考研常考题型-罗尔中值定理的证明

常考题型　罗尔定理的证明
解题提示:欲证结论为f (n )
(ξ)=k ,或F (ξ,f (ξ),f '(ξ
))=0,使用罗尔定理证明,有三个考察角度:
(1
)是无需构造辅助函数,只需寻找某个函数存在两个相同的端点;(2)是结论证明f ᵡ(ξ)=0,此时关键是去寻找f (x )有三个相同的端点;(3
)是去构造辅助函数.(读者可参考‘高等数学一本通“的相应讲解)典型习题
1.设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f (0)+f (1)+f (2)=3,f (
3)=1,试证必存在ξɪ(0,3),使f '(ξ)=0.ʌ证明ɔ 函数f (x )在[0,3]上连续,则f (x )在[0,2]上连续,那么其在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是
m ɤf (
0)ɤM ,m ɤf (1)ɤM ,m ɤf (2)ɤM .故m ɤf (0)+f (1)+f (2)3
ɤM .
由介值定理知,至少存一点ηɪ[0,2],使f (η)=f (0)+f (1)+f (2)3
=1.于是f (η)=1=f (3),满足罗尔定理,故存在ξɪ(η,3)⊂(0,3),使f '(ξ
)=0.2.设f (x )在区间[a ,b ]上具有二阶导数,且f (a )=f (b )=0,又f '(a )f
'(b )>0,证明存在ξɪ(a ,b )和ηɪ(a ,b )使f (ξ)=0及f ᵡ(η)=0.
ʌ证明ɔ 1)假设f '(a )>0,f '(b )>0(对于f '(a )<0,f
'(b )<0的情况,类似可证),根据导数定义和极限保号性,有
f '+(a )=l i m x ңa +0f (x )x -a >0,有a 1ɪ(a ,a +δ1)使f (a 1)a 1-a >0,即f (a 1)>0;f '-(b )=l i m x ңb -0f (x )x -b >0,有b 1ɪ(b -δ2,b )使f (b 1)b 1-b >0,即f (b 1)<0,其中δ1和δ2是充分小的正数.
根据连续函数的介值定理知,存在ξɪ(a 1,b 1)⊂(a ,b )使f (ξ
)=0.2)由f (a )=f (ξ)=f (b )=0,根据罗尔定理知,存在η1ɪ(a ,ξ)和η2ɪ(ξ,b ),使f '(η
1)=f '(η
2)=0,再由罗尔定理知,存在ηɪ(η1,η2)⊂(a ,b ),使f ᵡ(η)=0.3.设函数f (x )在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且2f (
0)=ʏ
20
f (
x )d x =f (2)+f (3),证明:(Ⅰ)存在ηɪ(0,2),使f (η)=f (0);(Ⅱ)存在ξɪ(0,3),使f ᵡ(ξ
)=0.ʌ证明ɔ (Ⅰ)设F (x )=
ʏ
x 0
f (
t )d t (0ɤx ɤ2),则ʏ
20
f (
t )d x =F (2)-F (0).根据拉格朗日中值定理,存在ηɪ(0,2
),使
F (2)-F (0)=2F '(η)=2f (η)
,即
ʏ
20
f (x )d x =2f (η).由题设ʏ
2
f (x )d x =2f (0),从而f (η)=f (
0).(Ⅱ)易知f
(2)+f (3)2
介于f (x )在[2,3]上的最小值与最大值之间,根据连续函数的介质定理,存在ζɪ[2,3],使f (ζ)=f (2)+f (3)2
.由题设知f (2)+f (3)
2
=f (0),故f (ξ)=f (0).由(Ⅰ)的结果可知f (0)=f (η)=f (ξ),且0<η<ζɤ3,根据罗尔定理,存在ξ1ɪ(0,η
),ξ2ɪ(η,ζ)
,使f '(ξ1)=0,f '(ξ
2)=0,从而存在ξɪ(ξ1,ξ2)⊂(0,3),使f ᵡ(ξ
)=0.4.设函数f (x ),g (
x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内上有二阶导数且存在相等的最大值,f (
a )=g (a ),f (
b )=g (b ),证明:(Ⅰ)存在ηɪ(a ,b ),使得f (η)=g (η);(Ⅱ)存在ξɪ(a ,b ),使得f ᵡ(ξ)=g ᵡ(ξ
).ʌ证明ɔ 寻求等值点法:F ᵡ(ξ
)=f ᵡ(ξ)-g ᵡ(ξ)=0,因ξ是F ᵡ(x )的零点,由罗尔定理知,只需寻求F (x )在[a ,b ]上有三个等值点,问题便得证.又F (a )=F (b )=0,
故只须在(a ,b )内寻求出F (x )的一个零点即可.(Ⅰ)设f (x )在x 1处取得最大值M ,g (
x )在x 2处取得最大值M ,由题给条件知x 1ɪ(a ,b ),x 2ɪ(a ,b ),不妨设x 1<x 2,
则F (x )=f (x )-g (x )在[x 1,x 2]上连续,且F (x 1)=M -g (
x 1)>0,F (x 2)=f (x 2)-M <0,因为F (x 1)F (x 2)<0,由连续函数零点定理知,在(x 1,x 2)内存在一点η,使F (η)=0.
F (x )在[a ,η],[η,b ]上满足罗尔定理条件,则有F '(η1)=0,a <η1<η,F '(η
2)=0,x 0<η2<b .又F '(x )在[η
1,η2]上满足罗尔定理条件,则有F ᵡ(ξ)=0,η1<ξ<η2,则f ᵡ(ξ)=g ᵡ(ξ),ξɪ(η1,η
2)⊂(a ,b ).(Ⅱ)设f (x ),g (
x )在x 0ɪ(a ,b )处同时取得最大值M ,这时F (x )=f (x )-g (x )在[a ,b ]上有三个零点a ,x 0,
b ,证法同(Ⅰ).5.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,f (a )=b ,f (b )=a ,a 与b 同号,证明:∃ξɪ(
a ,
b ),使f '(ξ)=-f (ξ)
ξ
.ʌ证明ɔ 只要证ξf '(ξ)+f (ξ
)=0,令F (x )=x f (x ),则F (a )=a f (a )=a b ,F (b )=b f (
b )=a b .由罗尔定理知,∃ξɪ(
a ,
b )使F '(ξ)=0,即ξf '(ξ)+f (ξ)=0.6.设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且满足f (1)=3ʏ
1
3
e 1-x 2
f (
x )d x .证明:至少存在一点ξɪ(0,1),使得f '(ξ)=2ξf (ξ
).ʌ证明ɔ 令F (x )=f (x )e
-x 2
,由积分中值定理,得
3ʏ
1
3
0e 1-x 2f (x )d x =313-0æèçöø÷e 1-η2f (η),0ɤηɤ13
.故f (1)=e 1-η2
f (η),可得e -1f (1)=e -η2
f (η),即F (1)=F (η)
.由罗尔定理知,∃ξɪ(η,1)⊆(0,1),使f '(ξ)=2ξ
f (ξ).7.设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=f (1)=0,f 12æèçöø÷=1,证明:(Ⅰ)存在ηɪ12,1æèçöø
÷,使得f (η)=η;(Ⅱ)对任意实数λ存在ξɪ(0,η),使f '(ξ)-λ[f (ξ
)-ξ]=1.ʌ证明ɔ (Ⅰ)令F (x )=f (x )-x ,F 12æèçöø÷-12=12>0,F (1)=f (1)-1=-1<0,
由零点定理知∃ηɪ12,1æèç
öø
÷,使F (η)=0.即f (η)=η.(Ⅱ)令φ(x )=f (x )-x ()e -λx ,φ(0)=0,φ(η)=0,由罗尔定理知∃ξɪ(0,η)
,使φ'(ξ
)=0,从而有[f '(ξ)-1]-λ[f (ξ)-ξ]=0,故得证.8.设函数f (x )和g (x )在[a ,b ]上存在二阶导数,并且g ᵡ(x )ʂ0,f (a )=f (b )=g (a )=g (
b )=0,试证:(Ⅰ)在开区间(a ,b )内g (x )ʂ0;
(Ⅱ)在开区间(a ,b )内至少存在一点ξ,使f (ξ)g (ξ)=f ᵡ(ξ)g ᵡ(ξ).ʌ解ɔ (Ⅰ)反证法
假设存在点c ɪ(a ,b ),使得g (c )=0,
对g (x )在[a ,c ]和[c ,b ]上分别应用罗尔定理知,存在ξ1ɪ(a ,c )和ξ2ɪ(c ,b ),使g '(ξ1)=g '(ξ2)=0,再由罗尔定理知,存在ξ3ɪ(ξ1,ξ
2),使得g ᵡ(ξ
3)=0.这与条件g ᵡ(x )ʂ0矛盾,故在开区间(a ,b )内g (x )ʂ0.(Ⅱ)令φ(x )=f (x )g '(x )-f '(x )g (
x ),则φ(a )=φ(b )=0.由罗尔定理知,存在ξɪ(a ,b ),使φ'(x )=0,即f (ξ)g ᵡ(ξ
)-f ᵡ(ξ)g (ξ)=0.因g (ξ)ʂ0,g ᵡ(ξ)ʂ0,故得f (ξ)g (ξ)=f ᵡ(ξ)g ᵡ(ξ
),ξɪ(a ,b ).9.设f (x )在[0,1]上二阶可导,且l i m x ң0f (x )x
=1,l i m x ң1f (x )x -1=2,求:(Ⅰ)∃ξɪ(0,1)使f (ξ)=0;(Ⅱ)∃ηɪ(
0,1)使f ᵡ(η)=f (η).ʌ证明ɔ (Ⅰ)由l i m x ң0f (x )x =1知,f (0)=0,且存在δ>0.当x ɪ(0,δ)时,f (x )x >0,从而有f (x )>0,取a ɪ(0,δ),则f (a )>0.同理由l i m x ң1f (x )x -1
=2知,f (1)=0,且∃b ɪ(1-δ,1),f (b )<0.由于f (x )在[a ,b ]上连续,且f (a )>0,f (b )<0.由零点定理知∃ξɪ(a ,b ),使f (ξ
)=0.(Ⅱ)令F (x )=e -x f (x ),由于F (0)=F (ξ
)=F (1)=0.
由罗尔定理知,∃η1ɪ(0,ξ),∃η2ɪ(ξ,1),使F '(η1)=0,且F '(η2)=0.即f '(η1)-f (η1)=0,f '(η2)-f (η
2)=0.令φ(x )=e x
[f '(x )-f (x )],则φ(η1)=φ(η
2)=0.由罗尔定理知,∃ηɪ(η
1,η2),使φ'(η)=0.从而有[f ᵡ(η)
-f '(η)]+[f '(η)-f (η)]=0,即f ᵡ(η)-f (η)=0.10.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,其中a >0且f (a )=0.证明:在(a ,b )内存在ξ,使f (ξ)=b -ξa
f '(ξ).ʌ分析ɔ f (ξ)=b -ξa f '(ξ)令ξ=x f (x )=b -x a
f '(x )⇒f '(x )f (x
)=a b -x 积分 l n f (x )=-a l n (b -x )+l n C ⇒(b -x )a
f (
x )=C .ʌ证明ɔ 作辅助函数F (x )=(b -x )a
f (
x ),由题设F (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,又
F (a )=(b -a )a
f (
a )=0(因为f (a )=0),F (
b )=(b -b )a
f (
b )=0.可见F (x )在[a ,b ]上满足罗尔定理,于是∃ξɪ(a ,b ),使F '(ξ
)=0,即-a (b -ξ)a -1f (ξ)+(b -ξ)a f '(ξ
)=0.故f (ξ)=b -ξa
f '(ξ).11.设f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,当x ɪ(0,1)时,f (
x )ʂ0,证明:对一切自然数n ,在(0,1)内∃ξ,使n f '(ξ)f (ξ
)=f '(1-ξ)f (1-ξ).ʌ分析ɔ n f '(ξ)f (ξ)=f '(1-ξ)f (1-ξ)令ξ=x n f '(x )f (x )=f '(1-x )f (
1-x )⇒n l n f (x )=-l n f (1-x )+l n c ⇒f n (x )f (
1-x )=C .ʌ证ɔ 作辅助函数F (x )=f n
(x )f (
1-x ),因F (0)=F (1)=0,故F (x )在[0,1]上满足罗尔定理,于是∃ξɪ(0,1)使F '(ξ
)=0,即原命题得证.12.设f (x )在[0,1]上连续,f (0)=0,ʏ
10
f (x )d x =0,证明:(Ⅰ)∃ξɪ(0,1),使得ʏ
ξ0
f (x )d x =-ξf (ξ
);(Ⅱ)∃ηɪ(0,1),使得ʏη
f (x )
d x =ηf (η).ʌ证明ɔ (Ⅰ)要证ʏξ
0f (x )d x +ξf (ξ)=0,应构造F (x )=x ʏx
f (t )
d t F (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F (0)=F (1
)=0.由罗尔定理可得,∃ξɪ(0,1),使F '(ξ)=0,从而ʏ
ξ0
f (x )d x =-ξf (ξ
).(Ⅱ)令F (x )=ʏ
x
f (
t )d t x ,x ɪ(0,1],0,x =0,
ìîíïïïï则F (x )在[0,1]上连续,在(0,1
)内可导,且
F(0)=F(1)=0,由罗尔定理,∃ηɪ(0,1)使F'(η)=0,从而ʏη0f(x)d x=ηf(η).
13.设f(x)在[0,π]上连续,且ʏπ0f(x)d x=0,ʏπ0f(x)c o s x d x=0.
证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=0,f(ξ2)=0.
ʌ证明ɔ令F(x)=ʏx0f(t)d t,0ɤxɤπ,则有F(0)=0,F(π)=0,
0=ʏπ0f(t)c o s x d x=ʏπ0c o s x d F(x)=[F(x)c o s x]π0+ʏπ0F(x)s i n x d x=ʏπ0F(x)s i n x d x.对φ(x)=ʏx0F(t)s i n t d t在[0,π]上应用拉格朗日中值定理得
0=ʏπ0F(x)s i n x d x=φ(π)-φ(0)=πF(ξ)s i nξ,0<ξ<π.
因为s i nξʂ0,所以F(ξ)=0,再对F(x)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔定理知,至少存在ξ1ɪ(0,ξ),ξ2ɪ(ξ,π),使F'(ξ1)=F'(ξ2)=0,即f(ξ1)=f(ξ2)=0.
常考题型　拉格朗日中值定理
解题指示:1.判类:题给出的条件是函数在闭区间上连续,在开区间内可导,欲证的结论是:函数的增量与区间内某一点处的导数值的等式关系或函数值与数值间的不等式关系,自然想到利用拉格朗日中值定理证明.
2.证题的两种方法:
(1)设辅助函数法.它又有下面三种方法:①分析法;②待定系数法:将欲证结论中含有ξ的部分设为待定常数M,再将等式中一个端点,例如b换成变量x,使其成为函数,等式两端做差构造出辅助函数φ(x),这样首先保证φ(b)=0,而由等式关系φ(a)=0自然成立.称这样构造辅助函数的方法为 待定系数法 ;③不定积分法.
(2)确定区间法.
3.定理的二种形式
(1)f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).
(2)f(b)-f(a)=f'(a+θ(b-a))(b-a),0<θ<1.
4.定理的应用(参考‘高等数学一本通“)
典型习题
1.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
b f(b)-a f(a)=[f(ξ)+ξf'(ξ)](b-a).
(ξ)+ξf'(ξ)=[x f(x)]'x=ξʌ分析ɔ将所证的结论变形为b f(b)-a f(a)
b-a=f
结论可以解读为某一个函数在x=ξ处的导数等于一个数,这正是拉格朗日中值定理的内容.
ʌ证ɔ令F(x)=x f(x),xɪ[a,b],F(x)在[a,b]上连续,(a,b)可导,故∃ξɪ(a,b),使得
b f(b)-a f(a)
b-a=F'
(ξ)=f(ξ)+ξf'(ξ),
即b f(b)-a f(a)=[f(ξ)+ξf'(ξ)](b-a).
2.已知fᵡ(x)<0,f(0)=0,证对任意的正数x1,x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).ʌ分析ɔ因为f(0)=0,所以将欲证的结论变形为f(x1+x2)-f(x2)<f(x1)-f(0),比较两个函数增量的大小,且区间长相等,应该利用有限增量定理 拉格朗日中值定理,辅助函数已知为f(x),余下的问题是在什么区间上应用拉格朗日中值定理,故称确定区间法.ʌ证明ɔ不妨设0<x1<x2,于是函数f(x)分别在区间[0,x1]及[x2,x1+x2]上应用拉格朗日中值定理,有
f(x1)-f(0)=f'(ξ1)x1,0<ξ1<x1①f(x1+x2)-f(x2)=f'(ξ2)x1,x2<ξ2<x1+x2②因为fᵡ(x)<0,所以f'(x)严格单调减少,又ξ2>ξ1,所以f'(ξ1)>f'(ξ2),则x1f'(ξ1) >x1f'(ξ2),由式①㊁②,得
f(x1+x2)<f(x1)+f(x2).
3.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意给定的正数a,b在(0,1)内一定存在互不相同的ξ,η,使a f'(ξ)+b f'(η)=a+b.
ʌ解ɔ由于f(0)=0<a a+b<1=f(1),由介值定理知∃cɪ(0,1),使
f(c)=a a+b,
在区间[0,c]和[0,1]上分别对f(x)用拉格朗日中值定理,得
f(c)-f(0)
c-0=f'
(ξ),ξɪ(0,c),
f(1)-f(c)
1-c=f'(η),ηɪ(c,1).
从而有
1 f'(ξ)=
c
f(c)=
c(a+b)
a
,
1 f'(η)=
1-c
1-f(c)=
(1-c)(a+b)
b.
故a
f'(ξ)+b
f'(η)=a+b.
4.设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=12,证明在(0,1)内存在不同
的ξ,η,使f'(ξ)+f'(η)=ξ+η.
ʌ分析ɔ欲证f'(ξ)-ξ=-(f'(η)-η),应从f'(x)-x的原函数入手.
ʌ证明ɔ令F(x)=f(x)-12x2,则F(0)=0,F(1)=0,F12æèçöø÷=f12æèçöø÷-18.
又因为F12æèçöø÷-F(0)
1
2-0
=F'(ξ)=f'(ξ)-ξ,ξɪ0,12
æ
èç
ö
ø÷
.
F (1)-F 12æèçöø÷
1-1
2
=F '(η)=f '(η)-η,ηɪ12,1æèçöø÷.而F 12æèçöø÷-F (0)=F 12æèçöø÷,F (1)-F 12æèçöø÷=-F 12æèçöø
÷,于是f '(ξ)-ξ=-(f '(η)
-η),从而f '(ξ)+f '(η)=ξ+η.5.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导(a >0),且f (a )=f (
b )=1,试证存在ξ,ηɪ(a ,b )使得ηξæèçöø÷n -1=f (ξ)+ξn f '(ξ
).ʌ证ɔ 将含ξ和含η的项分写在等式两端,得n ξn -1f (
ξ)+ξn f '(ξ)=n ηn -1.等式右端是(x n
)'
x =η
,左端是[x n
f (
x )]'x =ξ
.
令F (x )=x n
,在[a ,b ]上,
由拉格朗日中值定理,有b n -a n b -a
=n ηn -1,ηɪ(a ,b ),①令g (x )=x n
f (x ),在[a ,b ]上,由拉格朗日中值定理,有b n f (b )-a n f (a )b -a
=n ξn -1f (ξ)+ξn f '(ξ),ξɪ(a ,b )②
由于f (a )=f (
b )=1,由式①㊁式②即得欲证的等式.6.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内二阶可导,又f (a )=f (b )=0,且存在
c ɪ(a ,b )
使f (c )>0,证明在(a ,b )内至少存在一点ξ,使得f ᵡ(ξ)<0.ʌ证ɔ 对f (x )分别在[a ,c ]和[c ,b ]上应用拉格朗日中值定理,
有f '(ξ1)=f (c )-f (a )c -a
,a <ξ1<c ,f '(ξ2)=f (b )-f (c )b -c
,c <ξ2<b .因
f (
c )>f (a ),c >a ;f (b )<f (c ),b >c .所以由上式分别有f '(ξ1)>0,f '(ξ
2)<0.因在(a ,b )内,f (x )二阶可导,f '(x )在[ξ1,ξ
2]应用拉格朗日中值定理,则f ᵡ(ξ
)=f '(ξ2)-f '(ξ1)ξ2-ξ
1,ξ1<ξ<ξ2.由f '(ξ2)<0,f '(ξ1)>0,ξ2>ξ1,知f ᵡ(ξ
)<0.7.
当x ȡ0时,证明x +1-x =12
x +θ(x ) 14
ɤθ
(x )ɤ12æèçöø÷且l i m x ң0+θ(x )=14,l i m x ң+ɕθ(x )=12
.
ʌ证明ɔ 取函数f (x )=x ,在[x ,x +1
]上由拉格朗日中值定理,得f (x +1)-f (x )=f '(x +θ(x ))(x +1-x )=f '(x +θ(x )).即
x +1-x =
1
2x +θ(x )
.为确定θ(x )的取值范围和求θ(x )的极限,由上式解出θ(x )
,得θ(x )=4
1(1+2x (x +1)-2
x ).①
当x ȡ0时,x (x +1)>x ,由式①知,θ(x )ȡ14
,
又因x (x +1
)ɤx +(x +1)
2ɤx +12
.代入式①,即得θ(x )ɤ12,于是有14ɤθ(x )ɤ12.由式①,得
l i m x ң0
+θ(x )=14,
l i m x ң+ɕ
θ(x )=
14+1
2l
i m x ң+ɕ
x x (x +1)+x
=1
2.常考题型　欲证结论为(a ,b )内∃ξ,
η满足某种关系式解题提示:把ξ,η分开两次,
一次使用柯西定理,一次使用拉格朗日中值定理;或是两次柯西定理.然而再将所得结果作某种运算.
典型习题
1.设函数f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,且f '(x )ʂ0,试证存在ξ㊁ηɪ(
a ,
b ),使得f '(ξ)f '(η)=e b -e a
b -a ㊃e -η.ʌ解ɔ 因f (x )在[a ,b ]上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在ξɪ(a ,b )
,使得f '(ξ
)(b -a )=f (b )-f (a )①令g (x )=e x ,则g (x )和f (x )在[a ,b ]上满足柯西定理的条件,故存在ηɪ(a ,b )
,使得f (b )-f (a )e b -e a =f '(η)e
η
.②由题设f '(x )ʂ0知,f '(η)ʂ0,
将式①代入式②,有f '(ξ)f '(η)=e b -e a
b -a
㊃e -η.2.设函数f (x ),g (x )在[a ,b ]上连续,且g (b )=g (a )=1,在(a ,b )内f (x ),g (
x )可导,且g (x )+g '(x )ʂ0,f '(x )ʂ0.证明∃ξ,ηɪ(a ,b ),使f '(ξ)f '(η)
=e ξ[g (ξ)+g '(ξ)]e η
.ʌ分析ɔ 原结论⇔f '(ξ)e ξ[g (ξ
)+g '(ξ)]=f '(η)e η,将η和ξ均看作变量,则上式为
f '(ξ)[e ξ
g (ξ)]'
=f '(η)(e η)',辅助函数可令φ(x )=e x g (x ),ψ(
x )=e x
.ʌ证明ɔ 令φ(x )=e x
g (x ),则由题设可知f (x ),φ(
x )在[a ,b ]上满足柯西中值定理,于是∃ξɪ(
a ,
b ),使得f (b )-f (a )e b
g (b )-e a g (a )=f '(ξ)e ξ[g (ξ)+g '(ξ
)]因为g (a )=g (b )=1 f (b )-f (a )e b -e a
=f '(ξ)e ξ[g (ξ)+g '(ξ)]
,①
又令ψ(x )=e x
,则f (x ),ψ(x )在[a ,b ]上满足柯西中值定理,于是∃ηɪ(
a ,
b ),使得f (b )-f (a )e b -e a =f '(η)e η,②由式①,②可得
f '(η)e η=f '(ξ)e ξ[
g (ξ)+g '(ξ
)]⇒f '(ξ)f '(η)=e ξ[g (ξ)+g '(ξ)]e η.3.设函数f (x )在闭区间[a ,b ]上连续,在开区间(a ,b )内可导,且f '(x )>0.
若极限l i m x ңa
+f (2x -a )x -a 存在,证明:(Ⅰ)在(a ,b )内f (x )>0;
(Ⅱ)在(a ,b )内存在点ξ,使b 2-a 2
ʏ
f (
x )d x =2ξf (ξ)
;(Ⅲ)在(a ,b )内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η,使f '(η)
(b 2-a 2)=2ξξ-a ʏ
b
a
f (x )d x .ʌ证明ɔ (Ⅰ)因为l i m x ңa
+f
(2x -a )x -a 存在,故l i m x ңa +f (2x -a )=f (a )=0.又f '(x )>0,于是f (x )在(a ,b )内单调增加,故f (x )>f (
a )=0,x ɪ(a ,
b ).(Ⅱ)设F (x )=x 2,g (
x )=ʏ
x 0
f (
t )d t (a ɤx ɤb ),则g '(x )=f (x )>0.故F (x ),g (
x )满足柯西中值定理的条件,于是在(a ,b )内存在ξ,使F (b )-F (a )g (b )-g (a )=b 2-a 2
ʏ
b a f (t )d t -ʏ
a a
f (t )d t =(x 2)'ʏ
x a f (t )d t ()
'x =ξ
,即b 2-a 2ʏ
b a
f (x )d t =2ξf (ξ). (Ⅲ)因f (ξ)=f (ξ)-0=f (ξ)-f (a ),在[a ,ξ]上应用拉格朗日中值定理知,在(a ,ξ
)内存在一点η,使f (ξ)=f '(η)(ξ-a )
,从而由(2)的结论得b 2-a
2
ʏb
a
f (x )d t =2ξf (ξ),即有f '(η)(b 2
-a 2
)
=2ξξ-a ʏ
b
a
f (x )d x .4.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,0<a <b ,证明∃x 1,x 2,x 3ɪ(
a ,
b )使f '(x 1)2x 1=(b 2+a 2)f '(x 2)4x 32
=l n b a b 2-a 2
x 3f '(x 3).ʌ证明ɔ 因f (b )-f (a )b 2-a 2
=f '(x 1)2x 1,x 1ɪ(a ,b ),f (b )-f (a )b 4-a 4
=f '(x 2)4x 32,x 2ɪ(a ,b ),f (b )-f (a )l n b -l n a
=f '(x 3)1x 3
,x 3ɪ(a ,b ),故f '(x 1)2x 1=(b 2+a 2
)f '(x 2
)4x 3
2
=l n a b
b 2-a 2x 3f '(x 3).
5.设f (x )在[a ,b ]上连续,在(a ,b )内可导,b >a >0,证明∃ξ,ηɪ(
a ,
b ),使得f (b )-f (a )b 2-a 2=a b f '(η)2ξ
3.ʌ证明ɔ 先用拉格朗日中值定理后用柯西中值定理.根据拉格朗日中值定理,存在ηɪ(a ,b )
,使得f '(η)=f (b )-f (a )b -a
,令F (x )=x 2
,g (
x )=1x
,根据柯西中值定理,存在ξɪ(a ,b ),使得2ξ-1ξ
2=b 2-a 2
1b -1a ;两式联立,整理即得结论.
常考题型　泰勒中值定理
解题提示:1.若题给出的条件涉及二阶或二阶以上的导数.欲证的结论是多个函数值间或函数值与各阶导数间的等式或不等式关系,自然想到泰勒
公式证明.
2.使用该定理解题步骤为:①展开几阶泰勒公式,
题中给出n +1阶可导,展开n 阶泰勒公式.②在何处展开.这是这类题的难点.③展开后,x 取值代入,再进行初等数学变形,证明不等式时将已知条件代入需要进行放缩不等式.
典型习题
1.设f (x )在[0,1]上具有二阶导数且满足|f (x )|ɤa ,|f
ᵡ(x )|ɤb ,其中a ,b 为非负常数.设c 是(0,1)内任意一点.证明|f '(c )|ɤ2
a +
b 2
.ʌ分析ɔ 题中给出二阶可导条件,所证的结论为一阶导数值与函数|f (x )|ɤa 和二阶导数值|f ᵡ(x )|ɤb 间的不等式关系,
应用泰勒公式,而题目隐含三点内容是:1
)因为给出二阶可导条件,所以展开一阶泰勒公式;2)因为在结论中含有f '(c
),是展开式一次项的系数,所在应在x =c 处展开;3)因为题给的条件|f (x )|ɤa ,
结论中含有2a ,所以展开后,x 取0,1值.ʌ证明ɔ f (x )=f (c )+f '(c )(x -c )+f ᵡ(ξ)2!
(x -c )2
,ξ在x 与c 之间f (0)=f (c )+f '(c )(-c )+f ᵡ(ξ1)2!(-c )2
,ξ1在0与c 之间.①f (1)=f (c )+f '(c )(1-c )+f ᵡ(ξ2)2!
(1-c )2,ξ2在1与c 之间.②
式②-式①,得
f '(c )=f (1)-f (0)+12
![f ᵡ(ξ1)c 2-f ᵡ(ξ2)(1-c )2
]|f '(c )|ɤ|f (1)|+|f (0)|+2
1[|f ᵡ(ξ1)|c 2+|f ᵡ(ξ2)|(1-c )2
]
ɤ2
a +
b 2
[c 2+(1-c
)2
]ɤ2
a +
b 2
(c ɪ(0,1),c 2+(1-c )2
ɤ1
).2.设函数f (x )在闭区间[-1,1]上具有三阶连续导数,且f (-1)=0,f (1)=1,f
'(0)=0.证明在开区间(-1,1)内至少存在一点ξ,使f ‴(ξ
)=3.ʌ证ɔ 由f (x )有三阶导数,可考虑用泰勒公式.又f '(0
)=0,应在x =0处展开f (x )=f (0)+f ᵡ(0)2!x 2+f ‴(η)3!x 3 (η在0与x 之间).当x =ʃ1时,有
1=f (1)=f (0)+f ᵡ(0)2!
+f ‴(η1)3! (0<η1<1
),0=f (-1)=f (0)+f ᵡ(0)2!-f ‴(η)3!
(-1<η2<0).两式相减,得f ‴(η1)+f ‴(η2)=6.由于f ‴(x )在[η
1,η2]上连续,则f ‴(x )在[η1,η2]上有最大值M ,最小值m ,则m ɤ
12
f ‴(η1)+f ‴(η2)[]ɤM .由介值定理知,至少存在一点ξɪ[η1,η
2]⊂(-1,1),使得f ‴(ξ)=12
f ‴(η1)+f ‴(η2)[],即f ‴(ξ)=3.3.设f (x )在[0,1]上有二阶连续导数,且f (0)=f (1)=0,m i n 0ɤx ɤ
1f (
x )=-1.证明 m a x 0ɤx ɤ1
f
ᵡ(x )ȡ8.ʌ证ɔ 设f (c )=m i n 0ɤx ɤ1
f (x )=-1,则0<c <1,且f '(c )=0,由泰勒公式知f (
x )=f (c )+f '(c )(x -c )+f ᵡ(ξ)2!
(x -c )2
.在上式中分别令x =0,x =1,得f ᵡ(ξ1)=2c 2,ξ1ɪ(0,c );f ᵡ(ξ2)=2(1-c
)2,ξ2ɪ(c ,1).若c ɤ12,则f ᵡ(ξ1)=2c 2ȡ212æèçöø
÷
2=8.若c >12,则f ᵡ(ξ2)=2(1-c )2ȡ212æèçöø
÷
2=8.故m a x 0ɤx ɤ1
f
ᵡ(x )ȡ8.4.设f (x )在[a ,b ]上连续.在(a ,b )内二阶可导,则∃ηɪ(
a ,
b ),使得f (a )-2f a +b 2æèçöø÷+f (b )=(a -b )2
4
f ᵡ(η).ʌ证明ɔ f (x )=f a +b 2æèçöø÷+f 'a +b 2æèçöø÷x -a +b 2æè
çöø÷+12f
ᵡ(ξ)x -a +b 2æèçöø÷2
,ξ在x 与a +b 2
之间
f (
a )=f a +
b 2æèçöø÷+f 'a +b 2æèçöø÷a -b 2æèçöø÷+12f ᵡ(
c 1)b -a 2æèçöø
÷2
,f (b )=f
a +
b 2æèçöø÷+f 'a +b 2æèçöø÷-a -b 2æèçöø÷+12f ᵡ(
c 2)b -a 2æèçöø
÷2
,f (a )+f (b )-2f a +b 2æèçöø÷=(b -a )2
4
f ᵡ(c 1)+f ᵡ(c 2)2=(b -a )24f ᵡ(η).5.设f (x )在[a ,b ]上二阶可导,f '(a )=f '(b )=0.求证;∃ξɪ(
a ,
b ),使f ᵡ(ξ)ȡ4|f (b )-f (a )|(b -a )
2.ʌ证ɔ 由泰勒公式知f (x )=f (a )+f
'(a )(x -a )+f ᵡ(ξ1)2!(x -a )2
,①f (x )=f (b )+f '(b )(x -b )+f ᵡ(ξ2)2
!(x -b )2
,②
在式①和式②中令x =a +b 2
,得
f (a +b )2æèç
öø÷=f (a )+f ᵡ(ξ1)8
(b -a )2,③f (a +b )2æèç
öø÷=f (b )+f ᵡ(ξ2)8
(b -a )2,④
式④减式③得f (b )-f (a )=(b -a )2
8f ᵡ(ξ1)-f ᵡ(ξ2)().从而有f (b )-f (a )ɤ(b -a )2
8
f ᵡ(ξ1)+f ᵡ(ξ2)()ɤ(b -a )
2
4m a x f ᵡ(ξ1),f ᵡ(ξ2)()ɤ(b -a )2
4f ᵡ(ξ).故f ᵡ(ξ)ȡ4|f (b )-f (a )|(b -a )
2.6.设f (x )在[a ,b ]上连续,且f ᵡ(x )>0,证明:对任意的x 1,x 2ɪ[
a ,
b ]及0<λ<1都有f [λx 1+(1-λ)x 2]ɤλf (x 1)+(1-λ)f (
x 2).ʌ证ɔ 令x 0=λ
x 1+(1-λ)x 2,则x 0ɪ[a ,b ],由泰勒公式得f (
x )=f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0)+f ᵡ(ξ)2
(x -x 0)2
,其中ξ介于x 0与x 之间.因为f ᵡ(x )>0,所以f (x )ȡf (x 0)+f '(x 0)(x -x 0),于是λf (x 1)ȡλf (x 0)+λf
'(x 0)(x 1-x 0),(1-λ)f (x 2)ȡ(1-λ)f (x 0)+(1-λ)f
'(x 0)(x 2-x 0).两式相加得f [λx 1+(1-λ)x 2]ɤλf (x 1)+(1-λ)f (
x 2).7.设函数f (x )在[-a ,a ]上具有二阶连续导数,f (
0)=0.(Ⅰ)写出f (x )的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式;
(Ⅱ)证明在[-a ,a ]上至少存在一点η,使a 3
f ᵡ(η)=3ʏ
a
-
a f (
x )d x.ʌ证ɔ (Ⅰ)f (
x )=f (0)+f '(0)x +21f ᵡ(ξ)x 2=f '(0)x +21f ᵡ(ξ
)x 2,其中ξ在0与x 之间.
(Ⅱ)ʏa-a f(x)d x=ʏa-a f'(0)x+12fᵡ(ξ)x2
[]d x=12ʏa-a fᵡ(ξ)x2d x
又f(x)在[-a,a]上有二阶连续导数,所以fᵡ(x)在[-a,a]上连续,fᵡ(x)在[-a,a]上有最大值M与最小值m.
m
3a3ɤm2ʏa-a x2d xɤ12ʏa-a fᵡ(ξ)x2d xɤM2ʏa-a x2d x=M3a3
⇒mɤ3a3ʏa-a f(x)d xɤM.
根据介值定理,∃ηɪ[-a,a],使得fᵡ(η)=3a3ʏa-a f(x)d x即为所证.。