水流问题数学建模
数学建模实验报告
数学建模实验报告1.流⽔问题问题描述：⼀如下图所⽰的容器装满⽔，上底⾯半径为r=1m，⾼度为H=5m，在下地⾯有⼀⾯积为B0.001m2的⼩圆孔，现在让⽔从⼩孔流出，问⽔什么时候能流完？解题分析：这个问题我们可以采⽤计算机模拟，⼩孔处的⽔流速度为V=sqrt[2*g*h]，单位时间从⼩孔流出的⽔的体积为V*B，再根据⼏何关系，求出⽔⾯的⾼度H，时间按每秒步进，记录点（H，t）并画出过⽔⾯⾼度随时间的变化图，当⽔⾯⾼度⼩于0.001m 时，可以近似认为⽔流完了。
程序代码：Methamatic程序代码：运⾏结果：（5）结果分析：计算机仿真可以很直观的表现出所求量之间的关系，从图中我们可以很⽅便的求出要求的值。
但在实际编写程序中，由于是初次接触methamatic 语⾔，对其并不是很熟悉，加上个⼈能⼒有限，所以结果可能不太精确，还请见谅。
2.库存问题问题描述某企业对于某种材料的⽉需求量为随机变量，具有如下表概率分布：每次订货费为500元，每⽉每吨保管费为50元，每⽉每吨货物缺货费为1500元，每吨材料的购价为1000元。
该企业欲采⽤周期性盘点的),(S s 策略来控制库存量，求最佳的s ，S 值。
（注：),(S s 策略指的是若发现存货量少于s 时⽴即订货，将存货补充到S ，使得经济效益最佳。
）问题分析：⽤10000个⽉进⾏模拟，随机产⽣每个⽉需求量的概率，利⽤计算机编程，将各种S 和s 的取值都遍历⼀遍，把每种S，s的组合对应的每⽉花费保存在数组cost数组⾥，并计算出平均⽉花费average，并⽤类answer来记录，最终求出对应的S和s。
程序代码：C++程序代码：#include#include#include#include#define Monthnumber 10000int Need(float x){int ned = 0;//求每个⽉的需求量if(x < 0.05)ned = 50;else if(x < 0.15)ned = 60;else if(x < 0.30)ned = 70;else if(x < 0.55)ned = 80;else if(x < 0.75)ned = 90;else if(x < 0.85)ned = 100;else if(x < 0.95)ned = 110;else ned = 120;return ned;}class A{public:int pS;int ps;float aver;};int main(){A answer;answer.aver=10000000;//int cost[Monthnumber+1]={0}; float average=0;int i;float x;int store[Monthnumber];//srand((int)time(0));for(int n=6;n<=12;n++){// int n=11;int S=10*n;for(int k=5;k{// int k=5;int s=k*10;average=0;int cost[Monthnumber+1]={0};for(i=1;i<=Monthnumber;i++){store[i-1]=S;srand(time(0));x=(float)rand()/RAND_MAX; //产⽣随机数//cout<<" "<//cout<int need=Need(x);if(need>=store[i-1]){cost[i]= 1000*S + (need - store[i-1])*1500 + 500;store[i]=S;}else if(need>=store[i-1]-s){cost[i]=1000*(need+S-store[i-1]) + 50*(store[i-1]-need) + 500; store[i]=S;}else{cost[i]=(store[i-1]-need)*50;store[i]=store[i-1]-need;}average=cost[i]+average;}average=average/Monthnumber;cout<<"n="<cout<<"花费最少时s应该为："<cout<<"平均每⽉最少花费为："<}运⾏结果：结果分析：⽤计算机模拟的结果和⽤数学分析的结果有⼀定的差异，由于计算机模拟时采⽤的是随机模型⽽我⽤time函数和rand函数产⽣真随机数，所以在每次的结果上会有所差异，但对于⼀般的⽣产要求亦可以满。
流体流动的数值模拟与建模
流体流动的数值模拟与建模流体流动的数值模拟与建模是一种通过使用计算机仿真和数值计算的方法，对流体在不同条件下的运动进行预测和分析的过程。
这种技术在许多工程领域中都得到广泛应用，例如空气动力学、水利工程、石油工程以及化学工程等领域。
本文将从数值模拟与建模的基本原理、常见的数值方法、模型验证以及潜在的应用领域等方面进行介绍。
数值模拟与建模的基本原理是建立数学方程来描述流体流动的基本规律，并通过数值方法对这些方程进行求解。
常见的数学方程包括质量守恒方程（连续方程）、动量方程以及能量方程等。
这些方程可以根据所研究的具体情况进行修正和简化，以求得有效的数值解。
数值方法主要包括有限差分法、有限元法以及有限体积法等。
通过将区域离散化成网格，将流场的各个物理量转化为对应网格上的数值，然后利用数值逼近方法求解离散化方程，从而得到流体流动的数值解。
在进行数值模拟前，需要验证所建立的数学模型的准确性。
模型验证是通过与实验数据的对比来验证数值模拟结果的有效性。
常用的验证方法包括模型方案验证、网格收敛性验证以及结果验证等。
模型方案验证是验证所采用的数值模型是否能够准确地描述流体流动中的现象和特征。
网格收敛性验证是通过对不同大小的网格进行数值模拟，比较不同网格上的结果是否趋于收敛来判断数值解的稳定性。
结果验证是将数值模拟结果与实验数据进行对比，以验证数值模拟方法的准确性和可靠性。
流体流动的数值模拟与建模在许多领域中具有广泛的应用。
在空气动力学中，数值模拟可以用于预测飞行器的气动性能，优化飞行器的气动设计。
在水利工程中，数值模拟可以用于预测河流、湖泊和海洋中的水流情况，指导水利工程的设计和运营管理。
在石油工程中，数值模拟可以用于预测油藏中原油和天然气的运移与扩散，指导资源开采和油田管理。
在化学工程中，数值模拟可以用于模拟反应器中的流体流动和化学反应，优化反应工艺和提高反应效率。
总之，流体流动的数值模拟与建模是一种重要的工程技术，通过数学模型和数值计算方法对流体流动进行预测和分析，为各行各业提供了重要的支持。
河道三维水流数学模型计算及应用
河道三维水流数学模型计算及应用河流是地球表面最为宽泛存在的水体，同时也是一种重要的水资源。
为了更好地分析河流中的水流特征，人们研发了三维水流数学模型，以便更好地利用河流的水力潜力。
本文将介绍三维水流数学模型的基本原理、计算方法以及对其进行应用的研究现状。
一、三维水流数学模型的基本原理三维水流数学模型是将河流的水流运动分解成单独的平面和空间分量，以研究水流的空间分布特征和性质。
三维水流模型是基于流场速度场定义和描述的：当河流流速不变时，河流所拥有的冲刷力与曲率、地形、河网特征等其他因素有关。
在三维水流模型中，通过分析河流曲率、地形、河网特征等元素，可以得出河流流动的沿岸、横向（两个轴）和纵向（一个轴）的分量，即可以分析河流的水流特征。
二、三维水流数学模型的计算方法为了获得准确可靠的数据，科学家们需要对河流中的水流进行多维分析。
首先，通过实验收集大量的水流数据，并使用诸如水位和流速等数据对河流中的水动力进行模拟，以确定流场速度场的空间分布特征。
其次，根据上述研究结果，结合河流流速、曲率、地形、河网特征等因素，建立计算模型，计算河流水流的空间分布特征。
最后，对模型进行详细验证，进而确定河流水流的特征。
三、三维水流数学模型的应用研究三维水流数学模型在河流研究中有着重要的意义，它可以为河流水流特征的研究、水力发电和水文预测等活动提供可靠精确的数据。
在过去的多年中，三维水流数学模型在河流水力学、泥沙运动、水文气象等研究中被广泛应用。
例如，在研究堤坝护坡防护措施时，利用三维水流数学模型来确定护坡的设计参数；在河流水质监测中，可以利用三维水流模型来预测河流的污染物运移趋势；在河流洪水管理中，可以借助三维水流数学模型来优化河流洪水管理方案等。
综上所述，三维水流数学模型可以帮助我们更好地理解河流的水流特征，为河流水资源的开发和管理提供精准的依据，并且在过去的多年中已得到广泛的应用。
然而，在实际应用中仍存在许多不足之处，如对若干因素的建模不完善以及计算量庞大等，这些问题需要科学家们进行深入的研究，以实现更完善的三维水流数学模型。
河道三维水流数学模型计算及应用
河道三维水流数学模型计算及应用河道水动力学是流体力学的一个重要组成部分，它讨论的是水流在河道中的运动特性和流程。
因此，河道三维水流数学模型的研究具有重要的实际意义，也是河道工程中最重要的问题之一。
本文讨论的是河道三维水流数学模型的建模、计算及其在河道工程中的应用。
一、河道三维水流数学模型河道水动力学是由河道水动力学学派发展起来的一个连接科学，它从宏观到微观研究了水在河道中的运动特性和流程。
河道水动力学模型是描述河床形态、水位和水流特性的一个重要模型，它涉及河道三维水流数学模型的研究。
河道三维水流数学模型是一种均匀、参数化的水动力学模型，它将河道的水流分解成水流的三个基本变量：水流的流量、流速和流向。
在建立该模型时，首先考虑河道的水位形状、水流速度因素和动量关系，包括了定常流动和波浪运动等要素，根据动量守恒定律建立一个完整的数学模型。
二、河道三维水流数学模型的计算河道三维水流数学模型的计算是基于该模型的基本原理，利用数值分析方法估算河床形态、水位和水流特性的一类参数和指标，如平均流速、最大流量、最大流速和湍流强度等。
最常用的数值分析方法有有限元法、有限差分法、动量和能量守恒定律等，根据不同的模型，可计算河道中水流动量和能量的实际分布。
有限元法是一种基于有限元素的数值方法，最常用于求解河道三维水流模型及其参数。
三、河道三维水流数学模型的应用河道三维水流数学模型可用于河道工程的多种应用，有实际的实际意义。
如在建筑施工中，河道三维水流数学模型可以评估河道的变化情况，以便于确定河道的设计工作。
在河流流域管理中，模型可以用来分析河流的水文状况，及早发现河流的水环境污染问题，以对策应对。
在灾害预警中，模型可以用来估算河道水位变化情况，有效避免洪水灾害发生。
四、总结河道三维水流数学模型是描述河床形态、水位和水流特性的一个重要模型，研究其建模、计算及应用具有重要的实际意义。
本文讨论的是河道三维水流数学模型的建模、计算及其在河道工程中的应用。
数学建模_最佳湖泊水位_概述说明以及解释
数学建模最佳湖泊水位概述说明以及解释1. 引言1.1 概述湖泊的水位管理对于水资源的合理利用和环境保护至关重要。
然而，确定最佳湖泊水位却是一项相当复杂的任务。
为了解决这个问题，数学建模成为了一种有效的方法。
本文将通过概述、说明和解释，探讨数学建模在确定最佳湖泊水位中的应用，并提供相应的计算方法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构进行展开。
首先，在引言部分我们将简要介绍文章的目的和内容安排。
接着，在第二部分中，我们将概述数学建模概念，并介绍与湖泊水位相关背景知识以及水位变化原理解释。
第三部分将详细介绍最佳湖泊水位计算方法，包括目标函数定义、约束条件分析和最优化算法运用。
第四部分则通过实际案例分析来验证基于数学模型的实际应用效果，包括数据收集与处理步骤介绍、实际案例分析结果展示以及结果解读与讨论。
最后，在结论与展望部分，我们将总结研究成果，并提出改进方向建议以及后续研究展望。
1.3 目的本文的目的是介绍数学建模在确定最佳湖泊水位中的应用，并提供相应的计算方法。
通过分析数学建模在水资源管理中的价值，我们希望能够为决策者和研究人员提供一个全面而实用的工具，以便更好地管理湖泊水位，保护水资源，提升环境质量，并促进社会可持续发展。
2. 数学建模2.1 数学建模概述数学建模是指利用数学方法和技巧来解决实际问题的过程。
它将问题抽象成数学模型，然后利用数学工具进行分析和求解，从而得出对问题的认识和解决方案。
2.2 湖泊水位相关背景知识湖泊水位是指湖泊中水面的高度，它受到多种因素的影响，包括降雨量、蒸发速率、入流和出流等。
了解湖泊水位的变化规律对于有效管理和保护湖泊资源至关重要。
在研究湖泊水位时，需要考虑以下几个关键因素：1. 降雨量：降雨是导致湖泊水位上升的主要原因之一。
通过监测和记录降雨数据，可以掌握不同时间段内的降雨情况，并与湖泊水位变化进行关联分析。
2. 蒸发速率：蒸发是导致湖泊水位下降的主要因素之一。
蒸发速率受到气温、湿度、风速等气象条件的影响。
源泉与河流问题的数学建模
展望：未来将 有更多的数学 模型和方法被 应用于解决源 泉与河流问题
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变量约束条件：在建立数学模型时，需要考虑变量的约束条件，例如流量守恒、水位限 制等，以确保模型的准确性和有效性。
模型中方程的建立和求解
建立数学模型：根据问题描述，将实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型。 确定变量和参数：根据实际问题的需求，确定模型中的变量和参数，并给出相应的物理 意义和取值范围。
环境科学：水 源保护、水污 染控制等方面
的知识
地理学：地理 环境对水源和 河流的影响和
作用
03
源泉与河流问题的数学模型建立
模型建立的思路和方法
确定问题：明确源泉与河流问题 的具体数学表达
建立模型：根据问题确定数学模 型，如微分方程、差分方程等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
收集数据：获取相关数据，如流 量、水位等
源泉与河流问 题在数学建模 中的地位和作
用
源泉与河流问 题在解决实际 问题中的应用
和价值
源泉与河流问 题对于数学建 模领域的发展
和推动作用
源泉与河流问 题对于其他学 科领域的启示
和影响
问题涉及的领域和知识体系
数学建模：源 泉与河流问题 的数学建模方
法和理论
生态学：河流 生态系统中的 水源补给和流
动机制
农业灌溉：优化灌溉系统，提高 水资源利用率添加标题添加标题来自添加标题添加标题
环境保护：监测水源污染和河流 生态
城市供水：保障城市居民的饮用 水安全
问题的发展趋势和前景
源泉与河流问 题在数学建模 中的重要性日 益凸显，成为
研究热点。
随着科技的发 展，该问题的 应用领域不断 扩大，涉及到 更多的实际问
数学建模_湖水污染问题
湖水污染问题一.问题提出下图是一个容量为2000m3的一个小湖的示意图，通过小河A水以/s的速度流入，以相同的流量湖水通过B流出。
在上午8:00，因交通事故，一辆运输车上一个盛有毒性化学物质的容器倾翻，在图中X点处注入湖中。
在采取紧急措施后，于上午9：00事故得到控制，但数量不详的化学物质Z已泻入湖中，初步估计Z 的数量在5m3至20m3之间。
（1）请建立一个数学模型，通过它来估计湖水污染程度随时间的变化；（2）估计湖水何时到达污染高峰；（3）何时污染程度可降至安全水平(<=%)。
二.模型假设1、湖水流量为常量，湖水体积为常量；2、流入流出湖水水污染浓度为常量三.问题分析分析：湖水在时间t时污染程度，可用污染度F（t）表示，即每立方米受污染的水中含有Fm3的化学污染物质和（1-F）m3的清洁水。
用分钟作为时间t的单位。
在0<t<60的时间内，污染物流入湖中的速率是Ｚ/60（m3*min-1），而排出湖外的污染物的速率是60*（m3*min-1）。
因为每立方流走的水中含有Fm3的污染物，而湖水始终保持2000m3的容积不变。
四.模型的建立湖水中含污染物的变化率＝污染物流入量－污染物排出量2000*(dF/dt)=Z/F(0)=0；2000F’=Z/2000F’+=Z/60F’+2000=Z/120000所以:P(t)=2000,Q(t)=Z/120000;y=[]=[（Z/120000）（2000/）*+C]=Z/432+C*又因为：F(0)=0所以：C=-Z/432所以：y=Z/432[1- ]求得以特解为：F（t）= Z/432[1- ]在0<t<60之间求t为多少时，F（t）最大。
显然是t=60时，污染达到高峰。
此时污染浓度为：F（60）=Z/432（1-）= *10-4Z然后污染物被截断，故方程为：2000*dF/dt=,F(t)=F（60）；当它达到安全水平时，即F（t）=%，可求出t=D。
平面二维水流数学模型
平面二维水流数学模型
平面二维水流数学模型，也称为二维水动力学模型，是一种用数学方程描述水流在平面二维中发生的运动和变化的模型。
该模型一般基于流体动力学的基本方程，包括质量守恒、动量守恒和能量守恒等方程，以描述水的运动和水面高度的变化。
在平面二维水流数学模型中，水流被视为具有流体性质的连续介质，其运动受到外力（如重力、摩擦力等）的作用。
该模型通常采用网格化方法，将水域划分成若干个网格，每个网格中的水体状态可以用数学方程描述。
平面二维水流数学模型的应用包括但不限于：水文预报、水资源管理、水灾防治、水力工程设计等。
该模型可以用于分析水流的变化趋势、预测洪水、评估治理措施的效果等方面，对于水资源管理和水灾防治有着重要的作用。
总之，平面二维水流数学模型是一种重要的数学工具，可以帮助我们更好地理解水流的运动规律和变化趋势，为水资源管理和水灾防治提供科学依据。
数学建模漏斗中水流出的时间问题
数学建模漏斗中水流出的时间问题漏斗中水流出的时间问题探究容器内水的流出时间与水流量的关系，有助于现实生活中人们利用时间来控制水库水流量，以达到有计划的放水供应城市用水。
接下来我们就来探究一下漏斗中水流出的时间问题。
-、模型假设1、水在漏斗底端小孔流出时，由于水属于非粘性液体，从流体力学的观点看，可忽略出水口对水的张力，故在出水口的水的运动可看作有初速度的自由下落。
2、设漏斗的顶部大圆半径为底出口孔圆半径为厂，漏斗高重力加速度为gMn/s2 ;在漏水过程中漏斗中轴线竖直并且静止。
二、模型建立要求漏斗中的水流完所需要的时间，得先求岀出水口的水流速度, 在流出的瞬间，由于重力势能的作用，瞬时将重力势能转化为动能，假设漏斗底端离水平而高度为S,当4时间内水位下降了丛时，由动能定理得mg[S + (H — A//)] = mgS + — mv12所以水流岀的初速度为v = j2g(H — AA)在水位下降从时，此时漏斗的水平面圆半径为h,则在这△/时间内，漏斗中水减少的体积为―尹―討―其中厶为补充圆锥后的高,L R ¥ MR_____ —―S / —______一；一丿所以G =-(/?2+/?/ + r,2)A/?又在岀水口流岀的体积为C, =^r2A/,因为Cj =C?所以-(/?2+/?r +r/2)A/? = ^r2A/3式子左右同时除以\t得贰RSfh=空迴当so时护譽，而善=R,所以式子进-步得到冬(F+&' +F2)r = /rr2j2g(H—M)3 dt(R2+Rr f + r,2)J(H-M) dh = 3yj2g r2dt又竺= Ui = R_、h(RfH R_r HR所以式子化为] “2 3R(R —d、h頁H _「H(R -用 S 6h = 3^P&15令 =knNi = H-k2所以丄3/ _ 3&R_门(丹_“)+ (尺_(? _疋尸6(/7 _疋)=3屈冷 k H H °J 品一 3RH) +(_・讪"订 =3阪心k[ H 」 v 6_3R(R_(H_k»(R_r)翠一汐卜=3丽沧亠彳卅+用―)+(宀律2'计+坐护 ”=3姮畑结果分析所以式子两边同时积分n 经士竺45 = 3丽2丁L T 7~ (，+〃+刊+4二土+心讥4 H 23H 5H 1 =>数学建模漏斗中水流出的时间问题=>T = 46/?2+28/?r+16r2①、当/?=厂时，T 半,此时做的是自由落体运动;②、当FT O时，T = +oo,即是水永远流不出来。
一维非饱和水流运移数学模型 数学模型 通量边界
一维非饱和水流运移数学模型数学模型通量边界问题，并解释相关的概念和理论。
一维非饱和水流运移数学模型是用来描述地下水和土壤中非饱和水流运动的数学模型。
在本文中，我们将分步回答有关这个数学模型的问题，并解释其中涉及的相关概念和理论。
首先，我们来理解一维非饱和水流运移数学模型的基本概念。
非饱和水流指的是土壤中既存在着空气又存在着水的流动，与之相对的是饱和水流，即土壤中只存在水的流动。
一维表示该模型是沿着一个垂直方向进行分析，不考虑水流的水平分布。
在一维非饱和水流运移数学模型中，我们需要考虑以下几个重要因素：1. 含水饱和度：指的是土壤或岩石中所含水的比例。
它是描述非饱和水流运动的重要参数，通常用θ表示，取值范围在0到1之间，其中0表示完全干燥，1表示饱和状态。
2. 水力头：是描述水流运动能力的指标，通常用h表示。
它是一个关于空气压力和水的饱和度的函数。
由于非饱和土壤中同时存在空气和水，水力头会同时受到两者的影响。
3. 导水性：是指土壤或岩石中水流运动的能力。
导水性通常用K表示，是非饱和水流运动的另一个重要参数。
导水性取决于土壤或岩石的孔隙结构和土壤颗粒的性质，也可以被称为渗透系数。
4. 通量边界条件：在一维非饱和水流运移数学模型中，我们需要指定边界条件，描述水流运动的入口和出口。
通量边界条件可以是流量、压力或水头的函数。
这些边界条件对模型的精确性和准确性非常重要。
基于以上的理论和概念，我们可以建立一维非饱和水流运移数学模型。
以下是这一模型的主要步骤：步骤1：假设初始条件首先，我们需要假设初始条件，即确定非饱和土壤的初始水力头或水饱和度。
这个初始条件对于模型的运行是非常重要的，它将对后续的模拟结果产生影响。
步骤2：建立守恒方程建立一维非饱和水流运移模型的核心是守恒方程。
守恒方程是描述非饱和水流的运动方程，包括质量守恒和动量守恒两个方面。
质量守恒方程描述了水分在土壤中的移动和转化过程，动量守恒方程描述了水分的水力头的变化。
9河道水流运动的数学模拟
1、差分法简介 所谓差分方法，就是把偏微分方程中的微分用差分来代替， 然后求得差分方程的解，并以此作为偏微分方程的近似解。 就非恒定流方程而言，用差分法求其解大致过程如下： 差分法求解过程： 河道长度 x —— 起始 x1, xm 时间 t —— t0，tT X 轴上把河长分为 m-1 段， 每段长⊿ 每段长⊿xi，距离步长 t 轴分为 T 段，每段长⊿t 段，每段长⊿
按动量守衡，有 动量守衡，有
− ρdxdt ∂ (Qu ) ∂h ∂Q + [ ρgAdxs0 − ρgA dx − ρgAdxs f ]dt = ρdxdt ∂t ∂x ∂x
∴
∂Q ∂(Qu) ∂h + + gA = gA(s0 − s f ) ∂t ∂x ∂x
连续方程与动量方程联立而成的方程组称为圣维南方程组，圣 维南方程组在数学上属二元一阶线性双曲线型偏微分方程组， 维南方程组在数学上属二元一阶线性双曲线型偏微分方程组， 其它形式： a.用水位z和流量Q作为倚变量： a.用水位z和流量Q
△t时段内从下断面带走的动量为：
( ρQu + ∂ ( ρQu ) dx ∂ (Qu ) dx ⋅ ) dt = ρ (Qu + ⋅ ) dt ∂x ∂x 2 2
△t时段内流入与流出控制体的动量差为： 时段内流入与流出控制体的动量差为：
− ρ dxdt ∂ ( Qu ) ∂x
(2) △t时段内，由于外力F作用于水体所产生的动量 时段内，由于外力F作用于水体所产生的动量 F · △t(三种：重力Fg、水压力FP、床壁摩擦阻力FS) t(三种：重力F 、水压力F 、床壁摩擦阻力F ①重力Fg F g = ρ gAdx sin α = ρ gAdxs 0 = γAdxs 0 重力F
数学建模Splash河
Splash 河题目：Splash 河的流量为2×106m 3/天，其中70%流经Splash 县的两条沟渠。
这两条沟渠用于运输、灌溉和发电，而后两项用途是税收的来源。
对于运输用途，沟渠1所需的最小流量为0.3×106m 3/天，而沟渠2为0.2×106m 3/天。
由于政治方面的原因，两条沟渠流量的绝对差不能超过40%。
Splash 水管部门也对沟渠系统的维护成本进行了限制，规定每年不能超过$1.8×106。
每年的维护成本可通过每天的流量来估计，沟渠1每年的估计成本为流量(m 3/d)的1.1倍($)，而沟渠2为1.4倍。
电力产生的税收也可以通过每天的流量来估计。
沟渠1的电力税收为每m 3/d 收$4.0，而沟渠2为每m 3/d 收$3.0。
每年来自灌溉的税收同样是基于每天的流量来估计，但是在用于估计灌溉收入的流量之前，首先必须对其进行纠正，这主要是由于水流损失引起的，这个损失在沟渠1和2中分别为30%和20%，而其税收为每m 3/d 收$3.2。
确定两条沟渠的流量来最大化利润。
决策变量：设沟渠1的流量为X 1，沟渠2的流量为X 2。
设沟渠1的维护陈本为Z 1=1.1X 1 沟渠2的维护陈本为Z 2=1.4X 2沟渠1电力产生税收为A 1=4X 1 沟渠2电力产生的税收为A 2=3X 2 在灌溉中沟渠1的水流损失为B 1=30%X 1，灌溉的税收为C 1=3.2B 1=0.96X 1 在灌溉中沟渠2的水流损失为B 2=20%X 2，灌溉的税收为C 2=3.2B 2=0.64X 2 设总盈利为Y=U （X 1,X 2）=4X 1+3X 2-1.1X 1-1.4X 2+0.96X 1+0.64X 2=3.86X 1+2.24X 2约束条件：（1）总流量：流经Splash 县两沟渠总流量为Splash 河的70%。
而Splash 河的流量为2×106m 3/天。
数学建模最大流问题
建模作业之最大流问题一、问题重述在交通领域，不论是火车还是汽车甚至是飞机的起航与降落，都涉及到了流量问题。
顺利地解决最大流量问题，可以便利的解决交通方面日益突出的问题，更能让资源更充分更优化地得到利用。
所以，学者们对最大流量问题的各个方面进行了不同的研究并把所得结论运用到实践中，因此而极大地促进了经济文化的发展。
本题就是这样一个最基础的最大流量问题。
二、符号说明X（i，j）：i流出到j的实际流量C（i，j）：i流出到j的最大流量三、模型假设由于要计算0与1流到5、6、7的流量涉及到2个流出口与3个流进口，对计算十分不利，对模型的建立也增加了难度。
所以在本题1与2之前增加一个流出口S，在5、6、7之后增加一个流进口T，从而，本题的目标函数就变成从S流出到T的最大流量。
题中所涉及的变量一些是数字，一些是字母，对模型的建立十分不利。
所以，我们在建立模型前，将图中的S设定为1号,0到7号设定为2到9号，剩下的T 则为10号。
本题所求的最大流量即为从1号的流出量或者10号的流进量。
目标函数：max=X(1，2)+X(1，3)约束条件：X(i ，j)<=C(i,j) i=(1…10),j=(1…10)101011ik kj i j X X ===∑∑ k=(1…10)根据函数建模，由lingo 得出结果，最大流量即为25.四、 附录所建lingo 模型如下;sets :a/1..10/;do(a,a):x,c;endsetsmax =x(1,2)+x(1,3);@for (do:x<c);@for (a(k)|k#ne#1#and#k#ne#10:@sum (a(i):x(i,k))=@sum (a(j):x(k,j)));data :c= 0,12,20,0,0,0,0,0,0,00,0,0,12,0,0,0,0,0,00,0,0,0,20,0,0,0,0,00,0,0,0,6,3,6,0,0,00,0,0,0,0,7,0,0,9,00,0,0,2,0,0,5,8,0,00,0,0,0,0,0,0,0,0,1000,0,0,0,0,0,0,0,0,1000,0,0,0,0,0,0,4,0,1000,0,0,0,0,0,0,0,0,0;enddataend经lingo 求解得如下结果：Global optimal solution found at iteration: 0Objective value: 25.00000Variable Value Reduced Cost X( 1, 1) 0.000000 0.000000X( 1, 3) 16.00000 0.000000 X( 1, 4) 0.000000 1.000000 X( 1, 5) 0.000000 1.000000 X( 1, 6) 0.000000 0.000000 X( 1, 7) 0.000000 0.000000 X( 1, 8) 0.000000 0.000000 X( 1, 9) 0.000000 0.000000 X( 1, 10) 0.000000 0.000000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 0.000000 0.000000 X( 2, 3) 0.000000 0.000000 X( 2, 4) 9.000000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 0.000000 X( 2, 6) 0.000000 0.000000 X( 2, 7) 0.000000 0.000000 X( 2, 8) 0.000000 0.000000 X( 2, 9) 0.000000 0.000000 X( 2, 10) 0.000000 0.000000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 0.000000 0.000000 X( 3, 4) 0.000000 0.000000 X( 3, 5) 16.00000 0.000000 X( 3, 6) 0.000000 0.000000 X( 3, 7) 0.000000 0.000000 X( 3, 8) 0.000000 0.000000 X( 3, 9) 0.000000 0.000000 X( 3, 10) 0.000000 0.000000 X( 4, 1) 0.000000 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 0.000000 X( 4, 5) 0.000000 0.000000 X( 4, 6) 3.000000 0.000000 X( 4, 7) 6.000000 0.000000 X( 4, 8) 0.000000 0.000000 X( 4, 9) 0.000000 0.000000 X( 4, 10) 0.000000 0.000000 X( 5, 1) 0.000000 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.000000 X( 5, 4) 0.000000 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 0.000000X( 5, 7) 0.000000 0.000000 X( 5, 8) 0.000000 0.000000 X( 5, 9) 9.000000 0.000000 X( 5, 10) 0.000000 0.000000 X( 6, 1) 0.000000 0.000000 X( 6, 2) 0.000000 1.000000 X( 6, 3) 0.000000 1.000000 X( 6, 4) 0.000000 1.000000 X( 6, 5) 0.000000 1.000000 X( 6, 6) 0.000000 0.000000 X( 6, 7) 2.000000 0.000000 X( 6, 8) 8.000000 0.000000 X( 6, 9) 0.000000 0.000000 X( 6, 10) 0.000000 0.000000 X( 7, 1) 0.000000 0.000000 X( 7, 2) 0.000000 1.000000 X( 7, 3) 0.000000 1.000000 X( 7, 4) 0.000000 1.000000 X( 7, 5) 0.000000 1.000000 X( 7, 6) 0.000000 0.000000 X( 7, 7) 0.000000 0.000000 X( 7, 8) 0.000000 0.000000 X( 7, 9) 0.000000 0.000000 X( 7, 10) 8.000000 0.000000 X( 8, 1) 0.000000 0.000000 X( 8, 2) 0.000000 1.000000 X( 8, 3) 0.000000 1.000000 X( 8, 4) 0.000000 1.000000 X( 8, 5) 0.000000 1.000000 X( 8, 6) 0.000000 0.000000 X( 8, 7) 0.000000 0.000000 X( 8, 8) 0.000000 0.000000 X( 8, 9) 0.000000 0.000000 X( 8, 10) 8.000000 0.000000 X( 9, 1) 0.000000 0.000000 X( 9, 2) 0.000000 1.000000 X( 9, 3) 0.000000 1.000000 X( 9, 4) 0.000000 1.000000 X( 9, 5) 0.000000 1.000000 X( 9, 6) 0.000000 0.000000 X( 9, 7) 0.000000 0.000000 X( 9, 8) 0.000000 0.000000 X( 9, 9) 0.000000 0.000000X( 10, 1) 0.000000 0.000000 X( 10, 2) 0.000000 1.000000 X( 10, 3) 0.000000 1.000000 X( 10, 4) 0.000000 1.000000 X( 10, 5) 0.000000 1.000000 X( 10, 6) 0.000000 0.000000 X( 10, 7) 0.000000 0.000000 X( 10, 8) 0.000000 0.000000 X( 10, 9) 0.000000 0.000000 X( 10, 10) 0.000000 0.000000 C( 1, 1) 0.000000 0.000000 C( 1, 2) 12.00000 0.000000 C( 1, 3) 20.00000 0.000000 C( 1, 4) 0.000000 0.000000 C( 1, 5) 0.000000 0.000000 C( 1, 6) 0.000000 0.000000 C( 1, 7) 0.000000 0.000000 C( 1, 8) 0.000000 0.000000 C( 1, 9) 0.000000 0.000000 C( 1, 10) 0.000000 0.000000 C( 2, 1) 0.000000 0.000000 C( 2, 2) 0.000000 0.000000 C( 2, 3) 0.000000 0.000000 C( 2, 4) 12.00000 0.000000 C( 2, 5) 0.000000 0.000000 C( 2, 6) 0.000000 0.000000 C( 2, 7) 0.000000 0.000000 C( 2, 8) 0.000000 0.000000 C( 2, 9) 0.000000 0.000000 C( 2, 10) 0.000000 0.000000 C( 3, 1) 0.000000 0.000000 C( 3, 2) 0.000000 0.000000 C( 3, 3) 0.000000 0.000000 C( 3, 4) 0.000000 0.000000 C( 3, 5) 20.00000 0.000000 C( 3, 6) 0.000000 0.000000 C( 3, 7) 0.000000 0.000000 C( 3, 8) 0.000000 0.000000 C( 3, 9) 0.000000 0.000000 C( 3, 10) 0.000000 0.000000 C( 4, 1) 0.000000 0.000000 C( 4, 2) 0.000000 0.000000 C( 4, 3) 0.000000 0.000000C( 4, 5) 6.000000 0.000000 C( 4, 6) 3.000000 0.000000 C( 4, 7) 6.000000 0.000000 C( 4, 8) 0.000000 0.000000 C( 4, 9) 0.000000 0.000000 C( 4, 10) 0.000000 0.000000 C( 5, 1) 0.000000 0.000000 C( 5, 2) 0.000000 0.000000 C( 5, 3) 0.000000 0.000000 C( 5, 4) 0.000000 0.000000 C( 5, 5) 0.000000 0.000000 C( 5, 6) 7.000000 0.000000 C( 5, 7) 0.000000 0.000000 C( 5, 8) 0.000000 0.000000 C( 5, 9) 9.000000 0.000000 C( 5, 10) 0.000000 0.000000 C( 6, 1) 0.000000 0.000000 C( 6, 2) 0.000000 0.000000 C( 6, 3) 0.000000 0.000000 C( 6, 4) 2.000000 0.000000 C( 6, 5) 0.000000 0.000000 C( 6, 6) 0.000000 0.000000 C( 6, 7) 5.000000 0.000000 C( 6, 8) 8.000000 0.000000 C( 6, 9) 0.000000 0.000000 C( 6, 10) 0.000000 0.000000 C( 7, 1) 0.000000 0.000000 C( 7, 2) 0.000000 0.000000 C( 7, 3) 0.000000 0.000000 C( 7, 4) 0.000000 0.000000 C( 7, 5) 0.000000 0.000000 C( 7, 6) 0.000000 0.000000 C( 7, 7) 0.000000 0.000000 C( 7, 8) 0.000000 0.000000 C( 7, 9) 0.000000 0.000000 C( 7, 10) 100.0000 0.000000 C( 8, 1) 0.000000 0.000000 C( 8, 2) 0.000000 0.000000 C( 8, 3) 0.000000 0.000000 C( 8, 4) 0.000000 0.000000 C( 8, 5) 0.000000 0.000000 C( 8, 6) 0.000000 0.000000 C( 8, 7) 0.000000 0.000000C( 8, 9) 0.000000 0.000000 C( 8, 10) 100.0000 0.000000 C( 9, 1) 0.000000 0.000000 C( 9, 2) 0.000000 0.000000 C( 9, 3) 0.000000 0.000000 C( 9, 4) 0.000000 0.000000 C( 9, 5) 0.000000 0.000000 C( 9, 6) 0.000000 0.000000 C( 9, 7) 0.000000 0.000000 C( 9, 8) 4.000000 0.000000 C( 9, 9) 0.000000 0.000000 C( 9, 10) 100.0000 0.000000 C( 10, 1) 0.000000 0.000000 C( 10, 2) 0.000000 0.000000 C( 10, 3) 0.000000 0.000000 C( 10, 4) 0.000000 0.000000 C( 10, 5) 0.000000 0.000000 C( 10, 6) 0.000000 0.000000 C( 10, 7) 0.000000 0.000000 C( 10, 8) 0.000000 0.000000 C( 10, 9) 0.000000 0.000000 C( 10, 10) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 25.00000 1.0000002 0.000000 0.0000003 3.000000 0.0000004 4.000000 0.0000005 0.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 0.000000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.00000012 0.000000 1.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 3.000000 0.00000016 0.000000 0.00000017 0.000000 1.00000018 0.000000 1.00000019 0.000000 1.00000021 0.000000 1.00000022 0.000000 1.00000023 0.000000 0.00000024 0.000000 0.00000025 0.000000 0.00000026 4.000000 0.00000027 0.000000 1.00000028 0.000000 1.00000029 0.000000 1.00000030 0.000000 1.00000031 0.000000 1.00000032 0.000000 1.00000033 0.000000 0.00000034 0.000000 0.00000035 0.000000 0.00000036 6.000000 0.00000037 0.000000 1.00000038 0.000000 1.00000039 0.000000 1.00000040 0.000000 1.00000041 0.000000 1.00000042 0.000000 1.00000043 0.000000 0.00000044 0.000000 0.00000045 0.000000 0.00000046 0.000000 0.00000047 0.000000 1.00000048 0.000000 1.00000049 0.000000 1.00000050 0.000000 1.00000051 0.000000 1.00000052 0.000000 0.00000053 0.000000 0.00000054 0.000000 0.00000055 2.000000 0.00000056 0.000000 0.00000057 0.000000 0.00000058 3.000000 0.00000059 0.000000 0.00000060 0.000000 0.00000061 0.000000 0.00000062 0.000000 0.00000063 0.000000 0.00000065 0.000000 0.00000066 0.000000 0.00000067 0.000000 0.00000068 0.000000 0.00000069 0.000000 0.00000070 0.000000 0.00000071 92.00000 0.00000072 0.000000 0.00000073 0.000000 0.00000074 0.000000 0.00000075 0.000000 0.00000076 0.000000 0.00000077 0.000000 0.00000078 0.000000 0.00000079 0.000000 0.00000080 0.000000 0.00000081 92.00000 0.00000082 0.000000 0.00000083 0.000000 0.00000084 0.000000 0.00000085 0.000000 0.00000086 0.000000 0.00000087 0.000000 0.00000088 0.000000 0.00000089 4.000000 0.00000090 0.000000 0.00000091 91.00000 0.00000092 0.000000 0.00000093 0.000000 0.00000094 0.000000 0.00000095 0.000000 0.00000096 0.000000 0.00000097 0.000000 0.00000098 0.000000 0.00000099 0.000000 0.000000 100 0.000000 0.000000 101 0.000000 0.000000 102 0.000000 1.000000 103 0.000000 1.000000 104 0.000000 1.000000 105 0.000000 1.000000 106 0.000000 0.000000108 0.000000 0.000000 109 0.000000 0.000000根据求解结果得出：最大流量为25。
河道三维水流数学模型计算及应用
河道三维水流数学模型计算及应用引言：河道是水流经过将两岸相对稳定地侵蚀和冲刷而形成的水流槽道。
河道的水流动力学是研究水流在河道中运动与变化规律的学科。
河道的水流动力学模型是通过建立一套数学模型来解释并预测河道中水流的运动规律和变化过程。
其中，三维水流数学模型是河道水流动力学模型的重要组成部分，可以用来模拟和计算复杂的三维河道水流运动和变化过程。
本文将介绍河道三维水流数学模型的计算方法和应用。
一、河道三维水流数学模型的计算方法1.基本假设(1)水流是不可压缩的流体；(2)流体满足纳维-斯托克斯方程；(3)水流是稳定的；(4)水流中的湍流可以通过雷诺平均方法得到。
2.雷诺平均方程三维水流中的平均速度、压力和能量方程可以通过雷诺平均方法得到。
雷诺平均方程是通过时间平均和空间平均得到的。
时间平均可以通过大量时间步数的平均得到，空间平均可以通过大量测量点的平均得到。
通过雷诺平均方程，可以获得水流的平均速度、压力和能量分布。
3.离散方法河道三维水流数学模型的计算过程中需要进行离散化，常用的方法有有限差分法和有限元法。
有限差分法是通过将流域离散化为一个个网格单元，利用差分近似方法来计算方程的数值解；有限元法则是将流域分割成一系列有限单元，将原微分方程转化为弱形式，通过数学积分方法来求解。
4.边界条件5.求解方法求解河道三维水流数学模型可以采用迭代法、显式法和隐式法等方法。
迭代法需要通过迭代计算来获得数值解，收敛速度较慢；显式法和隐式法是通过数学公式直接计算数值解，计算速度较快。
在具体的数值计算中，需要根据模型的特点和计算效率来选择适合的求解方法。
二、河道三维水流数学模型的应用1.水流分析2.水力分析河道三维水流数学模型可以用来计算水流在河道中的水力参数，如水位、速度和压力等。
这对于工程设计中的水力计算和水力特性研究具有重要意义。
例如，可以通过模拟计算来评估河道中的水力条件，以确定是否需要进行河道疏浚或加固工程。
数学建模淋雨问题论文
数学建模之淋雨模型姓名：***班级：自动化083班学号：************附录（关键字）：问题重述----------------------------------------------------------------3 问题分析----------------------------------------------------------------4 模型假设----------------------------------------------------------------4 模型建立-----------------------------------------------------------4—6 模型求解-----------------------------------------------------------7—8 模型结果分析-----------------------------------------------------7—8问题：要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量就越少。
将人体简化成一个长方体，搞a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m。
设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm=5m/s,雨速u=4m/s，降雨量w=2cm/h,记得跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为x，如图一，建立总淋雨量与速度v以及参数a、b、c、d、u、w、x之间关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算x=0，x=30时的总淋雨量（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为y,如图2，建立总淋雨量与速度v以及参数a、d、c、d、u、w、y之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少，计算y=30时的总淋雨量。
流体力学的数学建模与解析方法探究
流体力学的数学建模与解析方法探究流体力学是研究流体运动规律的学科，涉及到许多重要的工程和科学领域。
在实际应用中，我们常常需要对流体力学问题进行数学建模和解析，以便更好地理解和预测流体的行为。
本文将探讨流体力学的数学建模与解析方法。
首先，我们来介绍一下流体力学的基本概念。
流体力学研究的对象是流体，包括液体和气体。
流体的运动可以通过速度场来描述，速度场是一个向量场，表示流体在各个点上的速度向量。
流体力学研究的核心问题是求解流体的运动方程，即Navier-Stokes方程。
这是一个非线性偏微分方程组，描述了流体的连续性、动量守恒和能量守恒。
解Navier-Stokes方程可以得到流体的速度场和压力场，从而揭示流体的运动规律。
在实际问题中，我们常常需要对流体进行数学建模，以便进行定量分析和预测。
数学建模是将实际问题转化为数学问题的过程，通过建立数学模型来描述现象和规律。
在流体力学中，数学建模的关键是选择适当的控制方程和边界条件。
控制方程是描述流体运动的基本方程，通常是Navier-Stokes方程。
边界条件是描述流体与周围环境之间相互作用的条件，例如流体的入口和出口条件、壁面的摩擦条件等。
通过合理选择控制方程和边界条件，我们可以建立一个适用于具体问题的数学模型。
建立数学模型后，我们需要对模型进行解析，以便得到流体的运动规律和性质。
解析方法是指通过数学手段求解模型的解析解或近似解的方法。
对于Navier-Stokes 方程这样的非线性偏微分方程组，解析解往往很难求得。
因此，我们常常采用近似解的方法来求解流体力学问题。
近似解的方法包括数值方法和解析近似方法。
数值方法是通过数值计算来求解方程组的近似解，例如有限差分法、有限元法和谱方法等。
解析近似方法是通过对方程进行近似处理，得到方程的近似解析解。
这些方法在实际应用中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和预测流体的行为。
除了数学建模和解析方法，流体力学还涉及到许多重要的概念和理论。
水流问题(数学建模)
估计水塔的水流量1问题提出某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位作功率．2问题分析与数据处理由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时3）水塔为标准圆柱体．考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．2．体积计算水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24π=．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．中心差商公式模型及计算结果问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
数学建模基础 12.4估计水塔的水流量
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,
6 y1 y0 d0 ( y0 ' ), h1 h1
yn yn1 6 dn ( yn ' ) hn hn
对于第二型插值问题，取λ 0=0，μ n=0
d0 2 y0 ' ' ,
dn 2 yn ' '
对于第三型插值问题，利用周期性，可导出
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
数学建模 水量计算问题
二 问题分析
分析题意可知，本题的影响因素众多。我们通过选其主要影响因素，进行研究与模 型求解，来达到简化的目的。由此，我们作出了部分合理假设，并在这些条件下，对问 题进行分析与求解。 问题一中，影响辐射井地下水降落的因素，有黄土含水层的渗透系数、空隙比（含 水层中空隙的体积与固体颗粒体积之比）等。由于该黄土垂直方向的渗透性，远大于水 平方向的渗透性,。加上辐射管的水平位置的影响, 黄土含水层中的地下水，基本上是 沿着垂直方向进入辐射管的。当地下水位由于抽水下降时,这一现象在水平集水管延伸 范围内尤为明显。 此时, 大部分水量由辐射管截取后, 通过管道汇入集水井, 而通过集 水井并壁，和辐射管端点外侧流进的水量, 则占很少比例。 为方便计算，我们可以只考虑沿垂直方向流入辐射管的水量。 （辐射井的平面布设 图，和表示其工作状况的剖面图, 参看附录图 1 和图 2） 。根据经验公式，求解辐射井的 地下水降落曲线（面）的数学公式。 问题二中，辐射井的地下水降落曲线，是影响辐射井出水量的主要因素。在合理假 设的基础上，我们应用经验公式中的等效大口井法及映射法，建立辐射井集水量计算模 型。 问题三是问题一和问题二的推广，该问对辐射井的地下水降落曲线（面）的数学公 式，及其水量计算模型，进行了详细的分析和检验。
四 模型假设
1、地下水成层稳定流动，遵循达尔西直线渗透定律； 2、地下水为缓变流，可视空间流为平面流； 3、静水位水平，且降落漏斗的供水边界呈圆形 4、潜水含水层均质，隔水底板水平，在平面上无限分布；不考虑水和介质骨架的 压缩性。 5、潜水完整井，无越流补给也无入渗或蒸发。 6、垂直方向的渗透性远大于水平方向的渗透性。 7、近井范围内呈三维流，只有当抽水井的降深与含水层的厚度相比不大时，才可 忽略速度的的垂直分量，三维流简化为二维流
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估计水塔的水流量
1问题提出
某居民区的民用自来水是由一个圆柱形的水塔提供．水塔高12.2米，直径17．4米．水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水，一般每大水泵工作两次．现在需要了解该居民区用水规律与水泵的工作功率．按照设计，当水塔的水位降至最低水位，约8．2米时，水泵自动启动加水；当水位升；高到一个最高水位，约10．8米时，水泵停止工作．
可以考虑采用用水率（单位时间的用水量）来反映用水规律，并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率．表4．2是某一天的测量记录数据，测量了28个时刻，但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水，而无水位
作功率．
2问题分析与数据处理
由问题的要求，关键在于确定用水率函数，即单位时间内用水体积，记为f(t)，又称水流速度．如果能够通过测量数据，产生若干个时刻的用水率，也就是f(t)在若干个点的函数值，则f(t)的计算问题就可以转化为插值问题．1．假设
1）水塔中水流量是时间的连续光滑函数，与水泵工作与否无关，并忽略水位高度对水流速度的影响．
2）水泵工作与否完全取决于水塔内水位的高度，且每次加水的工作时间为2小时
3）水塔为标准圆柱体．
考虑到假设2）结合表4．2中具体数据，推断得出
4）水泵第一次供水时间段为［8．967，10．954］，第二次供水时间段为「20．839，22．958］．
2．体积计算
水塔是一个圆柱体，体积为h D V 24
π
=
．其中D 为底面直径，h 为水位高度。
水流速度应该是水塔中水的体积对时间的导数（微商）由于没有水的体积关于时间的函数表达式，而只有一个离散的函数值表4．3，因此考虑用差商代替微商，这也是离散反映连续的常用思想．为提高精度，采用二阶差商，即i i v t f 2)(-∇=
具体地，因为所有数据被水泵两次工作分割成三组数据，对每组数据的中间数据采用中心差商，前后两个数据不能够采用中心差商，改用向前或向后差商．
中心差商公式
模型及计算结果
问题已经转变为根据流速f(t)的一个函数值表，产生函数f(t)在整个区间（二十四小时）上的函数或函数值，插值和拟合是两种最常用的方法．如果建立拟合模型，需要根据散点图的趋势，选择适当的拟合函数形式．如果采用插值模型，可以考虑分段线性插值。
三次样条插值等等．
MATLAB程序：
function water_tower
D=17.400;
t1=[00.9211.8432.9493.8714.9785.9007.0067.9288.967];
t2=[10.95412.03212.95413.87514.98215.90316.82617.93119.03719.95920.83 9];
t3=[22.95823.88024.98625.908];
t4=[9.98110.925];
t5=[22.015];
stage1=[9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.6868.5258.3888.220];
stage2=[10.82010.50010.2109.9369.6539.4099.1808.9218.6628.4338.220]; stage3=[10.82010.59110.35410.180];
stage=[stage1stage2stage3];
t=[t1,t2,t3];
n1=length(t1);
v1=zeros(1,n1);
v1=pi/4*D^2*stage1;
n2=length(t2);
v2=zeros(1,n2);
v2=pi/4*D^2*stage2;
n3=length(t3);
v3=zeros(1,n3);
v3=pi/4*D^2*stage3;
dv1=-gradient(v1,t1);
dv2=-gradient(v2,t2);
dv3=-gradient(v3,t3);
dv=[dv1dv2dv3];
t=[t1t2t3];
tt=min(t):0.001:max(t);
s=interp1(t,dv,tt,'spline'); plot(t,dv,'k+',tt,s,'r'); time=input('ê?è?ê±??'); speed=interp1(tt,s,time); disp('′?ê±á÷?ù?a￡o');
disp(speed);
total=0.001*trapz(s);
disp(sum(total));
disp('???ùó???á?￡o');
disp(sum(total)/24);。