微分方程组的基本概念
微分方程组的基本概念
控制工程中的微分方程组
总结词
微分方程组在控制工程中用于描述系统的动 态特性，如机械系统、航空航天系统等。
详细描述
在控制工程中，微分方程组被用于描述各种 系统的动态特性，例如，控制系统的稳定性、 响应速度和误差等。这些微分方程组可以帮 助工程师设计和优化控制系统，提高系统的 性能和稳定性。
THANKS FOR WATCHING
数值解法
要点一
总结词
通过数值计算方法求解微分方程组的近似解。
要点二
详细描述
数值解法是一种求解微分方程组的常用方法，其基本思想 是通过数值计算方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微 分方程组的近似解。这种方法适用于无法直接求解解析解 的微分方程组，通过将微分方程转化为差分方程，然后进 行迭代计算，可以得到满足一定精度要求的近似解。数值 解法在科学计算、工程技术和实际应用中具有广泛的应用 价值。
04
微分方程组的实际应用
经济模型中的微分方程组
总结词
微分方程组在经济模型中用于描述经济系统的动态变化，如经济增长、通货膨胀、就业 等。
详细描述
经济学家通过建立微分方程组来模拟和分析经济系统的各种复杂现象，例如，菲利普斯 曲线模型使用微分方程组来描述通货膨胀和失业率之间的关系，索洛模型使用微分方程 组来预测经济增长。这些模型可以帮助政策制定者更好地理解经济系统的运行机制，并
生物系统中的微分方程组
总结词
微分方程组在生物系统中用于描述生物种群的变化、疾病的传播等动态过程。
详细描述
在生物学中，微分方程组被广泛应用于种群生态学和流行病学等领域。例如，Logistic方程可以描述 种群数量的增长规律，而SIR模型和SEIR模型则可以用于预测疾病的传播趋势。这些微分方程组对于 保护生态环境和制定公共卫生政策具有重要意义。
二阶线性微分方程组
二阶线性微分方程组在数学领域中，二阶线性微分方程组是一种非常重要的方程形式，它在物理学、工程学和统计学等领域中都得到了广泛的应用。
本文将对二阶线性微分方程组进行详细地介绍及分析。
一、基本概念二阶线性微分方程组是指由二元函数所形成的方程组，其中每个函数都是自变量的函数，并且该方程组可以表示成如下的形式：$$\begin{aligned}\frac{\mathrm{d}^{2}y_{1}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{1}(x)\frac{\mathrm{d} y_{1}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{1}(x)y_{1}(x)&=f_{1}(x)\\\frac{\mathrm{d}^{2}y_{2}(x)}{\mathrm{d}x^{2}}+p_{2}(x)\frac{\mathrm{d} y_{2}(x)}{\mathrm{d} x}+q_{2}(x)y_{2}(x)&=f_{2}(x)\end{aligned}$$其中，$y_{1}(x),y_{2}(x)$ 是二元函数，$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x),q_{2}(x),f_{1}(x),f_{2}(x)$ 都是已知函数。
这种方程组的特点是每个方程中只含有一个未知函数及其导数。
二、特解与通解解二阶线性微分方程组需要先找到该方程组的特解和通解。
方程组的特解指的是满足该方程组的某个特定解法；通解指的是该方程组的所有解法的集合。
特解与通解的构成取决于方程组的三个系数：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$。
共分为三种情况：情况一：$p_{1}(x),p_{2}(x),q_{1}(x)$ 都是常数。
此时，我们需要先求出方程组的特征方程：$\lambda^{2}+p_{1}\lambda+q_{1}=0$。
该特征方程的解将决定特解和通解的形态。
如果特征方程有两个两个不同的实根$\lambda_{1},\lambda_{2}$，则方程组的通解为：$$y_{1}(x)=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x},y_{2 }(x)=C_{3}e^{\lambda_{1}x}+C_{4}e^{\lambda_{2}x}$$其中，$C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}$ 是任意常数。
第三章一阶线性微分方程组第二讲一阶线性微分方程组的一般概念及理论
第二讲 一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论（4课时）一、 目的与要求: 了解一阶线性微分方程组的一般概念与一阶线性齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性齐次方程组的通解结构, 理解基本解矩阵, Wronsky 行列式等概念.二、重点：一阶线性齐次方程组的通解结构, 基本解矩阵, Wronsky 行列式.三、难点：基本解矩阵, Wronsky 行列式.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1. 一阶线性微分方程组的一般概念如果在一阶微分方程组(3.1)中, 函数12(,,,,)(1,2,,)i n f x y y y i n =, 关于12,,,n y y y 是线性的, 即(3.1)可以写成1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx dy a x y a x y a x y f x dx ⎧=++++⎪⎪⎪=++++⎪⎨⎪⎪⎪=++++⎪⎩(3.6)则称(3.6)为一阶线性微分方程组. 我们总假设(3.6)的系数()(,1,2,,)ij a x i j n = 及()(1,2,,)i f x i n = 在某个区间I R ⊂ 上连续.为了方便, 可以把(3.6)写成向量形式. 为此, 记111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a x a x a x a x a x a x A x a x a x a x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦及12()()()()n f x f x F x f x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据第13讲的记号, (3.6)就可以写成向量形式()()dY A x Y F x dx=+ (3.7)如果在I 上, ()0F x ≡,方程组(3.7)变成()dY A x Y dx= (3.8)我们把(3.8)称为一阶线性齐次方程组.如果(3.8)与(3.7)中()A x 相同, 则称(3.8)为(3.7)的对应的齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似, 我们可以证明如下的关于(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解的存在与唯一性定理.定理 3.1′ 如果(3.7)中的()A x 及()F x 在区间[],I a b =上连续, 则对于[],a b 上任一0x 以及任意给定的0Y , 方程组(3.7)的满足初始条件(3.2)′的解在[],a b 上存在且唯一.这个定理的证明留给读者完成. 它的结论与定理3.1的不同之处是定理3.1的解的存在区间是局部的，而定理3.1′则指出解在整个区间[],a b 上存在.2. 一阶线性齐次方程组的一般理论⑴一阶线性齐次微分方程组解的性质本节主要研究一阶线性齐次方程组(3.8)的通解结构.为此我们首先从(3.8)的解的性质入手.定理3.2 如果11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()m m m n n nm y x y x y x y x y x y x Y x Y x Y x y x y x y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是方程组(3.8)的m 个解，则1122m m Y C Y C Y C Y =+++ (3.9)也是(3.8)的解，其中12,,,m C C C 是任意常数.换句话说，线性齐次方程组(3.8)的任何有限个解的线性组合仍为(3.8)的解.证明 因为(1,2,,)i Y i m = 是(3.8)的解，即()()()i i dY x A x Y x dx = (1,2,,)i m =成立. 再由1122[()()()]m m d C Y x C Y x C Y x dx+++ 1212()()()m m dY x dY x dY x C C C dx dx dx=+++ 1122()()()()()()m m C A x Y x C A x Y x C A x Y x =+++ 1122()[()()()]m m A x C Y x C Y x C Y x =+++这就证明了(3.9)是(3.8)的解. 定理3.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空间的性质，进而得到方程组(3.8)的解的结构，我们引入如下概念.定义3.1 设12(),(),,()m Y x Y x Y x 是m 个定义在区间I 上的n 维向量函数. 如果存在m 个不全为零的常数12,,,m C C C ，使得1122()()()0m m C Y x C Y x C Y x +++= 在区间I 上恒成立, 则称这m 个向量函数在区间I 上线性相关, 否则称它们在区间I 上线性无关.显然，两个向量函数12(),()Y x Y x 的对应分量成比例是它们在区间I 上线性相关的充要条件. 另外, 如果在向量组中有一零向量, 则它们在区间I 上线性相关.若12(),(),,()n Y x Y x Y x 是(3.8)的n 个解, 称下面的矩阵为这个解组对应的矩阵[]12()(),(),,()n x Y x Y x Y x Φ=111212122212()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x y x y x y x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它的第i 个列向量为()i Y x . 如果这组解是线性无关的, 则称此矩阵为(3.8)的基本解矩阵例1 向量函数它21cos ()1,x Y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 22sin 1()1x Y x x ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在任何区间(a , b )上是线性相关的. 事实上取121C C == 有1122()()0.C Y x C Y x +≡例2 向量函数3313(),x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 6626()2x x x e Y x e e ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦在(-∞,+∞)上线性无关. 事实上，要使得1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞成立，或写成纯量形式，有3123123120,20,0,x x x C C e C C e C C e ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩ (,)x ∈-∞+∞显然, 仅当120C C == 时, 才能使上面三个恒等式同时成立, 即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3 向量函数212()0,x x e Y x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2220()x x Y x e e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦在(,)-∞+∞上线性无关. 事实上，由于1122()()0,(,)C Y x C Y x x +≡∈-∞+∞相当于纯量形式212222120,0,0,x x x x C e C e C e C e ----⎧≡⎪⎪≡⎨⎪--≡⎪⎩ (,)x ∈-∞+∞由此可以看出：仅当120C C ==时，才能使上面三个恒等式同时成立，即所给向量组在(,)-∞+∞上线性无关.例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函数组. 这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价.下面介绍n 个n 维向量函数组12(),(),,()n Y x Y x Y x (3.10)在其定义区间I 上线性相关与线性无关的判别准则.我们考察由这些列向量所组成的行列式111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn y x y x y x y x y x y x W x y x y x y x =通常把它称为向量组(3.10)的朗斯基(Wronsky)行列式.定理3.3 如果向量组(3.10)在区间I 上线性相关，则它们的朗斯基行列式()W x 在I 上恒等于零.证明 依假设，存在不全为零的常数12,,,n C C C ,使得1122()()()0,n n C Y x C Y x C Y x +++≡x I ∈把上式写成纯量形式, 有111212112122221122()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++≡⎧⎪+++≡⎪⎨⎪⎪+++≡⎩ x I ∈这是关于12,,,n C C C 的线性齐次代数方程组，且它对任一x I ∈，都有非零解12,,,n C C C .根据线性代数知识，它的系数行列式W (x )对任一x I ∈都为零.故在I 上有W (x )≡0.证毕.对于一般的向量函数组, 定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数1(),0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 22()0x Y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的.然而，当所讨论的向量函数组是方程组(3.8)的解时，我们有下面的结论.定理3.4 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是方程组(3.8)的n 个线性无关解，则它们的朗斯基行列式W (x )在I 上恒不为零. 证明(反证法) 如果有0x I ∈使得0()0W x =，考虑线性齐次代数方程组111021201012102220201102200()()()0,()()()0,()()()0,n n n n n n n nn C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x C y x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于系数行列式0()0W x =, 所以它存在非零解21(,,,)T T n C C C C =, 即1102200()()()0n n CY x C Y x C Y x +++=考虑函数 1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++由定理3.2知函数()Y x 是(3.8)的解，而且它满足初始条件0()0Y x ≡.另一方面，()0Y x ≡也是方程(3.8)的满足初值条件()0Y x =的解. 因此，根据定理3.1′有()0,Y x x I ≡∈即1122()()()0,n n CY x C Y x C Y x +++≡ x I ∈因为11,,,n C C C 不全为零，从而12(),(),,()n Y x Y x Y x 在I上线性相关，这与假设矛盾，定理证毕. 由定理3.3和定理3.4立即得到如下的推论.推论3.1 如果向量组(3.10)的朗斯基行列式W (x )在区间I 上的某一点0x 处不等于零，即0()0W x ≠, 则向量组(3.10)在I 上线性无关.实际上，这个推论是定理3.3的逆否命题.推论3.2 如果方程组(3.8)的n 个解的朗斯基行列式W (x )在其定义区间I 上某一点0x 等于零，即0()0W x =, 则该解组在I 上必线性相关.实际上，这个推论是定理3.4的逆否命题.推论3.3 方程组(3.8)的n 个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W (x )在I 上任一点不为零.条件的充分性由推论3.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论3.2证明是显然的．证毕．3. 一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n 个线性无关解称为它的基本解组. 显然基本解组对应的矩阵中基本解矩阵.例4 易于验证向量函数11()1,()1tx t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦222()1()2t x t e y t -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 是方程组 ,xy = 2y x y =+的基本解组.定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组.证明 由定理(3.1)′可知，齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件10200100010(),(),,(),000001n Y x Y x Y x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x I ∈(3.11)的n 个解12(),(),,()n Y x Y x Y x . 由于它们所构成的朗斯基行列式()W x 在0x x = 处有010000100()100001W x ==≠因而，由推论3.3知 12(),(),,()n Y x Y x Y x 是基本解组.满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组. 标准基本解组对应的矩阵称为标准基本解矩阵. 显然, 标准基本解矩阵在0x=时的值为单位阵. 下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了.定理3.6 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的基本解组，则其线性组合1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++(3.12)是齐次方程组(3.8)的通解,其中12,,,n C C C 为n 个任意常数.证明 我们仅需证明如下两点.首先，由定理3.2，对任意一组常数12,,,n C C C ,(3.12)是齐次方程组(3.8)的解.其次，证明：对于任何满足初始条件(3.2)′的齐次方程组(3.8)的解()Y x ，都可找到常12,,,n C C C ,使得1122()()()()n n Y x C Y x C Y x C Y x =+++为此，作方程组11022000()()()()n n C Y x C Y x C Y x Y x +++=或写成纯量形式11102120101012102220202011022000()()(),()()(),()()(),n n n n n n n nn n C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y C y x C y x C y x y +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(3.13)这是一个线性非齐次代数方程组，它的系数行列式恰是线性无关解12(),(),,()n Y x Y x Y x 的朗斯基行列式()W x 在0x x =处的值，由定理3.4知0()0W x ≠，从而方程组(3.13)有唯一解21(,,,)T T n C C C C =令1122()()()()n n Y x CY x C Y x C Y x =+++显然，()Y x 是(3.8)的一个解，且与()Y x 满足同一个初始条件，由解的唯一性，()()Y x Y x ≡定理得证.推论3.4 线性齐次方程组(3.8)的线性无关解的个数不能多于n 个.实际上，设121(),(),,()n Y x Y x Y x +是(3.8)的任意n +1个解. 现任取其中n 个解，如果它们线性相关，这时易证n +1个解当然也线性相关.如果它们线性无关，从而构成(3.8)的基本解组，由定理3.6，余下的这个解可由基本解组线性表出，这就说明这n +1个解是线性相关的.至此，我们证明了一阶线性齐次微分方程组(3.8)的解的全体构成一个n 维线性空间. 4．刘维尔公式齐次方程组(3.8)的解和其系数之间有下列联系. 定理3.7 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是齐次方程组(3.8)的n 个解，则这n 个解的朗斯基行列式与方程组(3.8)的系数有如下关系式11220[()()()]0()()xnn x a t a t a t dtW x W x e+++⎰=(3.14)这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.证明 仅证n = 2情形，n 的情形类似．11111222211222()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （3.15）设11121()(),()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 12222()()()y x Y x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是（3.15）的两个解，它们的朗斯基行列式11122122()()()()()y x y x W x y x y x =1112111221222122()()()()()()()()()dy x dy x y x y x dW x dx dx dy x dy x dxy x y x dxdx=+因为12(),()Y x Y x 分别是（3.15）的解，所以有 11111112212121112221()()()()dy a x y a x y dxdy a x y a x y dx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ,12111212222221122222()()()()dy a x y a x y dx dy a x y a x ydx⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩分别代入()dW x dx中，然后对每一个行列式进行化简，第一个行列式的第二行乘以12()a x -再与第一行相加，第二个行列式的第一行乘以21()a x -再与第二行相加，具体计算如下1111122111121222111221222111222121122222()()()()()a y a y a y a y y x y x dW x y x y x a y a y a y a y dx++=+++1111111211121122212222212222()()()()()()a y a y y x y x a a W x y x y x a y a y =+=+即1122()[()()]()dW x a x a x W x dx=+11220[()()]()xx a t a t dtW x ce+⎰=或11220[()()]0()()xx a t a t dtW x W x e+⎰=在代数学中，1()nkkk ax =∑称为矩阵()A x 的迹，记作()trA t ，因此刘维尔公式可表为0()0()()xx trA t dtW x W x e⎰=从公式（3.14）可以有显看出，齐次方程组（3.8）的几个解所构成的朗斯基行列式()W x 或者恒为零，或者恒不为零． 本讲要点：1． 一阶线性齐次微分方程组的所有解构成一个线性空间．2． 向量函数组和向量解组相关性判定 向量函数组 向量解组线性相关()0W x ⇒≡ 线性相关()0W x ⇔=线性无关0()0W x ⇐≠ 线性无关()0W x ⇔≠3． 齐次线性方程组通解基本定理解空间是n 维线性空间．4． 刘维尔公式解与系数关系．作业：练习3.3 1., 2., 3.。
微分方程组的解法
微分方程组的解法一、微分方程组的概念微分方程组是由多个未知函数及其导数构成的方程组，通常用向量形式表示。
微分方程组在物理、工程、经济等领域中有广泛应用。
二、线性微分方程组线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数都是常数的微分方程组。
它可以用矩阵和向量表示，具有良好的解法。
三、非线性微分方程组非线性微分方程组是指未知函数及其导数构成的各项系数不是常数的微分方程组。
它通常没有通解，只能通过近似或数值方法求解。
四、初值问题与边值问题初值问题是指给定一些初始条件，在某个点处求解微分方程组的解。
边值问题是指在一段区间内给定一些边界条件，在这段区间内求解微分方程组的解。
五、常系数齐次线性微分方程组的解法1. 特征根法：先求出特征多项式和特征根，然后根据特征根和初始条件求出通解。
2. 矩阵指数法：将齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解。
六、常系数非齐次线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将非齐次线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到非齐次线性微分方程组的通解。
2. 矩阵指数法：将非齐次线性微分方程组转化为矩阵形式，然后求解矩阵的指数函数，再根据初始条件求出通解和特解。
七、变系数线性微分方程组的解法1. 常数变易法：将变系数线性微分方程组转化为对应的齐次线性微分方程组，然后利用常数变易法求出特解，再将通解和特解相加得到变系数线性微分方程组的通解。
2. 变量分离法：将变量分离后利用积分求出一般积分式，然后根据初始条件求出常量，并代入一般积分式中得到特解和通解。
八、非线性微分方程组的近似方法1. 线性化方法：将非线性微分方程组在某个点处进行线性化，然后求解线性微分方程组的解，再将解转化为非线性微分方程组的近似解。
2. 数值方法：利用数值方法如欧拉法、龙格-库塔法等求解微分方程组的近似解。
九、总结微分方程组是一类重要的数学问题，在实际应用中有广泛应用。
数学中的微分方程组
数学中的微分方程组微分方程组是数学中一个重要的研究对象，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
它是由多个微分方程联立而成，描述了多个未知函数随着独立变量的变化而变化的关系。
本文将介绍微分方程组的基本概念、求解方法以及应用实例。
一、微分方程组的基本概念微分方程组是由多个微分方程联立而成的方程集合。
它可以描述多个未知函数与自变量之间的关系，并且这些未知函数与自变量之间可能存在相互影响。
在微分方程组中，未知函数的导数与自变量的关系通常是以向量形式表示的。
例如，考虑一个二阶线性微分方程组：\[ \frac{d^2y}{dt^2} + A \frac{dy}{dt} + By = 0 \]其中，未知函数y是一个向量，A和B是已知矩阵。
这个微分方程组可以描述物理系统中多个相关变量的演化规律。
二、微分方程组的求解方法求解微分方程组的方法通常取决于其类型和性质。
以下是几种常见的求解方法：1. 解析方法：对于一些可以求得解析解的微分方程组，可以直接通过积分和代数运算得到解析解。
例如，对于线性常系数微分方程组，可以通过特征值分解和特解叠加的方法求得解析解。
2. 数值方法：对于一般的微分方程组，往往难以求解解析解。
此时可以利用数值方法进行近似求解。
常见的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代来逼近真实解。
3. 变换方法：有些微分方程组可以通过变量替换或坐标变换的方法转化为更简单的形式，从而更容易求解。
例如，可以利用拉普拉斯变换、傅里叶变换等方法将微分方程组转化为代数方程组。
三、微分方程组的应用实例微分方程组在科学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍几个应用实例。
1. 电路分析：电路中的电压和电流可以通过微分方程组来描述。
通过求解微分方程组，可以得到电路中各个节点和元件的电压和电流随时间的变化规律，从而分析电路的稳定性和性能。
2. 力学系统：刚体运动、振动系统等力学问题可以通过微分方程组进行建模和求解。
通过求解微分方程组，可以得到系统中各个物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律，从而研究物体的运动特性。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
微分方程的基础知识与练习
微分方程的基础知识与练习（一）微分方程基本概念：首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
（1）一条曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点M （x ,y ）处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解 设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。
把条件（2）代入（3）式，得1=C ，由此解出C 并代入（3）式，得到所求曲线方程：12+=x y （4）（2）列车在水平直线路上以20s m /的速度行驶；当制动时列车获得加速度2/4.0s m -.问开始制动后多少时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解 设列车开始制动后t 秒时行驶了s 米。
根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数)(t s s =满足：4.022-=dt sd （5） 此外，还满足条件：0=t 时，20,0===dtdsv s （6）(5)式两端积分一次得：14.0C t dtds v +-== （7）再积分一次得2122.0C t C t s ++-= （8）其中21,C C 都是任意常数。
把条件“0=t 时20=v ”和“0=t 时0=s ”分别代入（７）式和（８）式，得0 ,2021==C C把21,C C 的值代入（7）及（8）式得,204.0+-=t v （9） t t s 202.02+-= （10）在（9）式中令0=v ，得到列车从开始制动到完全停止所需的时间：)(504.020s t ==。
再把5=t 代入（10）式，得到列车在制动阶段行驶的路程).(5005020502.02m s =⨯+⨯-=上述两个例子中的关系式（1）和（5），（6）都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
1．微分方程的概念一般地，凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程，叫做微分方程。
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
常微分方程复习提要全文
式
dyi (x) dx
fi (x, y1(x),
, yn (x)), (i 1.2
n)
则称 y1(x), , yn (x) 为微分方程组(3.1)在区间 [a,b] 的一个解。
通解及通积分：
含有n个任意常数 c1, cn 的方程组（3.1）的解
y1 1(x, c1, cn )
yn
n (x, c1,
齐次方程组的解组线性相关性的判别法：
推论3.3 方程组(3.8)的n个解在其定义区间I上线性 无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上任一点
不为零.
解组
线性相关 W ( x0 )=0 线性无关 W ( x0 ) 0
我们把一阶线性齐次方程组(3.8)的n个线性无关解 称为它的基本解组。其对应的矩阵称为基本解矩阵。
（其中F为已知的函数）
定义（P3） ：微分方程中出现的未知函数的 最高阶导数的阶数(或微分的阶数)称为微分方程的 阶数.
定义（P4） ：如果一个微分方程关于未知函数 及其各阶导数都是一次的，则称它为线性微分方程， 否则称之为非线性微分方程.
定义（P4）: 设函数 y x在区间I上连续，且有
dy1
dx
a11( x) y1
a12 ( x) y2
dy2 dx
a21( x) y1
a22 ( x) y2
dyn dx
an1( x) y1
an2 ( x) y2
a1n ( x) yn f1( x),
a2n ( x) yn f2 ( x), （3.6）
ann ( x) yn fn ( x).
解法：两边除以yn ，得 yn dy p( x) y1n f ( x) dx
令z y1n ，则 dz (1 n) yn dy ,代入方程
傅里叶级数与微分方程
傅里叶级数与微分方程引言：傅里叶级数和微分方程是数学中两个重要的概念，它们在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法，而微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学方程。
本文将介绍傅里叶级数和微分方程的基本概念及其应用。
一、傅里叶级数的基本概念傅里叶级数是一种将周期函数表示为一组正弦和余弦函数的无穷级数的方法。
任何一个周期为T的函数f(t)都可以表示为如下形式的级数：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0、an、bn是系数，ω0=2π/T是角频率，n为正整数。
傅里叶级数的基本思想是将周期函数分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，每个频率对应的系数表示该频率的振幅大小。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理中，傅里叶级数可以用来分析和合成信号，例如音频信号的压缩和解压缩。
在图像处理中，傅里叶级数可以用来进行图像的频域滤波和增强。
在物理学中，傅里叶级数可以用来描述波动现象，如声波和光波。
二、微分方程的基本概念微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学方程。
一般而言，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，而偏微分方程中的未知函数依赖于多个自变量。
微分方程的解是满足方程的函数。
常微分方程的解可以通过积分得到，而偏微分方程的解则需要使用特殊的方法，如分离变量法、特征方程法等。
微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用，如描述物理过程中的变化、电路中的电流和电压等。
三、傅里叶级数与微分方程的关系傅里叶级数和微分方程之间存在密切的联系。
对于给定的微分方程，可以通过傅里叶级数展开的方法求解其解析解。
这是因为傅里叶级数提供了一组完备的正弦和余弦函数的基，可以将微分方程中的未知函数表示为这组基函数的线性组合。
通过将未知函数和其导数的傅里叶级数代入微分方程，可以得到一系列关于傅里叶系数的代数方程。
线性微分方程的基本理论
( k 1) x1 (t )
x2 ( t ) x2 ( t )
( k 1) x2 (t )
xk ( t ) xk ( t )
( k 1) xk (t )
t 0 t 0
显然对所有的 t, 恒有 W [ x1 ( t ), x2 ( t )] 0,
但 x1 ( t ), x2 ( t ) ( , ) 上线性无关. 在 事实上, 假设存在恒等式
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 0,
则当 t 0 时, 有c2 0, 当 t 0 时, 有c1 0, 故x1 ( t ), x2 ( t ) ( , )上线性无关. 在
n n
a1 ( t )
d
n1
x
dt
n1
an1 ( t )
dx dt
an ( t ) x
L[e
t
n
]?
n1
[ a1 (t )
a2 (t )
n 2
an1 (t ) an (t )]e .
t
性质3.1 L(cx ) cL( x ) c 为常数. 性质3.2
或
在(a, b) 上有定义,
则在（a, b）上线性无关的充要条件为
x1 ( t ) x2 ( t )
或
x2 ( t ) x1 ( t )
在（a, b）上不恒为常数.
8
例3: sin t , cos t在任何区间上都线性无关. 2 2 cos t ,1 sin t 在任何区间上都线性相关. 注3：函数组的线性相关与线性无关是 依赖于所取的区间。 例4: 函数x1 ( t ) t , x2 ( t ) t 在（ ， ） 上 是线性无关, 而在 (0, )和 ( , 0) 上是线性相关的.
一阶线性微分方程组解析
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
微分方程组的基本概念
lim x(t , 0, x0 ) = K 0
(5.1.2)克服了 克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷 中种群数量无限增长的缺陷, 克服了 中种群数量无限增长的缺陷
目录
上页
下页
返回
结束
在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律． 在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律． 对(5.1.1)和(5.1.2)这样能求出其解的具体形 和 这样能求出其解的具体形 式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解 式的问题 当然可以用前面所学的知识来讨论其解 在
dx (t , x 0 ) <0 时 dt
则从方程的形式可以看出， 则从方程的形式可以看出， 当r
Hale Waihona Puke > 0, x(t , x0 ) > 0
则 x (t , x0 ) , 单调减 ;
dx(t , x 0 ) x 当 r < 0 ， ( t , x0 ) < 0 时 > 0, dt
则 x (t , x0 ) , 单调增 。 所以， 所以，当
dX (t ; t0 , X 0 ) = F (t , X (t ; t0 , X 0 )) dt
和 关于初始值问题(5.1.6)，(5.1.7)也有解的存在惟 ， 关于初始值问题 也有解的存在惟 一性定理． 一性定理．
目录 上页 下页 返回 结束
若 (1)
中满足： 在开区域 G ⊆ R × R n 中满足： F (t , x) 内连域，简记为： F 在 G 内连域，简记为： 满足局部 局部Lipschitz条件，即对于点 条件， 条件 X 满足局部
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 如果 (2) 如果
常微分方程3.2 线性微分方程的基本理论
性质3.1 性质3.1
L(cx) = cL(x)L c 为常数. L 为常数.
性质3.2 性质3.2 L(x1 + x2 ) = L(x1) + L(x2 )
6
dn x d n−1x dx + a1(t) n−1 +…… n−1(t) + an (t)x = 0 a n dt dt dt
(3.2.2)
(3.2.2)
x 定理3.4 定理3.4 若函数组 x1(t)， 2 (t),L, xn (t) 是齐线性方程
在区间（ ）上的n个线性无关的解 在区间（a, b）上的n个线性无关的解, 则它们的Wronskian 行列式 则它们的
W[x1(t)，x2 (t),L, xn (t)]在该区间上任何点都不为零. 在该区间上任何点都不为零
cx
(n−1) 1 1
L L, L
(t) + c x
(n−1) 2 2
(t) +L+ c x
(n−1) n n
(t) ≡ 0,
上述n个恒等式所组成的方程组是关于 上述 个恒等式所组成的方程组是关于 c1, c2 ,L, cn 系数行列式就是 的齐次方程组, 它的系数行列式就是 齐次方程组 它的系数行列式就是Wronskian 行列式, 由线性代数的知识知, 行列式 由线性代数的知识知 要使方程组存在 非零解, 则必有 W(t) = 0. 非零解
证明: 证明 用反证法 假设有 t0 ∈(a, b), 使得 W(t0 ) = 0.
18
考虑关于 c1, c2 ,L, cn 的齐次线性代c2 x2 (t0 ) +L+ cn xn (t0 ) = 0, c x′(t ) + c x′ (t ) +L+ c x′ (t ) = 0, 2 2 0 n n 0 1 1 0 L L L c x (n−1) (t ) + c x (n−1) (t ) +L+ c x (n−1) (t ) = 0. 0 2 2 0 n n 0 1 1
数学中的微分方程与常微分方程求解方法
数学中的微分方程与常微分方程求解方法微分方程是数学中的一门重要分支，其在各个科学领域以及工程技术中都具有广泛的应用。
微分方程主要研究函数与其导数之间的关系，并通过求解微分方程来研究函数的性质与行为。
微分方程分为常微分方程和偏微分方程两大类，本文将重点讨论常微分方程的求解方法。
一、常微分方程的基本概念和分类常微分方程是指未知函数只有一个自变量的微分方程。
一般形式可以表示为：dy/dx = f(x,y)，其中f(x,y)是已知函数。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程只涉及到未知函数的一阶导数，高阶常微分方程涉及到未知函数的高阶导数。
二、常微分方程的求解方法1. 变量分离法变量分离法是求解常微分方程的基本方法之一。
通过将常微分方程中的未知函数与自变量分离，从而得到可分离变量的形式。
然后对两边同时进行积分，得到方程的解。
2. 齐次方程法齐次方程是指右端函数f(x,y)中不含有自变量x的常微分方程。
齐次方程求解的关键是引入一个新的变量，使得经过变量替换后的方程能够进行变量分离。
3. 一阶线性常微分方程的解法一阶线性常微分方程的标准形式为dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中P(x)和Q(x)是已知函数。
求解一阶线性常微分方程的关键是找到一个积分因子，将方程转化为可积的形式。
4. 常系数齐次线性常微分方程的解法常系数齐次线性常微分方程是指系数为常数的齐次线性常微分方程。
常系数齐次线性常微分方程的解法主要依赖于特征方程的求解，通过求解特征方程的根来确定通解的形式。
5. 高阶常微分方程的求解方法高阶常微分方程的求解方法可以通过降阶和特殊形式的化简来求解。
同时，高阶常微分方程的解可以通过一阶常微分方程的解来表示。
6. 线性齐次方程组的解法线性齐次方程组是多个未知函数满足线性齐次方程的集合。
线性齐次方程组的解法主要依赖于特征方程和线性代数的相关知识。
三、常微分方程的应用领域常微分方程作为数学与实际问题的桥梁，广泛应用于物理学、生物学、经济学、工程学等各个领域。
matlab微分方程组的解法
一、引言1.1 MATLAB在微分方程组求解中的应用MATLAB作为一种强大的数学工具，被广泛应用于微分方程组的求解与模拟分析。
1.2 本文的研究目的和意义本文旨在探讨MATLAB在求解微分方程组方面的应用方法，帮助读者更好地理解和运用MATLAB进行微分方程组的解法，从而提高数学建模和工程仿真的效率与精度。
二、微分方程组的基本概念2.1 微分方程组的定义微分方程组是由多个未知函数及其偏导数构成的方程组。
常见的微分方程组可以分为线性微分方程组与非线性微分方程组。
2.2 微分方程组的求解方法求解微分方程组的方法包括解析解法、数值解法和符号解法。
而MATLAB在微分方程数值解法中具有独特的优势。
三、MATLAB在微分方程组求解中的基本操作3.1 MATLAB中微分方程组的表示在MATLAB中，微分方程组可以使用符号表达式或者函数形式表示，便于进行数值求解和仿真分析。
3.2 MATLAB中微分方程组的数值求解利用MATLAB中的ode45、ode23等求解微分方程组的函数，可以快速地求得微分方程组的数值解，并且可以灵活地控制求解的精度和速度。
3.3 MATLAB中微分方程组的图像绘制MATLAB提供了丰富的绘图函数，能够直观地展现微分方程组的数值解，帮助用户更直观地理解微分方程组的解法结果。
四、 MATLAB在微分方程组求解中的应用实例4.1 简单的线性微分方程组求解通过一个简单的线性微分方程组的求解实例，展示MATLAB在微分方程组求解中的基本操作和方法。
4.2 复杂的非线性微分方程组求解通过一个包含非线性项的微分方程组求解实例，展示MATLAB在处理复杂微分方程组时的应用能力。
五、MATLAB在微分方程组求解中的进阶应用5.1 高阶微分方程组的数值求解MATLAB可以利用符号运算工具箱对高阶微分方程组进行符号求解，也可以通过数值求解的方式得到高阶微分方程组的数值解。
5.2 特定约束条件下的微分方程组求解MATLAB可以通过引入特定的约束条件，对微分方程组进行求解，满足实际应用中的各种约束条件。
二阶非线性微分方程组的解法
二阶非线性微分方程组的解法微分方程是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、生物学、经济学等领域。
其中，二阶非线性微分方程组是一类常见的微分方程，在实际应用中也具有重要的意义。
本文将介绍二阶非线性微分方程组的解法。
一、基本概念与知识首先，我们需要了解一些基本概念和知识。
二阶非线性微分方程组一般形式为：$$\begin{cases}y''=f(x,y,y')\\z''=g(x,y,z,z')\end{cases}$$其中，$y$, $z$ 分别是自变量 $x$ 的函数，$f$, $g$ 是已知函数，$'$ 表示对自变量求导。
这类微分方程的解法不像线性微分方程组那样简单，需要运用一些特殊的技巧。
二、变系数法变系数法是解决二阶非线性微分方程组的一种有效方法。
其基本思想是将原方程组中的一个方程看作另一个方程的辅助方程，从而将原方程组化为一个二阶非齐次线性微分方程，然后再利用常规的线性微分方程的求解方法来解决。
具体步骤如下：(1) 假设 $z$ 是 $y$ 的辅助方程，即 $z''=g(x,y,z,z')$。
(2) 将 $z''$ 在 $y''$ 的方程中代入，得到二阶非齐次线性微分方程：$$y''-f(x,y,y')+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}=\frac{d^2 z}{dx^2}+\frac{d g(x,y,z,z')}{dy}\frac{dy}{dx}+\frac{dg(x,y,z,z')}{dz}\frac{dz}{dx}$$(3) 求解该方程。
(4) 由 $z''=g(x,y,z,z')$ 得到 $z$。
注意事项：在应用变系数法的过程中，需要注意以下几点：(1) 辅助方程的选取需要灵活，一般选取在求导和代入方便的方程作为辅助方程。
数学微分方程与线性代数
线性方程组
定义：线性方程组 是由n个线性方程 组成的方程组，形 如Ax=b，其中A是 n阶矩阵，x和b是n 维列向量
解法：高斯消元法、 LU分解法等
应用：在物理、工 程、经济等领域都 有广泛应用
性质：解唯一当且 仅当系数矩阵A的行 列式不为0，无解当 且仅当A的行列式为 0
特征值与特征向量
特征值：矩阵 中使得行列式 为0的数，与 特征向量相关
特征值与特征向量：矩阵的特征值是与特征向量对应的标量，通过特征向量可以描述线性变换 的性质。
线性变换的应用：在解决实际问题中，线性变换可以用于描述物理现象、数据分析和图像处理 等领域。
Part Four
线性微分方程
一阶线性微分方程
定义：形如y' + p(x)y =
q(x)的微分方 程称为一阶线
求解方法：常数变 易法、分离变量法 、幂级数法等
应用领域：物理、 工程、经济等领域
线性微分方程组
特点：解的叠加性，即解的 线性组合仍为解
定义：线性微分方程组是一 组相互关联的线性微分方程
求解方法：常数变易法、变 量代换法等
应用：描述多个相互关联的 变量随时间变化的规律
线性微分方程的应用
化学反应：描述化学反应的 动力学过程
偏微分方程的应用
物理学：描述物理现象和规律，如波动、热传导、弹性力学等 经济学：分析市场供求关系、消费和生产函数等 生物学：研究生态系统的平衡、种群增长等 工程学：解决各种实际问题，如桥梁和建筑物的稳定性、航空航天器的设计等
THANKS
汇报人：XX
性微分方程
解法：通过变 量代换将其化 为可分离变量 的微分方程，
然后求解
应用：在物理、 工程等领域有 广泛的应用， 如描述物体的 运动规律、电 路中的电流等
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.1.1 例子 5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程、
动力系统 5.1.3 基本定义
目录 上页 下页 返回 结束
例5.1.1 早期研究生态问题的一个简单的
微分方程模型时Malthus模型
dx rx dt
(5.1.1)
r 其中 x(t) 代表t时刻种群的数量， 为一个常数
dt
0;
当
x(t, x0 )
K
时，dx(t, x0 ) dt
0.
目录 上页 下页 返回 结束
于是不同的 x0 我们可以得到(5.1.2)解的性态如下：
lim
t
x(t,
x0 )
,
x0
0
lim
t
x(t, x0 )
0, x0
0
lim
t
xห้องสมุดไป่ตู้t, x0 )
K,
x0
0
例5.1.2 讨论当时下面方程组解的性态.
常数，通常称为环境容纳量．这是一个非线性的
问题，不过由于方程简单也利用初等积分可以得
得到其解为：
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 如果 x0 0 , 则 x(t, 0, 0) 0 ；
(2) 如果 x0 K , 则 x(t, 0, K ) K；
(3)
如果
x0
0 , 则 x(t, 0, x0 )
且单调减 x(t, x0 ) 必有极限
lim
t
x(t,
x0
)
a
0.
再由(5.1.1)看出 lim dx(t, x0 ) ra.
t dt
于是,a 0。即当 r<0, x0 >0 时，(5.1.1)的解
满足
lim
t
x(t,
x0
)
0．同理可以得到
当
r<0,
x0
0
时，lim t
x(t,
x0 )
0 ．这样我们
y0 )
dx(t, x0, dt
y0 )
2
y(t,
x0
,
y0
)
dy(t
, x0 dt
,
y0
)
利用解满足的方程(5.1.3)得
dR(t) dt
R(t)(x4 (t,
x0 ,
y0 )
y4 (t,
x0 ,
y0 ))
0
目录 上页 下页 返回 结束
于是，R(t) 随时间单调减少，再利用反证法可以
得到 lim R(t) 0 。我们得结论是 t
没有求解方程，通过解的形式得出了当 r 0时，
目录 上页 下页 返回 结束
(5.1.1)所有的解满足
lim
t
x(t,
x0
)
0
同理，当 r 0, K 0 时，对(5.1.2)的解
x(t, x0 )有：
当
x(t,
x0 )
0
时，dx(t, x0 ) dt
0;
当
0
x(t,
x0 )
K 时，dx(t, x0 )
lim
t
x(t
,
0,
x0
)
(,
x0
)
这种描述明显的与实际问题不符。因为任何群的
数量都受生态环境的影响不会无限制的增长，
这就是线性化所引起的问题，它改变了实际现象
目录 上页 下页 返回 结束
变化规律，这就导出了对其改进的 Logisitic模型
dx dt
rx(1
x k
)
x(0) x0
r 这里的 x(t)及 的意义同(5.1.1), K 0 是一个
t (称为内禀增长率)，模型的简单解释就是说 时刻
种群的数量的变化率和种群数量成正比，这时一个
线性模型，加上初始条件
目录 上页 下页 返回 结束
x(0) x0 (x0 0)
可以容易地求得其解为
x(t,0, x0 ) x0 exp( rt ) 由解的形式可以得出当 r 0(r 0, r 0) 时
式的问题.当然可以用前面所学的知识来讨论其解
在 t 时的性态，而当我们求不出方程解时,
又该如何研究 解的 性态呢？ 事实上，对一些方程可从它的形式得到当
t 的性态。例若将方程(5.1.1)满足
目录 上页 下页 返回 结束
初始值 x(0) x0 的解记为 x(t, x0 ) ,
则从方程的形式可以看出，
y(n) G(t, y, y, y...y(n1) )
(5.1.4)
且 F 关于的 y (n) 隐函数是存在的，即(5.1.4)可以
表示为
y(n) G(t, y, y, y...y(n1) )
如果做变换
x1 y, x2 y,...., xn y(n1)
目录 上页 下页 返回 结束
则该方程可以表示为如下的一阶微分方程组:
dx dt
y
x(x4
y4)
dy
x
y(x4
y4)
dt
（5.1.3）
目录 上页 下页 返回 结束
解 由于(5.1.3)是一个非线性方程组，无法求出其
故我们用定性分析法来讨论(5.1.3)当 t
时解的性态.将(5.1.3)满足
x(0) x0, y(0) y0
的解记为
x x(t, x0, y0 ), y y(t, x0, y0 )
lim
t
x(t,
x0
,
y0
)
0,
lim
t
y(t,
x0
,
y0
)
0
即设有求解方程组(5.1.3)，我们也成功地解决了
解的性态分析问题。
本章就是要给出通过方程的形式来分析解的
法。接下来先给出一些基本概念。
目录 上页 下页 返回 结束
5.1.2 自治微分方程与非自治微分方程,动力系统
n 最一般的 阶非线性微分方程可以表示为 :
1 (
K K 1)ert
X0
当 r 0, K 0, x0 0 时 ，从解的形式看出
lim
t +
x(t,
0,
x0
)
K0
(5.1.2)克服了(5.1.1)中种群数量无限增长的缺陷,
目录 上页 下页 返回 结束
在一定程度上能更好的刻画实际问题的变化规律． 对(5.1.1)和(5.1.2)这样能求出其解的具体形
当 r 0, x(t, x0 ) 0 时
dx(t, x0 ) 0 dt
则 x(t, x0 ) , 单调减 ;
当 r 0 ，x(t, x0 ) 0时
dx(t, x0 ) dt
0,
则 x(t, x0 ) , 单调增 。
所以，当 r<0, x0 >0 时 x(t, x0 ) 0
目录 上页 下页 返回 结束
dx1
dt
x2
dx2 dt
x3
dxn1
dt
xn
dxn
dt
G(t; x1, x2..., xn )
目录 上页 下页 返回 结束
因此，我们只要考虑如下更一般的 :
dx1
dt
f1(t; x1, x2 ,..., xn )
t 在时刻 ，该解在平面上的点为：
P(x(t, x0 , y0 ), y(t, x0, y0 ))
目录 上页 下页 返回 结束
P点随着时间t而变化，P 点到坐标原点 O(0, 0)
R(t) x2 (t, x0, y0 ) y2 (t, x0, y0 )
由于
2R(t)
dR(t) dt
2x(t,
x0 ,