第一讲集合

= {x | x < 20, x = 2k, k ∈ N *},若A ∩ CU B = {12,14}, CU A ∩ B = {2,4,16,18} ， 。 CU A ∩ CU B = φ ，则集合 A=
: x ≥ 1或x ≤ 0, ：条件 β : x ≥ −2m + 1或x ≤ 2m − 3(m ∈ R) ，若条件 α 是条 件 β 的充分不必要条件，则 m 的取值范围是
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第一讲 集合
一、集合的基本运算 例 1、已知数集 A = {a + 2, (a + 1) 2 , a 2 + 3a + 3}, B = {a + b,1, a − b + 5} ,若 A = B ,求 a, b.
例 2、 已知数集 A = {x | x = 12m + 8n + 4l, m, n, l ∈ Z}, B = {y | y = 20p +16q +12r, p, q, r ∈ Z}， 则 ( A. A = B B. A ⊆ B C. A ⊇ B D. A ∩ B = φ
a2 + b2 =
13、已知非空集合 S ⊂ N ，且满足条件“ x ∈ S ,则
≠
*
16 ，则集合 S 的个数是 ∈S ” x
14、已知集合 A = {2,3, a 值为
2来自百度文库
+ 1}, B = {2a + 1,, −
13 2 , a + a − 4} ，且 A ∩ B = {2} ，则 a 的 4
15、设集合 U
)
例 3.(2007 年上海交大)设不等式 x( x − 1) ≤ y (1 − y ) 与 x 2 + y 2 ≤ k 解集分别为 M 和 N,若 M 是 N 的真子集,则 k 的最小值为 .
例４、设元素是正整数的集合Ｓ，满足“若 x ∈ S ,则8 - x ∈ S ” ，回答下列问题： （1）试写出只有一个元素的 S； （2）试写出元素个数为 2 的 S 的全部； （3）满足 上述命题的集合Ｓ共有几个。
二、容斥原理： |A| 则 若记有限集合 A 中的元素个数为 中的元素个数为|A| |A|则
| A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B | | A ∪ B ∪ C |=| A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | B ∩ C | − | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C |
10、n 元集合具有多少个不同的不交子集对？
11、 设集合 T = {x1 , x2 ,⋯ , x10 } 的五元子集满足：T 的任意两个元素最多在两个子集 内出现，这样的五元子集最多有多少个？
12、(2009 年清华大学)求证:一个数列 a1 , a 2 , a3 ,⋯ , a 2 n +1 中各数相等的充要条件是 : 其中任意 2n 个元素中的 n 个之和等于另外 n 个元素之和.
16、设条件 α
17、设数集 M
2 1 = [ m, m + ], N = [ n − , n] ， M 与 N 都是集合 I = [0,1] 的子集，如果把 3 2 。 b − a 称为集合 [a, b] 的长度，那么集合 M ∩ N 的长度的最小值为
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例 9、(06 年清华大学)求由正整数集组成的集合 S,使 S 中的所有元素之和等于所 有元素之积.
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练习 1、设集合 A = {x | x = a 2 + b 2 , a, b ∈ Z }, x1 , x2 ∈ A,求证：x1 ⋅ x2 ∈ A. 2 ． A = {( x, y ) | ( x − 1) 2 + ( y − 2) 2 ≤ }, B = {( x, y ) || x − 1| +2 | y − 2 |≤ a}, A ⊆ B ，
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7、(2007 年清华大学)对于集合 M ⊆ R 2 ,称 M 为开集,当且仅当 ∀P� ∈ M , ∃r > 0 ,使 得 {P ∈ R 2 || PP� |< r} ∈ M . 判断 集合 {( x, y ) | 4 x + 2 y − 5 > 0} 与 {( x, y ) | x ≥ 0, y ≥ 0} 是否为开集,请证明你的结论.
18、有 100 种食品，其中含维生素 A 的食品有 72 种，含维生素Ｃ的食品有５４种，则同时含 有维生素Ａ和维生素Ｃ的食品最小值和最大值分别是
19、已知中学共有学生 900 人，其中男生 528 人，高中学生 312 人，团员 670 人，高中男生 192 人，男团员 336 人，高中团员 247 人，高中男团员 175 人，问这些统计数据是否有误， 回 答是 （填“正确”或“错误” ）
；
一般的，对于 n 个有限集合 S1 , S 2 , … S n 有
| S1 ∪ S 2 ∪ … ∪ S n |=
1≤ i ≤ n
∑| S
i
|−
1≤ i < j ≤ n
∑| S ∩ S
i
j
|+
i 1≤ i < j < k ≤ n
∑| S ∩ S
j
∩ S k | − … + (−1) k −1
| Si1 ∩ Si2 1≤ i11 < i 2 <⋯ik ≤ n
A ，则 CX D ∩ B = φ ，CX D ∩ C = φ
D．上述各项都不正确
5． （2010 复旦）设集合 A = {( x, y ) | log a x + log a y > 0}, B = {( x, y ) | y + x < a}.若A ∩ B = φ ， 则a 的取值范围是（ ） A． φ B． a > 0, a ≠ 1 C． 0 < a ≤ 2, a ≠ 1 D． 1 < a ≤ 2 6、
8、 设 n ∈ N + , n ≥ 15 ， 集合 A, B 都是 I = {1, 2,⋯, n} 的真子集， A ∩ B = φ , A ∪ B = I ， 证明集合 A 或 B 中，必有两个不同的数，他们的和为完全平方数。
9、在一次学术会议上， k 个科学家共使用 P 种不同语言，如果任何两个科学家都 至少使用一种共同语言，但没有任何两个科学家使用的语言相同，求证： k ≤ 2 p −1
。
9 、 已 知
A = {( x, y ) | y = x 2 − 4 x + 3, x ∈ R}, B = {( x, y ) | y = − x 2 − 2 x + 2, x ∈ R}
= {x | ax 2 + 2 x + 1 = 0, a , x ∈ R} 是单元素集合，则实数则 a 的取值范围是
7． （2009 交大）集合 A 满足：若 a ∈ A, 则 合 A 为___________。
1 ∈ A.若2 ∈ A ，则满足条件的元素个数最少的集 1− a
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8、已知 A ={y | y = x
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− 4x + 3, x∈R}, B ={y | y =−x2 − 2x + 2, x ∈R}则 A ∩ B =
则
A∩ B =
10、集合 M
11、设集合 数为
A ⊆ {x | x < 10, x ∈ N *} ，且满足“若 a ∈ A ，则 6 − a ∈ A ” ，则集合 A 的个
12、设集合 A = {x | x 则
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− 1 = 0, x ∈ R}, B = {x | x 2 − 2ax + b = 0, x ∈ R}, 若 B ⊆ A, B ≠ Φ ，
其中有三位学生一个问题都没有解决，则三个问题都解决的学生数是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2． （2009 复旦）实轴 R 中的集合 X 如果满足：任意非空开区间都含有 X 中的点，则称 X 在 R 中稠密，那么， “R 中的集合 X 在 R 中不稠密”的充分必要条件是（ ） A．任意非空开区间都不含有 X 中的点 B．存在非空开区间不含有 X 中的点 C．任意非空开区间都含有 X 的补集中的点 D．存在非空开区间含有 X 的补集中的点 3． （2009 复旦）设 X 是含n(n > 2) 个元素的集合， A, B是X 中的两个互不相交的子集，分别含 有 m, k (m, k ≥ 1, m + k ≤ n ) 个元素，则 X 中既不包含 A 也不包含 B 的子集的个数是（ ） A． 2 n − m + 2 n − k − 2 n − m − k C． 2n − 2n − m − 2n − k + 2n − m − k B． 2n − m − k D． 2n +1 − 2n − m − 2n − k + 2n − m − k
5、求点集 {( x, y ) | lg( x 3 +
1 3 1 y + ) = lg x + lg y} 中元素的个数。 3 9
6、Ｍ是正整数集的子集，满足：1∈ M,2006∈ M,2007 ∉ M,且 有 如 下 性 质 ：a 若 ,b∈M
⎡ a 2 + b2 则⎢ 2 ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ∈ M ，则Ｍ有多少个非空子集？ ⎥ ⎦
例 8、对集合{1，2，…，n}及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和” 如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果， 例如，集合 {1,2,4,6,9} 的“交替和”是 9-6+4-2+1=6. {5,6} 的“交替和”是 6-5=1， {2} 的交 替和是 2。那么，对于 n=7。求所有子集的“交替和”的总和。
∑
∩ ⋯ ∩ S ik |
+ … + (−1) n −1 | S1 ∩ S 2 ∩ … ∩ S n |
例 5、有 50 名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测验成绩分别及格的有 40 人和 31 人， 两项测验成绩均不合格的有 4 人， 两项测验成绩都及格的有多少人？
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求 a 的取值范围。
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3、 （1987 年全国高中联赛） 已知集合 A = {(x, y) || x | + | y |= a, a > 0}, B = {(x, y) || xy | +1 =| x | + | y |}.
若 A ∩ B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则 a 的值为
.
4 、 方程 x 2 − ax + b = 0 的两根为 α , β ，方程 x 2 − bx + c = 0 的两根 为 γ , δ ，且 α , β ,γ ,δ 互不相等，设集合 M ={α, β,γ ,δ} ，作集合 S = {x | x = u + v, u, v ∈ M ,u ≠ v}， P = {x | x = uv, u, v ∈ M , u ≠ v} 若已知 S = {5,7,8,9,10,12} ， P = {6,10,14,15,21,35} ， 求 a, b, c 的值
4． （2010 复旦）设集合 A, B, C , D 是全集 X 的子集， A∩ B ≠ φ, A∩C ≠ φ ，则下列选项中正确的 是（ ） A． 如果 D ⊂ B 或 D ⊂ C ， 则 D∩ A≠φ B． 如果 D ⊂ A ， 则 CX D ∩ B ≠ φ ， CX D ∩ C ≠ φ C．如果 D ⊃
例 6、集合 S 的元素个数简记为|S|，对于三个集合 A, B, C 满足条件 （1） | A |=| B |= 100 ； （2）集合 A, B, C 各自的所有子集个数之和等于集合 A ∪ B ∪ C 的所 有子集个数，求 | A ∩ B ∩ C | 的最小值。
三、集合的划分及运算 例 7、设 A、B、C 是集合，并且 A ∪ B ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，求三元有序对（ A, B, C ） 的个数。
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集合习题 第一讲—— ——集合习题
1． （2008 复旦）40 个学生参加数学奥林匹克竞赛，他们必须解决一个代数学问题、一个几何 学问题以及一个三角学问题。具体情况如下表所述： 问 题 解决问题的学生数 20 18 18 7 8 9 代数学问题 几何学问题 三角学问题 代数学问题和几何学问题 代数学问题和三角学问题 几何学问题和三角学问题