高等数学教学教案 连续函数的运算与初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质

§1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质
授课次序08
三、初等函数的连续性
在基本初等函数中, 我们已经证明了三角函数及反三角函数的它们的定义域内是连续的. 我们指出, 指数函数a x (a >0, a ≠1)对于一切实数x 都有定义,且在区间(-∞, +∞)内是单调的和连续的, 它的值域为(0, +∞).
由定理4, 对数函数log a x (a >0, a ≠1)作为指数函数a x 的反函数在区间(0, +∞)内单调且连续. 幂函数y =x μ 的定义域随μ的值而异, 但无论μ为何值, 在区间(0, +∞)内幂函数总是有定义的.可以证明, 在区间(0, +∞)内幂函数是连续的. 事实上, 设x >0, 则 y =x μ=x
a a
log μ, 因此, 幂函数x μ可看作是由y =a u , u =μlog a x 复合而成的, 由此, 根据定理6, 它在
(0, +∞)内是连续的.如果对于μ取各种不同值加以分别讨论, 可以证明幂函数在它的定义域内是连续的.
结论: 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的.
最后, 根据初等函数的定义, 由基本初等函数的连续性以及本节有关定理可得下列重要结论:一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 所谓定义区间, 就是包含在定义域内的区间. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用:
如果f (x )是初等函数, 且x 0是f (x )的定义区间内的点,则0
lim x x →f (x )=f (x 0).
例5. 求20
1lim x x -→.
解: 初等函数f (x )=21x -在点00=x 是有定义的, 所以 111lim 20
==-→x x .
例6. 求x x sin ln lim 2
π
→.
解: 初等函数f (x )=ln sin x 在点2 0π=x 是有定义的, 所以 02 sin ln sin ln lim 2
==→ππ
x x .
例7. 求x
x x 11lim 2
0-+→.
解: x x x 11lim 20-+→)
11()11)(11(lim 2220++++-+=→x x x x x 02011lim 20==++=→x x x . 例8. 求x x a x )1(log lim
0+→. 解: x x a x )
1(log lim
0+→x a x x 10)1(log lim +=→a
e a ln 1log ==. 例9. 求x
a x x 1
lim
0-→.
解: 令a x -1=t , 则x =log a (1+t ), x →0时t →0, 于是 x a x x 1lim 0-→=a t t a t ln )
1(log lim 0=+→.
§1.10 闭区间上连续函数的性质
如果函数f x ()在开区间(,)a b 内连续，在右端点b 左连续，在左端点a 右连续，那未函
数
f x ()就在闭区间[,]a b 上连续。

一、最大值与最小值定理
先介绍最大值与最小值概念：对于区间I 上有定义的函数)(x f ，如果有I x ∈0，使得对于任一I x ∈都有 ))()(()()(00x f x f x f x f ≥≤则称)(0x f 是函数)(x f 在区间I 上的最大值(最小值)。

【定理一】(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。

这一定理在几何上是十分显然的。

设想有一条有弹性的弦，两个端点固定，呈水平地放置在坐标系中；若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用，则产生形变，成为一条有高低起伏的曲线。

显然，C 点与D 点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。

最值存在定理中的两个条件：(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可，否则结论不成立。

根据定理一，下面的定理二，几乎是一望便知的事实。

【定理二】( 有界性定理 )在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。

为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理，先引入一个概念：
如果x 0使
f x ()00=， 则称 x 0为函数f x ()的一个零点。

事实上，x 0也可以看成函数方程
f x ()=0 的一个根。

【定理三】( 零点定理 )设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，
且)(a f 与)(b f 异号(即0)()(<⋅b f a f )， 则 在开区间(,)a b 内至少有函数
f x ()的一个零点，
即存在点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf
零点定理的几何意义十分显然， 它表明： 若连续曲线弧y
f x =()的两个端点位于x 轴的不同侧，则曲线弧与x 轴至少有一个交
点。

利用这一思想，可用计算机作图来观察方程是
否有实数根，有几个实根；若有实根，其实根所处的大致位置。

下面我们用 matlab 来介绍几个实例。

具体做法是：将函数y
f x =()与直线y =0作在同一个图上，观察它们是否相交。

【例1】判断方程 012
=-+x x 在]2,2[-是否有根?
解：利用MATLAB ，作函数的图形
从图形上可看出，函数在[-2，2]之间确有两个零点。

其作图程序如下：
x=-2:0.0005:2; y=x.^2+x-1; plot(x,y,'*') hold
plot([-2,2],[0,0],'r') plot([0,0],[-2,5],'r')
【例2】判断方程 05.02=--x e
有几个实数根。

解：利用MATLAB ，作函数的图形
从图形上可看出，函数在[-1，1]之间确有两个零点。

其作图程序如下：
x=-4:0.0005:4; y=exp(-x.^2)-0.5; plot(x,y,'*') hold
plot([-4,4],[0,0],'r') plot([0,0],[-0.5,0.5],'r')
【定理4】( 介值定理 ) 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
A a f =)( 及
B b f =)( ，那末，对于A 与B 之间的任意一个数
C ，在开区间),(b a 内至少有
一点ξ，使得
)()(b a C f <<=ξξ
这定理的几何意义是：
连续曲线弧)(x f y =与水平直线C y =至少相交于一点。

证明：设C x f x -=)()(ϕ， 则ϕ()x 在闭区间[,]a b 上连续，且
ϕ()a A C =- 与 C B b -=)(ϕ
异号。

据零点定理，开区间(,)a b 内至少有一点ξ使得)(0)(b a <<=ξξϕ 但ϕξξ()
()=-f C ，因此由上式即得f C a b ()()ξξ=<<
【推论】闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。

【例4】试证明)0(03
>=++p q px x 有且只有一个实根。

证明：设q px x x f ++=3)(，它是在(,)-∞+∞上连续的初等函数。

而 +∞=++
⋅=+∞
→+∞
→]1[lim )(lim 3
23
x q
x p x x f x x 同理 -∞=-∞→)(lim x f x
利用函数的保号性：必存在两个充分大的正数βα,使得 0)(0)(><-βαf f 在闭区间 ],[βα- 上利用零点定理，至少存在一点),(0βα-∈x ，使得0)(0=x f 即：方程03
=++q px x 至少有一个实根。

(下面来证明，函数的零点是唯一的)
假设函数)(x f 存在两个互异的零点21,x x ，则有0)()(21==x f x f 于是有
>。