2020一轮复习课件 第3章 第8节 正弦定理和余弦定理应用举例删减版文库素材
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2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件正弦定理和余弦定理
若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[解析] 法一：因为 bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得 sin(B＋C)＝sin Asin A.
又 sin(B＋C)＝sin A，得 sin A＝1，
即 A＝π2，因此△ABC 是直角三角形．
法二：因为 bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝
22aa2＝a，所以 asin A＝a，即 sin A＝1，故 A＝π2，因此△ABC
是直角三角形．
[答案] B
返回
3.口诀第3、4句在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(2)若 cos B＝13，a＝3，求 c 的值． 解：由(1)可知 sin A＝ 23，
因为 cos B＝13，B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝232，
5，则 AB＝
()
A．4 2
B. 30
C. 29
D．2 5
解析：在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×－35＝32， ∴AB＝ 32＝4 2.
答案：A
返回
3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝18，
①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c；
已知两 边和它
高三数学一轮复习3.7正弦定理和余弦定理课件
a a b－c ＝ . ⑤在△ABC中， sin A sin A sin B－sin C
其中正确的是( A.①②
) C.②⑤ D.④⑤
B.③④
【解析】选C. ①错误. 由正弦定理知a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C. ②正确.由正弦定理知sin A= 得a>b，即A＞B. ③错误.当已知三个角时不能求三边.
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 图形 关系式 a=bsinA bsinA<a<b 解的 个数 一解 _____ 两解 _____ a≥b 一解 _____ a>b 一解 _____ a≤b 无解 _____ A为钝角或直角
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： ①三角形中三边之比等于相应的三个内角之比； ②在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B； ③在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素； ④正弦定理对钝角三角形不成立；
1 BC 3 Rt△ABE中，cos B BE 2 , AB AB 2
故B=30°.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得 AD AB sin B 2 sin 30
1 6 2 4 4
sinADB 6 2. sin 105
a 内容 sinA
△ABC外接圆的半径)
定理
正弦定理 2RsinA ①a=_______, 2RsinB 2RsinC b=_______,c=_______; a∶b∶c ②sinA∶sinB∶sinC=________;
余弦定理
b a ③sinA= ,sinB= 2R , 变形 2R c 公式 sinC= 2R ; a b c ④ sinA sinB sinC abc sinA sinB sinC
其中正确的是( A.①②
) C.②⑤ D.④⑤
B.③④
【解析】选C. ①错误. 由正弦定理知a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C. ②正确.由正弦定理知sin A= 得a>b，即A＞B. ③错误.当已知三个角时不能求三边.
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况 A为锐角 图形 关系式 a=bsinA bsinA<a<b 解的 个数 一解 _____ 两解 _____ a≥b 一解 _____ a>b 一解 _____ a≤b 无解 _____ A为钝角或直角
【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： ①三角形中三边之比等于相应的三个内角之比； ②在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B； ③在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素； ④正弦定理对钝角三角形不成立；
1 BC 3 Rt△ABE中，cos B BE 2 , AB AB 2
故B=30°.
在△ABD中，∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得 AD AB sin B 2 sin 30
1 6 2 4 4
sinADB 6 2. sin 105
a 内容 sinA
△ABC外接圆的半径)
定理
正弦定理 2RsinA ①a=_______, 2RsinB 2RsinC b=_______,c=_______; a∶b∶c ②sinA∶sinB∶sinC=________;
余弦定理
b a ③sinA= ,sinB= 2R , 变形 2R c 公式 sinC= 2R ; a b c ④ sinA sinB sinC abc sinA sinB sinC
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_7正弦定理和余弦定理课件理新人教A版
4．三角形的面积公式
S△ABC＝12aha＝12bhb＝12chc
＝
1
1
2absin C ＝ 2bcsin
A ＝ 12acsin B
．
[三基自测] 1．(必修 5·习题 1.1B 组改编)在△ABC 中，若 sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC 的形 状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 答案：C
2．余弦定理
b2＋c2－a2
a2＝ b2＋c2－2bccos A ，cos A＝
2bc
；
a2＋c2－b2
b2＝ a2＋c2－2accos B ，cos B＝
2ac
；
a2＋b2－c2
c2＝ a2＋b2－2abcos C ，cos C＝
2ab .
3．勾股定理 在△ABC 中，∠C＝90°⇔ a2＋b2＝c2 .
面积为154 3，则 BC 边的长为
．
[解析] 由 S△ABC＝154 3得12×3×ACsin 120°＝154 3，所以 AC＝5，因此 BC2＝AB2
＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得 BC＝7.
[答案] 7
方法 4 已知三边解三角形
【例 4】 (2015·高考北京卷)在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝
(2)△ABC中，若cos2A2＝b＋ 2cc，∴cos
A2 ＋1＝sin
B＋sin 2sin C
C⇒cos
A＋1＝ssiinn
CB＋1，
∴sin Ccos A＝sin B，∴sin Ccos A＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C．
余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
2
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
2
5
10
(2)[2021全国卷乙]记△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，面积为
3 ， B ＝60°， a 2＋ c 2＝3 ac ，则 b ＝
1
2
[解析] 由题意得 S △ ABC ＝ ac sin B ＝
2 2
3
ac ＝
4
.
3 ，则 ac ＝4，所以 a 2＋ c 2＝3 ac ＝
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＜b sinA
解的个数
无解
a＝b sinA
⑪ 一解
b sin A＜a＜b
⑫
两解
a≥b
⑬ 一解
a＞b
a≤b
一解
无解
3. 三角形中常用的面积公式
△ ABC 中，角 A ， B ， C 对应的边分别为 a ， b ， c .则：
1
(1) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高)；
(2，8) .
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
(
D )
A. 1
B. 2
C. 5
D. 3
[解析] 由余弦定理得 AC 2＝ AB 2＋ BC 2－2 AB ·BC ·cos B ，得 BC 2＋2 BC －15＝
2020高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第6讲正弦定理、余弦定理课件
用
正
弦
定
理
及
二
倍
角
公
式
得
sinC－sinA 2sinC
＝
1－cosB 2
，
即
sinA ＝
sinCcosB．又 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以 sinBcosC＝0.在△ABC
中，sinB≠0，故 cosC＝0，则 C＝π2，故△ABC 为直角三角形，故选 A．
(理)解法一：已知等式可化为 a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－
③a∶b∶c＝___s_in_A__∶__si_n_B_∶__s_i_n_C___
a2＋b2－c2
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosC＝___2_a_b_____
解决解 斜三角 形的问
题
(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条 (1) 已 知 三 边 ， 求 各
解法二：同解法一可得
2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB．
a2b·c2＋2bb2c－a2＝b2a·a2＋2ca2c－b2， ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b 或 a2＋b2＝c2， ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选 D．
cosc56m3由正弦定理得sinasinbsincabc456设a4则b5c6又由余弦定理知cosa所以2acosa2sinacosasincsinasinccosa21在已知三角形两边及其中一边的对角求该三角形的其他边角的问题时首先必须判明是否有解例如在abc中已知sina31问题就无解如果有解是一解还是两解
高考数学一轮专项复习ppt课件-正弦定理、余弦定理(北师大版)
且 c＝2b，则ab等于
A.2
B.3
C. 2
√D. 3
由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B， 又 sin A≠0，sin B≠0，则 cos A＝12. 又 c＝2b，所以由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×12 ＝3b2， 得ab＝ 3.
变形
(2)sin
A＝
a 2R
，
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
余弦定理
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
命题点3 与平面几何有关的问题 例4 (2023·梅州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知2a＋b＝2ccos B. (1)求角C；
由2a＋b＝2ccos B， 根据正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin Ccos B， 则2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B， 所以2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B＝2sin Ccos B， 整理得(2cos C＋1)sin B＝0， 因为B，C均为三角形内角， 所以B，C∈(0，π)，sin B≠0， 因此 cos C＝－12，所以 C＝23π.
知识梳理 2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_8正弦定理和余弦定理的应用课件文新人教A版
第八节 正弦定理和余弦定理的应用
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考情考向分析
1.本节复习时，应联系生活实例，体 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解
会建模，掌握运用正弦定理、余弦定 决一些简单的三角形度量问题．
理解决实际问题的基本方法． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等
2．加强解三角形及解三角形的实际 知识和方法解决一些与测量和几何计
△ABC 的面积公式可表示为( )
A．S＝12absin A
B.S＝12bccos A
C．S＝12a2sinsAinsiBn C
D.S＝12a2sinsBinsiAn C
答案：D
2．(必修 5·习题 1.2A 组改编)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别是 30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
向角、方位角)与三角形内角的关系．
跟踪训练 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处 有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相 距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ 的值为________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
A.4030 m 200
C. 3 3 m
B.4030 3 m 200
D. 3 m
答案：A
3．(必修 5·习题 1.2A 组改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m.
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
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1.本节复习时，应联系生活实例，体 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解
会建模，掌握运用正弦定理、余弦定 决一些简单的三角形度量问题．
理解决实际问题的基本方法． 2．能够运用正弦定理、余弦定理等
2．加强解三角形及解三角形的实际 知识和方法解决一些与测量和几何计
△ABC 的面积公式可表示为( )
A．S＝12absin A
B.S＝12bccos A
C．S＝12a2sinsAinsiBn C
D.S＝12a2sinsBinsiAn C
答案：D
2．(必修 5·习题 1.2A 组改编)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角 分别是 30°，60°，如图所示，则塔高 CB 为( )
向角、方位角)与三角形内角的关系．
跟踪训练 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处 有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相 距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ 的值为________．
解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，
A.4030 m 200
C. 3 3 m
B.4030 3 m 200
D. 3 m
答案：A
3．(必修 5·习题 1.2A 组改编)如图所示，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝ 105°后，就可以计算出 A，B 两点的距离为________m.
∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
高考数学一轮总复习课件：正、余弦定理应用举例
思考题2 (1)在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云
的仰角为30°，测得湖中影子的俯角为45°，则云距湖面的高
度为(精确到0.1 m)( C )
A．2.7 m
B．17.3 m
C．37.3 m
D．373 m
【解析】 依题意画出示意图，
则CtaMn3－0°10＝CtaMn4＋5°10， ∴CM＝ttaann4455°°＋－ttaann3300°°×10≈37.3(m)
在△ABC中，根据正弦定理，得sin∠BCBAC＝sin∠ABBCA， 即sin330h°＝sin64050°，解得h＝100 6(m)．
题型三 测量角度问题
例3 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋ 3 ) 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的 D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相 距20 3 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海 里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】 在△ABD中，BD＝200 m，∠ABD＝120°. 因为∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°. 由正弦定理，得sin∠BDDAB＝sin∠ADABD， 所以sin23000°＝sinA12D0°. 所以AD＝200×sins3in01°20°＝200 3 (m)．
在△ADC中，DC＝300 m，∠ADC＝150°， 所以由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ ADC ＝(200 3)2＋3002－2×200 3×300×cos150°＝390 000， 所以AC＝100 39 (m)． 故石竹山这条索道AC长为100 39 m.
【思路】 依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前
高考第一轮课件(3.8正弦定理、余弦定理的应用举例)
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
1 1 1 2 2 2 面积公式 S 1 ah 1 bh 1 ch (h为相应边上的高)的变形.( 2 2 2 (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为［0, ］( ) . 2
(1)面积公式中 S bcsin A absin C acsin B， 其实质就是 )
为边a,b,c上的高.
（1）已知一边和这边上的高:
1 1 1 S ah a bh b ch c . 2 2 2
（2）已知两边及其夹角：
1 1 1 S absin C acsin B bcsin A. 2 2 2
（3）已知三边：
其中 p a b c . S p p a p b p c ,
又 BAC ,
3 1 cos BAC , 2
∴bc=4,
1 S ABC＝ bcsinBAC 3. 2
又∵O为△ABC中线AD的中点,
故 S OBC
1 3 S ABC . 2 2
【拓展提升】三角形的面积公式
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别
故b2+c2=89,得(b+c)2=169.
又b>0,c>0,∴b+c=13,
故△ABC的周长为20.
【互动探究】若将本例题(1)中“ OA OB OC 0 ”改为“O
为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又 该如何求解?
【解析】由 AB AC 2 得cbcos A=2.
2
3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，
正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
三角形面积问题的常见类型
（1）求三角形面积，一般要先利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差
的三角函数公式等，求出角与边，再求面积；
（2）已知三角形面积解三角形，常选用已知邻边求出其夹角，或利用已
知角求出角的两边之间的关系;
（3）已知与三角形面积有关的关系式，常选用关系式中的角作为面积公
式中的角，化为三角形的边角关系，再解三角形.
（1）求∠；
【解】由题意及余弦定理得,
= + − ⋅ ⋅ ∠ = + − × × �� ×
−
= ，解得 = （负值已舍去）.
方法一：由正弦定理，得
∠
=
,即∠
∠
以 =
, = ，所以
△ = ∠ =
− =
−
×
=
− ,所以
+
,所以
= ，即 + − = ,又 = ,所
× ×
=
.
1.已知在△ 中，角,,的对边分别为,,， = , = , = ∘ ，
则此三角形的解的情况是(
)
A.有一解
B.有两解
C.无解
√
解析：选C.由正弦定理得
D.有解但解的个数不确定
=
,所以
所以不存在，即满足条件的三角形不存在.
=
2025届高考数学一轮复习讲义
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4．坡度与坡比 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡 角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
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二、解三角形在实际中的应用及解题步骤 解三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几 何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤 是： 1．分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理 解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、视角、方位角 等．
1 A.2a C. 3a
B．
3a 2
D．
3 3a
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解析：∵∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°，
∴AC＝CD＝a，在 Rt△ABC 中，
AB＝AC·sin
60°＝
3 2 a.
答案：B
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A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB. 选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似． 答案：A
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3．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝ a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地 面的高度AB等于( )
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，
β之间的关系是( )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
答案：B
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2.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定 下列四组数据，不能确定A、B间距离的是( )
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解析：由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，
由正弦定理得sAinCB＝sin∠ABACB，
所以 AC＝sAinB∠·siAnCBB＝20× sinsi4n56°0°＝10 6，
所以海轮航行的速度为10306＝ 36(海里/分)．
答案：
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3．方向角 相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针 旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
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测量高度问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的高度问题．
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【典例剖析】 (2013·天水模拟)如图所示，测量河对岸的塔高AB
时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，现测 得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在点C处测得塔顶A 的仰角为30°，求塔高AB.
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4 ． 在相 距 2 千 米的 A， B 两点处 测 量目标 C ，若 ∠ CAB ＝ 75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离是________千米．
解析：如图所示，在△ABC 中， ∠ACB＝180°－(75°＋60°)＝45°. 根据正弦定理，得 AC＝AsBisninCB＝2ssiinn4650°° ＝ 6(千米)． 答案： 6
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求解实际中距离问题的注意事项 (1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形 中，建立一个解三角形的模型． (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模 型的解． (3)应用题要注意作答．
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解：在△BCD 中，∠CBD＝π－α－β. 由正弦定理得sin∠BCBDC＝sin∠CDCBD， 所以 BC＝CsDinsin∠∠CBBDDC＝sisn·sαin＋ββ. 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan∠ACB＝sstiannαθ＋sinββ.
2 2 CD.
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又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°， 根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 23＋12CD ＝ 642CD＝ 42(km)． 所以炮兵阵地到目标的距离为 42 km.
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6 3
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测量距离问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的距离问题．
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【典例剖析】 在某港口 O 某人要将一件重要物品用小艇送到一艘
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如图所示，注意到最快追上走私船且两船 所用时间相等，若在D处相遇，则可先在△ABC中求出BC，再在 △BCD中求∠BCD.
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解：设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船， 则有 CD＝10 3t，BD＝10t， 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120°， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2·cos 120°＝6， ∴BC＝ 6， 在△ABC 中，由正弦定理得sin∠ACABC＝sin∠BCBAC，
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考纲要求
考情分析
1.从考查内容看，应用正(余)弦定理解 能够运用正弦 实际问题在高考中经常出现，借以考
定理、余弦定理等 查正(余)弦定理及三角知识的运用． 知识和方法解决一 2.从考查形式上看，三种题型都可出 些与测量和几何计 现；若以选择题、填空题形式出现，
算有关的实际问题. 难度较小；若以解答题形式出现，难 度中等.
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【典例剖析】 在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)n
mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距离 A 处 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走 私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
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【活学活用】 1.某炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D 处，已知CD＝6 km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于 地面点B处时，测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°，如图，求炮 兵阵地到目标的距离．
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2．根据题意画出示意图． 3．将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理 运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中， 要算法简练，计算正确． 4．检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍，并 作出答案．
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解：在△ACD 中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，
CD＝6，∠ACD＝45°，
根据正弦定理有 AD＝CDsinsin604°5°＝
2 3 CD.
同理，在△BCD 中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC
＝135°，CD＝6，∠BCD＝30°，
根据正弦定理得
BD＝CsDinsi1n3350°°＝
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2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，叫方位 角．如B点的方位角为α(如图②)．
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仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示：三者的参照不同，仰角与俯角是相对于水平线而言 的，而方位角是相对于正北方向而言的．
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解：根据题意，画出图形如图所示，小艇 将物品送到时用了43小时，这时轮船航行了43 ×30＝40(海里)．
在△OBC 中，OB＝20，BC＝40，∠B＝60°， 由余弦定理，得 OC2＝OB2＋BC2－2·OB·BC·cos 60°＝202 ＋402－2×20×40×12＝1 200，∴OC＝20 3，即小艇航行的距 离为 20 3海里．
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测量角度问题 【考向探寻】 利用正(余)弦定理解决实际中的角度问题．
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基础知识回扣 热点考向聚焦 活 页 作 业 他回答景公说：“这就是大臣们的不贤啊。那里，被人称为“百合谷地”。玛茨亚告诉大家：“我已经从洪水中把你们带到了这块安全的陆地，你们应该在这里建立自己的家园。