人教版 九年级数学讲义 二次函数的应用(含解析)

第7讲二次函数的应用

知识定位

讲解用时：3分钟

A、适用范围：人教版初三，基础一般

B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数在实际问题以及几何图形中的应用，重点掌握常见的几类二次函数题型的分析过程和处理方法。本节课的部分内容属于中考常考知识点，同时也是中考难点之一，需要同学们灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题。

知识梳理

讲解用时：20分钟

二次函数的应用题型

（1）利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此

类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后再通过配方的方

式确定其最大值；

实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值以及动

态几何中的最值的讨论；

求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的

取值范围；而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化

较多。

课堂精讲精练

【例题1】

如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 （不写定义域）。

【答案】S=﹣2x 2+10x

【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

设平行于墙的一边为（10﹣2x ）米，则垂直于墙的一边为x 米，

根据题意得：S=x （10﹣2x ）=﹣2x 2+10x 。

讲解用时：2分钟

解题思路：根据题意分别表示出每条边的长度，然后根据矩形面积公式列出S 与x 的二次函数解析式即可。

教学建议：根据题意列出S 与x 的二次函数解析式即可。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：浦东新区一模 年份：2018

【练习1】

如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的直角坐标系．则该抛物线的函数表达式为 。

【答案】y=12

1-x 2+8 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，

由题意可得，点C 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣6，5），

设此抛物线的解析式为y=ax 2+8，

5=a×（﹣6）2+8，解得a=12

1-

， ∴此抛物线的解析式为y=121-x 2+8. 讲解用时：3分钟

解题思路：根据题意可以得到抛物线的顶点C 的坐标和所经过的点B 的坐标，然后设出顶点式，即可求得该抛物线的解析式。

教学建议：利用二次函数的顶点式解答。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：城阳区一模 年份：2018

【例题2】

烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=﹣2

5t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）。

A ．3s

B ．4s

C ．5s

D ．6s

【答案】B

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

∴h=﹣25t 2+20t+1，∴h=﹣2

5（t ﹣4）2+41， ∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸，故选：B ．

讲解用时：3分钟

解题思路：将一般式化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论。 教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：古冶区一模 年份：2017

【练习2】

烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）间的关系是h=﹣2t 2+20t+1，若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为 s 。

【答案】5

【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，

∴h=﹣2t 2+20t+1=﹣2（t ﹣5）2+51，∴当t=5时，礼炮升到最高点。

讲解用时：3分钟

解题思路：将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：梁子湖区期末年份：2017秋【例题3】

如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m 时，水面的宽为m。

【答案】67

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，

以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，

∴点（6，﹣4）在函数图象上，

∴﹣4=a×62，得a=，∴y=，

当y=﹣7时，﹣7=，得，，

∴当水面下降3m时，水面的宽为：m。

讲解用时：3分钟

解题思路：根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽。

教学建议：建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：秦淮区期末年份：2017秋【练习3】

如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观

光窗，两窗的水平距离为100米，则拱门的最大高度（）。

A．100米B．150米C．200米D．300米

【答案】C

【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，

如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为