2020一轮复习课件 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例删减版文库素材

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2．根据题意画出示意图． 3．将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中， 要算法简练，计算正确． 4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍，并 作出答案．
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一、有关概念 1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的 角 叫 仰角，在水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
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4．坡度与坡比 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡 角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
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二、解三角形在实际中的应用及解题步骤 解三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几 何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤 是： 1．分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理 解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角 等．
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如图所示，注意到最快追上走私船且两船 所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在 △BCD中求∠BCD.
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解：设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船， 则有 CD＝10 3t，BD＝10t， 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2·cos 120°＝6， ∴BC＝ 6， 在△ABC 中，由正弦定理得sin∠ACABC＝sin∠BCBAC，
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解答此题可按以下步骤进行： ①在△BCD中，由正弦定理求得BC； ②在Rt△ABC中，根据三角函数定义求得AB.
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解：在△BCD 中，∠BCD＝75°，∠CDB＝60°，所以∠CBD
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【典例剖析】 在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n
mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走 私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
3s
＝45°，CD＝s，由正弦定理得sinCD45°＝sinBC60°，所以 BC＝
2＝ 2
2
26·s，在 Rt△ABC 中，AB＝BC·tan 30°＝ 26·s× 33＝ 22s，即塔
高
AB
为
2 2 s.
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求解高度问题应注意的问题 (1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念． (2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形 内应用正、余弦定理． (3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．
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解：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， 所以 BC＝CsDinsin∠∠CBBDDC＝sisn·sαin＋ββ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝sstiannαθ＋sinββ.
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求解实际中距离问题的注意事项 (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形 中，建立一个解三角形的模型． (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模 型的解． (3)应用题要注意作答．
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测量高度问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的高度问题．
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【典例剖析】 (2013·天水模拟)如图所示，测量河对岸的塔高AB
时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测 得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A 的仰角为30°，求塔高AB.
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考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，应用正(余)弦定理解 能够运用正弦 实际问题在高考中经常出现，借以考
定理、余弦定理等 查正(余)弦定理及三角知识的运用． 知识和方法解决一 2.从考查形式上看，三种题型都可出 些与测量和几何计 现；若以选择题、填空题形式出现，
算有关的实际问题. 难度较小；若以解答题形式出现，难 度中等.
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测量距离问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的距离问题．
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【典例剖析】 在某港口 O 某人要将一件重要物品用小艇送到一艘
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3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针 旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
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正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 B 处，并以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶，若小艇用43小时将物品送到，求小艇航行 的距离．
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画出图形 → 在△OBC中，OB、BC及∠B已知 → 用余弦定理求OC → 结论
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【活学活用】 1.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D 处，已知CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于 地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮 兵阵地到目标的距离．
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5．如图所示，一艘海轮从A处出发，测得A灯塔在海轮的北 偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，随后海轮按北偏西 60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏 东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分．
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解：根据题意，画出图形如图所示，小艇 将物品送到时用了43小时，这时轮船航行了43 ×30＝40(海里)．
在△OBC 中，OB＝20，BC＝40，∠B＝60°， 由余弦定理，得 OC2＝OB2＋BC2－2·OB·BC·cos 60°＝202 ＋402－2×20×40×12＝1 200，∴OC＝20 3，即小艇航行的距 离为 20 3海里．
A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB. 选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似． 答案：A
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3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝ a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地 面的高度AB等于( )
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4 ． 在相 距 2 千 米的 A， B 两点处 测 量目标 C ，若 ∠ CAB ＝ 75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离是________千米．
解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB＝180°－(75°＋60°)＝45°. 根据正弦定理，得 AC＝AsBisninCB＝2ssiinn4650°° ＝ 6(千米)． 答案： 6
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解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得sAinCB＝sin∠ABACB，
所以 AC＝sAinB∠·siAnCBB＝20× sinsi4n56°0°＝10 6，
所以海轮航行的速度为10306＝ 36(海里/分)．
答案：
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俯角的概念．
解决该类问题时，一定要准确理解仰角和
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【活学活用】 2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝ s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，
β之间的关系是( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
答案：B
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2.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定 下列四组数据，不能确定A、B间距离的是( )
2 2 CD.
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又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 23＋12CD ＝ 642CD＝ 42(km)． 所以炮兵阵地到目标的距离为 42 km.
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测量角度问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的角度问题．
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基础知识回扣 热点考向聚焦 活 页 作 业 他回答景公说：“这就是大臣们的不贤啊。那里，被人称为“百合谷地”。玛茨亚告诉大家：“我已经从洪水中把你们带到了这块安全的陆地，你们应该在这里建立自己的家园。
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2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫方位 角．如B点的方位角为α(如图②)．
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仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：三者的参照不同，仰角与俯角是相对于水平线而言 的，而方位角是相对于正北方向而言的．
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解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，
CD＝6，∠ACD＝45°，
根据正弦定理有 AD＝CDsinsin604°5°＝
wk.baidu.com2 3 CD.
同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC
＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，
根据正弦定理得
BD＝CsDinsi1n3350°°＝
1 A.2a C. 3a
B．
3a 2
D．
3 3a
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解析：∵∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
∴AC＝CD＝a，在 Rt△ABC 中，
AB＝AC·sin
60°＝
3 2 a.
答案：B
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