人教版 九年级数学讲义 二次函数的应用(含解析)

第7讲二次函数的应用
知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础一般
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数在实际问题以及几何图形中的应用，重点掌握常见的几类二次函数题型的分析过程和处理方法。

本节课的部分内容属于中考常考知识点，同时也是中考难点之一，需要同学们灵活运用二次函数解析式及图像性质解决实际问题、代数问题和几何问题。

知识梳理
讲解用时：20分钟
二次函数的应用题型
（1）利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此
类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后再通过配方的方
式确定其最大值；
实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。

（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值以及动
态几何中的最值的讨论；
求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的
取值范围；而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化
较多。

课堂精讲精练
【例题1】
如图，用长为10米的篱笆，一面靠墙（墙的长度超过10米），围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米，则S 关于x 的函数解析式是 （不写定义域）。

【答案】S=﹣2x 2+10x
【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，
设平行于墙的一边为（10﹣2x ）米，则垂直于墙的一边为x 米，
根据题意得：S=x （10﹣2x ）=﹣2x 2+10x 。

讲解用时：2分钟
解题思路：根据题意分别表示出每条边的长度，然后根据矩形面积公式列出S 与x 的二次函数解析式即可。

教学建议：根据题意列出S 与x 的二次函数解析式即可。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：浦东新区一模 年份：2018
【练习1】
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为12m ，宽为5m ，抛物线的最高点C 离路面AA 1的距离为8m ，过AA 1的中点O 建立如图所示的直角坐标系．则该抛物线的函数表达式为 。

【答案】y=12
1-x 2+8 【解析】本题考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，
由题意可得，点C 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣6，5），
设此抛物线的解析式为y=ax 2+8，
5=a×（﹣6）2+8，解得a=12
1-
， ∴此抛物线的解析式为y=121-x 2+8. 讲解用时：3分钟
解题思路：根据题意可以得到抛物线的顶点C 的坐标和所经过的点B 的坐标，然后设出顶点式，即可求得该抛物线的解析式。

教学建议：利用二次函数的顶点式解答。

难度：3 适应场景：当堂练习 例题来源：城阳区一模 年份：2018
【例题2】
烟花厂为雁荡山旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=﹣2
5t 2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）。

A ．3s
B ．4s
C ．5s
D ．6s
【答案】B
【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，
∴h=﹣25t 2+20t+1，∴h=﹣2
5（t ﹣4）2+41， ∴当t=4秒时，礼炮达到最高点爆炸，故选：B ．
讲解用时：3分钟
解题思路：将一般式化为顶点式，由二次函数的性质就可以求出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂例题 例题来源：古冶区一模 年份：2017
【练习2】
烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）间的关系是h=﹣2t 2+20t+1，若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从点升空到引爆需要的时间为 s 。

【答案】5
【解析】本题考查二次函数应用中的“运动轨迹问题”，
∴h=﹣2t 2+20t+1=﹣2（t ﹣5）2+51，∴当t=5时，礼炮升到最高点。

讲解用时：3分钟
解题思路：将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论。

教学建议：注意将一般式化成顶点式，再根据题意解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：梁子湖区期末年份：2017秋【例题3】
如图是一座抛物形拱桥，当水面的宽为12m时，拱顶离水面4m，当水面下降3m 时，水面的宽为m。

【答案】67
【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，
以抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，
∴点（6，﹣4）在函数图象上，
∴﹣4=a×62，得a=，∴y=，
当y=﹣7时，﹣7=，得，，
∴当水面下降3m时，水面的宽为：m。

讲解用时：3分钟
解题思路：根据题意可以建立相应的平面直角坐标系，求得抛物线的解析式，进而求得当水面下降3m时，水面的宽。

教学建议：建立合适的平面直角坐标系，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：秦淮区期末年份：2017秋【练习3】
如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观
光窗，两窗的水平距离为100米，则拱门的最大高度（）。

A．100米B．150米C．200米D．300米
【答案】C
【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“拱桥问题”，
如图所示建立平面直角坐标系（以CD所在的直线为x轴，CD的垂直平分线为
y轴建立直角坐标系），
此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D（100，0），
设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），
∴抛物线经过点B（50，150），
可得150=a（50﹣100）（50+100），解得a=﹣，
∴y=﹣（x﹣100）（x+100），
即抛物线的解析式为y=﹣x2+200，顶点坐标是（0，200），
∴拱门的最大高度为200米，故选：C．
讲解用时：8分钟
解题思路：因为拱门是抛物线形，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y 轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题。

教学建议：建立适当的坐标系，由待定系数法求出函数解析式，即可得出结果。

难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：古冶区期末年份：2016秋
【例题4】
已知如图，用长为18m的篱笆（3AB+BC），围成矩形花圃，一面利用墙（墙足够长），则围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为m2。

【答案】27
【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，
设AB=x，则BC=18﹣3x，
则围成的矩形花圃ABCD的面积为：
S=x（18﹣3x）=﹣3x2+18x=﹣3（x2﹣6x）=﹣3（x﹣3）2+27，
即围成的矩形花圃ABCD的占地面积最大为27m2．
讲解用时：5分钟
解题思路：首先表示出矩形的长与宽，进而利用二次函数最值求法得出答案。

教学建议：表示出矩形的长与宽，利用矩形面积公式求出函数解析式。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：建昌县二模年份：2017
【练习4】
如图，利用成直角的墙角（墙足够长），用10m长的栅栏围成一个矩形的小花园，花园的面积S（m2）与它一边长a（m）的函数关系式是，面积S的最大值是。

【答案】S=﹣a2+10a，25
【解析】本题主要考查二次函数应用中的“面积最值问题”，
当矩形的一边长为am时，另一边的长度为（10﹣a）m，
则矩形的面积S=a（10﹣a）=﹣a2+10a=﹣（a﹣5）2+25，
∴当a=5时，矩形的面积取得最大值，最大值为25m2。

讲解用时：3分钟
解题思路：由一边长为am知另一边的长度为（10﹣a）m，再根据矩形的面积公式得出函数解析式，将其配方成顶点式可得面积最大值。

教学建议：二次函数的最值问题归根结底考查配方法。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：顺义区期末年份：2017秋【例题5】
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从D点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x ﹣k）2+h，已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）。

A．球不会过网B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界D．无法确定
【答案】C
【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，
（1）∴球与O点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，
∴抛物线为y=a（x﹣6）2+2.6过点，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+2.6过点（0，2），
∴2=a （0﹣6）2+2.6，解得：a=﹣
601， 故y 与x 的关系式为：y=﹣
601（x ﹣6）2+2.6， 当x=9时，y=﹣
601（x ﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 当y=0时，﹣601（x ﹣6）2+2.6=0，解得：x 1=6+2＞18，x 2=6﹣2（舍去） 故会出界，故选：C ．
讲解用时：8分钟
解题思路：利用球与O 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，可得k=6，h=2.6，由于球从O 点正上方2m 的A 处发出，将点（0，2）代入解析式求出函数解析式；利用当x=9时，y=﹣
601（x ﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，﹣60
1（x ﹣6）2+2.6=0，分别得出即可。

教学建议：注意从已知题意中建立二次函数模型，提炼出相关的坐标信息，从而求解相关问题。

难度：4 适应场景：当堂例题 例题来源：沂水县一模 年份：2018 【练习5】
如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高 2.2m ，与篮圈中心的水平距离为8m ，当球出手后水平距离为4m 时达到最大高度4m ，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m ，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）。

A ．比开始高0.8m
B ．比开始高0.4m
C ．比开始低0.8m
D ．比开始低0.4m
【答案】A
【解析】此题主要考查了二次函数应用中的“抛球问题”，
由题意可得，运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样， ∴运动员出手的位置距地面的高度为3m ，
∴3﹣2.2=0.8，
∴要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高0.8m，故选：A．
讲解用时：3分钟
解题思路：根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题
教学建议：利用二次函数图象的对称性解答。

难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：江北区模拟年份：2017 【例题6】
“白马服饰城”某服装柜的某款裤子每条的成本是50元，经市场调查发现，当销售单价是100元时，每天可以卖掉50条，每降低1元，可多卖5条。

（1）要使每天的利润为4000元，裤子的定价应该是多少元？
（2）如何定价可以使每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）70元或90元；（2）80元，最大利润是4500元
【解析】此题考查二次函数应用中的“利润问题”，
（1）设裤子的定价为每条x元，
根据题意，得：（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=4000，
解得：x=70或x=90，
答：裤子的定价应该是70元或90元；
（2）销售利润y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
=﹣5（x﹣80）2+4500，
∴a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下，
∴50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500，
答：定价为每条80元可以使每天的利润最大，最大利润是4500元．
讲解用时：8分钟
解题思路：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程求解可得；（2）根据（1）中的相等关系列出二次函数解析式，再转化为顶点式，利用二次函数图象的性质进行解答。

教学建议：注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）。

难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：合肥模拟年份：2018
【练习6】
某企业信息部进行市场调研发现：
信息一：如果单独投资A种产品，所获利润y A（万元）与投资金额x（万元）之间存在某种关系的部分对应值如下表：
x（万元）12 2.535
y A（万元）0.40.81 1.22
信息二：如果单独投资B种产品，则所获利润y B（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：y B=ax2+bx，且投资2万元时获利润2.4万元，当投资4万元时，可获利润3.2万元。

（1）求出y B与x的函数关系式；
（2）从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示y A与x之间的关系，并求出y A与x的函数关系式；
（3）如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元，请设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？
【答案】（1）y B=﹣0.2x2+1.6x；（2）y A=0.4x；
（3）当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大为7.8万元
【解析】
（1）由题意得，将坐标（2，2.4）、（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx，求解得：
∴y B与x的函数关系式：y B=﹣0.2x2+1.6x；
（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，
故设函数关系式y A=kx+b，将（1，0.4）（2，0.8）代入得：，
解得：，则y A=0.4x；
（3）设投资B产品x万元，投资A产品（15﹣x）万元，总利润为W万元，W=﹣0.2x2+1.6x+0.4（15﹣x）=﹣0.2（x﹣3）2+7.8，
即当投资B3万元，A12万元时所获总利润最大为7.8万元.
讲解用时：10分钟
解题思路：（1）用待定系数法将坐标（2，2.4）、（4，3.2）代入函数关系式y B=ax2+bx 求解即可；（2）根据表格中对应的关系可以确定为一次函数，通过待定系数法求得函数表达式；（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值。

教学建议：（3）根据等量关系“总利润=投资A产品所获利润+投资B产品所获利润”列出函数关系式求得最大值。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：寿光市模拟年份：2018
【例题7】
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，
）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点
P作PC∴x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，
求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=2x2﹣8x+6；（2）当n=时，线段PC有最大
值
【解析】本题考查了二次函数的综合运用，
（1）∴B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∴A（，）和B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式y=2x2﹣8x+6；
（2）存在，设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）=﹣2n2+9n﹣4=﹣2（n﹣）2+，
∴﹣2＜0，∴开口向下，有最大值，
∴当n=时，线段PC 有最大值
．
讲解用时：15分钟
解题思路：（1）将点B 坐标代入直线解析式，求出m 的值，然后把A 、B 坐标代入二次函数解析式，求出a 、b ，即可求得解析式；（2）设动点P 的坐标为（n ，n+2），点C 的坐标为（n ，2n 2﹣8n+6），表示出PC 的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n 的值。

教学建议：根据解析式设出点P 和点C 的坐标，列出PC 的代数式。

难度：5 适应场景：当堂例题 例题来源：陕西模拟 年份：2017 【练习7】
如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，且A （﹣6，0），D （﹣2，﹣8）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是直线AC 下方的抛物线上一动点，不与点A 、C 重
合，求过点P 作x 轴的垂线交于AC 于点E ，求线段PE 的最大
值及P 点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M ，使得∴ACM 为直角
三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）y=21
x 2+2x ﹣6；（2）PE 的长度最大值为29，（﹣3，﹣2
15）； （3）M 点的坐标为（-2，4）或（-2，-8）或（-2，-3+17）或（-2，-3-17）．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理等知识点，
（1）设抛物线的解析式为y=a （x+2）2﹣8，
把A （-6，0）代入得a （-6+2）2﹣8=0，解得a=
21， ∴抛物线的解析式为y=21（x+2）2﹣8，即y=2
1x 2+2x ﹣6； （2）如图，当x=0时，y=2
1x 2+2x ﹣6=﹣6，则C （0，-6），
设直线AC 的解析式为y=kx+b ，把A （-6，0），C （0，-6）代入得
，
解得，∴直线AC 的解析式为y= -x -6， 设P （x ，2
1x 2+2x ﹣6）（-6＜x ＜0），则E （x ，-x -6） ∴PE= -x -6-（21x 2+2x ﹣6）= -21x 2-3x= -21（x+3）2+2
9， 当x=﹣3时，PE 的长度有最大值为2
9， 此时P 点坐标为（-3，-2
15）； （3）存在，抛物线的对称轴为直线x=﹣2，
设M （-2，t ），∴A （-6，0），C （0，-6），
∴AC 2=62+62=72，AM 2=（-2+6）2+t 2，CM 2=（-2）2+（t+6）2，
∴当AC 2+AM 2=CM 2，∴ACM 为直角三角形，
即72+（-2+6）2+t 2=（-2）2+（t+6）2，解得t=4，
此时M 点坐标为（-2，4）；
∴当AC 2+CM 2=AM 2，∴ACM 为直角三角形，
即72+（-2）2+（t+6）2=（-2+6）2+t 2，解得t=﹣8，
此时M 点坐标为（-2，-8）；
∴当CM 2+AM 2=AC 2，∴ACM 为直角三角形，
即（﹣2+6）2+t+2）2+（t+6）2=72，解得t 1=﹣3+17，t 2=﹣3﹣17， 此时M 点坐标为（-2，-3+17）或（-2，-3-17）．
综上所述，M 点的坐标为（-2，4）或（-2，-8）或（-2，-3+17）或（-2，-3-17）． 讲解用时：20分钟
解题思路：（1）设顶点式y=a （x+2）2-8，然后把A 点坐标代入求出a 即可得到抛物线的解析式；（2）先确定C （0，-6），再利用待定系数法求出直线AC 的解
析式为y= -x -6，设P （x ，2
1x 2+2x ﹣6）（-6＜x ＜0），则E （x ，-x -6），所以PE= -x -6-（2
1x 2+2x -6），然后根据二次函数的性质解决问题；（3）设M （-2，t ），利用两点间的距离公式得到AC 2=72，AM 2=（-2+6）2+t 2，CM 2=（-2）2+（t+6）2，利用勾股定理的逆定理进行讨论：当AC 2+AM 2=CM 2，∴ACM 为直角三角形，；
当AC2+CM2=AM2，∴ACM为直角三角形；当CM2+AM2=AC2，∴ACM为直角三角形，然后分别解关于t的方程得到对应的M点坐标。

教学建议：（3）中分别表示出三角形三边长度，注意分类讨论。

难度：5 适应场景：当堂练习例题来源：贵阳模拟年份：2018
课后作业
【作业1】
如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6米，该抛物线的函数表达式为。

【答案】y=
【解析】本题考查二次函数的应用，
由题意可得，抛物线的顶点坐标是（4，6），函数图象过点（0，2），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+6，
则2=a（0﹣4）2+6，解得，a=，
即抛物线的解析式为y=。

讲解用时：4分钟
难度： 3 适应场景：练习题例题来源：硚口区期末年份：2016秋【作业2】
在体育测试时，初三的一名高个子男生推铅球，已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分（如图），若这个男生出手处A点的坐标为（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为B（6，5）。

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）该男生把铅球推出去多远？
【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）13.75米
【解析】此题主要考查了二次函数,应用中的“运动轨迹问题”，
（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
由于顶点坐标为（6，5），∴y=a（x﹣6）2+5，
又A（0，2）在抛物线上，∴2=62•a+5，解得：a=﹣，
∴二次函数的解析式为y=﹣（x﹣6）2+5，
整理得：y=﹣x2+x+2；
（2）当y=0时，﹣x2+x+2=0，
x=6+2，x=6﹣2（不合题意，舍去），
∴x=6+2≈13.75（米），
答：该同学把铅球抛出13.75米．
讲解用时：8分钟
难度： 4 适应场景：练习题例题来源：相山区二模年份：2018
【作业3】
已知点A（2，a）在抛物线y=x2上，
（1）求A点的坐标；
（2）在x轴上是否存在点P，使∴OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由。

【答案】（1）A（2，4）；
（2）（25，0），（﹣25，0），（4，0），（5，0）
【解析】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，（1）∴点A（2，a）在抛物线y=x2上，∴a=22=4，
∴A点的坐标为（2，4）；
（2）如图所示：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2
5，
∴点P坐标：（25，0），（﹣25，0），
以A为顶点时，AO=OP，∴点P坐标：（4，0）；
以P为顶点时，OP′=AP′，∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x，
则42+（x﹣2）2=x2，解得：x=5，
∴点P坐标：（5，0）.
综上使∴OAP是等腰三角形的P（25，0），（﹣25，0），（4，0），（5，0）．讲解用时：10分钟
难度：4 适应场景：练习题例题来源：丹阳市校级模拟年份：2016。