数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(611

2

++==∑=n n n k S n

k n

5、 21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n [例1]，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.

[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ

－１，则

＝

题2．若12

+22

+…+(n -1)2

=an 3

+bn 2

+cn ，则a = ,b = ,c =

二、错位相减法求和

{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,

2232n

n

前n 项的和.

练习题1 已知 ，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .

练习题2 的前n 项和为____

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a .

[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

题1 已知函数

（1）证明：；

（2）求的值.

练习、求值：

四、分组法求和

[例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，…

五、裂项法求和

[例9] 求数列

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1

1,

,3

21,

2

11n n 的前n 项和.

[例10] 在数列{a n }中，1

1211++

⋅⋅⋅++++=

n n

n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

练习题1.

练习题2。 =

提高练习：

1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,

),1n n S a n a +=+==，

⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵设数列),2,1(,2

==n a c n n

n ，求证：数列{}n c 是等差数列；

2．设二次方程n a x 2

-n a +1x +1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3． (1)试用n a 表示a 1n +；

3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *

N n ∈

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。