高一年级数学上学期期末模拟试题

高一年级数学上学期期末模拟试题（四）

一、填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合{}3,1,0,1,3U =--，{}3,0,1A =-，则U A =ð ． 2．函数sin(3)4

y x π

=-的最小正周期为 ．

3．在平行四边形ABCD 中，若向量,AB a AC b ==，则向量AD = ．（用,a b 表示） 4.若210

()((6))x x f x f f x -≥⎧=⎨

+⎩

，　，x<10，则f(5)的值等于 .

5．已知向量a =(2, 3)，b =(1, 1)，c =(3, 7)，若存在一对实数12,λλ，使12c a b λλ=+，则

12λλ+= ．

6．定义在R 上的函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且当26x <≤时，()3f x x =-，则(1)f = ． 7．已知向量a

=，且单位向量b 与a 的夹角为30︒，则b 的坐标为 ．

8.函数31()log (3)

f x x =-的定义域是 ．

9．若4sin 5θ=

，且cos()0πθ+>，则cos()3

π

θ-= ． 10.已知关于x 的方程sin cos x x a +=的解集是空集，则实数a 的取值范围是______________． 11．若向量,a b 满足：||5a b -=，71(,)22

a =,2

||b =

，则a 与b 的数量积为 ． 12．已知偶函数()f x 满足：()(2)f x f x =+，且当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，其图象与直线1

2

y =

在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为12

,P P ，则1324PP P P ⋅等于 .

13.定义运算2

)2(2)(,)(,222-⊕*=

-=⊕-=*x x

x f b a b a b a b a 则函数的奇偶性

为 .

14．定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021。已知πβα=+，2π

βα=-，则=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin ．

二、解答题

15．已知函数2()2sin cos f x x x x a =++，[,]42x ππ∈，且()43

f π

=．

（1）求实数a 的值；

（2）求函数()f x 的值域．

16．已知函数f (x )=2

x

x a a -+（a >0，a ≠1，a 为常数，x ∈R ）.

（1）若f (m )=6，求f (－m )的值； （2）若f (1)=3，求f (2)及)2

1

(f 的值.

17．已知集合(){}

22log 2log 0A x x x =⋅≤

(1)求集合A ； （2)求函数21

44()x x

y x A +=+∈的值域

18．已知两个不共线的向量OA ，OB 的夹角为θ（θ为定值），且3OA =，2OB =.

（1）若3

π

θ=

，求OA AB ⋅的值；

（2）若点M 在直线OB 上，且OA OM +的最小值为3

2

，试求θ的值.

19．已知三点)sin ,(cos ααA ，)sin ,(cos ββB ，)sin ,(cos γγC ，若向量

→

→→→=-++0)2(OC k OB k OA (k 为常数且0

（1）求)cos(γβ-的最值及相应的k 的值；

（2）求)cos(γβ-取得最大值时，AOB AOC BOC S S S ∆∆∆::.

20． 已知函数1f(x)=|-1|x

（1）判断f (x )在),1[∞+上的单调性，并证明你的结论；

（2）若集合A={y | y =f (x )，1≤x ≤22

}，B=[0,1]， 试判断A 与B 的关系；

（3）若存在实数a 、b (a

参考答案

1．{1,3}- 2.2

3

π 3.b a - 4.11 5.－1 6.－

2 7.1(1,0)(2或 8.3,4(4,)+∞()

10.(,(2,)-∞+∞ 11.－6 12.4 13.奇函数 14.00⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

15．解：（1）由题意，得

2()2sin cos f x x x x a =++＝1cos 22x x a -+

2s i n (2)16

x a π

=-

++…………………………………………4分

由()2sin 1432

f a ππ

=++=，得1a =………………………………7分

（2）由（1）得()2sin(2)26

f x x π

=-+

当[

,]42x ππ

∈时，52[,]636x ππ

π-∈，1

sin(2)[,1]62x π-∈……12分 ()[3,4]f x ∴∈

故函数()f x 的值域为[3,4].…………………………………………14分

16．解：（1）()f x 的定义域为R ，关于数0对称，且()()2

x x

a a f x f x -+-=

= ()f x ∴为R 上的偶函数.……………………………………………………5分 ()()6f m f m ∴-==.………………………………………………………7分

（2）由(1)3f =得1

6a a

+=

22

21111(2)()[()2]1722f a a

a a =+=+-=………………………………10分

2111()(2)224f a a

=++=…………………………………………………12分 又()0f x >

1

()2

f ∴=14分

17．解：（

1） 由2

2222log (2)log log log 0x x x x ⋅=+≤，得

21log 0x -≤≤………………………………………………………………3分

解得

1

12x ≤≤ 1

[,1]2A ∴=……………………………………………………………………6分

（2）令4x

t =，则[2,4]t ∈

2

()4y g t t t ==+，对称轴为18

t =-………………………………………8分

()g

t ∴在[2,4]上单调递增…………………………………………………9分 故min max (2)18,(4)68y g y g ====………………………………12分

2144x x y +∴=+的值域为[18,68].………………………………14分

18．解：

法一：（1）OA AB ⋅＝2

()OA OB OA OA OA OB ⋅-=-+⋅

2

1

cos 93262OA OA OB θ=-+=-+⨯⨯=-………………6分 （2）设OM OB λ=，则显然0λ≠

222

2OA OM OA OA OM OM +=+⋅+

①当0λ>时 2

22

2cos OA OM

OA OA OM OM θ+=+⋅+

2

912cos 4θλλ=+⋅+（*）………………………………………8分 要使得（*）有最小值，其对称轴3

cos 02

λθ=->，即cos 0θ< 故22min

144144cos 9

164

OA OM

θ-+==，解得cos 2θ=- ………………10分

又0180θ︒≤≤︒

150θ∴=︒…………………………………………………………………………12分 ②当0λ<时 2

22

2cos OA OM

OA OA OM OM θ+=-⋅+

2

912cos 4θλλ=+⋅+（#） 要使得（#）有最小值，其对称轴3

cos 02

λθ=-<，即cos 0θ> 故22min

144144cos 9

164

OA OM

θ-+==，解得cos 2θ=

又0180θ︒≤≤︒

30θ∴=︒…………………………………………………………………………15分

综上所述，30150θ=︒︒或………………………………………………………………16分 法二：如图建立平面直角坐标系，则(3cos ,3sin ),(2,0)A B θθ （1）当3

π

θ=

时，3331(,

),(,22OA AB ==………………………………3分

327644

OA AB ∴⋅=-=-………………………………………………………6分 （2）设(2,0)OM λ=，则(3cos 2,3sin )OA OM θλθ+=+…………………8分

2

222(3cos 2)9sin 412cos 9OA OM

θλθλθλ+=++=+⋅+…………10分

当3

cos 2

λθ=-时，22min 144144cos 9164OA OM θ-+==解得cos 2θ=±…14分 又0180θ︒≤≤︒

30150θ∴=︒︒或…………………………………………………………………………16分

19．解：（1）由→

→→→=-++0)2(OC k OB k OA 得(2)kOB k OC OA +-=-

两边平方，得2

2

(2)2(2)cos()1k k k k βγ+-+--=…………………………2分