人教版-数学-八年级下册-中考中的一次函数最值应用题

图1

单位：cm

中考中的一次函数最值应用题

在一次函数应用题中, 求最值应用题综合性较强，难度较大。此类题要注意将复杂问题转化为几个简单问题，步步深入，由易到难地寻求解答，建立正确的函数解析式，并注意自变量的的范围，这是解题的关键。

例1、(09河北) 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图1是裁法一的裁剪示意图）

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；

（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，

并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

解：（1）0 ，3．

（2）由题意，得2240x y +=， ∴11202y x =-．； 23180x z +=，∴2

603z x =-．

（3）由题意，得 121206023Q x y z x x x =++=+-+-．整理，得 1

1806

Q x =-． 由

题意，得11202

2603x x ⎧

-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

，解得 x ≤90．【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】

由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小．

此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

例2、(09茂名) 茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表， 请你解答下列问题：

（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各x 吨，利润分别为1y 元和2y 元，分别求1y 和2y 与x 的函数关系式（注：利润=总收入-总支出）；

（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过400吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共700

吨，求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？

解： （1）依题意得：1(2100800200)1100y x x =--=， 2(24001100100)20000120020000y x x =---=-，

（2）设该月生产甲种塑料x 吨，则乙种塑料(700)x -吨，总利润为W 元，依题意得： 11001200(700)20000100820000W x x x =+--=-+．

∵400700400x x ⎧⎨

-⎩≤，

≤，

解得：300400x ≤≤．

∵1000-<，∴W 随着x 的增大而减小，∴当300x =时，W 最大=790000（元）． 此时，700400x -=（吨）．

因此，生产甲、乙塑料分别为300吨和400吨时总利润最大，最大利润为790000元． 例3、(09清远) 某饮料厂为了开发新产品，用A 种果汁原料和B 种果汁原料试制新型甲、乙两种饮料共50千克，设甲种饮料需配制x 千克，两种饮料的成本总额为y 元．（1）已知甲种饮料成本每千克4元，乙种饮料成本每千克3元，请你写出y 与x 之间的函数关系式．

（2）若用19千克A 种果汁原料和17.2千克B 种果汁原料试制甲、乙两种新型饮料，下表是试验的相关数据；

请你列出关于x 且满足题意的不等式组，求出它的解集，并由此分析如何配制这两种饮料，可使y 值最小，最小值是多少？

解：（1）依题意得：43(50)150y x x x =+-=+

（2）依题意得：0.50.2(50)19(1)

0.30.4(50)17.2(2)

x x x x +-⎧⎨

+-⎩≤…………≤………

解不等式（1）得：30x ≤ 解不等式（2）得：28x ≥

∴不等式组的解集为2830x ≤≤

∵150y x =+Q

，y 是随x 的增大而增大，且2830x ≤≤ ∴当甲种饮料取28千克，乙种饮料取22千克时，

成本总额y 最小，28150178y =+=最小（元）.

例4、(09鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题

(1)设装运甲种土特产的车辆数为x ，装运乙

种土特产的车辆数为y ，求y 与x 之间的函

数关系式．

(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3

辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。

(3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。 解：（1）8x+6y+5(20―x―y)=120 ∴y=20―3x

∴y 与x 之间的函数关系式为y=20―3x

（2）由x≥3，y=20－3x≥3， 20―x―(20―3x)≥3可得3

2

53≤≤x

又∵x 为正整数 ∴ x=3，4，5 故车辆的安排有三种方案，即：

方案一：甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆 方案二：甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆 方案三：甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆 （3）设此次销售利润为W 元，

W=8x·12+6(20－3x)·16+5·10=－92x+1920 ∵W 随x 的增大而减小 又x=3，4，5

∴ 当x=3时，W 最大=1644（百元）=16.44万元

答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元。