第五章抽样设计部分

2
某企业对一批总数为5000件的产品进 行质量检查，过去几次同类调查所得的 产品合格率为93﹪、95﹪、96﹪，为 了使合格率的允许误差不超过3﹪，在 99.73﹪的概率保证程度下，应抽查多 少件产品？
己知N 5000, p 3﹪, t 3, P 1 P 0.0651,
总体 N
N2
Nk
n2
nk
按各类标志变异程度的大小来对样本的分配
· · ·
· · ·
样本在各组间的分配方法：
等额分配法：每组抽取的单位数一样。
等比例分配法：按各组单位的比例分配样 本单位。 最优分配法：按各组的方差大小分配样本 单位。方差大的组分配较多的样本单位。
实际工作中比较常用的是等比例分 配法。
Rr ( ) r R 1
2 p
组间方差：
2 ( P P ) i i 1 R 2 ( p p ) i i 1 R
2p =
R r Pi：总体中第i个类的成数，P：总体成数 pi ：样本中第i个类成数，p：样本成均数 R：总体分为了R个群，r：样本有r个群
或
从某县256个村庄抽中了51个村庄，并对抽中的全部 农户进行调查，农户年人均消费支出为985元，群间方 差为8464，人均消费支出低于300元的农户占比5%,群 间方差为0.014，算在95%的可靠性下农户人均消费支 出的抽样误差和成数抽样误差，以及二者的置信区间。
【例A】某食品厂要检验本月生产 的10000袋某产品的重量，根据上 月资料，这种产品每袋重量的标准 差为25克。要求在95.45﹪的概率 保证程度下，平均每袋重量的误差 范围不超过5克，应抽查多少袋产 品？
解：
己知N 10000, 25克, x 5克, t 2, 则在重复抽样条件下： t 2 25 n 100 袋 2 2 x 5
类型抽样的优点： 能提高样本的代表性； 能降低抽样误差； 组织起来较为方便；
类型抽样分组的基本原则：
尽量缩小各组内标志值之间的差异，增 大组间各标志值之间的差异。
类型抽样的抽样平均误差 对各个类别而言是全面调查，无抽样误差，但对各组 内的各个个体而言是非全面调查，存在抽样误差，所 以类型抽样的抽样误差取决于组内方差，与组间方差 无关。 抽样误差的计算公式来看 关键要算总体方 差总体方差未知 时也可以以样本 方差代替
样本n=100×10=1000(户)
对各个类别而言是非全面调查，有抽样误差，
对抽中的类来说，其中各组内的各个个体而言 也是非全面调查，也有抽样误差，所以多阶段 抽样的抽样误差既取决于组间方差，又取决于 组内方差。所以是整群抽样的抽样误差与分层 抽样抽样误差的综合
2 R 256，r 51, x 985, 2 8464, 0.05, p 0.014, t 1.96 x
p x
2
Rr ( )=11.55 r R 1
x

2 p Rr
r R 1 均值置信区间[985-1.96*11.55,985+1.96*11.55] 成数置信区间[5% 1.96*1.5%,5% 1.96*1.5%]
1、样本均值的抽样误差
x
组间方差：
2

Rr ( ) r R 1
x

整群抽样都 是采用不重 复抽样

（ X i - X ）N i
2

N
2

2 （ X X ） Ni i
N
2
i
2 （ X 1 - X ）N1 （ X 2 - X ）N 2 ...... （X N - X ） NN Ni
(
)=1.5%
多阶段抽样
先通过抽取若干级中间组全单位，最后再来 抽取基本调查单位的抽样组织形式。 例：在某省100多万农户抽取1000户调 查农户生产性投资情况。
第一阶段：从该省所有县中抽取5个县 第二阶段：从被抽中的5个县中各抽4个乡 第三阶段：从被抽中的20个乡中各抽5个村 第四阶段：从被抽中的100个村中各抽10户
N P (1 P )
i i i i
N ni pi (1 pi )
i
n
重复抽样情况下 p 不重复抽样情况下 p
P(1 P) n P (1 P ) n (1 ) n N
某乡行政区域有三个片区，平地、丘陵和山地，各片 区农户数分别为500,425和374，从中按5%抽取样本， 分别为25户，21户和19户，经过调查得知人均纯收入 分别为1054元，823元和367元，人均纯收入的标准差 分别为108元，84元和98元，计算该乡人均纯收入的抽 样误差（不重复抽样）
2 p
解
则在重复抽样条件下： t 2 P 1 P 32 0.0651 n 651 件 2 2 p 0.03 在不重复抽样条件下：
2 Nt 2 P 1 P 5000 3 0.0651 n 2 2 2 N p t P 1 P 5000 0.03 32 0.0651
总离差平方和 N
（x
i j
ij
N （x
i j ij
- x） （数据来自总体）
2

2
样本方差S2 =
总离差平方和 n
n
- x） （数据来自样本）
各组内部方差： i 2 =
组内离差平方和 Ni
(x
j
ij
- xi ) . Si 2 =

2
(x
j
ij
- xi )

Ni
ni
i i
总离差平方和 总体方差（组内方差） = N
2
-
2 i Ni i
总离差平方和 样本方差（组内方差） S = n
重复抽样情况下 x
2
N 2 S i ni
i
n
2
n
或用S
2
n (1 ) n N
2
代替
不重复抽样情况下 x
二、样本成数
P (1 P )= p (1 p )=
统 计 学
Statistics
任课老师：何艳秋 管理学院 办公室:4C-405
必要样本容量的确定：
必要样本容量是说在一定的抽样误差和置信度下必 须抽取的最小的样本容量.
1、推断一个总体平均数所需的样本容量
⑴ 重复抽样条件下：
通常的做法是先确 定置信度，然后确 定抽样边际误差 （极限误差）=临 界值*抽样平均误差。
整群抽样
将总体全部单位分为若干“群”，然后以群 作为抽样单位，从总体中抽取若干群作为样 本，并对中选群的所有单位进行全面调查。 例：总体群数R=16 样本群数r=4
A CM N B L P D J F KO E H I G
I
H
P D
样本容量
n nd n p nl nh
简单、方便，能节省人力、物力、财 力和时间，但其样本代表性可能较差
未知时用样本标准差 S代替
x t x t
计算结果通 常向上进位

n
2
,
2
t n 2 x
⑵ 不重复抽样条件下：
x t x t
2

2
2 2
n 1 n N
,
t N n 2 2 2 N x t
由置信水平确定临界值，再确定边际误差，根据 边际误差（抽样极限误差）的公式解出样本容量
x
2
n
样本均值抽样误差
P(1 P) p 样本成数的抽样误差 n
一、样本均值
总离差平方和=各组组内离差平方和之和+组间离差平方和
2 （ x x ） ( x x ) n ( x x ) , i i ij ij i i j i j i 2 2
总体方差 2 =
组内离差平方和：（2-2.5）2+（3-2.5）2；（4-4.5）2+（54.5）2 组内方差: [（2-2.5）2+（3-2.5）2]/2; [（4-4.5）2+（5-4.5） 2]/2 组间离差平方和:2*(2.5-3.5) 2+2*(4.5-3.5)2
类型抽样下总离差平方和主要取决于组内离差平方和 总离差平方和=组内离差平方和之和= i 2 Ni 或 Si 2 ni ,

2 =
x

(X i X )
i 1
R


2
R
或
2 ( x x ) i i 1
R


r

X i ：总体中第i个类的组平均数， X ：总体总平均数 x i ：样本中第i个类的组平均数，：样本总平均数 x R：总体分为了R个群，r：样本有r个群


2、样本成数的抽样误差
p

2 2 2 2
在不重复抽样下: 2 2 2 2 2 t N 10000 2 25 n 2 2 2 2 2 2 N x t 10000 5 2 25
99.01 袋
2、推断一个总体成数所需的样本容量
⑴ 重复抽样条件下：
通常的做法是先确定置信 度，然后限定边际误差 （抽样极限误差）。 总体成数P未知时以样本 成数p来代替
p t p t
2
P 1 P , n
t P 1 P n 2 P
计算结果通常向上进位
⑵ 不重复抽样条件下：
P 1 P n p t p t 1 , n N
Nt P 1 P n 2 2 N p t P 1 P
总体单位的排列顺序和所研究的标志 数值大小是无关的。如调查居民生活 水平时，按姓氏笔划排队。 总体单位的排列顺序和所研究的标志 数值大小有密切关系。如居民收入调 查，按银行存款高低排序。
等距抽样的抽样平均误差
等距抽样的抽样平均误差估计比较复杂。 一般按以下方法近似计算。 按无关标志排队的等距抽样，可按不重复抽样 下的简单随机抽样来计算； 按有关标志排队的等距抽样，可按类型抽样来 计算。
x

n (1 ) n N
500*1082 +425*842 +374*982 = =9563.28 500+425+374
2
2=
2 i Ni i
N x =11.82
等距抽样
首先将总体各单位按某一标志排队，然后按 固定的顺序和间隔抽取样本单位。又称机械 抽样或系统抽样。 等距抽样是不重复抽样，适合于对单位数不 多且能进行排序的总体抽样。 按无关标 志排队 按有关标 志排队
下，选费用最少的方案
费用最少
并恰当选择概率抽样方法 ——在其他条件相同的情况
简单随机抽样
对总体未作任何处理的情况下，然后按随机 原则直接从抽样框中抽出若干单位构成样本 抽取样本的具体方法：
抽签法
是将总体中每个单位的编号写在外形完全 一致的签上，将其搅拌均匀，从中任意抽 选，签上的号码所对应的单位就是样本单 位。 将总体中每个单位编上号码，然后使 用随机数表，查出所要抽取的调查单 位。
整群抽样的抽样平均误差
对各个类别而言是非全面调查，有抽样误差，但对抽 中的类来说，其中各组内的各个个体而言是全面调查， 无抽样误差，所以整群抽样的抽样误差取决于组间方 差，与组内方差无关。 抽样误差的计算公式来看
x
2 N n
n N 1
样本均值抽样误差
Baidu Nhomakorabea
P(1 P) N n p 样本成数的抽样误差 n N 1
576.004 件 577 件
六、抽样设计
概率抽样方案设计的基本原则
——抽取样本单位时，应确保每个总 随机原则 体单位都有被抽取的可能；在对样本 单位的资料进行搜集和整理时，不能 随意遗漏或更换样本单位
最大抽样效果原则
抽样误差最小
——为保证最大的抽样效果， 在其他条件相同的情况下， 选抽样误差最小的方案 要合理确定样本容量，
于是我们可以得到：组内离差平方和= i 2 N i 或Si 2 ni
两组数据：2,3和4,5 总平均：（2+3+4+5）/4=3.5 组平均：2.5和4.5
总离差平方和：（2-3.5）2+（ 3-3.5 ）2+（ 4-3.5 ）2+（ 53.35）2 总方差： [（2-3.3）2+（ 3-3.3 ）2+（ 4-3.3 ）2+（ 5-3.3 ） 2]/4
随机数表法
应用
仅适用于规模不大、内部各单位 标志值差异较小的总体
类型抽样
先将总体全部单位按某一标志分类，然后从 各类型中按随机原则抽取样本单位组成样本。
实质上是分组法与随机原则的结合。
例如，在居民生活水平调查中，先按职业分类， 然后每种职业分别随机抽取部分居民进行调查。
N1
n1
等额抽取 样本 n 等比例抽取 最优抽取