅∆，进而即可得到结论；②AQG ∆为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，（b ）当∠GAQ =∠GQA =67.5°时，（c ）当∠AQG =∠A GQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【解析】解：（1）∵线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90°得到AG ，∴AH =AG ，∠HAG =90°，∵在等腰直角三角形ABC 中，90BAC Ð=°，AB =AC ，∴∠BAH =90°-∠CAH =∠CAG ，∴AGC AHB ∆≅∆；（2）①∵在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF ，AEF ∆是等腰直角三角形，∵AH =AG ，∠BAH =∠CAG ，∴AFG AEH ∆≅∆，∴∠AEH =∠AFG =45°，∴∠HFG =∠AFG +∠AFE =45°+45°=90°，即：90HFG Ð=°；②∵4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，∴AE =AF =2，∵∠AGH =45°，AQG ∆为等腰三角形，分3种情况：（a ）当∠QAG =∠QGA =45°时，如图，则∠HAF =90°-45°=45°，∴AH 平分∠EAF ，∴点H 是EF 的中点，∴EH 12==（b ）当∠GAQ =∠GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则∠EAH =∠GAQ =67.5°，∴∠EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA =∠EAH ，∴EH =EA =2；（c ）当∠AQG =∠AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG ∆为等腰三角形．15．（2021·河南安阳·九年级一模）在ABC ∆中，3AB AC ==，90BAC Ð=°，将边AB 绕点A 逆时针旋转至AB '，记旋转角为a ．分别过A ，C 作直线BB '的垂线，垂足分别是E ，F ，连接B C '交直线AF 于点Q ．（1）如图1，当45a =°时，AEF ∆的形状为____________；（2）当0360a °<<°时，①（1）中的结论是否成立？如果成立，请就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②在旋转过程中，当线段1AE =时，请直接写出CF 的长．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）①成立，见解析；②1或1【解题思路分析】（1）先证""ACB ABB ∆≅∆，可得△B BC '是等腰三角形，从而可得∠FB C '=45゜，进而可得B FC '△是等腰直角三角形，可得AF 是线段B C '的垂直平分线，从而易得△AEF 是等腰直角三角形；（2）由已知AB AB AC '==，根据等腰三角形的性质可计算出'ÐAB B 及AB C Ð'，从而可求得45BB C 'Ð=°，即FCB '△是等腰直角三角形，从而得FB FC '=，由AB AC '=，可得AQ 是线段B C '的垂直平分线，可得45AFE B FQ 'Ð=Ð=°，则可得结论仍成立．（3）分两种情况：旋转角小于180゜和旋转角大于180゜而小于360゜，根据勾股定理及（2）中的结论可得CF 的长．【解析】解：（1）由旋转性质得：'AB AB =，'45BAB a Ð==°．∵AE ⊥BB '，∴2BAE B AE a'Ð=Ð=．∵AB =AC ，∠ABC =∠ACB =45゜，∴90452B BC BAE ABC a'Ð=°-Ð-Ð=°-，∵45BAB CAB ''Ð=Ð=°，AB =AC ，AB AB ''=，∴""ACB ABB ∆≅∆．∴BB CB ''=．∴452B BC B CB a''Ð=Ð=°-．∴9045FB C B BC B CB a '''Ð=Ð+Ð=°-=°．∵CF ⊥BB '，∴45FB C FCB ''Ð=Ð=°．∴FB FC '=．∵AB AC '=，∴AF B C '^，且AF 平分B C '．∴()119045222B AF B AC a a ''Ð=Ð=°-=°-．∴∠EAF =454522EAB B AF a a ''Ð+Ð=+°-=°．∵AE ⊥BB '，∴∠EAF =∠EFA =45゜．∴△AEF 是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．（2）①结论仍成立．∵AB AB '=，BAB a 'Ð=，∴902AB B aÐ=°-'．∵90B AC a Ð=-'°，AB AC '=，∴1352AB C aÐ='°-．∴45BB C AB C AB B '''Ð=Ð-Ð=°．∵CF BB ^'，∴CF B "∆是等腰直角三角形．∴B F CF '=．又AB AC '=，∴AQ 垂直平分B C '．∴1452B FQ B FC Ð=Ð=''°，∴45AFB B FQ 'Ð=Ð=°．∵AE BB '^，∴AEF ∆是等腰直角三角形．②如下图所示，当α<180゜时，在直角△AEB 中，由勾股定理得:BE ==,∴B E BE '==∵△AEF 是等腰直角三角形，B CF 'V 是等腰直角三角形，∴EF =AE =1，CF B F '=．∵1B F B E EF ''=-=∴1CF =如下图所示，当180゜<α<360゜时，在直角△AEB 中，由勾股定理得:BE ==,∴B E BE '==∵△AEF 是等腰直角三角形，CF B "∆是等腰直角三角形，∴EF =AE =1，CF B F '=．∵1B F B E EF ''=+=，∴1CF =．综上所述，CF 的长为1或1+．。

抛物线中的等腰三角形课件

底边。
性质3
等腰三角形的对称轴是其底边的中垂线。
等腰三角形的判定定理
01
02
03
判定定理1
若一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，即该三角形为等腰三角形。
判定定理2
若一个三角形的中线和高线重合，则该三角形为等腰三角形。
判定定理3
若一个三角形的一边垂直于另一边，且垂足是该边的中点，则该三角形为等腰三角形。
疑难
如何快速确定等腰三角形的存在。
解析
除了按照判定定理逐步进行外，还可以通过观察法、数形结合法等方法快速判断。在实际操作中，可以结合图像和计算，更直观地得出结论。
05
CATALOGUE
典型例题与练习题
典型例题解析
例题1
给定抛物线y = x^2和点A(1,1)，在抛物线上找两点B、C，使得三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形的顶角平分线、中线以及高线三线合一，这条线同样与抛物线的对称轴重合。
性质
由于抛物线本身的对称性，所以等腰三角形的两个底角相等。Βιβλιοθήκη 抛物线中等腰三角形的判定方法
方法一
利用定义判定。若抛物线内一三角形满足两腰相等，且底边与抛物线对称轴平行，则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
方法二
利用性质判定。若一三角形在抛物线中满足两个底角相等，且顶角平分线、中线以及高线三线合一，并与抛物线的对称轴重合，则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
2. 找两个与对称轴平行的线，使得这两条线到抛物线的距离相等。
3. 确定这两条线与抛物线的交点，以及抛物线的顶点。这三个点构成的三角形即为等腰三角形。
如何求解抛物线中等腰三角形的参数

专题05-等腰、等边三角形压轴真题(原卷版)-初中数学七年级上学期重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05 高分必刷题-等腰三角形、等边三角形压轴题真题（原卷版）题型一：等腰三角形、等边三角形中的动点问题1．（湘一芙蓉）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝10cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段AC上由点A 向C点以4cm/s的速度运动．（1）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P、Q两点分别从B、A两点同时出发，△CPQ的周长为16cm，设运动时间为t，问：是否存在某一时刻t，使得△CPQ是等腰三角形？如存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．2．（中雅）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．3．（青竹湖）已知，△ABC是边长3cm的等边三角形．动点P以1cm/s的速度从点A出发，沿线段AB向点B运动．（1）如图1，设点P的运动时间为t（s），那么t为何值时，△PBC是直角三角形；（2）若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动．连接PQ交AC于D．如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发．①如图2，设运动时间为t（s），那么t为何值时，△DCQ是等腰三角形？②如图3，连接PC，请你猜想：在点P、Q的运动过程中，△PCD和△QCD的面积有什么关系？并说明理由．4．（广益）如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足（a﹣b）2+|a﹣4t|＝0，且t＞0，t是常数．直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．（1）若AB的中点为M，连接OM交BD于N，求证：ON＝OD；（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰Rt△BPF，其中∠BPF＝90°，连接F A并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．5．（长郡、雅礼）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，△OAB为等边三角形，P、Q 分别为AO、AB边上的动点，点P、点Q同时从点A出发，且当其中一点停止运动时，另一点也立即停止运动；若P以2个单位长度每秒的速度从点A向终点O运动，点Q以3个单位长度每秒的速度从点A向终点B运动，设运动时间为t，已知点A坐标为（a，b），且满足（a﹣6）2+|a﹣b|＝0．（1）求A点坐标；（2）如图1，连接BP、OQ交于点C，请问当t为何值时，∠OCP＝60°；（3）如图2，D为OB边上的中点，P，Q在运动过程中，D，P，Q三点是否能构成使∠PDQ＝120°的等腰三角形，若能，求运动时间t并直接写出四边形APDQ的面积：若不能，请说明理由．6．（师梅）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接QD并延长，交y轴于点P，当点C运动到什么位置时，满足PD＝DC？请求出点C 的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．7．（郡维）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．（1）如图（1），已知C点的横坐标为﹣1，直接写出点A的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB ＝∠CDE；（3）如图（3），若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD 交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．8.（长郡）如图，在△ABC中．AB＝AC，点E在线段BC上，连接AE并延长到G，使得EG＝AE，过点G作GD∥BA分别交BC，AC于点F，D．（1）求证：△ABE≌△GFE；（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的长度；（3）过点D作DH⊥BC于H，P是直线DH上的一个动点，连接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的条件下，求△AFP周长的最小值．9．（广益）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（0，3）与点B关于x轴对称，点C（n，0）为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD＝90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．（1）如果∠OAC＝38°，求∠DCF的度数；（2）用含n的式子表示点D的坐标；（3）在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．题型二：等腰三角形、等边三角形综合类压轴题10．（雅境）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．①∠AEB的度数为②猜想线段AD，BE之间的数量关系为：，并证明你的猜想．（2）拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系．11．（郡维）如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上．（1）求证：BF∥AC；（2）过点E作EG∥BC交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；（3）如图2，若点D在射线CA上，且ED＝EC，求证：AB＝AD+BF．12．（北雅）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，求证：BD＝CD；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明．13．（中雅）已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．14．（雅实）如图1，△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B、C 重合），以点A为直角顶点作等腰直角△P AQ，且点Q在AP的左下方，过点Q作QE⊥AB于点E．（1）求证：△P AB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值．（3）如图2，过点Q作QF⊥AQ于AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于点D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．15．（师梅）如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，AB＝AC，16．∠BAC＝90°，CM⊥y轴，交y轴于点M．（1）求证∠ABO＝∠CAM；（2）如图2，D，E为y轴上的两个点，BD＝BE，BD⊥BE，求∠CEM的度数；（3）如图3，△P AQ是等腰直角三角形，∠P AQ为顶角，点Q在x轴负半轴上，连接CB，交y轴于点H，AC与x轴交于点G，连接PC，交AQ于点K，交x轴于点N，若CN＝CM，NG＝3，HM＝2，求GH．16．（博才）如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，P A为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；（3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．17．（青竹湖）如图，四边形OABC的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A（0，a），B （b，a），C（b，0），又a，b满足﹣+b2+4b+8＝0，点P在x轴上且横坐标大于b，射线OD是第一象限的一条射线，点Q在射线OD上，BP＝PQ．并连接BQ交y 轴于点M．（1）求点A，B，C的坐标为A、B、C．（2）当BP⊥PQ时，求∠AOQ的度数．（3）在（2）的条件下，若点P在x轴的正半轴上，且OP＝3AM，试求点M的坐标．。

中考数学微专题6 等腰三角形、直角三角形形存在性问题

如图 4，当∠BDC＝90°时，线段 BC 的中点 T3，－32，BC＝3 5，设 D(3，m)，∵DT＝21BC， ∴|m＋23|＝3 2 5， ∴m＝325－32或 m＝－325－23， ∴D3，325－32或 D3，－325－23；综上所述：△BCD 是直角三角形时，D 点坐标为(3，6)或(3，－9)或3，－325－32或3，325－32.
解：(1)对直线 y＝－34x＋3，当 x＝0 时，y＝3，当 y＝0 时，x＝4， ∴点 B(4，0)，C(0，3)， ∵抛物线过点 A(－2，0)，点 B(4，0)， ∴抛物线为 y＝a(x＋2)(x－4)，将点 C(0，3)代入得：－8a＝3， ∵a＝－38，
∴抛物线为：y＝－38(x＋2)(x－4)＝－38x2＋34x＋3， ∵x＝4－2 2＝1 时，y＝287.
∴DBHG＝CBGH，即33＝B6G， ∴BG＝6，∴D(3，6)；
如图 3，当∠BCD＝90°，过点 D 作 DK⊥y 轴交于点 K， ∵∠KCD＋∠OCB＝90°，∠KCD＋∠CDK＝90°， ∴∠CDK＝∠OCB， ∴△OBC∽△KCD， ∴KOCB＝OKCD，即K6C＝33， ∴KC＝6，∴D(3，－9)；
解：(1)∵抛物线C：y＝(x－2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1， ∴C1∶y＝(x－2)2－6， ∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2. ∴C2∶y＝(x－2＋2)2－6，即y＝x2－6；
(2)过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A(a，(a－2)2－6)，则BD＝a－2，AC＝|(a－2)2－6|， ∵∠BAO＝∠ACO＝90°， ∴∠BAD＋∠OAC＝∠OAC＋∠AOC＝90°， ∴∠BAD＝∠AOC， ∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA， ∴△ABD≌△OAC(AAS)， ∴BD＝AC， ∴a－2＝|(a－2)2－6|，解得，a＝4或a＝－1(舍)，或a＝0(舍)，或a＝5， ∴A(4，－2)或(5，3)；

1存在性系列之等腰三角形存在性问题

存在性系列之等腰三角形存在性问题几何图形存在性问题是中考二次函数压轴题一大常见类型，等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形等均有涉及，本系列从等腰三角形开始，逐一介绍各种问题及常规解法．等腰三角形存在性问题【问题描述】如图，点A 坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点C 使得△ABC 是等腰三角形．【几何法】“两圆一线”得坐标（1）以点A 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；（2）以点B 为圆心，AB 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；（3）作AB 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．【注意】若有三点共线的情况，则需排除．作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．AC 1=AB=(4-1)2+(3-1)2=作AH ⊥x 轴于H 点，AH =1 C 1H =C 2H = 13-1=2 xC 1(1-2 3,0) C 2(1+2 3,0)C 3、C 4 同理可求，下求C 5 ．显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果 A 、B 均往下移一个单位，当点 A 坐标为（1,0），点 B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：AH =3，BH =2设AC 5=x ，则BC 5=x ，C 5H =3-x (3-x )2+22=x 213 解得：x = 619故C 坐标为（ ,0）5 6而对于本题的C 5 ，或许代数法更好用一些．313【代数法】表示线段构相等（1）表示点：设点C 5 坐标为（m ，0），又 A 点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3），（2）表示线段： AC 5 =， BC 5 =（3）分类讨论：根据 AC = BC ，可得：=，5 5（4）求解得答案：解得： m = 23 ，故C 坐标为,0．65 6 ⎪ ⎝ ⎭【小结】几何法：（1）“两圆一线”作出点；（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．代数法：（1）表示出三个点坐标 A 、B 、C ；（2）由点坐标表示出三条线段：AB 、AC 、BC ；（3）根据题意要求取①AB =AC 、②AB =BC 、③AC =BC ；（4）列出方程求解．问题总结：（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．【2018 泰安中考】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax2 +bx +c 交x 轴于点A(-4, 0) 、B(2, 0) ，交y 轴于点C(0, 6) ，在y 轴上有一点E(0, -2) ，连接AE ．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求∆ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使∆AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由．11 (2 5 )2-12 19 【分析】（1） y = - 3 x 2 - 3x + 6 ；4 2（2）可用铅垂法，当点 D 坐标为(-2,6) 时，△ADE 面积最大，最大值为 14；（3）这个问题只涉及到 A 、E 两点及直线 x =-1（对称轴）①当 AE =AP 时，以 A 为圆心，AE 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．∵AE = 2 ，∴ AP 1 =2 ，又 AH =3，∴ P 1H = ，故 P 1 (-1, 11)、 P 2 (-1, - 11)．②当 EA =EP 时，以 E 点为圆心，EA 为半径画圆，与对称轴交点即为所求 P 点．过点 E 作 EM 垂直对称轴于 M 点，则 EM =1， P 3 M = P 4 M = = ，故 P 3 (-1, -2 + 19 )、 P 4 (-1, -2 - 19 )．③当 PA =PE 时，作 AE 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求 P 点．设 P (-1, m ) ， P A 2 = (-1+ 4)2+ (m - 0)2， P E 2 =(-1- 0)2+ (m + 2)2555∴ m 2 + 9 = (m + 2)2+1，解得：m =1．故 P 5 (-1,1)．综上所述，P 点坐标为 P 1 (-1, 11)、P 2 (-1, - P 5 (-1,1)．11)、P 3 (-1, -2 +19 )、P 4 (-1, -2 -19 )、【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．yP 5AO BxEy P 3AOBxMEP 4y P 1HAOBxE P 25 5【2019 白银中考（删减）】如图，抛物线y =ax2 +bx +4 交x 轴于A(-3, 0) ，B(4, 0) 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ．试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；5 2⎛ 5 2 5 2 ⎫ ⎛ 5 2 5 2 ⎫ 【分析】（1） y = - 1 x 2 + 1x + 4 ；3 3（2）①当 CA =CQ 时，∵CA =5，∴CQ =5，考虑到 CB 与 y 轴夹角为 45°，故过点 Q 作 y 轴的垂线，垂足记为 H ，则CH = QH =2 ，故 Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ ． ⎝⎭ ②当 AC =AQ 时，考虑直线 BC 解析式为 y =-x +4，可设 Q 点坐标为（m ，-m +4），AQ =故 Q 点坐标为（1，3）．= 5 ，解得：m =1 或 0（舍），③当 QA =QC 时，作 AC 的垂直平分线，显然与线段 BC 无交点，故不存在．综上所述，Q 点坐标为 ,4 - 2 2 ⎪ 或（1，3）． ⎝ ⎭x(m + 3)2 + (-m + 4 - 0)2(m + 3)2+ (-m + 4 - 0)2y C PQ 1A O Q 2 MB5 【2019 盐城中考删减】如图所示，二次函数 y = k (x -1)2 + 2 的图像与一次函数 y = kx - k + 2 的图像交于 A 、B 两点，点 B 在点 A 的右侧，直线 AB 分别与 x 、 y 轴交于C 、 D 两点，其中k < 0 ．（1）求 A 、 B 两点的横坐标；（2）若∆OAB 是以OA 为腰的等腰三角形，求k 的值．【分析】（1）A 、B 两点横坐标分别为 1、2；（2）求 k 的值等价于求 B 点坐标，B 点横坐标始终为 2，故点 B 可以看成是直线 x =2 上的一个动点，满足△OAB 是以 OA 为腰的等腰三角形，又 A 点坐标为（1，2），故OA =①当 OA =OB 时，即OB = ，记直线 x =2 与 x 轴交点为 H 点， ∵OH =2，∴BH =1，故 B 点坐标为（2，1）或（2，-1），k =-1 或-3． ②当 AO =AB 时，易知 B 点坐标为（2，0），k =-2．综上所述，k 的值为-1 或-2 或-3．y DABCOxy DABCOHx5【2018 贵港中考（删减）】如图，已知二次函数y =ax2 +b x +c 的图像与x 轴相交于A(-1, 0) ，B(3, 0) 两点，与y 轴相交于点C(0, -3) ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P 是第四象限内这个二次函数的图像上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与线段BC 交于点M ，连接PC ．当∆PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．2 【分析】（1） y = x 2 - 2x - 3；（2）①当 PM =PC 时，（特殊角分析）考虑∠PMC =45°，∴∠PCM =45°，即△PCM 是等腰直角三角形，P 点坐标为（2，-3）；②当 MP =MC 时，（表示线段列方程）设 P 点坐标为(m , m 2 - 2m - 3)，则 M 点坐标为(m , m - 3)，故线段 PM = (m - 3) - (m 2 - 2m - 3)= -m 2 + 3m 故点 M 作 y 轴的垂线，垂足记为 N ，则 MN =m ，考虑△MCN 是等腰直角三角形，故 MC = 2m ，∴ -m 2 + 3m = 2m ，解得m = 3 - 或 0（舍），故 P 点坐标为(3 - 2, 2 - 4 2 )．综上所述，P 点坐标为（2，-3）或(3 - 2, 2 - 4 2 )．yHA OBxCPMyHA OxNB MCP【2019 眉山中考删减】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-4x2 +bx +c 经过点A(-5, 0) 和点B(1, 0) ．9（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图，连接AD 、BD，点M在线段AB上（不与A、B重合），作∠DMN=∠DBA，MN 交线段AD 于点N ，是否存在这样点M ，使得∆DMN 为等腰三角形？若存在，求出AN 的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1） y = - 4 x 2 - 16 x + 20，顶点 D 坐标为(-2, 4) ；9 9 9（2）考虑到∠DAB =∠DBA =∠DMN ，即有△BMD ∽△ANM （一线三等角）．①当 MD =MN 时，有△BMD ≌△ANM ，可得 AM =BD =5，故 AN =BM =1；x②当 NM =ND 时，则∠NDM =∠NMD =∠DAB ，△MAD ∽△DAB ，可得 AM = 25 ， BM = 11∴AN 6 6 25= AM ，即 AN = 6 ， BM BD解得： AN =55 ． 3611 5 6x③当 DM =DN 时，∠DNM =∠DMN =∠DAB ，显然不成立，故不存在这样的点 M ．综上，AN 的值为 1 或 55．36yDCN AM OByDCN AMOB2 【2019 葫芦岛中考（删减）】如图，直线 y = -x + 4 与 x 轴交于点 B ，与 y 轴交于点C ，抛物线 y = -x 2 + bx + c 经过 B ，C两点，与 x 轴另一交点为 A ．点 P 以每秒个单位长度的速度在线段 BC 上由点 B 向点C 运动（点 P 不与点 B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点 P 作 x 轴垂线交 x 轴于点 E ，交抛物线于点 M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接 AM 交 BC 于点 D ，当∆PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值．x【分析】（1） y = -x 2 + 3x + 4 ；（2）①考虑到∠DPM =45°，当 DP =DM 时，即∠DMP =45°，直线 AM ：y =x +1，联立方程： -x 2 + 3x + 4 = x + 1，解得： x 1 = 3 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t =1．xyCDMA P EB OyCMDA P BEO2 2 2 2 2 2 45° 12 145°222.5°2 + 12 ②当 PD =PM 时，∠PMD =∠PDM =67.5°，∠MAB =22.5°，考虑 tan ∠22.5°= 直线 AM ： y =( -1， - 1)x +- 1 ，联立方程： -x 2 + 3x + 4 =( -1)x + - 1解得： x 1 = 5 - 2 ， x 2 = -1 （舍）．此时 t = -1．x综上所述，t 的值为 1 或 -1．附：tan22.5°= -1．22.5°tan 22.5︒ =1= - 1【总结】具体问题还需具体分析题目给的关于动点的条件，选取恰当的方法，可减轻计算量．2 2 yCDMA OP B E。

压轴题当中等腰三角形的分类讨论.doc

压轴题当中等腰三角形的分类讨论在近几年的全国各地中考数学试卷当中，与等腰三角形有关的试题越来越灵活，特别是在一些综合性较强的压轴题中，等腰三角形都起到关键性的作用，甚至一些压轴题都是围绕等腰三角形来设计。

关于等腰三角形的的求解问题，常常以不同的方式呈现，不少学生由于忽略了分类讨论，造成无法准确解决问题，导致丢分。

下面我们就对此类问题进行分析讲解，希望能帮助到大家的学习。

为什么等腰三角形能跟分类讨论扯上关系呢？先一起来看看等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形角等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。

在一个等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。

两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。

一个三角形有三条边，只要其中两边相等，那么这个三角形就是等腰三角形，这就相当于给分类讨论开了一个入口，围绕边的问题可以展开多种讨论。

同时根据等腰三角形的判定定理：等角对等边，即如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这也可以根据“角”来进行分类讨论。

典型例题分析1：如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=AC=EF=9，∠BAC=∠DEF=90º，固定△ABC，将△DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线) 于G，H点，如图(2)（1）问：始终与△AGC相似的三角形有及；（2）设CG=x，BH=y，求y关于x的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形.考点分析：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质题干分析：（1）根据△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE 重合，利用相似三角形的判定定理即可得出结论．（2））由△AGC∽△HAB，利用其对应边成比例列出关于x、y的关系式：9：y=x：9即可．（3）此题要采用分类讨论的思想，①当∠GAH=45°是等腰三角形．的底角时，如图（1）：可知解得CG和②当∠GAH=45°是等腰三角形．的顶角时，如图（2）：由△HGA∽△HAB，利用其对应边成比例即可求得答案．解题反思：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，综合性较强，难易程度适中，是一道很典型的题目．我们知道等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，具有“等边对等角”和“等角对等边”的性质。

抛物线压轴题答案

综合题答案1.如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．1答案：2.如图，二次函数y=ax2+x+c的图象与x轴交于点A 、B两点，且A 点坐标为（-2，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求出这个二次函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标为______；（3）在x轴是否存在一点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，求出满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由；（4）在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q，使得四边形ABQC的面积最大？若存在，请求出Q点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）∵y=ax2+x+c的图象经过A（-2，0），C（0，3），∴c=3，a=-，∴所求解析式为：y=-x2+x+3；（2）（6，0）；（3）在Rt△AOC中，∵AO=2，OC=3，∴AC=，①当P1A=AC时（P1在x轴的负半轴），P1（-2-，0）；②当P2A=AC时（P2在x轴的正半轴），P2（-2，0）；③当P3C=AC时（P3在x轴的正半轴），P3（2，0）；④当P4C=P4A时（P4在x轴的正半轴），在Rt△P4OC中，设P4O=x，则（x+2）2=x2+32解得：x=，∴P4（，0）；（4）解：如图，设Q点坐标为（x，y），因为点Q在y=-x2+x+3上，即：Q点坐标为（x，-x2+x+3），连接OQ，S四边形ABQC=S△AOC+S△OQC+S△OBQ=3+x+3（-x2+x+3）=-x2+x+12，∵a＜0，∴S四边形ABQC最大值=，Q点坐标为（3，）。

中考压轴大题抛物线+三角形学生版

001如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；002如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．003如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．004如图，抛物线y＝x2－2x＋c的顶点A在直线l：y＝x－5上．(1)求抛物线的顶点A的坐标；(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，试判断△AB D的形状；005如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－94，0)，点C(0，3)，点B 是x 轴上一点(位于点A 的右侧)，以AB 为直径的圆恰好经过点C.(1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点，求抛物线所对应的函数关系式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．006抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE ⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．008如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；009如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴相交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在该抛物线对称轴上是否存在点P，使△BMP与△BAD相似？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．010如图，一次函数y＝﹣x﹣2 的图象与二次函数y＝ax2+bx﹣4 的图象交于x 轴上一点A，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点C．已知二次函数y＝ax2+bx﹣4 的图象与y 轴交于点D，对称轴为直线x＝n（n＜0），n 是方程2x2﹣3x﹣2＝0 的一个根，连接AD．（1）求二次函数的解析式．（2）试判断坐标轴上是否存在这样的点C，使得以点A、B、C 组成的三角形与△ADB 相似？若存在，试求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．。

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【等腰三角形专题】
（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；
（2）连接AC 、BC ，试判断△AOC 与△COB 是否相似？并说明理由；
（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段BC 上的一点，若MN ∥y 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ACQ 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
抛物线压轴题基础-三角形
【实战一】已知二次函数y=ax2-4x+c的图象过点（-1，0）和点（2，-9）．
（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
（2）已知点P（2，-2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）．
【实战二】如图，已知二次函数y= -x2+bx+3的图象
与x轴的一个交点为A(4,0)，与y轴交于点B.
（1）求此二次函数关系式和点B的坐标；
（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是以
AB为底的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不
存在，请说明理由.
【实战三】抛物线y＝ax2＋2x＋c与其对称轴相交于点A(1，4)，与x轴正半轴交于点B. （1）求这条抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线对称轴上确定一点C，使△ABC是等腰三角形，求出所有点C的坐标.
【实战四】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为点D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．
（1）、求抛物线的函数表达式；
（2）、求点E的坐标；
（3）、试探究在x轴下方的抛物线上是否存在点F，使得△FOB和△EOB的面积相等，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（4）、若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，请直接写出：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．
【实战五】如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．
（1）、求该抛物线的函数解析式；
（2）、已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；
②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）b的值及点D的坐标。

（2）线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为1；
（3）在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
【实战7】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=﹣x+3交于A、B两点，点A 在y轴上，点B在x轴上，抛物线与x轴的另一交点为C，点P在点B右边的抛物线上，PM⊥x轴交直线AB于M．
（1）求抛物线解析式．
（2）当PM=2BC时，求M的坐标．
（3）点P运动过程中，△APM能否为等腰三角形？若能，求点P的坐标，若不能说明理由．
【实战1】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）、如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）、在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）、如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D 的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由
【实战2】如图，已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），
以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B
关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值；
（2）求抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（3）在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【实战4】（2013•抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
【相似三角形专题】
【题型一】（2011•营口）如图（1），直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值．
（图（2）、图（3）供画图探究）
【实战1】（2014•朝阳）如图，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4经过点D（2，4），且与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，CD，BC
（1）直接写出该抛物线的解析式
（2）点P是所求抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分
别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．
①当0≤m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m
为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值
②当﹣1≤m≤2时，试探求：是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点
的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应的m值；若不存在，请说明
理由．
11。