圆最值问题题型归纳
(完整版)圆最值问题题型归纳
x圆中最值问题类型一 圆上一点到直线距离的最值问题例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S 的最小值为 .变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？类型三：转化成函数或不等式求最值例4已知圆O ：221x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．6、已知C 过点)1,1(P ,且与M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.(Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部分）（Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分矩形ABCD 的面积；（Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切，试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆．l P E C M。
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆有关的最值问题
O B
2
P
r 2 po r (1 2sin ) po 1 1 2( ) po 2 2 2 设po t (t 1) 则PAPB (t 1)(1 t ) t t 3 2 2 3
C O x
3 5. 易得 PM 的最小值为 10
二、利用所求式的几何意义转化为线 性规划问题求最值
例2：若实数x、y满足 x y 2x 4 y 0 求（1）x-2y的最大值．
2 2
y 1 （ 2） x 2
的取值范围。 2 2 ( x 2) ( y 1) 的取值范围。 （ 3） （4） x y 1 的取值范围。
2 2 ( x 2) ( y 1) (3)
表示为圆上任意一点P到点A(2,1)距离的平方
P
因为 所以
PA [CA 5, CA 5]
. C
A(2,1)
PA2 ( x 2)2 ( y 1)2 [50 10 2,50 10 2]
(4) 因为圆上任一点P(x,y)到直线 x y 1 0 的距离
E M A N G C F H O x
解（1）令圆心C到弦EF的距离为 EF+GH 2( 4 d12 4 d 2 2 )
d1，到弦GH的距离为 d2，则
又 d12 d22 CA2 1
4 d12 4 d22 4 d12 4 d22 2 2
（当且仅当 d1 d 2
2 取等号） 2 故EF+GH 2 8 1 14 2
专题强化2 与圆有关的的最值问题(原卷版)..
微专题2与圆有关的最值问题知识梳理在某些题目中，已知所求代数式的结构特征具有明显的几何意义，可以和直线方程、圆的方程相联系，我们可以利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题．最值问题解决方法(1)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(3)圆上动点到定直线距离的最值可以先计算圆心到直线的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．(4)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题．(5)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋lb 的截距的最值问题．题型探究题型一、定点到圆上动点距离1．已知圆C ：222x y +=，点(,3)A m m -，则点A 到圆C 上点的最小距离为（）A ．1B ．2C ．22D ．3222．已知点(3,4)P --，Q 是圆22:4O x y +=上的动点，则线段PQ 长的最小值为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．若实数x ，y 满足()()225+12144x y +-=，则22x y +的最小值为______．4．若圆C 的方程为224450x y x y ++++=，点P 是圆C 上的动点，点O 为坐标原点，则OP 的最大值为______．5．已知实数x ，y 满足2266140x y x y +--+=，求2223x y x +++的最大值与最小值．6．已知,M N 分别是y 轴和圆22:650C x y x +++=上的动点，点()1,3P -，则PM MN +的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2题型二、可转化为点到直线的距离问题1．已知点(,)M a b 在直线512260x y -+=上，则22a b +的最小值为________．2．圆C ：()()22454x y -+-=上的动点P 到直线l ：10mx y m +--=的距离的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．93．点M 在圆222x y +=上，点N 在直线5y x =-上，则|MN |的最小值是（）A ．2B ．22C ．322D ．14．已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．842-B ．1682-C ．842+D ．1682+题型三、与斜率、截距有关的最值问题1．已知点(,)x y 在圆22(2)(3)1x y -++=上．(1)求x y +的最大值；(2)求yx的最大值；(3)求22245x y x y ++-+的最小值．2．已知点(),P x y 在圆：()2211x y +-=上运动．试求：(1)()223x y ++的最值；(2)12y x --的最值；跟踪训练1．已知半径为2的圆经过点()2,1，则其圆心到原点的距离的最小值为（）A ．52+B ．52-C ．5D ．32．若点(5,3)P ，点M 在圆224240x y x y +-++=上运动，则PM 的最大值为___________.3．若(,)P x y 是圆221:(1)4C x y -+=上的任意一点，求(,)P x y 到原点的距离的最大值和最小值．4．已知(1,1)--P ，点Q 是圆22(2)(3)1x y -+-=上任意一点，求||PQ 的最大值．5．圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A ．21-B ．22-C ．2D ．06．已知圆221:420C x y x y +-+=与圆222:240C x y y +--=相交于A ､B 两点，则圆()()22:331C x y ++-=上的动点P 到直线AB 距离的最大值为（）A ．7212+B ．221+C ．5212+D ．9212+7．已知直线l ：x －my ＋4m －3＝0（m ∈R ），点P 在圆221x y +=上，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知实数x ，y 满足224640x y x y ++-+=，则x 的最大值是（）A ．3B ．2C ．1D ．以上答案都不对9．已知()4,0A ，()0,3B -，点P 在圆()()22:234C x y ++-=上运动，则ABP △面积的最大值是（）A ．25B ．20C ．15D ．1010．（多选）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．y x 的最大值为43B ．yx的最小值为0C ．22x y +的最大值为51+D ．x y ＋的最大值为32+10．已知()M m n ，为圆C ：()2221x y -+=上任意一点，则1nm +的最小值为（）A ．2-B ．2C ．24-D ．2411．已知点(),P x y 在圆()()22113x y -+-=上运动，则43yx --的最大值为（）A ．630--B ．630+C ．630-+D ．630-12．已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点．(1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x －2y 的最大值与最小值．。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案
与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。
圆中的最值问题
圆中的最值问题题型一：利用圆周角、圆心角的转化1、如图，AB是⊙O的弦，AB＝10，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是BC、AB的中点，则MN长的最大值是（）题型二、化曲为直典型应用1、如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）题型三、点与圆上的点的最值问题1、如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）2、如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）3、．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为．题型三、圆上动点到定弦的最值问题3、如图，⊙O的半径为1，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．四边形APBC的最大面积为．题型四、圆内弦的最值问题1、如图，已知等腰三角形ABC，∠ACB＝120°且AC＝BC＝4，在平面内任作∠APB＝60°，BP最大值为．题型五、利用三角形三边关系、结合中点辅助线求最值1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．2、.如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为_____________.题型六、折叠产生圆的问题1、如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN 沿MN所在直线翻折得到△A`MN，连接A`C，则A`C长度的最小值是__________．A'N M A B CD2、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8，点F 在边AC 上，并且CF =2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 距离的最小值是__________．AB C E FP对应作业1、等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，D 为线段AC 上一动点，连接BD ，过点C 作CH ⊥BD 于H ，连接AH ，则AH 的最小值为 ．2、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为 ．3、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠P AB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为 ．。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O 的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
最值圆问题
圆中的最值问题一、最长（短）（线段）问题1：如图，在半径为7的圆0中，AB为其一条炫，点C事圆上的一个动点，且∠ACB=30°，F，E分别是AC,BC的中点，直线EF与圆0交于G,H两点，则GE+FH 的最大值为HGFOEBCA2：在半径为7的圆C中，AC为其直径，点B事圆上的定点，∠ACB=30°，点D在AC弧上运动（不与AC重合），EB⊥DB交DC的延长线于点E，则BE的最大值为3：在△ABC中，叫ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D,点P是半圆上一个动点，连接AP，则AP的最小值为4：`在矩形ABCD中，AD=2，AB=3，点E是AD边长的中点，点F是射线AB上一动点，将△AEF 沿EF所在直线翻折得到△AEF，连接AC，则AC的最小值为5：如图，圆C半径为1，圆心C的坐标为（3, 4），点P（m, n）,是圆C上的一个动点，则m²+n²的最大值是最小值是6：如图，正方形ABCD边长为2，以AD为边长构建等边△ADE，P为平面内一动点，且AP⊥PC，则EP的最大值为7：已知圆0的半径为5，OP长为4，则过点P的弦长的取值范围是8：平面直角坐标系XOY中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0），直线y=kx-3k+4与圆O交于B、C两点，则炫BC的长的最小值是9：如图，定长炫CD在以AB为直径的圆O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是二、定角对定弦10：在三角形ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E、F则线段EF长度的最小值是11：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E，则线段CE长度的最小值是12：如图，在△ABC中，∠BAC=60，∠ABC=45，AB=2 ，D线段SC上的一个动点，以AD为直径作圆O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值为13：已知△ABC中，AB=4，C是平面内的一个动点，若∠ACB=60°，则△ABC面积的最大值是14：平面直角坐标系中，过点A（0、3）的直线与过点B（根号3,0）的直线所夹锐角∠ACB=60°，则点C纵坐标的最小值是15：如图，⊙O的半径为1，弦AB=1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积为_______________16.如图，线段AB=4，C为线段AB上的动点，以AC,BC为边，作等边△ACD和等边△BCD,圆0外接于△CDE，则圆0半径的最小值为______________17.如图，∠BAC=60°，半径长1的圆0与∠BAC的两边相切，P为圆0上一个动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB,AC于D,E两点，连接DE，则线段DE的最大值为______________ .最小值为_______________18.如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺ABC的两个顶点A,B分别在0X.OY上移动，其中AB=10，那么点0到AB的距离的最大值为_____________2，矩形ABCD内接于圆0，P在弧CD上（不19.如图，圆0的半径为3与C，D重合）且∠APB=60°，AP、BP分别交CD于M、N,则MN的最大值为________20.如图，已知A、B两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，圆C 的圆心坐标为（0，-1），半径为1，D是圆C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E ,则△ABE面积的最大值为__________。
与圆有关的最值问题
与圆有关的最值问题∴点A（2，2）离点P（2，2）最近，且最近距离为22-2。
变式1：在例1的条件下，求一点B，使得离P最远，并求最远距离。
变式2：已知圆x2+y2=4，点P（1，1），在圆上求一点A，使得A离P最远，并求最远距离。
小结：在圆上找一点P，使得P离点A最近或最远，并求最值距离，分两类情况：设圆心到点A的距离为d，当点A在圆内时，|PA|max=r+d，|PA|min=r-d。
当点A在圆外时，|PA|max=d+r，|PA|min=d-r。
二、圆上点与圆的相离直线的最值问题例2：已知圆：x2+y2=4，直线L：x+y-3=0。
在圆上求一点A，使得A到L的距离最短，并求最短距离。
解：（如图）过O作直线OA垂直L，则点A为所求。
直线OA的斜率为1，对应方程为：y=x。
由得。
∴点A（2，2）到L的距离最短，最短距离为2－２。
变式：在例2条件下，求一点B，使得B到L的距离最远，并求最远距离。
小结：对于圆上点与圆的相离直线的最值问题，在处理时先作出过圆心且垂直于该直线的直线，这条直线与圆交于两点，则这两点为所求。
设圆心到直线的距离为d，则：最短距离=d-r，最远距离=d+r。
三、过圆内点的最短弦问题例3：已知点P（1，1），圆x2+y2=9，求过点P且被圆截得的弦长最短的直线L的方程。
解：（如图）当直线L与直线OP垂直时所截得的弦最短，直线OP的斜率为1，则L的斜率为-1；代入点斜式得所求直线方程为：x+y-2=0。
变式1：已知圆（x-3）2+（y-4）2=4和直线kx-y-4x+3=0，当圆被直线截得的弦最短时，求k 值。
变式2：求过点P（1，2）且把圆（x-2）2+y2=9分成两个弓形，当其中的劣弧最短时的直线L的方程。
小结：对于过圆内点的最短弦问题，在处理时应先作出以该点和圆心为垂径的弦，则该弦所在直线为所求直线。
四、利用圆的参数方程求最值例4：已知圆x2+y2=9，求x+y的最值。
解：设圆的参数方程为,则：x+y=3cosθ+3sinθ=32sin（θ+），∴x+y的最大值为32，最小值为-32。
圆的最值问题类型归纳
圆的最值问题类型归纳与圆相关的最值问题在高中数学中，圆是最常见的一种曲线。
研究圆的相关问题时，最值问题是一个重点和热点，本文将总结常见的与圆相关的最值问题，希望能给读者一些启发。
类型一：“圆上一点到直线距离的最值”问题对于求圆上一点到直线距离的最值问题，我们总是将其转化为求圆心到定直线的距离问题来解决。
1.求圆C: (x-2)²+(y+3)²=4上的点到直线x-y+2=0的最大、最小距离。
2.求圆C: (x-1)²+(y+1)²=2上的点与直线x-y+4=0距离的最大值和最小值。
3.圆x²+y²=2上的点到直线3x+4y+25=0的距离的最小值为多少？类型二：“圆上一点到定点距离的最值”问题本质上，这是一个两点间距离的问题。
对于与圆相关的两点的距离，我们总是将其转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P(x,y)是圆x²+y²-2x-4y+4上的一点，求P到原点的最大最小距离。
2.已知圆C：x²+y²-4x-14y+45及点Q(-2,3)，若M是圆C 上任一点，求MQ的最大值和最小值。
3.已知x,y满足条件x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²的范围。
4.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求(x+2)²+(y+2)²的范围。
5.已知x,y满足圆x²+y²-2x-4y+4=0，求x²+y²+2x+2y的范围。
6.已知圆C:(x-3)²+(y-4)²=1，点A(-1，-2)，B(1，-2)，点P 为圆上的一动点，求d=PA+PB的最大值和最小值及对应的P 点坐标。
类型三：“过定点的弦长”问题1.已知直线l:2mx-y-8m-3和圆C:x²+y²-6x+12y+20，(1)当m∈R时，证明l与C总相交。
圆中最值问题10种求法(供参考)
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策，主要原因就是对求最值的方法了解不多，思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]：延长AO交⊙O于D，连接CD交⊙O于P，即此时PA+PC最小，且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D，连接CD交OB于P连接PA，过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图：在直角坐标系中，点A的坐标为(－3, －2)，⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ长度的最小值为.[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=，求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2.解：连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2) ，根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点，一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2C．3D．3[分析]：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值，要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2，连接AB根据题意得：弧AC的长为2πr=2π·2=4π，PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C.四、利用直径是圆中最长的弦求最值4．如图：半径为2.5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，（1）求∠P的正切值；（2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；当点P运动到什么位置时，CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.[分析]：易证明△ACB∽△PCQ，所以，即CQ=PC. 当PC最大时，CQ最大，而PC是⊙O 的动弦，当PC是⊙O的直径时最大.五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值5．如图：已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，(B、C两点除外)，求△ABC面积的最大值.[分析]：设BC边上的高为h因为S△ABC=BC h=×2h=h当h最大时S△ABC最大，当点A在优弧的中点时h最大.解：当点A为优弧的中点时，作AD⊥BC于D连接BO 即BD=CD=在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－()2=1所以OD=1 所以AD=2+1=3所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3即△ABC面积的最大值为3六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值6．用48米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.[分析]：周长一定的几何图形，圆的面积最大.解：围成圆形场地的面积较大设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积则S1=()2=144 S2=π·()2=因为π＜4 所以＞所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大七、利用判别式求最值7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值.[分析]：可设AM=x，把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程，然后利用判别式来求最值.解：设AM=x，在Rt△OAM中OM=所以OM+AB=+2x=a整理得：5x2－4ax+(a2－1)=0因为△=(－4a)2－4×5×(a2－1)≥0即a2≤5 所以a≤所以OM+AB的最大值为八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内，∠AOB=80°，为避免触礁，轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为.[分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°.解：如图：连接AC，根据圆周角定理可知∠ACB=∠AOB=×80°=40°又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°所以∠APB的最大值为40°九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值9．如图：⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为cm.[分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小.解：在Rt△OAP中，AP=所以AB=2AP=2×4=8所以AB的最小值为8十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值10．如图：点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q，⊙O的半径为3cm，切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为.[分析]：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q所以OQ⊥PQ在Rt△PQO中PQ2+OQ2=OP2即42+32=OP2 所以OP=5所以PB=5－3=2 PA=6+2=8所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm.。
圆的最值问题归纳-与圆有关的最值问题
圆的问题探究安阳市龙安高级中学 段可贺高中数学中，研究最多的一种曲线是圆。
在研究圆的相关问题时，最值问题又是研究的重点和热点，现把常见的与圆相关的最值问题，总结如下。
希望对读者有些启发。
类型一、“圆上一点到直线距离的最值”问题分析：求圆上一点到直线距离的最值问题，总是转化成求圆心到定直线的距离问题来解决。
1、求圆C: (x-2)2+(y+3)2=4上的点到直线l ：x-y+2=0的最大、最小距离. 解析：作CH l ⊥交于H ，与圆C 交于A ，反向延长与圆交于点B 。
所以max min 2; 2.CH BH AH d d d d d =====-2、求圆C: (x-1)2+(y+1)2=2上的点与直线l ： x-y+4=0距离的最大值和最小值. 解析:方法同第一题, max min BH d d d ===== 3、圆222=+y x 上的点到直线l ：02543=++y x 的距离的最小值为________________.解析:方法同第一题, min 5d =类型二、“圆上一点到定点距离的最值”问题分析：本质是两点间距离。
涉及与圆相关的两点的距离，总是转化为圆心与定点距离问题来解决。
1.已知点P （x,y ）是圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0上一点,求P 到原点的最大最小距离.解析:连接OC 与圆交于A ,延长OC 交于B.max min 1;1.OC OC d d r d d r =+==-=2.已知圆C ：04514422=+--+y x y x 及点()3,2-Q ，若M 是圆C 上任一点，求MQ 最大值和最小值. 解析:方法同第一题,max Q min Q C C d d r d d r =+===-==3 .已知x,y 满足条件 x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22y x +范围.解析:方程看作是圆C ,表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与(0,0)距离的范围,求max min ,d d 即可,与第一题答案相同.4.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求22)2()2(+++y x 范围. 解析: 表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-2,-2)距离的最值的平方.max min 22maxmin5,6, 4.36,16.[16,36].CP d d dd=====所以范围是5.已知x,y 满足圆C : x 2＋y 2-2x-4y+4＝0,求z=x 2＋y 2+2x+2y 范围.解析: 22(1)(1)2z x y =+++-表达式几何意义是圆C 上点(,)x y 与P (-1,-1)距离的最值的平方减去2.max min 22max min 2121)212[12CP d d z z ====-=+=-=--+所以范围是 6.已知圆()()143:22=-+-y x C ，点A （-1，0），B （1，0），点P 为圆上一动点，求22PB PA d +=的最大值和最小值及对应的P 点坐标. 解析:222222max min 2()2,.2(51)274;2(51)234.[34,74].d PA PB x y d d =+=++=++==-+=几何意义是点P 与原点O 距离的平方2倍加2|OC|=5,所以答案类型三、“过定点的弦长”问题1：已知直线:2830l mx y m ---=和圆22:612200C x y x y +-++=；（1）m R ∈时，证明l 与C 总相交。
考向33 一类与圆有关的最值与范围问题(七大经典题型)(原卷版)
考向33 一类与圆有关的最值与范围问题经典题型一：斜率型 经典题型二：直线截距型 经典题型三：两点距离型 经典题型四：周长、面积型 经典题型五：数量积型 经典题型六：坐标与角度型 经典题型七：弦长型（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略： （1）数形结合 （2）多与圆心联系 （3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题经典题型一：斜率型1．（2022·全国·高三专题练习）曲线211y x =-()21y k x -=-有两个交点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦2．（2022·浙江·模拟预测）已知圆22:(3)(2)1O x y ++-=，过点(1,0)A -与圆上一点的直线的斜率范围是_______；若点A 恰好为过其所在的直线中对圆O 张角最大的点（张角是指这个点到圆所作两条切线的夹角），则此直线的表达式为_______________．3．（2022·上海市光明中学模拟预测）设有直线30l kx y l +-=：，的倾斜角为α．若在直线l 上存在点A 满足2OA =，且tan 0α<，则k 的取值范围是____________．4．（2022·江苏苏州·模拟预测）已知点P 是圆221x y +=上任意一点，则2yx -的取值范围为________．经典题型二：直线截距型5．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．56．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4B ．26C ．4-D ．26-7．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（ ） A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+= B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是32,32⎡-⎣8．（多选题）（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知11(,)A x y ，22(,)B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若1AB =，则3AOB π∠=B ．若点O 到直线AB 的距离为12，则3AB =C ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为22D ．若2AOB π∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为4经典题型三：两点距离型9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知向量,a b 满足1a = ，2b = ，0a b ⋅= ，若向量c 满足21a b c +-= ，则c 的取值范围是（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．5151-+⎣⎦D ．5152⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 10．（2022·全国·高三专题练习）正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC +=，求||PD 的取值范围．11．（2022·全国·高三专题练习）已知22:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 是圆上的动点，求22||||d PA PB =+的最大值、最小值及对应的P 点坐标．12．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）若圆221x y +=上总存在两个点到点(,1)a 的距离为2，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,0)2)-⋃ B ．(22,22)- C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,1)-13．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知单位向量a 与向量()0,2b =垂直，若向量c 满足1a b c ++=，则c 的取值范围为（ ） A ．51⎡⎤⎣⎦B ．3131⎡-+⎢⎣⎦C ．551⎡⎤⎣⎦D ．31⎡⎤+⎢⎥⎣⎦14．（2022·全国·高三专题练习）已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ，则||PM 的取值范围是（ ）A ．31,231⎡⎤⎣⎦B ．21,321⎡⎤⎣⎦C ．21,221⎤⎦D ．21,331⎡⎤⎣⎦经典题型四：周长、面积型15．（2022·辽宁朝阳·高三阶段练习）过圆O ：222x y r +=()0r >外一点()22,0引直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，当AOB 的面积取得最大值时，直线l 的斜率为2则r =______．16．（2022·湖北·高三开学考试）已知圆22:(3)(4)4C x y -+-=，过点(3,3)P 作不过圆心的直线交圆C 于,A B 两点，则ABC 面积的取值范围是___________.17．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知圆M 上的三个点分别为()0,1A -，()1,2B -，()4,1C ，直线l 的方程为()2120mx m y +-+=，则下列说法正确的是（ ） A ．圆M 的方程为2230x y x y +-+=B ．过C 作直线l '与线段AB 相交，则直线l '的斜率的取值范围为[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．若直线l 被圆M 截得的弦长为2，则l 的方程为12520x y -+=或2y =-D ．当点M 到直线l 的距离最大时，过l 上的点R 作圆M 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则四边形RPMQ 面积的最小值为21018．（2022·北京·高三开学考试）已知直线l ：110ax y a+-=与圆O ：221x y +=相交于A ，B 两点，则下面结论中正确的是（ ） A ．线段AB 长度的最小值为1 B ．线段AB 长度的最大值为2 C ．OAB 的面积最小值为4D ．OAB 的面积最大值为1219．（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）若直线:0()l kx y k k +-=∈R 与圆22:4230C x y x y +---=交于A ，B 两点，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．23D ．43经典题型五：数量积型20．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知圆22:(2)1C x y -+=，点P 在直线:10l x y ++=上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且满足2PB PA =，则点P 横坐标0x 的取值范围是___________．21．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（ ） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---22．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与圆O ：229x y +=相交于不同两点P ，Q ，点M 为线段PQ 的中点，若平面上一动点C 满足()0CP CQ λλ=>，则OC OM ⋅的取值范围是（ ） A ．[)0,3 B ．(0,32C ．[)0,9D ．(0,6223．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知圆M ：22(4)(5)12x y -+-=，直线l ：230mx y m --+=，直线l 与圆M 交于A ，C 两点，则下列说法正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点(2,3)B ．||AC 的最小值为4C ．MA MC ⋅的取值范围为[12,4]-D ．当AMC ∠最小时，其余弦值为1224．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（ ） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，22OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()77⎡-∞+∞⎣，，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4225．（多选题）（2022·湖北·襄阳五中二模）已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ）A ．AB 的最小值为5B ．P 到l 的距离的最大值为5C ．PQ PR ⋅的最小值为245-D ．PR 的最大值为42326．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,0)A ，(0,6)B -，点P 在曲线211y x =-则PA PB ⋅的最小值为___________.经典题型六：坐标与角度型27．（2022·山东泰安·二模）已知以C 为圆心的圆222440x y x y +--+=．若直线220ax by +-=（a ，b 为正实数）平分圆C ，则21a b+的最小值是______；设点()0,3M x ，若在圆C 上存在点N ，使得∠CMN ＝45°，则0x 的取值范围是______． 故答案为：322+[]0,2.28．（2022·全国·高三专题练习）已知实数x ，y 满足()()22121x y -+-=，则22z x y =+的取值范围是___________.29．（2022·全国·高三专题练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M ，N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大．”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．-7C ．1或-1D ．2或-730．（2022·全国·高三专题练习）已知点A 为圆22:2220C x y x y +---=上一点，点()23,4M m m --，()23,4N n n --，m n ≠，若对任意的点A ，总存在点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则m n -的取值范围为（ ）A ．[)2,+∞B ．[]1,2C ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,5⎛⎤⎥⎝⎦31．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知圆229:4O x y +=，圆22:()(1)1M x a y -+-=，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得π3APB ∠=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[15,15]- B ．[3,3]-C ．[3,15]D ．[15,3][3,15]-32．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））设(2,0),(2,0)A B -，O 为坐标原点，点P 满足22||||16PA PB +≤，若直线60kx y -+=上存在点Q 使得π4PQO ∠=，则实数k 的取值范围为（ ） A ．1414⎡⎢⎣⎦B ．1414,,2⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭C ．55,,2⎛⎡⎤-∞+∞ ⎢⎥⎝⎦⎣⎦D ．55⎡⎢⎣⎦33．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知直线l ：10x my ++=与圆O ：2234x y +=相交于不同的两点A ，B ，若∠AOB 为锐角，则m 的取值范围为（ ） A ．153315⎛⋃ ⎝⎭⎝⎭B ．1515⎛ ⎝⎭C ．1515,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．153⎛ ⎝⎭经典题型七：弦长型34．（2022·全国·高三专题练习）已知直线 l 过点()1,2A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（ ） A ．3B ．6C ．33D ．6335．（2022·广东·高三阶段练习）若圆22:1024880C x y x y +-++=关于直线260ax by ++=对称，则过点(,)a b 作圆C 的切线，切线长的最小值是________．36．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）直线210x y --=与直线20x y +-=相交于点A ，则点A 坐标为_______，过A 的直线与曲线226440x y x y +--+=交于M ，N ，则||MN 的取值范围是________．37．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）如图，经过坐标原点O 且互相垂直的两条直线AC 和BD 与圆2242200x y x y +-+-=相交于A ，C ，B ，D 四点，M 为弦AB 的中点，有下列结论：①弦AC 长度的最小值为45； ②线段BO 长度的最大值为105-； ③点M 的轨迹是一个圆；④四边形ABCD 面积的取值范围为205,45⎡⎤⎣⎦．其中所有正确结论的序号为______．1．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B ．2±C ．3D ．2±2．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．73．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．44．（2020·全国·高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=5．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 6．（多选题）（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =7．（2022·全国·高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．。
与圆相关的最值问题集锦
与圆相关的集值问数集梅一、用对称性解圆中的最值问题1 .如图，。
的半径为 2,点 A, B, C 在。
0 上，OA±OB, ZAOC=60o ， P 是 OB 上一2 .如图，AB, CD 是半径为5的。
0的两条弦，AB=8, CD=6, MN 是直径，MN1AB 于点E, MN_LCD 于点E P 为EF 上的任意一点，PA+PC 的最小值是.二、用三角形三边关系解圆中的最值问题3 .如图，在RtZiABC 中，ZACB=90o , AC=BC=2,以BC 为直径的半圆交AB 与点D, P 是弧CD 上的一个动点，连结AP,则AP 长的最小值为.4 .如图，在边长为2的菱形ABCD 中，ZA=60o , M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一 个动点，将/AMN 沿MN 所在的直线翻折得到aA'MN,连结AC.三、用垂线段最短解圆中的最值问题5 .如图，在ZAABC 中，ZBAC=60o , D 是线段BC 匕的一个动点，以AD 为直径画。
O 分 别交AB, AC 于点E, F.(1)若AD=4,求EF 的长.(2)若NABC=45° ， AB=2√2,求 EF 的最小值. 动点，那么PA+PC 的最小值为①A ，M 的长为②求AC 的最小值.第3题AD C练习：6 .如图，AB 是。
的直径，AB=6,点M 在。
0上，ZA=20o , N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一个动点.若MN=1,则/PMN 周长的最小值为.径为;若P 是线段0B 上的动点，则PC+PD 的最小值为.10 .如图，AB 是Θ0的直径，AD, BC 是。
0的切线，动点P 在。
O 上，若AD=3, AB=4, BC=6,贝∣J∕∖PCD 面积的最小值是.11 .如图，在矩形ABCD 中，AB=6, AD=2∖Λ，点E 是AD 上的一个动点，点F 在CD 上, H.DF 二虫AE,连结BE 和AF 相交于点P,当点E 从点A 运动到点D 时，点P 与点D 的 3最短距离为，点P 经过的路线长为.12 .已知正方形ABCD 的边长为2,正方形AEFG 的边长为4,(1)如图1,当ADE 三点共线，B 在AG 上，求证：DG=BE, DG1BE ；(2)如图2,将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好在线段DG 上时，求BE ；(3)如图3,在正方形ABCD 的旋转过程中，直线DG 与直线BE 的交点为H,请求出点 图1 D 图2 D 图3 7.如图，AB 是OO 的一条弦，C 是OO 上的一个动点，且NACB=45° , E, F 分别是AC, BC 的中点，直线EF 与。
直线与圆的最值问题
题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。
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圆中最值问题
类型一 圆上一点到直线距离的最值问题
例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：
22
(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 .
变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 2
2
(3)1x y -+=上任一点，则QAB
S
的最小值
为 .
变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22
(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为
变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大．
变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：2
2
(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .
例2已知圆C ：2
2
2430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆
引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．
类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）
例3若实数x 、y 满足2
2
240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求12
y x --，22
(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解
v1.0 可编辑可修改
类型三：转化成函数或不等式求最值
例4已知圆O ：2
2
1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ⋅的最小值为
例5已知圆C ：
22
+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点，
（1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值．
6、已知C 过点)1,1(P ,且与
M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20
x y ++=对称. (Ⅰ)求
C 的方程；
(Ⅱ)设Q 为C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；
(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与
C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互
补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行请说明理由.
7、如图，在矩形
ABCD中，1
AB BC
==，以A为圆
心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部
分）
（Ⅰ）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分
矩形ABCD的面积；
（Ⅱ）若动圆M与满足题（Ⅰ）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．。