5.1相关分析的概念及数学模型
第五章 相关分析
§5.2 二元线性相关分析
Spearman秩相关分析
计算程序 对两个变量的n对数据
xi , yi i = 1
分别求秩，得
Rxi , R yi i = 1
n
n
如果求秩同分比例不高，则
rs = 1 −
6∑ ( Rxi − R yi ) 2 n(n 2 − 1)
§5.2 二元线性相关分析
Spearman秩相关分析
§5.2 二元线性相关分析
Spearman秩相关分析
§5.2 二元线性相关分析
Spearman秩相关分析
Correlations Spearman's rho SOC Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N Correlation Coefficient Sig. (2-tailed) N SOC 1.000 . 19 .117 .634 19 .688** .001 19 Sand .117 .634 19 1.000 . 19 .101 .681 19 Cs137 .688** .001 19 .101 .681 19 1.000 . 19
如果求秩同分比例较高，则需要修正。对每次 涉及m个数据的同分，取 再分别对两个变量中的同分t求和，记为 ∑ t x 令
n3 − n Tx = − ∑ tx 12 n3 − n Ty = − ∑ ty 12
m3 − m t= 12
,
∑t
y
计算Spearman秩相关系数的修正式如下:
rs ' = Tx + Ty − ∑ ( Rxi − Ryi ) 2 2 TxTy 同Pearson方法，进行显著性检验
5.1扇形统计图(教案)2023-2024学年数学六年级上册
5.1 扇形统计图（教案）2023-2024学年数学六年级上册一、教学目标1. 知识与技能：让学生理解扇形统计图的概念，掌握扇形统计图的基本构成，学会通过扇形统计图读取和分析数据。
2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生运用扇形统计图解决问题的能力，提高学生的数据分析和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学学习的兴趣，激发学生探索和创新的欲望，增强学生运用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学内容1. 扇形统计图的定义：扇形统计图是以圆形为基础，将圆的周长等分成若干份，每份代表一个类别，每个类别的数据用对应的扇形面积来表示。
2. 扇形统计图的构成：圆心、半径、圆周、扇形、扇形面积等。
3. 扇形统计图的数据读取：如何通过扇形统计图读取各类别的数据，如何计算扇形的面积。
4. 扇形统计图的应用：在实际问题中如何运用扇形统计图进行数据的分析和解读。
三、教学重点与难点1. 重点：扇形统计图的基本构成，扇形面积的读取和计算。
2. 难点：扇形统计图在实际问题中的应用，数据的分析和解读。
四、教具与学具准备1. 教具：扇形统计图模型，PPT课件，黑板。
2. 学具：绘图纸，圆规，直尺，计算器。
五、教学过程1. 导入：通过PPT展示一些实际生活中的扇形统计图，引发学生的兴趣，引导学生思考扇形统计图的特点和作用。
2. 新授：详细讲解扇形统计图的基本构成，通过实例演示如何读取和计算扇形面积，让学生掌握扇形统计图的基本知识。
3. 案例分析：分析一些实际问题中的扇形统计图，让学生学会如何运用扇形统计图进行数据的分析和解读。
4. 课堂练习：设计一些练习题，让学生动手绘制扇形统计图，计算扇形面积，加深对扇形统计图的理解。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调扇形统计图在实际生活中的应用。
六、板书设计1. 扇形统计图2. 内容：扇形统计图的定义、构成、数据读取、应用等。
七、作业设计1. 书面作业：设计一些扇形统计图的绘制和计算题，让学生巩固课堂所学。
第五章 因子分析和主成分分析
3. 子得分
计算因子得分的途径是用原有变量来描述因子， 第j个因子在第i个样本上的值可表示为： Fji = j1xi1 + j2xi2 +…+ jpxip (j = 1，2，…，k) 式中，xi1，xi2，…，xip分别是第1，2，…，p个原 有变量在第i个样本上的取值，j1，j2，…，jp分别 是第j个因子和第1，2，…，k个原有变量间的因子值 系数。可见，它是原有变量线性组合的结果(与因子 分析的数学模型正好相反)，因子得分可看作各变量 值的加权(j1，j2，…，jp)总和，权数的大小表示了 变量对因子的重要程度。
用数据矩阵X的p个列向量（即p个指标向量）X1， X2，…，Xp作线性组合，得综合指标向量： F1 a11 X 1 a21 X 2 ... a p1 X p F a X a X ... a X 2 12 1 22 2 p2 p ...... Fp a1 p X 1 a2 p X 2 ... a pp X p 简写成： Fi = a1iX1 + ai2X2 +…+apiXp i = 1，2，…，p
2. 因子旋转（正交变换）
所谓因子旋转就是将因子载荷矩阵A右乘一个正交 矩阵T后得到一个新的矩阵A*。它并不影响变量Xi的 共同度hi2，却会改变因子的方差贡献qj2。因子旋转 通过改变坐标轴，能够重新分配各个因子解释原始 变量方差的比例，使因子更易于理解。
设p维可观测向量X满足因子模型：X = AF +ε。T为 正交阵，则因子模型可写为 X = ATT'F +ε = A*F* +ε 其中A* = AT，F* = T'F。 易知，∑ = AA' + D = A*A*' + D（其中A* = AT）。这 说明，若A，D是一个因子解，任给正交阵T，A* = AT， D也是因子解。在这个意义下，因子解是不惟一的。 由于因子载荷阵是不惟一的，所以可对因子载荷 阵进行旋转。目的是使因子载荷阵的结构简化，使 载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化， 这样的因子便于解释和命名。
5.1 定积分的概念与性质
【案例5.1】曲边梯形面积如何计算?
【分析】
须借助于现有的规则图形面积计算公式，采用以直代曲、局 部近似、整体近似、用极限方法逐步逼近等思想，分步骤地求出 曲边梯形面积。
下面我们分四步进行具体介绍。 1）分割
在区间 [a,b]内任意插入 n 1 个分点
对于函数的可积性，我们有下列重要结论：
定理 5.1
如果 f (x) 在区间[a,b] 上有界，且最多有有限个
间断点，则 f (x) 在区间[a,b] 上一定可积。
注意：
b
a f (x)dx
的值与区间 [a, b]
的分法以及点 i
的取法无关。
因为定积分
b
a
f
(x)dx
是一个和式的极限，所以它是一个确定的数值，
0
2
2
例5.1.2 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值。
（2） 1 1 x 2 dx 1
解：
（2）因为定积分
1
1
1 x2 dx 就是单位圆在
x
轴上方部分
的面积（如图5.6（2）所示），
所以 1 1 x2 dx 1 12
1
2
2
5.1.4 定积分的简单性质
性质1 两个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和，
即
b f (x) g(x)dx
b
f (x)dx
b
g(x)dx
a
a
a
推广：有限个函数代数和的定积分等于各个函数定积分的代数和。即
b
a
f1
(
x)
f2 (x)
5.1导数的概念及其几何意义课件(人教版)
x
x
第二步，求极限 lim y， x0 x
若 lim 存y 在，则 x0 x
f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
导数的概念
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原 油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 y f (x) x2 7x 15 (0 ≤ x ≤8). 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它 们的意义. 追问1 这个实际问题与导数有什么关系？ 答案 导数是瞬时变化率的数学表达.
导数的概念
例1 设 f (x) 1，求 f (1). x
分析：
因为
f
(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) ,
所以 f (1) lim y lim f (1 x) f (1) .
x x0
x0
x
为了便于计算，我们可以先求出 y ，再对它取极限. x
导数的概念
t 0
t
抛物线的切线斜率
f (x) x2
割线斜率 ——平均变化率
k f (1 x) f (1) x 2 x
切线斜率 ——瞬时变化率
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
答案 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.
导数的概念
问题2 一般地，对于函数 y＝f (x)，你能用“平均变化率”逼近 “瞬时变化率”的思想方法研究其在某点 (如 x ＝ x0）处 的瞬时变化率吗？
所以 v(2) lim y lim(t 2) 2.
相关分析方法
相关分析方法相关分析方法是一种用于研究和解释变量之间关系的统计分析方法。
在实际应用中，相关分析方法可以帮助我们了解变量之间的相关程度，从而为决策提供依据。
本文将介绍相关分析方法的基本概念、计算公式以及实际应用。
相关分析方法的基本概念。
相关分析方法用于衡量两个变量之间的相关程度，其结果通常用相关系数来表示。
相关系数的取值范围为-1到1，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
相关系数的绝对值越大，表示两个变量之间的相关程度越高。
相关分析方法的计算公式。
相关系数的计算公式有多种，其中最常用的是皮尔逊相关系数的计算公式。
皮尔逊相关系数的计算公式为：r = Σ((X X̄)(Y Ȳ)) / √(Σ(X X̄)²Σ(Y Ȳ)²)。
其中，r表示相关系数，X和Y分别表示两个变量的取值，X̄和Ȳ分别表示两个变量的平均值。
相关分析方法的实际应用。
相关分析方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在市场营销领域，我们可以利用相关分析方法来研究产品销量与广告投入之间的相关程度，从而优化广告策略。
在金融领域，我们可以利用相关分析方法来研究不同资产之间的相关程度，从而构建有效的投资组合。
在医学领域，我们可以利用相关分析方法来研究疾病发生与环境因素之间的相关程度，从而预防和控制疾病的发生。
总结。
相关分析方法是一种重要的统计分析方法，它可以帮助我们了解变量之间的相关程度，为决策提供依据。
在实际应用中，我们可以利用相关分析方法来研究市场营销、金融、医学等领域的相关问题，从而提高决策的科学性和准确性。
因此，掌握相关分析方法是非常重要的，希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
浙教版数学八年级上册《5.1常量与变量》说课稿1
浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》说课稿1一. 教材分析浙教版数学八年级上册《5.1 常量与变量》这一节主要介绍常量和变量的概念。
教材通过生活中的实例，让学生感受常量和变量的存在，进而引导学生探究常量和变量的数学定义。
本节课的内容是学生学习函数的基础，对于学生理解函数的实质，以及后续学习一次函数、二次函数等函数知识具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了实数、代数式等基础知识，对于生活中的变化和规律有一定的认识。
但是，对于数学中的常量和变量概念，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将以生活中的实例为导入，引导学生感受常量和变量的存在，再逐步引入数学定义，帮助学生理解和掌握常量和变量的概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。
2.过程与方法目标：通过生活中的实例，培养学生从实际问题中抽象出常量和变量的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解常量和变量的概念，能够正确地识别常量和变量。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出常量和变量的概念。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用情境教学法、问题教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的一些实例，如气温变化、商品价格变动等，让学生感受常量和变量的存在。
2.新课导入：引导学生从实例中抽象出常量和变量的概念，给出常量和变量的数学定义。
3.实例分析：通过一系列的实例，让学生进一步理解和掌握常量和变量的概念。
4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生理解常量和变量在数学中的重要性。
七. 说板书设计板书设计如下：常量：数值不变的量变量：数值可变的量八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、作业完成情况和课后反馈来进行。
人教版七年级数学上册：5.1.1 从算式到方程
探究新知
学生活动四 【一起探究】 观察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4（x－5）， 0.52x－（1－0.52）x=80，它们有什么共同特征？
（1）只含有一个未知数x， （2）未知数x的次数都是1， （3）整式方程．
探究新知
一般地，如果方程中只含有一个未知数（元），且 含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1， 这样的方程叫做一元一次方程．
1.2x+1=0.8x+3
探究新知
学生活动一 【一起探究】 请同学们按照教学活动1中的方法，先设出未知数，在
根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.
问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
探究新知
问题2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周 年纪念币，其面积是4000mm2，长和宽的比为8∶5（即
导入新课
算术做法：
甲队追上乙队所用的时 间为 3 1 2 5小时. 1.2 0.8 0.4
还有其它做法吗
导入新课
方程解法：
解：设x小时后，甲队在途中追上乙队. 当甲队追上乙队时，甲队所走的路程为1.2x+1； 乙队所走的路程为0.8x+3， 因为甲队在途中追上乙队， 即甲队所走的路程=乙队所走的路程，
=3,右边=3，方程左、右
两边的值相等，所以x=
3 2
是方程2x=3的解.
探究新知
(2)当x=10时，方程3x=4(x-5)的左边=3×10=120, 右边=4×(10-5)=80，方程左、右两边的值不相等， 所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解. 当x=20时，方程3x=4(x-5)的左边=3×20=240, 右边=4×(20-5)=240，方程左、右两边的值相等， 所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.
北师大版数学四年级上册5.1《去图书馆》说课稿(3)
北师大版数学四年级上册5.1《去图书馆》说课稿(3)一. 教材分析《去图书馆》这一节内容是北师大版数学四年级上册第五章的第一节。
本节课的主要内容是让学生掌握简单的行程问题，并通过解决实际问题来培养学生的数学应用能力。
教材通过图书馆这个场景，让学生理解速度、时间和路程之间的关系，并学会运用这些概念来解决问题。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
他们在三年级时已经学习了速度、时间和路程的概念，对本节课的内容有一定的了解。
但是，学生在实际应用这些概念解决问题时，可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的掌握情况，及时进行引导和帮助。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生掌握行程问题的基本概念，理解速度、时间和路程之间的关系，并能够运用这些概念解决实际问题。
2.过程与方法：通过解决图书馆问题，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
四. 说教学重难点1.教学重点：掌握行程问题的基本概念，理解速度、时间和路程之间的关系。
2.教学难点：运用速度、时间和路程的概念解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，使抽象的数学概念更加直观易懂。
六. 说教学过程1.导入：以图书馆的场景引入，激发学生的学习兴趣，引导学生思考问题。
2.新课导入：介绍行程问题的基本概念，引导学生理解速度、时间和路程之间的关系。
3.案例分析：通过具体案例，让学生运用速度、时间和路程的概念解决问题。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享解决问题的方法，培养学生的合作交流能力。
5.总结提升：对所学内容进行总结，强调速度、时间和路程之间的关系，引导学生学会运用这些概念解决实际问题。
方差分析
假设从总体中抽取容量为 n i 的样本： X i 1 , X i 2 ,..., X in , i 1,2,3,4
i
• 假设4个样本相互独立，则 X ij相互独立， 这里 4
n ni
i 1
• 提出假设：
H0 : 1 2 3 4
原假设等价于
H0 : 1 2 ... r 0
5.4
5.1.3. 统计分析
（一）假设检验 • 构造（5.4）的统计量。 n 1 记 X X ,
i
ni
j 1 ni j 1
i
ij
1 2 Si ni
(X
ij
Xi ) ,
2
i 1,2,...,r
分别为第i个总体的样本均值和方差。
——单因素方差分析数学模型
• 假设
H 0 : 1 2 ... r
• 引入记号： n ni（总次数）
i 1 r
1 r ni i n i 1
（理论总均值）
i i
（因素对指标的效应）
•
i 之间的差异等价于 i 之间的差异，
且
n
Tests of Between-Subjects Effects Dep endent Variable: 杀 虫率 Source Corrected Model Intercept 农药 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 3794.500a 95340.115 3794.500 178.000 118693.000 3972.500 df 5 1 5 12 18 17 Mean Square 758.900 95340.115 758.900 14.833 F 51.162 6427.424 51.162 Sig . .000 .000 .000
数学建模-量纲分析建模
如速度的量纲是LT 1, 但其单位可以是(m / s) 也可以是(km/ s), 还可以是(km/ h).
3）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度
4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属 性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。
L T M 12 33 4 5 6 -2 24 5 26 3 4 5
L0T0M 0
由此得一六个未知量的方程组 其系数矩阵为
1 2 33 4 5 6 0
3 4 5
0
-2
24 5 26 0
则可等价地写出1 h( 2,3),即. p v2h( 2,3).
量纲分析法建模的工作步骤
一、找出含目标因素在内的各主要相关因素。
二、写出含目标因素在内的各主要相关因素的量纲积。
三、
写出含目标因素在内的各主要相关因素的无量纲量
的
i
量纲表达式 该表达式的指数为待定常数。
四、 利用量纲齐次性原理得到齐次线性方程组， 并求基础解系
摩尔
符号 m kg s A K cd
mol
3、量纲
定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称为该量的 量纲。这种规定关系常以基本物理量的幂指乘积形式表示， 因此也称为量纲积。即任一物理量的量纲皆可表示成
Q L1 M T I 2 3 4 5 J 6 N 7
许多物理问题的研究只涉及M , L,T三个基本量纲，
§5.1 量纲分析建模
一、单位与量纲 1、单位
数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有 相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。 如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关 注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问 题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量 的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度 是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。
5.1走近数据分析教学设计高一信息技术教科版必修1数据与计算
8.反思与改进：在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方法和策略，根据学生的实际表现进行调整，以提高教学效果。
四、教学内容与过程
1.注重激发学生的学习兴趣，引导他们认识到数据分析在生活中的广泛应用；
2.适当补充相关背景知识，帮助学生建立完整的知识体系；
3.强化实践操作，让学生在实践中感受数据分析的魅力，提高数据分析能力；
4.关注学生个体差异，提供差异化教学，使每位学生都能在原有基础上得到提升；
5.培养学生的数据思维，使其能够将数据分析应用于其他学科，提高综合素养。
5.注重启发式教学，培养学生的数据思维：在教学过程中，教师应引导学生主动思考，发现问题，提出解决方案。通过设置问题情境、讨论案例等方式，培养学生的批判性思维和创新能力。
6.融入德育教育，培养正确的数据观念：在教学过程中，教师应关注学生的情感态度与价值观的培养，引导学生遵循数据伦理，尊重数据隐私，树立正确的数据观念。
4.能够根据实际问题，运用所学知识对数据进行分析，提取有价值的信息；
5.提高对数据的敏感性，培养良好的数据素养，为今后的学习和工作打下基础。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，学生将通过以下过程与方法，提升数据分析能力：
1.通过案例教学，让学生了解数据分析在实际问题中的应用，激发学习兴趣；
2.采用任务驱动法，引导学生主动探索数据分析的方法和技巧，培养自主学习能力；
3.组织小组合作学习，让学生在讨论与交流中，共同解决问题，提高团队协作能力；
4.设计丰富的实践活动，让学生在实际操作中，掌握数据分析的方法和技能；
浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》说课稿
浙教版数学八年级上册5.1《常量和变量》说课稿一. 教材分析《常量和变量》是浙教版数学八年级上册第五章第一节的内容。
本节课的主要内容是让学生理解常量和变量的概念，并掌握它们在数学表达式中的运用。
教材通过生活中的实例，引导学生认识常量和变量，并运用它们解决实际问题。
本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生形成数学概念，培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经初步掌握了代数的基本知识，对数学表达式有一定的认识。
但是，他们对常量和变量的概念可能还比较模糊，需要通过具体的实例来加深理解。
同时，学生可能对生活中的一些实际问题如何用数学来表示和解决还不太了解，需要教师的引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解常量和变量的概念，掌握它们在数学表达式中的运用。
2.过程与方法目标：通过实例分析，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：理解常量和变量的概念，掌握它们在数学表达式中的运用。
2.难点：如何从实际问题中抽象出数学模型，运用常量和变量来表示和解决问题。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件辅助教学，通过生动的实例和动画，帮助学生理解和掌握常量和变量的概念。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实际问题，引导学生思考如何用数学来表示和解决问题。
2.新课导入：介绍常量和变量的概念，并通过实例让学生理解它们在数学表达式中的运用。
3.案例分析：分析几个生活中的实例，让学生从中抽象出数学模型，并用常量和变量来表示。
4.小组讨论：让学生分组讨论，分享自己解决实际问题的方法和过程。
5.总结提升：对常量和变量的概念进行总结，引导学生理解它们在数学中的重要性。
6.课堂练习：布置一些练习题，让学生巩固所学内容。
七. 说板书设计板书设计主要包括常量和变量的概念，以及它们在数学表达式中的运用。
数学分析5.1导数的概念(讲义)
第五章导数和微分1 导数的概念一、导数的定义定义1：设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作f’(x0). 若该极限不存在，则称f在点x0处不可导.令x=x0+△x，△y=f(x0+△x)-f(x0)，则：==f’(x0).∴导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限. 这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(又称为差商)，而导数f’(x0)则为f在x0处关于x的变化率.注：显然常量函数f(x)=C在任何一点x的导数都等于零.例1：求函数f(x)=x2在点x=1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程.解：f’(1)===2.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为：y-1=2(x-1)，即y=2x-1.例2：证明函数f(x)=|x|在点x=0处不可导.证：f’(0)=，∵=1，=-1，∵不存在，∴f在点x=0处不可导.设f(x)在点x0可导，则ε=f’(x0)-是当△x→0时的无穷小量，于是ε·△x=o(△x)，即△y=f’(x0)△x+o(△x)，称为f在点x0的有限增量公式.该公式对△x=0仍成立.定理5.1：若函数f在点x0可导，则f在点x0连续.注：可导是连续的充分而非必要条件.例3：证明函数f(x)=x2D(x)仅在点x0=0处可导，其中D(x)为狄利克雷函数.证：当x0≠0时，由归结原理可得f在x= x0处不连续，∴f在x= x0处不可导.当x0=0时，∵D(x)有界，∴f’(0)==xD(x)=0.即f仅在点x0=0处可导.定义2：设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0, x0+δ)上有定义，若右极限=(0<△x<δ)存在，则称该极限值为f在点x0的右导数，记作f’+(x0). 类似地，定义左导数为f’-(x0)==.右导数和左导数统称为单侧导数.定理5.2：若函数f在点x0的某右邻域内有定义，则f’(x0)存在的充要条件是：f’+(x0)与f’-(x0)都存在，且f’+(x0)=f’-(x0).例4：设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的左右导数与导数.解：f’+(0)===0.f’-(x0) ===1.∵f’+(x0)≠f’-(x0)，∴f在x=0处不可导.二、导函数若函数在区间I上每一点都可导(区间端点只考虑单侧导数)，则称f为I上的可导函数. 对每一个x∈I，都有一个导数f’(x)(或单侧导数)与之对应，函数f’就称为f 在I上的导函数，简称为导数. 记作f’, y’或，即：f’(x)=, x∈I注：f’(x0)可写作：y’或例5：证明：(1)(x n)’=nx n-1，n为正整数；(2)(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx；(3)(log a x)’=log a e (a>0，a≠1，x>0)，特别的(ln x)’=.证：(1)对于y=x n, ==x n-1+x n-2△x +…+△x n-1，∴(x n)’==(x n-1+x n-2△x +…+△x n-1)=x n-1=nx n-1.(2)∵==，由cosx在R上连续可得：(sinx)’==cosx.又==，由sinx在R上连续可得：(cosx)’== -sinx.(3)∵=log a=log a，又由log a x的连续性可得：(log a x)’=log a=log a=log a e.当a=e时，ln e=1，∴(ln x)’=.三、导数的几何意义曲线y=f(x)在点(x0,y0)的切线方程为：y-y0=f’(x0)(x-x0).即函数f在点x0的导数f’(x0)是曲线fy=(x)在点(x0,y0)的切线斜率.若α表示这条切线与x轴正方向的夹角，则f’(x0)=tanα.例6：求曲线y=x3在点P(x0,y0)处的切线方程与法线方程.解：y’=3x2, ∴f’(x0)=3x02==.当x0≠0时，曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=f’(x0)(x-x0)，即y=3x02x-2y0；法线方程为y-y0=(x-x0)，即y=x y0.当x0=0时，切线方程为y=0，法线方程为x=0.定义3：若函数f在点x0的某邻域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥f(x)或f(x0)≤f(x)，则称f在点x0取得极大(小)值，称点x0为极大(小)值点. 极大值和极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.例7：证明：若f’+(x0)>0，则存在δ>0. 对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).证：∵f’+(x0)=>0，由保号性可知，存在δ>0，对一切x∈(x0,x0+δ)，有>0，∴对任何x∈(x0,x0+δ)，有f(x0)<f(x).定理5.3(费马定理)：设函数f在点x0的某邻域内有定义，且在点x0可导，若点x0为f的极值点，则必有f’(x0)=0.我们称满足方程f’(x0)=0的点为稳定点. 稳定点不一定是极值点。
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3
青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》教学设计3一. 教材分析青岛版数学九年级下册5.1《函数和它的表示方法》是本册教材的重要内容，主要让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等。
通过本节的学习，为学生进一步学习函数的性质、函数的图像等知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数、几何等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但是对于函数这一概念，可能还比较陌生，需要通过具体实例来理解和掌握。
同时，学生对于函数的表示方法可能也比较困惑，需要通过大量的练习来熟练掌握。
三. 教学目标1.让学生理解函数的概念，了解函数的表示方法。
2.让学生能够运用函数的表示方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
四. 教学重难点1.函数的概念的理解。
2.函数的表示方法的掌握。
五. 教学方法采用讲授法、实例分析法、练习法等多种教学方法，通过具体的实例来引导学生理解函数的概念，通过大量的练习来让学生掌握函数的表示方法。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT。
2.准备一些具体的函数实例。
3.准备一些练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的实例，引出函数的概念，让学生初步理解函数的含义。
2.呈现（10分钟）讲解函数的表示方法，包括列表法、解析法、图象法等，通过具体的例子让学生理解每种方法的含义和应用。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，运用函数的表示方法解决一些实际问题，比如计算一些函数的值，画出一些函数的图象等。
4.巩固（10分钟）讲解学生练习中出现的问题，再次强调函数的表示方法，让学生加深理解。
5.拓展（10分钟）让学生思考除了列表法、解析法、图象法之外，还有没有其他的表示方法，激发学生的创新思维。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生明确本节课的重点和难点。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。
5.1 投入产出模型的基本原理
q
j 1
n
ij
yi qi (i 1，2，，n)
q
j 1
n
0j
L
如果令
a ij
q ij qj
(i, j ＝1， 2， ，n)
则 aij 表示生产单位数量的 j 类产品需要消 耗的 i 类产品的数量，它被称为产品的直 接消耗系数。
同理，劳动的直接消耗系数为：
a0 j q0 j qj ( j 1 ， 2， ，n)
则有：
a q
j 1 ij
n
j
yi qi (i 1，2，，n)
a
j 1
n
0j
qj L
a11 若令： A a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
Q [q1，q 2 , ，q n ]
T
，y ]T Y [y1，y 2， n
(五)价格与成本分析
价格与成本分析是通过投入产 出模型研究生产成本与价格的关系。 由于投入产出模型反映了国民 经济活动再生产各个环节之间的内 在联系，当把价格、税收、工资等 因素作为已知可控制变量时，就可 以测算出这些因素变化所引起的货 物和服务的价格变化。因此，投入 产出模型是研究和计算合理价格体 系、制定宏观调价方案的有力工具 .
即 费用平衡方 程组
x
i 1
n
ij
vj mj xj ( j 1 ， 2， ，n)
上式叫做费用平衡方程组，它反映物质 消耗费用、新创造价值与产品总价值之 间的关系。 设 Nj
v j＋m j
n
则方程组可写成：
ij
a 为生产单位数量的j部门产品的全
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5.1相关分析的概念及数学模型
武汉大学
引例
某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期(每个销售周期为4周)公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格。
数据集：yagao.sas7bdat
销售周期公司销售价格
(元)x4
其它厂家平均价
格(元)x3
广告费用
(百万元)x2
价格差
(元)x1
销售量
(百万支)y
1 3.85 3.80 5.50 -0.05 7.38
2 3.75 4.00 6.75 0.25 8.51
3 3.70 4.30 7.25 0.60 9.52
4 3.70 3.70 5.50 0 7.50
5 3.60 3.70 7.00 0.25 9.33
6 3.60 3.85 6.50 0.20 8.28
7 3.60 3.80 6.75 0.15 8.75
8 3.80 3.75 5.25 0.05 7.87
9 3.80 3.85 5.25 -0.15 7.10
10 3.85 3.65 6.00 0.15 8.00
11 3.90 4.00 6.50 0.20 7.89
12 3.90 4.10 6.25 0.10 8.15
13 3.70 4.00 7.00 0.40 9.10
14 3.75 4.10 6.90 0.45 8.86
15 3.75 4.20 6.80 0.35 8.90
销售周期公司销售价格
(元) 其它厂家平均价格
(元)
广告费用
(百万元)
价格差
(元)
销售量
(百万支)
16 3.80 4.10 6.80 0.30 8.87
17 3.70 4.20 7.10 0.50 9.26
18 3.80 4.30 7.00 0.50 9.00
19 3.70 4.10 6.80 0.40 8.75
20 3.80 3.75 6.50 -0.05 7.95
21 3.80 3.75 6.25 -0.05 7.65
22 3.75 3.65 6.00 -0.10 7.27
23 3.70 3.90 6.50 0.20 8.00
24 3.55 3.65 7.00 0.10 8.50
25 3.60 4.10 6.80 0.50 8.75
26 3.65 4.25 6.80 0.60 9.21
27 3.70 3.65 6.50 -0.05 8.27
28 3.75 3.75 5.75 0 7.67
29 3.80 3.85 5.80 0.05 7.93
30 3.70 4.25 6.80 0.55 9.26 分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订销售策略提供数量依据。
相关分析
01 散点图02 相关系数03 置信椭圆
相关分析（Correlation Analysis）
•概念：分析测定变量间相互依存关系的密切程度的统计方法。
•SAS系统提供的学生数据
•画体重与年龄散点图的代码：symbol1 v=star c=red;
symbol2 v=dot c=blue;
proc gplot data=sashelp.class;
plot weight*age=1 height*age=2;
run;
将两变量值以坐标点的形式逐一标在直角坐标系中，通过点的分布形状、分布模式和疏密程度来形象描述两变量间的相关关系
相关系数
设有两个变量X,Y ，Pearson 相关系数为：
∑∑∑-⋅---=
2
2
)
()())((y y
x x y y x x r i
i
i
i 低度线性相关 中低度线性相关 中度线性相关 A
B
C
|r|<0.3
0.3<=|r|<0.5
0.5<=|r|<0.8
高度线性相关
D
0.8<=|r|<1.0
相关系数的说明
相关系数很大并不表示变量间有因果关系，
1
也可能是两变量同时受第三个变量的影响
而使他们有很强的相关。
相关系数是说明线性联系程度的，r=0时，
2
说明变量间不存在线性相关关系，但可能
存在非线性联系。
3
个别极端数据可能影响两变量的相关系数。
置信椭圆
二类置信椭圆
均值置信椭圆
预测值置信椭圆
预测值置信椭圆
图形地说明变量间的相关。
它显示数据以设定的百分率落入的区域，落入预测置信椭圆的观测
值的百分率应接近于设定的置信水平。
作为相关性指标
置信椭圆
观察方法：
若两变量不相关，椭圆应为圆；拉长的椭圆为相关；椭圆的长短轴之比可衡量相关的强度和•变量Y 和x1间散点图上的这个椭圆被拉得很长，表明变量Y 和x1之间有很强的相关性。
偏相关系数
偏相关描述的是当控制了一个或几个变量的影响条件下两个变量间的相关性 控制了变量Z ，变量X ，Y 之间的偏相关系数的计算公式为：
)1)(1(2
2,yz xz yz
xz xy z xy r r r r r r ---=
Spearman 相关系数把变量转换成样本所有变量值中的排列次序或名字再利用pearson方法求解转换后两个变量的排列次序（“秩”或等级）的相关系数
也是测度顺序变量之间的线性相关关系
Kendall
相关系数设P为同序对子数，Q为异序对子数，T x为
在x变量上是同序但在y变量上不是同序的对
子数，T y为在y变量上是同序但在x变量上不
是同序的对子数。
引例的相关分析结果
谢谢观赏。