数列全章练习题(含答案)

第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
一、基础过关
1．数列23，45，67，8
9，…的第10项是
( ) A.1617
B.18
19
C.20
21 D.2223 2．数列{n 2＋n }中的项不能是
( ) A ．380
B ．342
C ．321
D ．306 3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是
( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)
2
C ．a n ＝n (n ＋1)
2
D ．a n ＝n 2＋1
4．已知数列12，23，34，4
5，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有
( ) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．在数列2，2，x,22，10，23，…中，x ＝______. 6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ____________．
7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程) (1)3,5,9,17,33，…；
(2)23，415，635，8
63
，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－1
7，0，….
8．已知数列{n (n ＋2)}：
(1)写出这个数列的第8项和第20项；
(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 二、能力提升
9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于
( ) A.1
9
(10n －1) B.1
3
(10n －1) C.13(1－1
10
n )
D.3
10
(10n －1) 10．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1
2n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于
( ) A.1
2n ＋1
B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.12n ＋1－12n ＋2
11．由花盆摆成以下图案，根据摆放规律，可得第5个图形中的花盆数为________．
12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 是n 的一次函数．
(1)求{a n }的通项公式； (2)88是否是数列{a n }中的项？ 三、探究与拓展
13．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9n 2－9n ＋29n 2
－1： (1)求这个数列的第10项；
(2)98
101
是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝⎛⎭⎫
13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
答案
1．C 2.C 3.C 4.C 5.6 6．a n ＝2n ＋1 7．解 (1)a n ＝2n ＋1. (2)a n ＝2n
(2n －1)(2n ＋1).
(3)a n ＝sin
n π2
n
.
8．解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ， ∴a 8＝80，a 20＝440.
(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17. ∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项． 9．C 10.D 11.61
12．解 (1)设a n ＝kn ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2a 17＝17k ＋b ＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧
k ＝4
b ＝－2
.
∴a n ＝4n －2.
(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *. ∴88不是数列{a n }中的项．
13．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －2
3n ＋1.
令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝
28
31
. (2)解 令3n －23n ＋1＝98
101
，得9n ＝300.
此方程无正整数解，所以98
101不是该数列中的项．
(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－3
3n ＋1，
又n ∈N *，∴0<3
3n ＋1<1，∴0<a n <1.
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令1
3<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2，∴
⎩⎨⎧
n >76
n <83
.
∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47
. §2.1 数列的概念与简单表示法(二)
一、基础过关
1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋1
2n ，则此数列的第4项是
( ) A ．1
B.1
2
C.34
D.58
2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于
( ) A.259
B.25
16
C.61
16
D.3115 3．若a 1＝1，a n ＋1＝a n
3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是
( ) A.116
B.1
17
C.1
19
D.125
4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是
( ) A ．9
B ．17
C ．33
D ．65
5．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________．
6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1
n (n ＋1)，n ∈N *，则通项公式a n ＝________.
7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．
8．已知函数f (x )＝2x －2－
x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n .
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列． 二、能力提升
9．已知数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎨
⎧
2a n
⎝⎛⎭⎫
0≤a n
<1
2，2a n
－1 ⎝⎛⎭
⎫12≤a n
<1.若a 1＝6
7
，则a 2 012的值为
( ) A.67
B.57
C.37
D.17
10．已知a n ＝n －98
n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是
( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9 C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
11．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1
2，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．
三、探究与拓展
13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2
n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求{a n }
的通项公式．
答案
1．B 2.C 3.C 4.C 5.12 6．－1
n
7．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1. 8．(1)解 因为f (x )＝2x －2－
x ，f (log 2a n )＝－2n ，
所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1
a n
＝－2n ，
所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2
＋1.
因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .
(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.
又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ， 所以数列{a n }是递减数列． 9．B 10.C 11.－3
12．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1
a n －1
＝1. ∴1a n ＝1
a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋ 1
111
个n +++＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1
n ＋1
. 13．解 ∵(n ＋1)a 2n ＋1－na 2
n ＋a n a n ＋1＝0，
∴[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0， ∵a n >0，∴a n ＋a n ＋1>0， ∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0. (n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，
∴na n ＝(n －1)a n －1＝…＝1×a 1＝1，
∴na n ＝1，a n ＝1
n .
§2.2 等差数列(一)
一、基础过关
1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0，则数列的通项a n 等于
( ) A ．n 2＋1 B ．n ＋1
C ．1－n
D ．3－n 2．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是
( ) A ．第7项 B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项
3．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为
( ) A ．26
B ．29
C ．39
D ．52 4．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 011，则n 等于
( ) A ．671
B ．670
C ．669
D ．668 5．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是
( ) A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
6．已知a ＝
13＋2，b ＝13－2
，则a 、b 的等差中项是________． 7．等差数列{a n }中，已知a 1＝1
3
，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．
8．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
二、能力提升
9．一个首项为23，公差为整数的等差数列，第7项开始为负数，则它的公差是
( ) A ．－2
B ．－3
C ．－4
D ．－6
10．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1
d 2
的
值为________．
11．一个等差数列{a n }中，a 1＝1，末项a n ＝100(n ≥3)，若公差为正整数，那么项数n 的取值有____种可能． 12．若
1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b
是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 三、探究与拓展
13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….
(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由．
(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．
答案
1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6. 3 7．解 由a n ＝23n －1
3
＝33，解得n ＝50.
8．解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．
令a 1＝11.2，表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么，当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 即需要支付车费23.2元． 9．C 10.4
3
11.5
12．证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1
a ＋
b 是等差数列，
∴
1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a
. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )， ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )，
∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2， ∴a 2＋c 2＝2b 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列． 13．解 a 1＝3，d ＝4，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1. (1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34， ∴135是数列{a n }中的第34项．
令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *. ∴4m ＋19是{a n }中的第m ＋5项． (2)∵a p ，a q 是{a n }中的项， ∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.
∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1∈N *， ∴2a p ＋3a q 是{a n }中的第2p ＋3q －1项．
§2.2等差数列(二)
一、基础过关
1．在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于()
A．45 B．75 C．180 D．300
2．设{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()
A．1 B．2 C．4 D．6
3．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()
A．a n＝2n－2 (n∈N*)
B．a n＝2n＋4 (n∈N*)
C．a n＝－2n＋12 (n∈N*)
D．a n＝－2n＋10 (n∈N*)
4．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为() A．0 B．1 C．2 D．1或2 5．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于
() A．120 B．105 C．90 D．75
6．在等差数列{a n}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝20，那么a3＝________.
7．在等差数列{a n}中，已知a m＝n，a n＝m，求a m＋n的值．
8．成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
二、能力提升
9．一个等差数列的首项为a1＝1，末项a n＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是
()
A．6 B．7 C．8 D．不确定
10．等差数列{a n }中，公差为1
2，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝
______.
11．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为1
4
的等差数列，则|m －
n |＝______.
12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1
a n －2
.
(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
三、探究与拓展
13．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N *时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n
，设b n ＝1
a n ，n ∈N *.
(1)求证：数列{b n }为等差数列．
(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．
答案
1．C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.4 7．解 设公差为d ，
则d ＝a m －a n m －n ＝n －m m －n
＝－1，
从而a m ＋n ＝a m ＋(m ＋n －m )d ＝n ＋n ·(－1)＝0.
8．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得 ⎩⎪⎨⎪
⎧
(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧
a ＝132
，
d ＝3
2
或⎩⎨⎧
a ＝132
，
d ＝－3
2.
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 9．B 10.85 11.1
2
12．(1)证明 ∵a n ＝4－4
a n －1
(n ≥2)，
∴a n ＋1＝4－4
a n
(n ∈N *)．
∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2
＝12－4a n －1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝1
2.
∴b n ＋1－b n ＝1
2
，n ∈N *.
∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为1
2.
(2)解 b 1＝
1a 1－2＝12
，d ＝1
2.
∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n
2
.
∴
1a n －2＝n 2
，∴a n ＝2＋2n .
13．(1)证明 当n >1，n ∈N *时，a n －1a n ＝2a n －1＋1
1－2a n
⇔
1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1
＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1
a 1＝5. ∴{
b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.
(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N *.
∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.
令a n ＝14n ＋1＝145
，∴n ＝11.
即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．
§2.3 等差数列的前n 项和(一)
一、基础过关
1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( ) A ．8 B ．7
C ．6
D ．5
2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于
( ) A ．13 B ．35
C ．49
D ．63
3．含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
( ) A.2n ＋1
n
B.n ＋1n
C.n －1n
D.n ＋12n
4．已知等差数列{a n }中，a 23＋a 2
8＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10为
( ) A ．－9
B ．－11
C ．－13
D ．－15
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36.则a 7＋a 8＋a 9等于
( ) A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 7．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．
8．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 二、能力提升
9．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1
－a 2n ＝33，则该数列的公差是
( ) A ．3
B ．－3
C ．－2
D ．－1
10．在项数为奇数的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则该数列有____项．
11．已知等差数列{a n }中，|a 5|＝|a 9|，公差d ＞0，则使得前n 项和S n 取得最小值时的正整 数n 的值是________．
12．有一等差数列共有偶数项，它的奇数项之和与偶数项之和分别是24和30，若最后一项与第一项之差为21
2，试求此数列的首项、公差和项数．
三、探究与拓展
13．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ；
(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n
n ＋c
，求非零常数c .
答案
1．D 2.C 3.B 4.D 5.B 6.15
7．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ， 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]
2＝2n －n 2.
由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.
8．解 S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)． 9．B 10.21 11.6或7
12．解 设此数列的首项、公差和项数分别为a 1、d 和2k (k ∈N *)，
根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧
1
2k (a 1＋a 2k －1
)＝24，1
2k (a 2
＋a 2k
)＝30，
a 2k
－a 1
＝212
，
解得a 1＝32，d ＝3
2，k ＝4.
∴首项为32，公差为3
2
，项数为8.
13．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d >0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3a 4＝117， ∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根． 又公差d >0，∴a 3<a 4， ∴a 3＝9，a 4＝13.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1d ＝4，
∴a n ＝4n －3.
(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)
2×4＝2n 2－n ，
∴b n ＝S n
n ＋c ＝2n 2－n n ＋c
.
∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝15
3＋c .
∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－1
2 (c ＝0舍去)．
§2.3 等差数列的前n 项和(二)
一、基础过关
1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－1，则a 4等于
( ) A ．7
B ．8
C ．9
D ．17 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为
( ) A ．91
B ．152
C ．218
D ．279 3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9
S 5等于
( ) A ．1
B ．－1
C ．2 D.1
2 4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12等于
( ) A.3
10
B.13
C.18
D.19
5．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2－n (n ∈N *)，则通项a n ＝________.
6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值
为________．
7．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n.
(1)求数列{a n}的通项公式a n；
(2)求S n的最小值及对应的n值．
8．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．
二、能力提升
9．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，第k项满足5<a k<8，则k为
()
A．9 B．8 C．7 D．6
10．设{a n}是等差数列，S n是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是() A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为S n的最大值
11．若数列{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和S n＞0成立的最大自然数n是________．
12．数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0 (n∈N*)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.
三、探究与拓展
13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
答案
1．A 2.B 3.A 4.A 5.2n －2 6．4或5 7．解 (1)∵S n ＝2n 2－30n ， ∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n )－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32. ∴a n ＝4n －32，n ∈N ＋. (2)∵a n ＝4n －32， ∴a 1<a 2<…<a 7<0，a 8＝0， 当n ≥9时，a n >0.
∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112. 8．解 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 及a 3＝5，a 10＝－9得
⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，a 1＋9d ＝－9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝9，d ＝－2，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n . (2)由(1)知，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2.
因为S n ＝－(n －5)2＋25， 所以当n ＝5时，S n 取得最大值． 9．B 10.C 11.4 006
12．解 (1)∵a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1. ∴{a n }是等差数列且a 1＝8，a 4＝2， ∴d ＝－2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10－2n . (2)∵a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n >5时，a n <0；当n ＝5时，a n ＝0； 当n <5时，a n >0.
∴当n >5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝S 5－(S n －S 5)＝2S 5－S n ＝2·(9×5－25)－9n ＋n 2
＝n 2－9n ＋40，
当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝9n －n 2.
∴S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
9n －n 2
(n ≤5)n 2－9n ＋40 (n >5).
13．解 (1)根据题意，得
⎩⎨⎧
12a 1＋12×112
d >0，
13a 1＋13×12
2
d <0，
a 1
＋2d ＝12，
整理得：⎩⎪⎨⎪
⎧
2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，
a 1＋2d ＝12.
解得：－24
7
<d <－3.
(2)∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13(a 1＋a 13)
2＝13a 7<0，
∴a 7<0.
又S 12＝12(a 1＋a 12)
2＝6(a 1＋a 12)
＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0. ∴数列{a n }的前6项和S 6最大．
习题课 等差数列
1．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12
B ．8
C ．6
D ．4 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于
( )
A．24 B．25 C．26 D．27
3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为
()
A．765 B．665 C．763 D．663
4．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为
()
A．11 B．12 C．13 D．14
5．设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13等于
() A．120 B．105 C．90 D．75
6．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．7．设数列{a n}是公差不为零的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，且S23＝9S2，S4＝4S2，求数列{a n}的通项公式．
8．已知两个等差数列{a n}：5,8,11，…，{b n}：3,7,11，…，都有100项，试问它们有多少个共同的项？
二、能力提升
9．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是
()
A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零
B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零
C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零
D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零
10．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
11．等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是______． 12．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n .
(1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展
13．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1
a m ＋2
为数列{a n }中的项．
答案
1．B 2.C 3.B 4.A 5.B 6.8
3
<d ≤3
7．解 设等差数列{a n }的公差为d ，由S n ＝na 1＋n (n －1)
2d 及已知条件得
(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，
①
4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d )．
②
由②得d ＝2a 1，代入①有a 21＝4
9a 1， 解得a 1＝0或a 1＝49.
当a 1＝0时，d ＝0，舍去． 因此a 1＝49，d ＝8
9.
故数列{a n }的通项公式为 a n ＝49＋(n －1)·89＝4
9
(2n －1)．
8．解 在数列{a n }中，a 1＝5，公差d 1＝8－5＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d 1＝3n ＋2.
在数列{b n }中，b 1＝3，公差d 2＝7－3＝4， ∴b n ＝b 1＋(n －1)d 2＝4n －1. 令a n ＝b m ，则3n ＋2＝4m －1， ∴n ＝4m 3
－1.
∵m 、n ∈N *，∴m ＝3k (k ∈N *)，
又⎩
⎪⎨⎪⎧
0<m ≤1000<n ≤100，解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75，∴0<k ≤25， ∴k ＝1,2,3， (25)
∴两个数列共有25个公共项．
9．D 10.n 2＋n 11.5或6
12．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
S 14＝98，
a 11＝0，
得
⎩⎪⎨
⎪⎧
14a 1＋14×132d ＝98，a 1＋10d ＝0，
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝20，d ＝－2.因此数列的通项a n ＝22－2n . (2)由⎩⎪⎨⎪⎧
a 1≥6，a 11>0，S 14≤77.得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1≥6，a 1＋10d ＞0，2a 1＋13d ≤11.
即⎩⎪⎨⎪
⎧
－2a 1≤－12， ①－2a 1－20d ＜0， ②2a 1＋13d ≤11. ③
由②＋③得－7d <11，即d >－117.
由①＋③得13d ≤－1，即d ≤－1
13.
于是－117<d ≤－113.
又∵d ∈Z ，∴d ＝－1.
将d ＝－1代入②③两式得10<a 1≤12. 又∵a 1∈Z ， ∴a 1＝11或a 1＝12.
∴所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n . 13．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.
由a 22＋a 23＝a 24＋a 25知2a 1＋5d ＝0.①
又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，
S n ＝na 1＋n (n －1)
2d ＝n 2－6n .
(2)因为
a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8
a m ＋2
为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数， 所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.
§2.4 等比数列(一)
一、基础过关
1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于
( ) A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( ) A ．3 B ．2
C ．1
D ．－2 3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么
( )
A ．b ＝3，ac ＝9
B ．b ＝－3，ac ＝9
C ．b ＝3，ac ＝－9
D ．b ＝－3，ac ＝－9
4．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为
( ) A.5
3 B.43
C.32
D.12
5．若a ，b ，c 成等比数列，m 是a ，b 的等差中项，n 是b ，c 的等差中项，则a m ＋c
n 等于( )
A ．4
B ．3
C．2 D．1
6．已知等比数列{a n}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则a n＝________.
7．已知等比数列{a n}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求a n.
8．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．
二、能力提升
9．若正项等比数列{a n}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3＋a5
a4＋a6
等于
()
A.5－1
2 B.
5＋1
2 C.
1
2D．不确定
10．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1 b2
的值是________．
11．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.
12．已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z＝0.
(1)若a，b，c依次成等差数列且公差不为0，求证：x，y，z成等比数列；
(2)若正数x，y，z依次成等比数列且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
三、探究与拓展
13．互不相等的三个数之积为－8，这三个数适当排列后可成为等比数列，也可排成等差数列，求这三个数排成的等差数列．
答案
1．C 2.B 3.B 4.A 5.C 6．4·(32
)n －
1
7．解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得，
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q ＋q 2
)＝7，a 31q 3＝8， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q ＋q 2)＝7， ①a 1q ＝2， ② 将a 1＝2
q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0，
∴q ＝2或q ＝1
2
，
由②得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1
q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝4，q ＝1
2
.
∴a n ＝2n
－1
或a n ＝23－
n .
8．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为b
q ，b ，bq ，则有
b q
·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ， ∴m ＝2×16－20＝12，n ＝202
16＝25.
即所求的四个数分别为12,16,20,25. 9．A 10.1
2
11.－9
12．证明 (1)∵a ，b ，c 成等差数列且d ≠0， ∴b －c ＝a －b ＝－d ，c －a ＝2d ， ∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z
＝2d log m y －d log m x －d log m z ＝d (2log m y －log m x －log m z ) ＝d log m (y 2
xz
)＝0.
∵d ≠0，∴log m y 2xz ＝0，∴y 2
xz ＝1.
∴y 2＝xz ，即x ，y ，z 成等比数列． (2)∵x ，y ，z 成等比数列，且公比q ≠1， ∴y ＝xq ，z ＝xq 2，
∴(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m (xq )＋(a －b )log m (xq 2)
＝(b －c )log m x ＋(c －a )log m x ＋(c －a )log m q ＋(a －b )log m x ＋2(a －b )log m q ＝(c －a )log m q ＋2(a －b )log m q ＝(a ＋c －2b )log m q ＝0， ∵q ≠1，∴log m q ≠0，
∴a ＋c －2b ＝0，即a ，b ，c 成等差数列．
13．解 设三个数为a
q ，a ，aq ，∴a 3＝－8，即a ＝－2，
∴三个数为－2
q
，－2，－2q .
(1)若－2为－2q 和－2q 的等差中项，则2
q ＋2q ＝4，
∴q 2－2q ＋1＝0，q ＝1，与已知矛盾；
(2)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则1
q ＋1＝2q ，
2q 2－q －1＝0，q ＝－1
2或q ＝1(舍去)，
∴三个数为4,1，－2；
(3)若－2q 为－2q 与－2的等差中项，则q ＋1＝2
q ，
∴q 2＋q －2＝0， ∴q ＝－2或q ＝1(舍去)， ∴三个数为4,1，－2.
综合(1)(2)(3)可知，这三个数排成的等差数列为 4,1，－2或－2,1,4.
§2.4 等比数列(二)
一、基础过关
1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为
( ) A ．16
B ．27
C ．36
D ．81
2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于
( ) A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
3．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为( ) A.4
3
B.34
C ．2
D ．343
4．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6等于
( ) A ．5 2
B ．7
C ．6
D ．4 2
5．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.
6．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 7．已知数列{a n }成等比数列．
(1)若a 2＝4，a 5＝－1
2，求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
8．已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式． 二、能力提升
9．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5
a 7等于
( ) A.56
B.65
C.23
D.32
10．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8
等于( )
A ．1＋ 2
B ．1－ 2
C ．3＋2 2
D ．3－2 2
11．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 12．等比数列{a n }同时满足下列三个条件：
①a 1＋a 6＝11 ②a 3·a 4＝329 ③三个数23a 2，a 23，a 4
＋4
9依次成等差数列，试求数列{a n }的通项公式． 三、探究与拓展
13．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后
又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?
答案
1．B 2.A 3.A 4.A 5.18 6.－6 7．解 (1)由a 5＝a 2q 3，得－1
2＝4·q 3，
所以q ＝－12
.a n ＝a 2q n －
2＝4⎝⎛⎭⎫－12n －2. (2)由a 3a 5＝a 24，得a 3a 4a 5＝a 3
4＝8.
解得a 4＝2.
又因为a 2a 6＝a 3a 5＝a 24，
所以a 2a 3a 4a 5a 6＝a 54＝25＝32.
8．解 a n ＝12×2n －1＝2n －2或a n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n . 9．D 10.C 11.5
12．解 由等比数列的性质知a 1a 6＝a 3a 4＝329，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 6＝11a 1·
a 6＝32
9， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1
3a 6
＝32
3
或⎩⎨⎧ a 1＝32
3a 6
＝1
3
.
当⎩⎨⎧
a 1＝
13
a 6
＝32
3
时q ＝2，∴a n ＝13
·2n －1
.
23a 2＋a 4＋49＝329，2a 23＝329
， ∴23a 2，a 23，a 4＋49成等差数列，∴a n ＝13
·2n －1. 当⎩⎨⎧
a 1＝
323
a 6
＝1
3
时q ＝12，a n ＝13
·26－n
，
23a 2＋a 4＋4
9
≠2a 23， ∴不符合题意，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13·2n －1.
13．解 设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度 a 1＝1－1
a
，设操作n 次后溶液的浓度为a n .
则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1
a )，从而建立了递推关系．
∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，公比为q ＝1－1
a 的等比数列．
∴a n ＝a 1q n －
1＝(1－1a
)n ，
即第n 次操作后酒精的浓度是(1－1
a )n .
当a ＝2时，由a n ＝(12)n ＜1
10，解得n ≥4.
故至少应操作4次后才能使酒精浓度低于10%.
§2.5 等比数列的前n 项和(一)
一、基础过关
1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝－1，a 4＝64，则S 4等于
( ) A ．48
B ．49
C ．50
D ．51
2．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．513
B ．512
C ．511
D ．510 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2等于
( ) A ．11
B ．5
C ．－8
D ．－11
4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 2等于
( ) A ．2
B ．4
C.15
2
D.172
5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 8．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 二、能力提升
9．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于
( )
A ．16(1－4－
n )
B ．16(1－2－
n )
C.323(1－4－
n )
D.323
(1－2－n ) 10．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152
B.314
C.33
4
D.172
11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展
13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a n 2
n －1的前n 项和．
答案
1．D 2.D 3.D 4.C 5.1
3 6.10
7．解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －
1，
S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；
当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －
1，
S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n
－1.
8．解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，
由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q n )
1－q
＝48a 1
(1－q
2n
)1－q
＝60
①②
②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝1
4.
③
将③代入①得a 1
1－q
＝64，
所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q ＝64×⎝⎛⎭⎫1－1
43＝63. 9．C 10.B 11.3
12．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，
由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，
∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －
1＝2n .
(2)b n ＝n ·2n ，
∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .
① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋
1.
②
①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋
1＝－2－(n －1)·2n ＋
1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋
1.
13．解 (1)a n ＝2－n .
(2)设数列⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n 1的前n 项和为S n ，
即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n
2n －1，
① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n
2n .
②
所以，当n ＞1时，①－②得 S n
2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋1
2n －1)－2－n 2n
＝1－(1－1
2n －1)－2－n 2n ＝n 2n .
所以S n ＝n
2
n －1.当n ＝1时也成立．
综上，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n
2n －1.
§2.5 等比数列的前n 项和(二)
一、基础过关
1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1
a n
}的前
5项和为
( ) A.15
8
和5
B.31
16
和5
C.31
16
D.158
3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)
( )
A ．300米
B ．299米
C ．199米
D ．166米
4．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还
( )
A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元
B.aγ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元
C.aγ(1＋γ)5(1＋γ)4－1
万元
D.aγ(1＋γ)5
万元 5．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.
6．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．
8．一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 二、能力提升
9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6等于
( ) A ．3×44
B ．3×44＋1
C ．45
D ．45＋1 10．某工厂月生产总值的平均增长率为q ，则该工厂的年平均增长率为
( ) A ．q
B ．12q
C ．(1＋q )12
D ．(1＋q )12－1
11．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于________． 12．利用等比数列前n 项和公式证明a n
＋a
n －1
b ＋a
n －2b 2
＋…＋b n
＝a n ＋
1－b n ＋
1
a －b
，其中n ∈N *a ，
b 是不为0的常数，且a ≠b . 三、探究与拓展
13．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．
(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；
(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．
答案
1．C 2.C 3.A 4.B 5.2 6.16 7．解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.
由⎩⎪⎨⎪⎧ S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
S 10＝10S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q 10)
1－q
＝10
a 1
(1－q 30
)
1－q
＝130
，
∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3，
∴S 20＝a 1(1－q 20)
1－q
＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.
8．解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝4
5a n ，
因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4
5的等比数列．
热气球在前n 分钟内上升的总高度为
S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n
)1－q
＝25×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45
＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 9．A 10.D 11.1
3
[(1＋r )3－1]
12．证明 ∵a ≠0，b ≠0，a ≠b ，∴b
a
≠1.
∴左端＝a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋b n ＝a n ⎣⎡⎦
⎤1＋b a ＋⎝⎛⎭⎫b a 2＋…＋⎝⎛⎭
⎫b a n ＝a n ⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫b a n ＋11－b a
＝a n ＋1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫b a n ＋1a －b ＝a n ＋1－b n ＋1
a －
b ＝右端．
∴a n
＋a
n －1
b ＋a
n －2b 2
＋…＋b n
＝a n ＋
1－b n ＋
1
a －b
.
13．(1)解 由已知，得a n ＝aq n －
1，因此
S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3)． 当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1， 可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0. 解得q ＝1±5
2
.
(2)证明 若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列． 若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ， 即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .
因此，a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －
1(q m ＋q l )＝2aq n
＋k －1
＝2a n ＋k .
所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列．
习题课 数列求和
一、基础过关
1．数列12·5，15·8，18·11，…，1
(3n －1)·(3n ＋2)，…的前n 项和为
( ) A.n 3n ＋2
B.n 6n ＋4
C.3n 6n ＋4
D.n ＋1n ＋2 2．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
n 所确定的数列{b n }的前n
项之和是
( ) A ．n (n ＋2)
B.1
2
n (n ＋4)
C.1
2
n (n ＋5)
D.1
2
n (n ＋7) 3．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －
1(4n －3)，则S 15＋S 22
－S 31的值是
( ) A ．13
B ．－76
C ．46
D ．76
4．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于
( ) A ．2n －1
B ．2n －
1－1
C ．2n ＋1
D ．4n －1
5．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 6．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n 2＋a n 对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.
7．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；
(2)令b n ＝1
a 2n －1(n ∈N *)，求数列{
b n }的前n 项和T n .
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 和前n 项和S n . 二、能力提升
9．如果一个数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝H (H 为常数，n ∈N *)，则称数列{a n }为等和数列，H 为公和，S n 是其前n 项的和，已知等和数列{a n }中，a 1＝1，H ＝－3，则S 2 011等于( ) A ．－3 016
B ．－3 015
C ．－3 014
D ．－3 013 10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1
n ，则a n 等于
( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n
D ．1＋n ＋ln n
11．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝1
3S n (n ≥1)，则a n ＝____________.
12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －
1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 三、探究与拓展
13．等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，
a 3中的任何两个数不在下表的同一列．。