2020-2021学年湖北省黄冈市高三3月调研考试数学(理)试题及答案解析

高考数学模拟试题
理 科 数 学
一、选择题:本大题共10小题,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案涂
在答题卡对应题号．．．．．．．
的位置上,答错位置不得分. 1.z
-是z 的共轭复数,若z+z -=3,(z-z -)=3i(i 为虚数单位),则z 的实部与虚部之和为( ) A.0 B.3 C.-3 D.2
2.若二项式(x+a x )7的展开式中1x 的系数与1
x 3 的系数之比是35:21,则a=( )
A.1
B.2
C.-1
D.-2
3.设集合M={y|y=|cos 2
x-sin 2
x|,x ∈R},N={x|y=ln(1-x 2
)},则M ∩N= ( ) A.{x|-1≤x ≤1} B.{x|-1≤x ≤0} C.{x|0＜x ≤1} D.{x|0≤x ＜1}
4.设命题p:若|a →
|=|b →
|= 2 ,且a →
与b →
的夹角是3π4 ,则向量b →在a →
方向上的投影是1;命题q:“x ≥1”是“1x
≤1”
的充分不必要条件,下列判断正确的是 ( )
A.p ∨q 是假命题
B.p ∧q 是真命题
C.p ∨q 是真命题
D.﹁q 为真命题 5.将函数3sin ()y x x x R =
+∈的图象向左平移α(α＞0,且α值最小)个单位长度后，所得到的图象关
于y 轴对称，则tan α的值是 ( ) A. 2 B.
3 3 C. 3 D. 2
2
6.已知直线ax+by=0与双曲线x 2
a 2 - y
2
b 2 = 1 (0＜a ＜b)交于A,B 两点,若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)满足|x 1-x 2|=3 3 ,且|AB|=6,
则双曲线的离心率为 ( ) A. 3 B.3 C. 2 D.2 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.23 B.4
3
C.13
D.16
8.在区间[- 12 ,12 ]上随机取一个数x,则cos πx 的值介于 2 2
与
3
2
之间的概率为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16
9.阿基米德“平衡法”的中心思想是:要算一个未知量(图形的体积或面积), 先将它分成许多微小的量(如面分成线段,体积分成薄片等),再用另一组微 小单元来进行比较.如图,已知抛物线y=14 x 2
,直线l:x-2y+4=0与抛物线交
于A 、C 两点,弦AC 的中点为D,过D 作直线平行于抛物线的对称轴Oy, 交抛物线于点B,则抛物线弓形ABCD 的面积与△ABC 的面积之比是( ) A.34 B.43 C.23 D.32
10.已知函数f(x)=|x|(x+4)x+2
(x ≠-2),下列关于函数[]a x f x f x g +-=)()()(2（其中a 为常数）的叙述中：①
∀a>0，函数g （x ）一定有零点；②当a ＝0时，函数g （x ）有5个不同零点；③∃a ∈R ，使得函数g （x ）
有4个不同零点；④函数g （x ）有6个不同零点的充要条件是0<a<4
1
. 其中真命题的序号是( ). A. ①②③ B. ②③④ C. ②③ D. ①③④
二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题11～14
11.某程序框图如图所示,则输出的S 的值为_______. 12.现在所有旅客购买火车票必须实行实名制,据不完全统计 共有28种有效证件可用于窗口的实名购票,常用的有效 证件有:身份证,户口簿,军人证,教师证等,对春运 期间120名购票的旅客进行调查后得到下表: 购买火车票方式
身份证 户口簿 军人证 教师证 其他证件 旅客人数
a
6
8
b
19
13.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x+y-3≥0，
x-y+1≤0，x-2y+6≥0.
且t=ax+by(0≤a ＜b)取得最小值1,则2a+1 +32b+1 的最大值
为______.
14.对于集合N={1, 2, 3,…, n}和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下:如集合{1, 2, 3, 4, 5}
的交替和是5–4＋3–2＋1＝3，集合{3}的交替和为3.当集合N 中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S 2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3、S 4，并根据计算结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和S n = .(不必给出证明)
(二)选考题(请考生在15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 钢笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分) 15(选修4-1:几何证明选讲)
如图,A,B 是圆O 上两点,且OA ⊥OB,OA=1,C 为OA 的中点, 连接BC 并延长交圆O 于点D,则CD=______. 16(选修4-4:坐标系与参数方程)
已知曲线ρ2
-2ρcos θ-2sin θ+1=0(0≤θ≤2π),则直线⎩
⎪⎨⎪⎧x=3t-2，y=4t-1. (t 为参数)
与曲线的最小距离为_________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分11分) 已知函数,2
1-)cosx 6sin(x 2)(π
+
=x f (Ⅰ)求函数
)(x f 的单调递增区间；
(Ⅱ)在△ABC 中，若23)(=
A f ,∠B=4
π
，AC=2，求△ABC 的面积.
18.(本小题满分12分) 已知等比数列{a n }的公比1>q ，前n 项和为S n ，S 3＝7，且a 1+2,2a 2,a 3+1成等差数列，数列{b n }的前n 项和为T n ，2)13(6++=n n b n T ，其中∈n N *
． (Ⅰ)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；
(Ⅱ)设A={a 1,a 2,…,a 9}，B={b 1,b 2,…,b 38},C=A ∪B ，求集合C 中所有元素之和．
19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,四边形BCC 1B 1是边长为6的正方形,直线AB 与平面ACC 1A 1所成的角的正切值为3,点D 为棱AA 1上的动点,且AD ＞DA 1. (Ⅰ)当AD 为何值时,CD ⊥平面B 1C 1D?
(Ⅱ)当AD=2 3 ,时,求二面角B 1-DC-C 1的正切值.
20.(本小题满分12分) 某高中有甲、乙两个生物兴趣小组,分别独立开展对一种海洋生物离开恒温箱的成活情况进行研究,每次试验一个生物,甲组能使生物成活的概率为34 ,乙组能使生物成活的概率为1
3 ,假定试验后
生物成活,则称该试验成功,如果生物不成活,则称该次试验是失败的. (Ⅰ) 甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;
(Ⅱ)若甲、乙两小组各进行2次试验,设试验成功的总次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
21.(本小题满分14分)如图.已知F 1,F 2分别为椭圆x 2
a 2 + y
2
b
2 = 1 (a ＞b ＞0)
的左,右焦点,其离心率e=1
2 ,且a+c=3.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设A 、B 分别为椭圆的上、下顶点,过F 2作直线l 与椭圆交于 C 、D 两点,并与y 轴交于点P(异于A 、B 、O 点),直线AC 与直线 BD 交于点Q,则OP →·OQ →
是否为定值,若是,请证明你的结论; 若不是,请说明理由.
22.(本小题满分14分)设函数f(x)= 1
x -x+alnx(a ∈R)(e=2.71828…是一个无理数).
(Ⅰ)若函数f(x)在定义域上不单调,求a 的取值范围;
(Ⅱ)设函数f(x)的两个极值点分别为x 1和x 2,记过点A(x 1,f(x 1)),B(x 2,f(x 2))的直线斜率为k,若
k ≤2e
e 2-1 ·a-2恒成立,求a 的取值集合.
理 科 数 学参考答案
一、选择题
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.D
7.A
8.D
9.B 10.B
二、填空题
11.30 12. 0.125 13.39 14.n ·2n-1
15.3 5 10 16. 15
三、解答题 17. 解：(Ⅰ)f(x)＝2(
32sinx ＋12cosx)cosx －12 ＝3sinxcosx ＋cos 2
x －12
＝
32sinx ＋12cos2＝sin(2x ＋π
6
)…………………………5分 令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2
＋2k π得
x ∈[－π3＋k π，π
6
＋k π] (k ∈Z)
即函数f(x)的单调递增区间为[－π3＋k π，π
6
＋k π] (k ∈Z)……………6分
(Ⅱ)∵0＜A ＜π ∴π
6
＜2A ＋π6＜
136π , f(A)＝sin(2A ＋π
6)＝32
∴2A ＋π6＝π3或2A ＋π6＝23π，即A ＝π12或Ａ＝π
4
…………………………8分
② A ＝π
12时，C ＝23π，a ＝22sinA ＝6－24·22＝3－1 , S △ABC ＝12absinC ＝3－32
………10分
②当A ＝π4时，C ＝π
2， S △ABC ＝12ab ＝2 …………………………………………11分
注：得一解只给9分
18. 【解析】（1）∵73=S ，∴7321=++a a a ① ∵a 1+2,2a 2,a 3+1成等差数列，∴a 1+2+a 3+1=4a 2, ② …………………2分
②－①得，22=a 即21=q a ③ 又由①得，5211=+q a a ④
消去1a 得，02522=+-q q ，解得2=q 或2
1
=
q （舍去） ∴12-=n n a ………………………………………………4分 当∈n N *
时，2)13(6++=n n b n T ，当2≥n 时，2)23(611+-=--n n b n T ∴当2≥n 时，1)23()13(6---+=n n n b n b n b ，即5
3231--=-n n b b n n …………6分 ∴
1412=b b ，4
7
23=b b ，71034=b b ，
53231--=-n n b b n n .
∴b 2b 1 ·b 3b 2 ·b 4b 3 ·…·b n b n-1 = 41 ·74 ·107 ·…·3n-23n-5 ∴231
-=n b b
n
∵11=b ，∴)2(23≥-=n n b n ，
故∈-=n n b n (23N *
） ………………………………………………8分 （2）S 9= 1-29
1-2 =29
-1=511，T 38= 38×(1+112)2 = 2147. ……………………10分
∵A 与B 的公共元素有1，4，16，64，其和为85，
∴集合C 中所有元素之和=S 9+T 38-85=511+2147-85=2573.…………………12分 19.解法一:(Ⅰ)∵四边形BCC 1B 1是边长为6的正方形,∴BC=CC 1=AA 1=6. ∵∠ACB=90°,∴AC ⊥BC.又易知AA 1⊥平面ABC,∴AA 1⊥BC,又AC ∩AA 1=A, ∴BC ⊥平面ACC 1A 1.∠BAC 就是直线AB 与平面ACC 1A 1所成的角, ∴tan ∠BAC=
BC AC =6
AC
=3,∴AC=2,又BC ∥B 1C 1,∴B 1C 1⊥平面ACC 1A 1. ∴B 1C 1⊥CD,故当CD ⊥C 1D 时有CD ⊥平面B 1C 1D,此时有△C 1A 1D ∽△DAC,设AD=x,则A 1C 1A 1D = AD
AC ,
即26-x = x
2 , 解得x=3± 5 ,由于AD ＞DA 1.故当AD=3+ 5 时,CD ⊥平面B 1C 1D.………6分 (Ⅱ)在平面ACC 1A 1内过点C 1作C 1E ⊥CD,交CD 的延长线于点E,连接EB 1,如图. 由(Ⅰ)可知B 1C 1⊥平面ACC 1A 1,故由三垂线定理可知,B 1E ⊥CD. 故∠B 1EC 1为二面角B 1-DC-C 1的平面角.
当AD=2 3 时,DC=4,S △DCC 1
=12 CC 1·AC=6,∴1
2
DC ·C 1E=6,
解得C 1E=3,故tan ∠B 1EC 1=
B 1
C 1
C 1E
= 2, 即二面角B 1-DC-C 1的正切值为2.…………………12分
解法二:(向量法) (Ⅰ)取C 为坐标原点,CA,CB,CC 1所在的直线分别为x,y,z 轴建立空间直线坐标系. 同解法一可求得AC=2.设AD=x,则点C(0,0,0),A(2,0,0),B 1(0,6,6),C 1(0,0,6),D(2,0,x). ∴C 1B 1→=(0,6,0),DC 1→ =(-2,0,6-x),CD →
=(2,0,x).
由⎩⎪⎨⎪⎧CD →·C 1B 1→=(2,0,x)·(0,6,0)=0，CD →·DC 1→=(2,0,x)·(-2,0,6-x)=0. 解得x=3± 5 ,由于AD ＞DA 1.
故当AD=3+ 5 时,CD ⊥平面B 1C 1D.………6分
(Ⅱ)若AD=2 3 ,则点D(2,0,2 3 ),CD →=(2,0,2 3 ),CB 1→=(0,6,6),设平面B 1CD 的法向量为m →=(x,y,z). 由⎩⎪⎨⎪⎧m →·CB 1→=0，m →·CD →=0.
得⎩⎨⎧6y+6z=0，2x+2 3 z=0. 令z=-1,得m →=( 3 ,1,-1),又平面C 1DC 的法向量为n →=(0,1,0).
设二面角B 1-DC-C 1的大小为θ,则cos θ= m →·n →
|m →||n →| = ( 3 ,1,-1)·(0,1,0)5 ×1 = 1
5
,
∴sin θ=
25
,∴tan θ=
sin θ
cos θ
=2. 即二面角B 1-DC-C 1的正切值为2.………………12分 20.解:(Ⅰ)设甲小组做了三次实验,至少两次试验成功为事件A,则 P(A)=C 23 ( 34 )2×(1-34 )+C 3
3 (3
4 )3= 2732
…………………………5分
(Ⅱ)由题意ξ的取值为0,1,2,3,4 .
P(ξ=0)=C 02 ( 34 )0×(14 )2·C 0
2 (1
3 )0×(23 )2= 4144
,
P(ξ=1)=C 12 ( 34 )×(14 )×C 0
2 (1
3 )0×(23 )2+C 02 ( 3
4 )0×(14 )2×C 12 (13 )×(23 )= 28144
,
P(ξ=2)=C 22 ( 34 )2×(14 )0·C 02 (13 )0×(23 )2+C 02 ( 34 )0×(14 )2·C 22 (13 )2×(23 )0+C 12 ( 34 )×(14 )·C 1
2 (1
3 )×(23 )=
61
144
， P(ξ=3)=C 22 ( 34 )2×(14 )0·C 12 (13 )×(23 )+C 12 ( 34 )×(14 )1·C 2
2 (1
3 )2×(23 )0= 42144
，
P(ξ=4)= C 22 ( 34 )2×(14 )0·C 2
2 (1
3 )2×(23 )0= 914
4 …………………………9分
故ξ的分布列为
∴E(ξ)=0×4144 +1×28144 +2×61144 +3×42144 +4×9144 = 13
6 ……………………12分
21.解析:(Ⅰ)由题意得,c a = 12 ,又a+c=3,解得a=2,c=1,∴b 2
=3,
故所求椭圆的标准方程为x 2
4 + y
2
3 = 1 .……………………4分
(Ⅱ) OP →·OQ →
是为定值3.证明如下:……………………………6分
显然,当直线l 垂直于x 轴时,不合题意, 当直线l 不垂直于x 轴时,由(Ⅰ)得F 2(1,0), 设直线l 的方程为x=my+1(m ≠0),则P(0,-
1m
). 将直线x=my+1代入x 2
4 + y 2
3 = 1 整理得(3m 2+4)y 2
+6my-9=0.设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则∆＞0.
由韦达定理得y 1+y 2= -
6m 3m 2+4 ,y 1y 2= - 9
3m 2
+4
.…………………………………8分 直线AC 的方程为y- 3 = y 1- 3 x 1 x,直线BD 的方程为y+ 3 = y 2+ 3
x 2
x,联立消去x 得 y- 3
y+ 3 = x 2 (y 1- 3 )x 1 (y 2- 3 ) ,∴(y- 3 y+ 3 )2= x 22
(y 1- 3 )2
x 12 (y 2- 3 )2 = (3-y 22
)(y 1- 3 )2
(3-y 12)(y 2- 3 )2
= (y 1- 3 )(y 2- 3 )
(y 1+ 3 )(y 2+ 3 )
=
y 1y 2- 3 (y 1+y 2)+3y 1y 2+ 3 (y 1+y 2)+3
=
- 93m 2+4 - 3 (- 6m
3m 2+4 )+3 - 93m 2+4 + 3 (- 6m
3m 2+4 )+3 = (
3 m+13 m-1
)2
.………………10分 ∵- 3 ＜y 1,y 2＜ 3 ,∴
y- 3
y+ 3
与x 2x 1 异号,x 1x 2=m 2y 1y 2+m(y 1+y 2)+1=m 2
(- 93m 2+4 )+m(- 6m 3m 2
+4 )+1 =4(1- 3 m)(1+ 3 m)3m 2
+4 ,∴x 2x 1 与 3 m+13 m-1 异号,∴y- 3 y+ 3 与 3 m+13 m-1 同号,∴y- 3
y+ 3 = 3 m+13 m-1
解得y=-3m,因此Q 点的坐标为(x Q ,-3m),又P(0,-
1
m
),
故OP →·OQ →
=(0,- 1m )·(x Q ,-3m)=3(定值).………………………………14分
（2）法二：设直线l 的方程为y=k(x-1),P （0，-k ）, 代入x 2
4 + y
2
3
= 1 整理得
(3+4k 2
)x 2
－8k 2
x+4k 2
－12=0,x 1+x 2=8k 2
3+4k 2 ,x 1x 2=4k 2
-123+4k 2
,122
34x x k -=+……①………８分 直线AC 的方程为y- 3 = y 1- 3 x 1 x,直线BD 的方程为y+ 3 = y 2+ 3
x 2
x,联立消去x 得 y- 3
y+ 3 = x 2 (y 1-
3 )x 1 (y 2
- 3 ) =
………………………………１０分 由合分比定理得
=
，将①代入化简得y=－３ｋ 故OP →·OQ →
=(0,- ｋ)·(x Q , －３ｋ )=3(定值) ………………………………14分
22.解析: (Ⅰ)∵f(x)的定义域为(0,+∞),f ′(x)= - 1x 2 -1+ a x = - x 2
-ax+1
x
2
,………1分 令g(x)=x 2
-ax+1,其判别式∆=a 2
-4.
①当-2≤a ≤2时,∆≤0, f ′(x)≤0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意.…………2分
②当a ＜-2时,∆＞0,g(x)=0的两根都小于零,故在(0,+∞)上, f ′(x)＜0,故f(x) 在(0,+∞)上单调递减,不合题意.………………………………………………………………………3分
③当a ＞2时,∆＞0,设g(x)=0的两个根x 1,x 2都大于零,令x 1= a-a 2
-4
2 ,
x 2= a+a 2
-4 2 ,x 1x 2=1.当0＜x ＜x 1时,f ′(x)＜0,当x 1＜x ＜x 2时, f ′(x)＞0,当x ＞x 2时,
f ′(x)＜0,故f(x)分别在(0,x 1),(x 2,+∞)上单调递减,在(x 1,x 2)上单调递增,
综上所述,a 的取值范围是(2,+∞).……………………………………………6分 (Ⅱ)依题意及(Ⅰ)知,a=x 1+x 2=x 2+1x 2 >2,∵f(x 1)-f(x 2)= 1x 1 –x 1+alnx 1-(1
x 2 –x 2+alnx 2)
=x 2-x 1
x 1x 2 +(x 2-x 1)+a(lnx 1-lnx 2),
∴k=
f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2 =- 1x 1x 2 -1+ a ·lnx 1-lnx 2x 1-x 2 =-2+a ·lnx 1-lnx 2
x 1-x 2
.………8分
若 k ≤2e e 2-1 a-2,则-2+a ·lnx 1-lnx 2x 1-x 2 ≤2e e 2-1 a-2,∴lnx 1-lnx 2x 1-x 2 ≤2e e 2-1
. 不妨设x 1＜x 2,则x 1-x 2≤e 2-12e (lnx 1-lnx 2).又x 1= 1x 2
, ∴1x 2 –x 2≤e 2-12e (-2lnx 2),∴1x 2 –x 2+ e 2-1e
·lnx 2≤0(x 2＞1)①恒成立. 记F(x)= 1x –x+ e 2-1e ·lnx(x ＞1),记x 1′= 12 [e 2-1e
-(e 2-1e )2-4 ], x 2′= 12 [e 2-1e +(e 2-1e
)2-4 ].由(Ⅰ)③知F(x)在(1,x 2′)上单调递增,在(x 2′,+∞)上单调递减,且易知0＜x 1′＜1＜x 2′＜e.又F(1)=0,F(e)=0,所以,当x ∈(1,e)时,F(x)＞0;当x ∈[e,+∞)时,F(x)≤0.
故由①式可得,x 2≥e,代入方程g(x 2)=x 22-ax 2+1=0,得a=x 2+ 1x 2 ≥e+1e (∵a= x 2+ 1x 2
在x 2∈[e,+∞)上递增).又a ＞2,所以a 的取值集合是{a|a ≥e+1e
}.………………………………14分。