信号与系统(郑君里)复习要点

信号与系统复习
书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足
f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足
f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）
2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号
3.1 单位冲激函数的性质
f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)
例： 3.2序列δ(k )和ε(k )
f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0)
4、系统的分类与性质
?
d )()4
sin(9
1
=-
⎰
-t t t δπ
)
0()()(f k k f k =
∑∞
-∞
=δ
4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统
4.3 线性系统与非线性系统
①线性性质
T[a f (·)] = a T[ f (·)](齐次性)
T[ f1(·)+ f2(·)] = T[ f1(·)]+T[ f2(·)] （可加性）
②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：
y(·) = y f(·) + y x(·) = T[{ f(·) }, {0}]+ T[ {0}，{x(0)}] (可分解性)
T[{a f(·) }, {0}] = a T[{ f(·) }, {0}]
T[{f1(t) + f2(t) }, {0}] = T[{ f1(·) }, {0}] + T[{ f2(·) }, {0}](零状态线性) T[{0},{a x1(0) +b x2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统
T[{0}，f(t -t d)] = y f(t -t d)(时不变性质)
直观判断方法：
若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

LTI连续系统的微分特性和积分特性
①微分特性：
若 f (t) →y f(t) ，则 f ’(t) →y ’f (t)
②积分特性：
若 f (t) →y f(t) ，则
4.5因果系统与非因果系统
5、系统的框图描述
第二章连续系统的时域分析
1、LTI连续系统的响应
1.1微分方程的经典解
⎰
⎰∞-
∞
-
→t
t
x
x
y
x
x
f d)
(
d)
(
f
y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）
描述某系统的微分方程为
y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e -t
，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t
，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应
系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法
①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等 ②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()
()d t t dt
εδ=
例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)
求其冲激响应h(t)。

3、阶跃响应
系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。

4、卷积积分
4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞
-∞
*=
-⎰
4.2 任意信号作用下的零状态响应 4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质 ①交换律②结合律③分配律 ④积分性质
⑤微分性质 ⑥任意时间函数与冲激函数的卷积
f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t) ⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)
[]n
n n n n
n
t t f t f t f t t f t f t f t
d )
(d *
)()(*d )(d )(*)(d d 212121==]
d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττττ⎰
⎰
⎰
∞
-∞
-∞
-==t
t
t f t f t f f f f
第三章 离散系统的时域分析
1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程
1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.
2.1y(k) = y h (k) + y p
(k)
当特征根λ为单根时，齐次解y n
(k)形式为： C λk
当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk
当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为： 1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。

①所有特征根均不等于1时;
y p (k)=P m k m
+…+P 1k+P 0
②有r 重等于1的特征根时;
y p (k)=k r [P m k m
+…+P 1k+P 0]
（2） 激励f(k)=a k
①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k
②当a 是r 重特征根时;
y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k
（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β
； y p
(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 若描述某系统的差分方程为
y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)
已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k ≥0。

求方程的全解。

1.3 零输入响应和零状态响应 2、单位序列响应和阶跃响应
1,2j e β
λρ±=
2.1 单位序列响应 2.1.1定义 2.1.2 求法
递推求初始值，求齐次差分方程的解
例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。

例 若方程为：
y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求单位序列响应h(k) 2.2 阶跃响应 2.2.1定义 2.2.2 求法 3 常用序列 4 离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解 f(k)
4.2列作用下的零状态响应 4.3 定义
4.4 卷积和的求法
4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步： （1）换元： k 换为 i →得 f 1(i )， f 2
(i )
（2）反转平移：由f 2(i )反转→ f 2(–i )右移k → f 2(k – i )
（3）乘积： f 1(i ) f 2
(k – i ) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。

，h (k) =∇g (k)
∑∞
-∞
=-=
i i k f
i f k f )
()()(2
1
注意：k 为参变量。

4.1.2 不进位乘法求卷积
例f 1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 f 2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0} ↑k=0 4.2 卷积和的性质
4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.
4.2.4f 1
(k – k 1)* f 2(k – k 2) = f 1
(k – k
1 – k 2)* f 2(k)
第四章 连续系统的频域分析 1 傅里叶级数
1.1 傅里叶级数的三角形式 1.2 波形的对称特性和谐波特性
A .f(t)为偶函数——对称纵坐标 展开为余弦级数
B .f(t)为奇函数——对称于原点 展开为正弦级数
C f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t ±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量
D f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t ±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。

1.3 傅里叶级数的指数形式 2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。

谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。

总趋势减小。

4.2.2f （k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k – k 0) = f(k – k 0) 4.2.3.
f(k)*ε(k) =
∑-∞
=k
i i f )(4.2.5 ∇[f 1(k)* f 2(k)] = ∇f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ∇f 2(k)
∑∑∞
=∞
=Ω+Ω+=1
10)
sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ∑∞
-∞
=Ω=
n t
jn n
F
t f e
)(22
1()e d T
jn t T n F f t t
T -Ω-=⎰
n = 0, ±1, ±2，…
例：周期信号 f (t ) =
试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。

3 傅里叶变换 3.1 定义
3.2 常用函数的傅里叶变换
（1）单边指数函数f(t) = e –αt
ε(t)， α >0实数
（2）双边指数函数f(t) = e –⎜αt ⎜ , α >0 （3）门函数(矩形脉冲) （4）冲激函数δ(t)、δ´(t) （5）常数1 （6）符号函数
（7）阶跃函数
3.3 傅里叶变换的性质
（1）线性
（2）时移性质(Timeshifting Property)
（3）对称性质(Symmetrical Property)
（4）频移性质(Frequency Shifting Property) （5）尺度变换性质(Scaling Transform Property) （6）卷积性质(Convolution Property)
（7）时域的微分和积分 （8）频域的微分和积分
ω
αωαωωαωαj j t j F t
j t
j t
+=
+-
==∞
+-∞
--⎰1
e 1
d e
e
)(0
)(02
2
00211d e e d e e )(ωααωαωαωωαωα+=++-=+=⎰⎰∞--∞--j j t t j F t j t t
j t )
(2)(2d e
1ωπδωπδω=-=←→⎰
∞
∞
--t t
j 220022sgn()lim ()lim j t F j j αααωωαωω
→→⎛
⎫←→=-= ⎪+⎝⎭111()sgn()()22t t j επδωω
=+←→+
[a f 1(t ) + b f 2(t ) ] ←→ [a F 1(j ω) + b F 2(j ω) ]
F ( j t ) ←→ 2πf (–ω)
If f 1(t ) ←→F 1(j ω)， f 2(t ) ←→F 2(j ω) Then
f 1(t )*f 2(t ) ←→F 1(j ω)F 2(j ω)
Then f 1(t ) f 2(t ) ←→ F 1(j ω)*F 2(j ω)
1
2π
（9）怕赛瓦尔关系 （10）奇偶性(Parity) 4 周期信号的傅里叶变换 5 连续系统的频域分析 5.1
5.2 无失真传输y(t) = K f(t –t d
)
Y(j ω)=Ke – j ωt d
F(j ω)
例：系统的幅频特性|H (j ω)|和相频特性如图(a)(b)所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是 6 抽样定理 第五章 连续系统的s 域分析 二、求解方法 1、部分分式展开法 （1）F(s)为单极点（单根）
（2）若F(s)包含共轭复根时(p1,2 = –α±j β) （3）F(s)有重极点（重根） 若A(s) = 0在s = p1处有r 重根，
三、系统的s 域分析方法 思路：用拉普拉斯变换微分特性 例1 描述某LTI 系统的微分方程为
y"(t) + 5y'(t) + 6y(t) = 2f '(t)+ 6 f (t) 已知初始状态y(0-) = 1，y'(0-)= -1，激励f (t) = 5cost ε(t)，
(–jt)n f (t ) ←→F (n)(j ω)
∑∑∞
-∞
=∞
-∞
=ΩΩ-=←→=
n n
T n t
jn n
T n F j F F
t f )
(2)(e
)(ωδπ
ωY(j ω) = F(j ω)H(j ω)
(a)
(b)
(A) f (t ) = cos(t ) + cos(8t ) (B) f (t ) = sin(2t ) + sin(4t ) (C) f (t ) = sin(2t ) sin(4t ) (D) f (t ) = cos 2(4t )
K 11=[(s –p 1)r F(s)]|s=p1， K 12=(d/ds)[(s –p 1)r F(s)]|s=p1
求系统的全响应y(t) 四、系统函数
系统函数H (s)定义为
系统的s 域框图 第六章 离散系统的z 域分析 附：部分重要内容（无z 变换） 第一章：
1． 连续时间信号与离散时间信号 2． 模拟信号与数字信号 3． 信号的运算
（1）移位、反褶与尺度变换 （2）微分和积分 （3）两信号相加或相乘 4． （1）单位阶跃信号)(t u
（2）单位冲激信号)(t δ
① 抽样性：
()()(0)t f t dt f δ∞
-∞
=⎰
② 偶对称性： ()()t t δδ=- ③ 尺度变换性：1
()()||
at t a δδ=
④ 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 冲激偶信号 5． 线性时不变系统 （1）叠加性与均匀性
)
()
()()()(f def
s A s B s F s Y s H =
=
H (s)= L [h (t)]
()0t δ=（当0t ≠时）
（2）时不变性 （3）因果性 第二章
1．系统的状态（起始状态，初始条件） 2． 系统的全响应
（1）求解方法：经典法，双零法
（2）系统响应的分解：自由响应，强迫响应，零状态响应，零输入响应 3．线性系统的特性 （1） 响应的可分解性
系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。

（2） 零状态线性
当起始状态为零时，系统的零状态响应)(t r zs 对外加激励信号)(t e 呈现线性。

（3） 零输入线性
当外加激励为零时，系统的零输入响应)(t r zi 对于各起始状态呈线性关系。

第三章
1． 周期信号的傅里叶级数 （1）三角函数形式的傅里叶级数 （2）指数形式的傅里叶级数 2． 傅里叶变换定义为 正变换()[()]()j t F f f t f t e dt ωω∞
--∞
==
⎰
逆变换1
1()[()]()2j t
F t f f f e d ωωωω∞--∞
==⎰
3． 傅里叶变换的性质 (1)对称性
若()[()]F f f t ω=，则[()]2()f F t f πω=-
(2)线性性
若[()]()(1,2,,)i f f t F i n ω==，则11
[()]()n n
i i i i i i f a f t a F ω===∑∑
(3)奇偶虚实性
若()()()F R jX ωωω=+，则
①()f t 是实偶函数()()f R ωω=，即()f ω为ω的实偶函数。

②()f t 是实奇函数()()f jX ωω=，即()f ω为ω的虚奇函数。

(4)尺度变换特性
若[()]()f f t F ω=，则1
[()]()f f at F a a ω
=式中a 为非零实常数。

(5)时移特性
若[()]()f f t F ω=，则00[()]()j t f f t t F e ωω--=
(6)频移特性
若[()]()f f t F ω=，则00[()]()j t f f t e F ωωω=-
(7)时域微分特性
若[()]()f f t F ω=，则()
[]()()df t f j F dt ωω=
(8)频域微分特性
若[()]()f f t F ω=，则1()
[]()()dF f jt f t d ωω-=-
(9)时域积分特性
若[()]()f f t F ω=，则()[()](0)()t
F f f d F j ωττπδωω-∞=+⎰
(10)时域卷积定理
若1122[()](),[()]()f f t F f f t F ωω==，则1212[()*()]()()f f t f t F F ωω=
(11)频域卷积定理
若1122[()](),[()]()f f t F f f t F ωω==，则12121
[()()]()()
2f f t f t F F ωωπ•=
4.周期信号的傅里叶变换
周期信号()f t 的傅里叶变换是由一些冲激函数组成的，这些冲激位于信号的谐频11(0,,2,)ωω±±处，每个冲激的强度等于()f t 的傅里叶级数的相应系数n F 的2π倍。

即
其中n F 还可用下式获得：101
1()n n F F T ωωω==
上式说明：周期脉冲序列的傅里叶级数的系数n F 单脉冲的傅里叶变换0()F ω在1n ω频率点的值乘以1
1
T 。

5． 抽样定理
（1）时域采样定理
第四章：
1． 拉普拉斯变换的定义及收敛域的确定
单边拉普拉斯变换：
正变换0[()]()()st
f t F s f t dt e ζ∞--==⎰
逆变换 1[()]()()2j st j F s f t F s ds j e σσζπ+∞
-∞==⎰
2． 拉普拉斯变换的性质
（1） 线性性
若11[()]()f t F S ζ=,22[()]()f t F S ζ=,1κ,2κ为常数时，则11221122[()()]()()f t f t F s F s ζκκκκ+=+
（2） 原函数微分
若[()]()f t F s ζ=则()
[]()(0)df t sF s f dt ζ-=-
式中()(0)r f -是r 阶导数()
r r d f t dt 在0-时刻的取值。

（3） 原函数积分
若[()]()f t F s ζ=，则(1)
(0)()[()]t f F s f t dt s s ζ---∞=+⎰式中0
(1)
(0)()f f t dt ---∞=⎰
（4） 延时性
若[()]()f t F s ζ=，则000[()()]()st f t t u t t e F s ζ---=
（5） s 域平移
若[()]()f t F s ζ=，则[()]()at f t e F s a ζ-=+
（6） 尺度变换
若[()]()f t F s ζ=，则1
[()]()s
f at F a a ζ=（a >0）
（7） 初值定理lim ()(0)lim ()t o s f t f sF s +
+→→∞== （8） 终值定理lim ()lim ()t s f t sF s →+∞→∞=
（9） 卷积定理
若11[()]()f t F s ζ=，22[()]()f t F s ζ=，则有1212[()()]()()f t f t F s F s ζ*= 12121[()()][()()]2f t f t F s F s j ζπ=*=121()()2j j F p F s p dp j σσπ+∞
-∞-⎰
3． 拉普拉斯变换的逆变换
部分分式展开法
4． 系统函数
（1）定义
（2）零极点分布
（3）系统函数()H s 的求解方法
①由冲激响应()h t 求得，即()[()]H s h t ζ=。

②对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由()
()()zs R s H s E s =获得。

③根据s 域电路模型，求得零状态响应的像函数与激励的像函数之比，即为()H s 。

（4）系统的稳定性
①时域判断条件
②频域判断条件
第五章
1。

利用系统函数)(ωj H 求响应
2。

无失真传输)()(0t t Ke t r -=
第七章
1。

离散时间信号—序列
（1）单位样值信号
（2）单位阶跃序列
（3）矩阵序列
（4）正弦序列，余弦序列
2。

信号的基本运算
（1）两信号相加
（2）移位，反褶，尺度变换
3。

卷积和的计算。