6第四章平面弯曲3变形与刚度PPT课件
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w= w(x)——挠曲线方程(挠度方程)。向下为正.
2、转角：梁任一横截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=w'(x)——转角方程。顺时 针为正。
3
§4－8 挠曲线近似微分方程
F
A
B
x
y
1 M(x)
(x) EIz
1
w
(x)
1 w2
3 2
<<1
w Mx
EIz
4
O x
M
M
y
M<0
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
B
CD
x
求支座反力。
x
y
l
FA
Fb l
wk.baidu.com
,
FB
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
16
F
AD: M(x) Fbx, l
(0≤ x ≤a)
a
b
A
B
CD
x
x
x
EIw1
Fb x
l
y
l
EIw1EI1F 2b l x2C1 EIw1F 6b l x3C1xD1
D:BM (x)Fx b F (xa) l
xl : w0
A
θA
y
q
wmax
θB
Bx
l
得: C ql3 24, D0
wql3 ql x2qx3
24EI 4EI 6EI wql3 xql x3 q x4
24EI 12EI 24EI
5ql4
wmax
wx2l
384EI
A
x0
ql3
24EI
B
xl
ql3 24EI
15
例：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程
设梁的抗弯刚度为EI。
q
A
B
l
13
解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
q
FAFB 12ql
M(x)q lxq x2
FAA
x
l
B
x
2
2y
挠曲线近似微分方程
EIwqlxqx2 22
积分:
EIwql x2 qx3 C 22 23
ql x3 qx4 EIw CxD
223 234
14
边界条件 x0: w0
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
7
如：
F
A
A
F
A
C
l
边界条件：
B
wA=0
F
wB=0
边界条件：
D a
B △a
wA=0 θA=0
边界条件：
wA=0
wB=△a
8
E Iw E IM xdxC E Iw M xdx dxC xD
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
D B :w 2 2 F b ( 6 l2 E I lb 2 ) 2 F E b I lx 2 2 F E I(x a ) 2
w 2 F b (6 l2 E Ilb 2)x 6 F E b Ilx 3 6 F E I(x a )3
当a＞b时 wmax在AD段。
由w1 0，x0
l2 b2。 3
第四章
3---变形与刚 度
1
§4－7 挠度和转角的概念
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平
面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。 ——光滑连续的曲线
F
A
B
x
y
2
θ
F
A
C
B
w
x
θ C' y
1、挠度: 梁轴线上任一点(任一截面形心)C在垂直
于轴线方向的线位移w。
(a≤ x ≤l)
Ew I2F l b xF(xa)
E Iw 2 E I2 F 2 b lx 2F 2(x a)2 C 2
E Iw 2F 6 b lx3F 6(x a)3 C 2xD 2
17
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 A
a
b B
CD
x
x = l ，w2= 0。 连续条件：x = a ，w1′=
9
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
10
解：
1、FA=F，MA=Fl
MA
A
2 、 M (x) M A F Ax
x l
3﹑EIwMx
y FA
F l Fx
积分：
EI'wEIFlxF2x2C
EIwFl2xF3xC xD 2 23
F
A
D
B
l
l
y
Fl Cx l
23
§4－10 奇异函数法计算梁的变形
wc 1F6bE l2 I
0.0625Fbl2。 EI
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线
上没有拐点（反弯点），均可近似地将梁中点
的挠度作为最大挠度。
20
积分法:
EIwMx
E Iw E IM xdxC
E Iw M xdx dxC xD
式中C, D 为坐标原点的转角和桡度的EI倍, 由梁支座处的已知位移条件即边界条件确定。
wm
w ax 1xx0
F（ bl2b2 ） 32。 9 3EIl
wc w1 x2 l
Fb （ 3l24b2） 。 48EI
19
当 F作用于C梁 时w 中 ， ma 点 xwc。
当 F 右 移 至 B 点 时 ， b 0 ， x 0 0 . 5 7 7 l 。
w m a x的 位 置 距 梁 中 0 .0 7 7 l。 令 b 20 , w m a x9 F b 3 lE 2I0 .0 6 4 2F E b I l2。
边界条件:
x0:
w 0
w0
C0
D0
F
Bx
11
w Flx Fx2
EI 2EI
w Flx2 Fx3
A
2EI 6EI
y
当 x = l 时：
max
w
xl
Fl2 2EI
wmax
w
xl
Fl3 3EI
F
Bx
θmax
wmax
l
12
例：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和
挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。
若分n段,2n个常数.
21
积分常数两两相等的规则： 1、弯矩方程从同一坐标原点出发； 2、积分时以（x-a)为自变量； 3、遇到集中力偶Me作用在aM点， M(x)=Me(x-aM)0 4、分布荷载不到梁的未端，作等效 的延长到底处理。
22
思考题:作出图示梁弯矩图，并根据边界条 件和连续条件画出挠曲线大致形状.
w''> 0
O x
M
M
y
M>0
w''< 0
w M x
EI z
—— 挠曲线近似微分方程
EIwMx
—— 等直梁挠曲线 近似微分方程
5
EIwMx
1、积分求转角与挠度:
刚度计算； 求解超静定问题。
2、画挠曲线大致形状。
6
§4－9 积分法计算梁的变形
对于等截面梁，EI = 常数。
EIwMx
E Iw E IM xdxC E Iw M xdx dxC xD
w2′，y
x
w1=
w2
x l
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0
因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
A D : w 1 1F b(6 l2 E Ib2)F 2b E x Il2
w1Fb(6 l2 E Ilb2)x6F Eb Ilx3 18
2、转角：梁任一横截面绕中性轴转过的角度θ。
小变形时，θ≈tanθ=w'(x)——转角方程。顺时 针为正。
3
§4－8 挠曲线近似微分方程
F
A
B
x
y
1 M(x)
(x) EIz
1
w
(x)
1 w2
3 2
<<1
w Mx
EIz
4
O x
M
M
y
M<0
及wmax 。
A
解:1°建立坐标系。
F
a
b
B
CD
x
求支座反力。
x
y
l
FA
Fb l
wk.baidu.com
,
FB
Fa l
2°分段求出弯矩方程及w′、w。
16
F
AD: M(x) Fbx, l
(0≤ x ≤a)
a
b
A
B
CD
x
x
x
EIw1
Fb x
l
y
l
EIw1EI1F 2b l x2C1 EIw1F 6b l x3C1xD1
D:BM (x)Fx b F (xa) l
xl : w0
A
θA
y
q
wmax
θB
Bx
l
得: C ql3 24, D0
wql3 ql x2qx3
24EI 4EI 6EI wql3 xql x3 q x4
24EI 12EI 24EI
5ql4
wmax
wx2l
384EI
A
x0
ql3
24EI
B
xl
ql3 24EI
15
例：已知F、EI，求梁的转角方程和挠度方程
设梁的抗弯刚度为EI。
q
A
B
l
13
解:1°建立坐标系。求支座反力。列弯矩方程：
q
FAFB 12ql
M(x)q lxq x2
FAA
x
l
B
x
2
2y
挠曲线近似微分方程
EIwqlxqx2 22
积分:
EIwql x2 qx3 C 22 23
ql x3 qx4 EIw CxD
223 234
14
边界条件 x0: w0
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件即边 界条件确定。
7
如：
F
A
A
F
A
C
l
边界条件：
B
wA=0
F
wB=0
边界条件：
D a
B △a
wA=0 θA=0
边界条件：
wA=0
wB=△a
8
E Iw E IM xdxC E Iw M xdx dxC xD
积分常数C,D的几何意义是什么？
EIw'(0)=EIθ0 =C EIw (0)=EIw0 =D
D B :w 2 2 F b ( 6 l2 E I lb 2 ) 2 F E b I lx 2 2 F E I(x a ) 2
w 2 F b (6 l2 E Ilb 2)x 6 F E b Ilx 3 6 F E I(x a )3
当a＞b时 wmax在AD段。
由w1 0，x0
l2 b2。 3
第四章
3---变形与刚 度
1
§4－7 挠度和转角的概念
在平面弯曲情况下，梁的轴线在形心主惯性平
面内弯成一条平面曲线。此曲线称为梁的挠曲线。
当材料在弹性范围时，挠曲线也称为弹性曲线。 ——光滑连续的曲线
F
A
B
x
y
2
θ
F
A
C
B
w
x
θ C' y
1、挠度: 梁轴线上任一点(任一截面形心)C在垂直
于轴线方向的线位移w。
(a≤ x ≤l)
Ew I2F l b xF(xa)
E Iw 2 E I2 F 2 b lx 2F 2(x a)2 C 2
E Iw 2F 6 b lx3F 6(x a)3 C 2xD 2
17
F
边界条件：x = 0 ，w1= 0。 A
a
b B
CD
x
x = l ，w2= 0。 连续条件：x = a ，w1′=
9
例：一悬臂梁在自由端受集中力作用，求梁的转 角方程和挠度方程。并求最大转角和最大挠度。 设梁的抗弯刚度为EI。
F
A
B
l
10
解：
1、FA=F，MA=Fl
MA
A
2 、 M (x) M A F Ax
x l
3﹑EIwMx
y FA
F l Fx
积分：
EI'wEIFlxF2x2C
EIwFl2xF3xC xD 2 23
F
A
D
B
l
l
y
Fl Cx l
23
§4－10 奇异函数法计算梁的变形
wc 1F6bE l2 I
0.0625Fbl2。 EI
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线
上没有拐点（反弯点），均可近似地将梁中点
的挠度作为最大挠度。
20
积分法:
EIwMx
E Iw E IM xdxC
E Iw M xdx dxC xD
式中C, D 为坐标原点的转角和桡度的EI倍, 由梁支座处的已知位移条件即边界条件确定。
wm
w ax 1xx0
F（ bl2b2 ） 32。 9 3EIl
wc w1 x2 l
Fb （ 3l24b2） 。 48EI
19
当 F作用于C梁 时w 中 ， ma 点 xwc。
当 F 右 移 至 B 点 时 ， b 0 ， x 0 0 . 5 7 7 l 。
w m a x的 位 置 距 梁 中 0 .0 7 7 l。 令 b 20 , w m a x9 F b 3 lE 2I0 .0 6 4 2F E b I l2。
边界条件:
x0:
w 0
w0
C0
D0
F
Bx
11
w Flx Fx2
EI 2EI
w Flx2 Fx3
A
2EI 6EI
y
当 x = l 时：
max
w
xl
Fl2 2EI
wmax
w
xl
Fl3 3EI
F
Bx
θmax
wmax
l
12
例：一简支梁受均布荷载作用，求梁的转角方程和
挠度方程，并确定最大挠度和A、B截面的转角。
若分n段,2n个常数.
21
积分常数两两相等的规则： 1、弯矩方程从同一坐标原点出发； 2、积分时以（x-a)为自变量； 3、遇到集中力偶Me作用在aM点， M(x)=Me(x-aM)0 4、分布荷载不到梁的未端，作等效 的延长到底处理。
22
思考题:作出图示梁弯矩图，并根据边界条 件和连续条件画出挠曲线大致形状.
w''> 0
O x
M
M
y
M>0
w''< 0
w M x
EI z
—— 挠曲线近似微分方程
EIwMx
—— 等直梁挠曲线 近似微分方程
5
EIwMx
1、积分求转角与挠度:
刚度计算； 求解超静定问题。
2、画挠曲线大致形状。
6
§4－9 积分法计算梁的变形
对于等截面梁，EI = 常数。
EIwMx
E Iw E IM xdxC E Iw M xdx dxC xD
w2′，y
x
w1=
w2
x l
由连续条件，得：C1= C2， D1= D2
再由边界条件，得：C1= C2= Fb（l2-b2）/ 6l
D1=D2=0
因此，梁各段的转角方程和挠度方程为：
A D : w 1 1F b(6 l2 E Ib2)F 2b E x Il2
w1Fb(6 l2 E Ilb2)x6F Eb Ilx3 18