线性代数第二章习题及解答

··· ··· .. . ···
∗ ∗ . . .
2 a2 n1 + · · · + ann

(1)
(2)
2 2 由 A2 = 0 得到 a2 0 i1 + ai2 + · · · + ain = 0, i = 1, 2, . . . , n 于是 aij = ( ) 1 2 2 cos θ sin θ 8. 设 A = ,B = , C = 2 1 −2 − sin θ cos θ 2 −2 1
证明：|A−1 | =
|A| = ±1
1 |A|
注意到 A−1 的元素为正数所以其行列式必为整数， 即
1 |A|
为正数， 于是只有
若 |A| = ±1, 由于 A−1 = 整数.
A∗ |A|
注意到 Aij 为整数，于是 A∗ 的元素必为整数，则 A−1 的元素为
1 3 0 0 0
0 2

20 −1 −1 0 , P AP = 0 1 0 求 A 0 0 2 1 2 520 0 0 解：P AP −1 P AP −1 · · · P AP −1 = P A20 P −1 = 0 1 0 20 0 0 220 520 0 0 2 · 520 − 1 1 − 220 2 · 520 − 221 20 20 那么 A20 = P −1 2 · 520 − 221 0 1 0 P = 2 · 5 − 2 2 − 2 0 0 20 −520 + 1 −1 + 220 −520 + 221 19. 设 A, B, A + B 可逆， 证明 (A−1 + B −1 )−1 = A(A + B )−1 B
10 如法炮制恕不赘述其结果为 A =
(
1 −3 0 1
3 −2
)
11. 设方阵 A 满足 A2 − A − 2E = 0, 证明： (1) A 和 E − A 都可逆， 并求它们的逆矩阵； (2)A + E 和 A − 2E 不同时可逆.
1 −1 证明： （1）A(A − E ) = 2E , 那么 − A = −2 (E − A), (E − A)−1 = − A 2 (E − A) = E , 于是 A 2
0 1 0 0 0 , 代入即得 1
1 −1 0 0 1 0
−1 , 代入 1 0
记得 B −1
( 14. 设 X = 0 B ( = 0 B ( E = XX −1 A C X11 X21 A C ) , A, B 是非退化的方阵， 求 X −1 X12 X22 ) ( · ) ,则 X11 X21 X12 X22 )
−12 −7 sin φ
解：
( =
cos φ )2 sin φ )
cos φ − sin φ
cos φ − sin φ
sin φ cos φ
− sin φ cos 2φ
cos φ sin 2φ
假定
(
− sin 2φ cos 2φ ( )n cos φ sin φ − sin φ cos φ sin φ cos φ )n+1
cos(n + 1)φ
1
π cos π 2 = 0, sin 2 = 1, 在上式中取 φ =
π 2
即的所要的结果.
6. 对于任意 n 阶矩阵 A. 证明： (1)A + AT 是对称矩阵， A − AT 是反对称矩阵； (2)A 可以表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.
证明： (1).(A + AT )T = AT + (AT )T = AT + A = A + AT , (A − AT )T = AT − A = −(A − AT )
那么 1 1 0 1 0 0 0 0
A=0 0 0 1 0 , 分别求 A−1 , B −1 1 1 0 1
和 C −1
(
解:A−1 = sin θ cos θ 1 2 2 B −1 = 1 1 −2 9 2 2 −2 1
cos θ
− sin θ
16. 计算 (4E + A)T (4E − A)−1 (16E − A2 ) 的行列式， 其中 A = −1 −2
解：D = (4E + A)T (4E − A)−1 (16E − A2 ) = (4E + A)T (4E − A)−1 (4E − A)(4E + A)
= (4E + A)T (4E + A), 那么 5 0 |D| = |(4E + A)T (4E + A)| = |(4E + A)|2 = −1 2 0 0 = 3600 ) ,C = ( ) ,D =
( A C B D ( )( X Y A C E 0 0 E P′ Q′ B D ) P Q ) = ) ( P Q ) ( )
对矩阵
(
作初等行变换， 只需要将
A C
B D
P Q
变换成
, 于是 X = P ′ , Y = Q′
5
18. 设 P = 1 0 1 0 1

5 0 0
1 T T (2)A = 1 2 (A + A ) + 2 (A − A )
7.A 是实对称矩阵， 且 A2 = 0, 证明： A=0
证明
A2 = AA = AAT a2 + · · · + a2 1n 11 ∗ = . . . ∗
∗ a2 21 + ··· + . . . ∗ a2 2n
3 0 6 ( ) ( AX + BY = P 2 1 3 17. 求解矩阵线性方程组 ,A = ,B = CX + DY = Q 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 9 4 1 −2 ,P = ,Q = −6 −13 4
解：解矩阵方程要注意利用矩阵运算先化简， 原方程写成矩阵形式为
)
2
C
−1
0 = 0 0
1
−1 0 0
1 −1 1 0 2

1 −1
1 −1 1 −1

2 1

1 1 1
1 = 1
9.解矩阵方程
3
1 2 −1 2
0 X = −1 0 ; 10.解矩阵方程A 0 1 −2 3 1 0 0

证明：只需证 (A + B )−1 = A−1 (A−1 + B −1 )−1 B −1 即可 A−1 (A−1 + B −1 )−1 B −1 = [B (A−1 + B −1 )A]−1 事实上， = (B + A)−1 = (A + B )−1 20., 设 A3 = 2E 求 (A − E )−1 解：A3 − E = E 那么 (A − E )(A2 + A + E ) = E , 于是 (A − E )−1 = A2 + A + E
( =
cos nφ
sin nφ
) )
=
− sin φ cos φ ( cos(n + 1)φ − sin(n + 1)φ
− sin nφ cos nφ )n ( cos φ sin φ cos φ = · − sin φ cos φ − sin φ ) sin(n + 1)φ (
sin φ cos φ
n
1
0
)
(
3
0
)
−3 2
) , QP = E , 计算
5. 计算 (
= P Λn Q P Q, = P ΛQ, E, = 7 4 ( cos φ − sin φ cos φ
n = 2k n = 2k + 1 , )n ,及 ( = n = 2k n = 2k + 1 ( 0 1 −1 0 sin φ cos φ )n ) ( · )
解：令 X
−1
比较矩阵等式得
4
AX21 = E, AX22 = 0, BX12 + CX22 = E, BX11 + CX21 = 0, 于是 X21 = A−1 , X22 = 0 X12 = B −1 , X11 = −B −1 CA−1 15.A 的元素均为整数， 求证 A−1 的元素均为整数的充要条件是 |A| = ±1
3
证明：这是一个利用分块矩阵进行证明的命题
(=⇒) 因为 AB = 0 令 B = (b1 b2 · · · bs ), 于是 Abj = 0, j = 1, 2, . . . , s, 即 bj 是 AX = 0 的解. (⇐=) 因为 Abj = 0, j = 1, 2, . . . , s 于是 AB = 0 13. 用矩阵分块的方法， 证明下列矩阵可逆， 并求其逆矩阵： 0 0 0 4 4 1 2 0 0 0 0 0 0 7 8 2 5 0 0 0 B= 1 1 1 0 0 A = 0 0 3 0 0 , 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 a1 0 · · · 0 2 0 1 0 2 0 0 2 0 1 3 0 a2 · · · 0 . . . . .. . . . C= . D = 0 0 1 0 0 . . . . . 0 0 0 1 0 0 0 · · · an−1 0 0 0 0 0 1 an 0 0 · · · 0 ( ) ( ) −1 B O B O 于是 A−1 = , 其中 解：A = O S O S −1 ( ) ( ) 3 0 0 1/3 1 2 5 −2 −1 −1 B= ,S = 0 1 0 则 B = ,S = 0 2 5 −2 1 0 0 1 0 ( ) ( ) −1 O A O C B= ,B −1 = −1 C O A O ( ) ( ) 1 1 1 −1 4 4 2 −1 其中 A = ,C = ,A = ,C −1 = 0 1 1 7 8 −7/4 1 0 0 1
(
1 −2 0
1
) .
1 −1
解：9. 注意到 AX = B , 于是 X = A−1 B , 我们仅对矩阵 AB 进行行初等变换将 A 变成单位矩 阵 E， 于是 B 即为 X 2 3 −1 2 1 1 2 0 −1 0 −→ −1 2 −2 3 1 1 0 0 1 1/3 0 1 0 −1 −1/6 0 0 1 −3 −5/6 1 1/ 3 于是 X = −1 −1/6 −3 −5/6
(2) 因为 (A + E )(A − 2E ) = 0, 于是 |A + E | · |A − 2E | = 0 于是 A + E 与 A − 2E 不会同时可逆. 12. 设 A 是 m × n 矩阵， B 是 n × s 矩阵， X 是 n × 1 矩阵， 证明： AB = 0 的充分必要条件是 B 的每一列都是齐次线性方程组 AX = 0 的解.
第二章练习题解答
( 1. 设 A = , 计算： 2A, 3B, A + B, 2A − 3B 1 1 1 3 1 1 2. 设 A = 2 1 2 , B = 2 −1 0 , 求 AB − BA. 1 0 2 1 2 3 1 a11 a12 · · · a1n 2 a21 a22 · · · a2n 0 3. 计算 . . . . . . . . . .. . an1 an2 · · · ann 0 ( ) ( ) ( 2 3 1 0 2 4. 已知 A = P ΛQ, 其中 P = ,Λ = ,Q = 1 2 0 −1 −1 2 −1 ,B = 1 2 A8 , A9 , A2n , A2n+1 , (n 为正整数) 解:An = P ΛQP ΛQ · · · P ΛQ