函数概念基本初等函数8函数的单调性配套练习

第8课 函数的最值

分层训练

1．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则

（ ）

A ．21->k

B ．2

1-b D ．0>b 2．已知函数f(x)在区间[a,b]上单调且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内 （ ）

A ． 至少有一实根

B ． 至多有一实根

C ．没有实根

D ．必有唯一的实根

3．已知f(x)=8+2x －x 2,如果g(x)=f( 2－x 2 ),那么g(x) （ ）

A ．在区间(－1,0)上是减函数

B ．在区间(0,1)上是减函数

C ．在区间(－2,0)上是增函数

D ．在区间(0,2)上是增函数

考试热点

4．函数22[0,2]()2[3,0)

x x x f x x x ⎧-∈=⎨∈-⎩的最小值是 ． 5．已知x ∈[0,1],则函数y=22+x －x -1 的最大值为_____.最小值为_____.

6．函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ，最大值为 .

7．．已知函数2122

y x x =- 求: (1) 当03x <≤时， 函数的最值;

(2) 当35x ≤<时， 函数的最值．

8．已知函数22(),[1,)x x a f x x x

++=∈+∞． （1）当0.5a =时，求函数()f x 的最小值；

（2）若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，试求实数a 的取值范围．

拓展延伸

9．已知3

1≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．

（1）求()g a 的函数表达式；

（2）判断函数()g a 在区间[3

1，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .

10．在经济学中，函数)(x f 的边际函数为)(x Mf ，定义为)()1()(x f x f x Mf -+=，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产x 台的收入函数为2

203000)(x x x R -=（单位元），其成本函数为4000500)(+=x x C （单位元），利润的等于收入与成本之差. ①求出利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp ；

②求出的利润函数)(x p 及其边际利润函数)(x Mp 是否具有相同的最大值；

③你认为本题中边际利润函数)(x Mp 最大值的实际意义.

本节学习疑点：

第

8课函数的最值

1．()A；2．()

D；3．()A4．6-；

5．2,1

2-；6．]0,

2

1

[-和)

,

2

1

[+∞，

4

1

．

7．函数即2

1

(2)2

2

y x

=--，抛物线的对称轴为直线2

x=．

(1) 当03

x

<≤时，

由图象知,当2

x=时，

min

2

y=-；函数无最大值；

(2) 当35

x

≤<时，由图象知,当3

x=时，

min

3

2

y=-；函数无最大值。8．（1）当0.5

a=时，

1

()2

2

f x x

x

=++, )

,1[+∞

∈

x．

任设

12

1x x

≤<，则

2121

21

11

()()(2)(2)

22

f x f x x x

x x

-=++-++

2112

12

()(21)

2

x x x x

x x

--

=

∵

12

1x x

≤<，∴

12

x x

-<，且

12

1

x x>，∴

12

x x>，

12

210

x x->，

∴

21

()()0

f x f x

->，即

21

()()

f x f x

>，

∴()

f x在)

,1[+∞上是增函数，

∴()

f x在)

,1[+∞上的最小值是

7

(1)

2

f=．

学生质疑

教师释疑

（2）∵),1[+∞∈x ，∴()0f x >恒成立⇔2

20x x a ++>恒成立． ∵函数22()2(1)(1)y f x x x a x a ==++=++-在),1[+∞上是增函数， ∴当1x =时，min 3y a =+，令30a +> 得3a >-．

∴当(3,)a ∈-+∞时，()0f x >恒成立． 9．（1）∵

)(,131x f a ∴≤≤的图像为开口向上的抛物线，且对称轴为].3,1[1∈=a

x ∴()f x 有最小值a

a N 11)(-= . 当2≤a 1≤3时，a ∈[)(],2

1,31x f 有最大值()()11M a f a ==-； 当1≤a 1<2时，a ∈()(],1,2

1x f 有最大值M （a ）=f (3)=9a －5; ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=∴).121(169),2131(12)(a a a a a a a g （2）设1211,32

a a ≤<≤则 121212121()()()(1)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=-->∴> ]2

1,31[)(在a g ∴上是减函数. 设1211,2

a a <<≤ 则121212121()()()(9)0,()(),g a g a a a g a g a a a -=--<∴< ()11(,1]2g a ∴在上是增函数.∴当12a =时，()g a 有最小值21． 10．N x x x x x C x R x p ∈∈-+-=-=],100,1[,4000250020)()()(2.

)(x Mp )()1(x p x p -+=

),4000250020(]4000)1(2500)1(20[22-+---+++-=x x x x

x 402480-=

N x x ∈∈],100,1[；

N x x x x p ∈∈+--=],100,1[,74125)2125(20)(2，故当=x

62或63时，=max )(x p 74120（元）。

∵)(x Mp x 402480-=为减函数，当1=x 时有最大值2440，故不具有相等的最大值。 边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大。