三角形内角和的证明
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1 3 2
B
C 所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要在 证明时首先 叙述出来.
开启
智慧
已知：如图，△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
B
C
还有其他证明方法吗？
开启
智慧
证明：过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180°
本节架构:
度量、拼合 猜想
三角形的内角和等于180 º
︵ 转 移 角 ︶
添 加 辅 助 线
转化的 数学思想
理论证明 应用 (有关计算和证明.)
例题欣赏：
已知:如图, ∠A、∠B、∠C 是△ABC 的三内角. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当于 B 把∠A移到了∠1的位置,把 ∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C 作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
A
A
①度量
A
B
C B A
A
②剪拼
B
C
B
A
③折叠
B
C
A
B
C
在前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上， 把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就 可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线， 得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说 明∠A+∠B+∠C=180゜了。
A
你试过了吗？.
D
即时练习
☞
7.已知：如图， 四边形ABCD. 求证： ∠ A+∠B+ ∠ C+∠D=360°.
A D B
C
小结
拓展
本节课你有什么收获？ 我们证明了三角形内角和定理。 证明的基本思想是：运用辅助线将原 三角形中处于不同位置的三个内角集 中在一起，拼成一个平角，辅助线是 联系命题的条件和结论的桥梁。
我的课堂 我的舞台
八年级数学（上册） 第五章几何证明初步
5 .三角形内角和定理（1）
授课人：张华之
一、复习“三角形内角和定理”
我们已经知道：Βιβλιοθήκη Baidu
三角形的三个内角之和等于180゜。
A
即：在△ABC中， 有 ∠A+∠B+∠C=180゜
B
C
二.论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等于180°呢？
“行家” 看“门道”
A
1
E
3
C
2
D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成 虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
A
A A
B
C
B B C
A
剪拼
B
A
B
C
A
议一议
一题 多解
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) E A
B
C
证明：
作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以 CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 则CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) B
1 2
E
C
D
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点，作PR ∥ AB交AC 于R点
A Q R C
B
P
即时练习 ☞
1.在△ABC中，∠A = 80°，∠B =60° 则 ∠C = 2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C ， 则 ∠B = 3.在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C ， 则 ∠B = 4.已知：如图，则∠A等于（ ） A.60° B.70° A C.50° D.80°
三角形内角和定理的证明
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这 个结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B C D 其它方法可以达到同 样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
P A Q
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角 “凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可 以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
130° 60° B C D
即时练习
☞
B
⑸如图所示,∠B=∠D,则∠AED与∠ACB的 E 关系是( ) A.∠AED>∠ACB B.∠AED<∠ACB； A C C.∠AED=∠ACB D.无法确定 ⑹.下列叙述正确的是( ) A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和； B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角； C.三角形中至少有两个锐角； D.三角形中至少有一个锐角.
E
1 2 B C D
组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
A E
1 2 B C D
如果△ ABC 是画在一块不能分割的平面上，如 在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再 分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证 ∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
A E
1 2 B C D
B
C 所作的辅助 线是证明的 一个重要组 成部分,要在 证明时首先 叙述出来.
开启
智慧
已知：如图，△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
B
C
还有其他证明方法吗？
开启
智慧
证明：过A作AE∥BC， ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAB+∠BAC+∠C=180°
本节架构:
度量、拼合 猜想
三角形的内角和等于180 º
︵ 转 移 角 ︶
添 加 辅 助 线
转化的 数学思想
理论证明 应用 (有关计算和证明.)
例题欣赏：
已知:如图, ∠A、∠B、∠C 是△ABC 的三内角. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 分析:延长BC到D,过点C作 射线CE∥AB,这样,就相当于 B 把∠A移到了∠1的位置,把 ∠B移到了∠2的位置. 证明:作BC的延长线CD,过点C 作CE∥AB,则 ∠1=∠A(两直线平行,内错角相等), ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等).
A
A
①度量
A
B
C B A
A
②剪拼
B
C
B
A
③折叠
B
C
A
B
C
在前面我们是采用拼接的方法来说明的。
即把∠A撕下来放在∠1的位置上， 把∠B撕下来放在∠2的位置上。这时就 可得∠ACB和∠1和∠2组成了一条直线， 得到∠ACB+∠1+∠2=180゜，就可说 明∠A+∠B+∠C=180゜了。
A
你试过了吗？.
D
即时练习
☞
7.已知：如图， 四边形ABCD. 求证： ∠ A+∠B+ ∠ C+∠D=360°.
A D B
C
小结
拓展
本节课你有什么收获？ 我们证明了三角形内角和定理。 证明的基本思想是：运用辅助线将原 三角形中处于不同位置的三个内角集 中在一起，拼成一个平角，辅助线是 联系命题的条件和结论的桥梁。
我的课堂 我的舞台
八年级数学（上册） 第五章几何证明初步
5 .三角形内角和定理（1）
授课人：张华之
一、复习“三角形内角和定理”
我们已经知道：Βιβλιοθήκη Baidu
三角形的三个内角之和等于180゜。
A
即：在△ABC中， 有 ∠A+∠B+∠C=180゜
B
C
二.论证“三角形内角和定理”
怎样验证三角形 的三个角的和等于180°呢？
“行家” 看“门道”
A
1
E
3
C
2
D
这里的 CD,CE称为 辅助线,辅助 线通常画成 虚线.
又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.
A
A A
B
C
B B C
A
剪拼
B
A
B
C
A
议一议
一题 多解
(两直线平行,同旁内角互补)
∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) E A
B
C
证明：
作BC的延长线CD，在△ABC的外部，以 CA为一边， CE为另一边作∠1=∠A， 则CE∥BA (内错角相等，两直线平行).
∴∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等). A 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°
(平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换) B
1 2
E
C
D
证明：过点P作PQ ∥ AC交AB于Q点，作PR ∥ AB交AC 于R点
A Q R C
B
P
即时练习 ☞
1.在△ABC中，∠A = 80°，∠B =60° 则 ∠C = 2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=∠C ， 则 ∠B = 3.在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C ， 则 ∠B = 4.已知：如图，则∠A等于（ ） A.60° B.70° A C.50° D.80°
三角形内角和定理的证明
回顾与思考 ☞
言必有“据”
我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这 个结论的探索过程吗? A (1)如图,当时我们是 把∠A移到了∠1的位 置,∠B移到了∠2的位 置.如果不实际移动 1 2 ∠A和∠B,那么你还有 B C D 其它方法可以达到同 样的效果?
(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一 结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明 过程吗?与同伴交流. 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.
P A Q
在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角 “凑”到A处,他过点A作直线PQ∥BC(如图),他的想法可 以吗 ? 请你帮小明把想法化为实际行动 . 证明:过点A作PQ∥BC,则 ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换).
130° 60° B C D
即时练习
☞
B
⑸如图所示,∠B=∠D,则∠AED与∠ACB的 E 关系是( ) A.∠AED>∠ACB B.∠AED<∠ACB； A C C.∠AED=∠ACB D.无法确定 ⑹.下列叙述正确的是( ) A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和； B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角； C.三角形中至少有两个锐角； D.三角形中至少有一个锐角.
E
1 2 B C D
组成的BC和CD真的就是一条直线吗？
很明显，这是无法确定的
A E
1 2 B C D
如果△ ABC 是画在一块不能分割的平面上，如 在黑板上，这时就不可能做到把∠A、∠B撕下来再 分别放在∠1、∠2的位置上，那么又如何论证 ∠A+∠B+∠C= 180゜呢？
A E
1 2 B C D