旋度和散度 ppt课件

特点：
ABABcoaA sB
1、
A BBA 它符合交换律:
2、
❖|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 ❖B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
3、
并有
x ˆy ˆy ˆz ˆz ˆx ˆ0
互相垂直的两个矢量的点积为0
ψA d SA xdyd A yd zz d A zd xxdy
S AdS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SAdS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
通过闭合面S的通量的物理意义：
X pAAP AA
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述 §1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
❖基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
解：
xˆ yˆ zˆ
AB 2 3 413 xˆ22yˆ10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
ABC251.4 43
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，pAX ， PAX
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
Ax ˆAxy ˆAyzˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2Ay2Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ Axˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆcosayˆcoszˆcos
和或差: Vector addition or subtraction
Bx ˆBxy ˆByzˆBz
x ˆx ˆy ˆy ˆz ˆz ˆ 1
4、 ABAxBxAyByAzBz AAAx2Ay2Az2 A2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模
值相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺
旋关系, n为ˆ A , B所在平面的右手法向 :
A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
矢量三重积: Vector triple production
பைடு நூலகம்
A ( B C ) B ( A C ) C ( A B )
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A2x ˆ3y ˆ4zˆ 和 B 6x ˆ4y ˆ1z ˆ ，求 AB 在 Cxˆyˆzˆ 上的分量。
则
A B x ˆ ( A x B x ) y ˆ ( A y B y ) z ˆ ( A z B z )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用
8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
a) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量多于穿入的通
量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场 中的正电荷就是发出电力线的正源；
b) 若 ψ 0 ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通
量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负 电荷就是接受电力线的负源；
c) 若 ψ 0 ，闭合面无源。
在直角坐标系中，通量可以写成
ABn ˆABsia nAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
AB(BA )
2、 xˆxˆyˆyˆzˆzˆ0 xˆyˆzˆ,yˆzˆxˆ,zˆxˆyˆ
A B ( x ˆ A x y ˆ A y z ˆ A z ) ( x ˆ B x y ˆ B y z ˆ B z ) x ˆ (A y B z A z B y ) y ˆ(A z B x A x B x ) z ˆ (A x B y A y B x )
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u • 单位矢量ex：小e写x 上加倒勾xˆ
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则