福州中考数学试卷含答案

2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学试题
（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！ 毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________ 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．） 1．a 的相反数是（ C ）
A ．|a|
B ．
a
1
C ．－a
D ．a 2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ B ）
3．不等式组⎩
⎨⎧<-≥21x x ，
的解集在数轴上表示正确的是（ A ）
4．计算77107.3108.3⨯-⨯，结果用科学记数法表示为（ D ） A ．7101.0⨯ B ．6101.0⨯ C ．7101⨯ D ．6101⨯ 5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ A ） A ．扇形图 B ．条形图 C ．折线图 D ．直方图 6．计算1-⋅a a 的结果为（ C ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．－a 7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点 8．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（ B ）
A ．80º
B ．90º
C ．100º
D ．105º 9．若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是
（ C ）
A ．0
B ．2．5
C ．3
D ．5
B A ． A 1 2
C
D
B B ．
A 1
2
D
C
B
C ．
A
1
2
D
C
B D ．
A D
C
1
2
A ．
2
B ．
2
D ．
2
C ．
2
D
C
B
A
第7题
· · · ·
C A B
第8题
· D
· · ·
10．已知一个函数图象经过（1，－4），（2，－2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ D ）
A ．正比例函数
B ．一次函数
C ．反比例函数
D ．二次函数 二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）
11．分解因式92-a 的结果是___（a ＋3）（a －3）_______． 12．计算（x －1）（x ＋2）的结果是_____22-+x x _____．
13．一个反比例函数图象过点A （－2，－3），则这个反比例函数的解析式是____x
y 6
=
____． 14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015的方差是____0____．
15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，
正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为__22__cm 3．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转60º，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是___13+___．
三、解答题（共10题，满分96分） 17．（7分）计算：2015
)1(-＋sin30º＋)32)(32(+-．
解：原式＝－1＋
21＋1＝2
1
． 18．（7分）化简：2
22222)(b a ab
b a b a +-
++ ． 解：原式＝222222b a ab b ab a +-++＝2
22
2b
a b a ++＝1． 19．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD ．
证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD ． ∵∠1＝∠2，AB ＝AB ， ∴△ABC ≌△ABD ． ∴AC ＝AD ．
20．（8分）已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，求m 的值． 解：∵方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根， ∴△＝016)12(2=--m ．
解得m ＝
2
5，或m ＝23-．
21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每
支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？
解：设有x 支篮球队参赛，则有（48－x ）支排球队参赛． 依题意列方程10x ＋12（48－x ）＝520． 解得x ＝28．
第15题
C
A
B
第16题
M
N
A
B C D
1
2
3 4
第19题
所以48－x ＝20．
答：篮球、排球队各有28、20支参赛．
22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）当n ＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？ （在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；
（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0．25，则n 的值是________;
（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：
根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率． 解：（1）相同 （2）2
（3）由树状图得一次试验中一共有12种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的10种结果，所以所求概率为
1210＝6
5
． 23．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝5，tan B ＝
1
．半径为2的⊙C 分别交AC 、BC 于点D 、E ，得到DE ⌒．
（1）求证：AB
为⊙C 的切线； （2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，F 为垂足． ∵AC ＝5，tan B ＝BC AC ＝2
1
， ∴BC ＝52．
∴AB ＝22BC AC +＝5． ∵ABC S ∆＝21AC ·BC ＝2
1
AB ·CF ． ∴CF ＝
5
5
25⋅＝2． ∴点C 到AB 的距离等于⊙C 的半径．
∴AB 为⊙C 的切线．
绿
红
红 红 绿 第一次
绿 白1 第二次
红 绿 白2 白2
白2 白1
白1 白2 白1
第23题
B
第23题答图
B
（2）由（1）得ABC S ∆＝2
1
AC ·BC ＝5， 而CDE S 扇形＝π，
阴影部分的面积＝5－π．
24．（12分）定义：长宽比为n ∶1（n 为正整数）的矩形称为n 矩形． 下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．
操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．
操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．
则四边形BCEF 为2矩形．
证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD ＝21122=+．
由折叠性质可知BG ＝BC ＝1，∠AFE ＝∠BFE ＝90º，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠A ＝∠BFE ． ∴EF ∥AD ．
∴AB BF
BD BG =
，即12
1BF =． ∴2
1
=BF ．
∴BC ∶BF ＝1∶2
1
＝2∶1．
∴四边形BCEF 为2矩形． 阅读以上内容，回答下面问题：
（1）在①中，所有与CH 相等的线段是___GH ，GD ____，tan ∠HBC 的值是____12-____;
（2）已知四边形BCEF 为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN ，如图②，
求证：四边形BCMN 是3矩形．
（3）将图②中的3矩形BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“n 矩形”，则n 的值是____6_____．
第24题图①
E H
第24题图② E Q
解：（2）证明：设2矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝2，则BE ＝31)2(22=+． 由折叠性质可知BP ＝BC ＝2，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形． ∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴
BF BN
BE BP =
，即13
2BN =． ∴3
2
=
BN ． ∴BC ∶BN ＝2∶
3
2
＝3∶1． ∴四边形BCMN 为3矩形．
（3）附录：证明n 矩形经过上述操作后得到1+n 矩形． 如附录图，设n 矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝n ，则BE ＝11)(22+=+n n ．
由折叠性质可知BP ＝BC ＝n ，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形．
∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴
BF BN
BE BP =
，即11
BN n n =+． ∴1
+=
n n
BN ． ∴BC ∶BN ＝n ∶
1
+n n
＝1+n ∶1． ∴四边形BCMN 为1+n 矩形．
第24题附录图
E Q
25．（13分）如图①，在锐角△ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE ＝∠A ，DM ∥EF 交AC 于点M ．
（1）求证：DM ＝DA ；
（2）点G 在BE 上，且∠BDG ＝∠C ，如图②，求证：△DEG ∽△ECF ; （3）在图②中，取CE 上一点H ，使∠CFH ＝∠B ，若BG ＝1，求EH 的长．
解：（1）证明：∵DM ∥EF ， ∴∠AMD ＝∠AFE ．
∵∠AFE ＝∠A ，∴∠AMD ＝∠A ． ∴DM ＝DA ．
（2）证明：∵∠DGB ＝180º－∠B －∠BDG ， ∠A ＝180º－∠B －∠C ， ∠BDG ＝∠C ， ∴∠DGB ＝∠A ． ∵∠A ＝∠AFE ， ∴∠DGB ＝∠AFE ． ∵∠DGE ＝180º－∠DGB ， ∠EFC ＝180º－∠AFE ， ∴∠DGE ＝∠EFC ．
又∵DE 是中位线，∴DE ∥AC ．∴∠DEB ＝∠C ． ∴△DEG ∽△ECF ． （3）提示：如答图，
由△BDG ∽△BED ，得BE BG BD ⋅=2， 由△EFH ∽△ECF ，得EC EH EF ⋅=2
． 由BD ＝DA ＝DM ＝EF ，且BE ＝EC ， 得EH ＝BG ＝1．
A
B
C
D
第25题答图
Ｍ
F
E
G H A
B
C
D
第25题图②
Ｍ
F E
G A
B
C
D
第25题图① Ｍ
F E
26．（13分）如图，抛物线x x y 42-=与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y ＝x ＋m 与对称轴交于点Q ．
（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是______; （2）若两个三角形面积满足POQ S ∆＝PAQ S ∆3
1
，求m 的值；
（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD ＋DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值．
解：（1）x ＝2 45º
（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别在△POQ 和△P AQ 中作PQ 边上的高OE 和AF ． 按点B 的不同位置分三种情况讨论如下：
①如答图①，若点B 在线段OA 的延长线上，OE >AF ， POQ S ∆＝PAQ S ∆3
1不成立． ②如答图②，若点B 在线段OA 上， ∵POQ S ∆＝PAQ S ∆31，∴
3
1
=AF OE ． ∵OB ＝OE 2，AB ＝AF 2． ∴AB ＝3OB ．
∵A （4，0），∴OA ＝4． ∴OB ＝1． ∴B （1，0）．
∵点B 在直线y ＝x ＋m 上， ∴m ＝－1．
③若点B 在线段AO 的延长线上，与②类似，可得OB ＝OA 2
1
＝2．∴B （－2，0）． ∴m ＝2．
第26题图
备用图
综上所述，当m ＝－1或2时，POQ S ∆＝PAQ S ∆3
1．
（3）①如答图④，过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ． 则△
CHQ 是等腰直角三角形．
由C （2，2），A （4，0）得直线AC 与x 轴所夹锐角的度数为45º．
∴
CD 是等腰直角三角形CHQ 斜边上的高． ∴DQ ＝DH ． ∴PD ＋DQ ＝PH ．
过点P 作PM ⊥CH 于点M ，则△PMH 也是等腰直角三角形．∴PH ＝PM 2．
∵点P 在抛物线x x y 42-=上，设它的横坐标为n ，则它的纵坐标为n n 42-． ∴点M 的纵坐标为2，∴PM ＝242++-n n ． 配方，得242++-n n ＝6)2(2+--n ． ∵0＜n ＜4，
∴当n ＝2时，PM 取得最大值是6．
∵PD ＋DQ ＝ PH ＝PM 2，∴PD ＋DQ 的最大值为26． ②由①可得PD ＋DQ ≤26． 设PD ＝a ，则DQ ≤26－a ．
∴PD ·DQ ≤)26(a a -＝a a 262+-＝18)23(2+--a ． ∵a 的取值范围是0＜a ≤
28
25
，
第26题答图①
第26题答图②
第26题答图④
第26题答图③
∴当a ＝23时，PD ·DQ 的最大值为18． 附加说明：（对a 的取值范围的说明）
设点P 的坐标为（n ，n n 42-），延长PM 交AC 于点N ．
PD ＝a ＝
PN 22＝)]4(4[222n n n ---＝)43(2
22
---n n ＝
28
25)23(222+--n ． ∵22-＜0，0＜n ＜4，
∴当n ＝23时，a 有最大值为2825
．
∴0＜a ≤28
25
．
说明：本卷解答由张越初中数学提供，仅供参考！如有疏漏或谬误之处，尚祈专家、同
行不吝指教!。