中考三角形专题复习

知识点1 三角形的边、角关系

①三角形任何两边之和大于第三边； ②三角形任何两边之差小于第三边； ③三角形三个内角的和等于180°； ④三角形三个外角的和等于360°；

⑤三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； ⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高； ②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；

③三角形的三条角平分线交于一点，叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距相等； ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

知识点3 全等三角形定义、判定、性质 知识点4 等腰三角形 等腰三角形的识别：

①有两边相等的三角形是等腰三角形；

②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； ③三边相等的三角形是等边三角形； ④三个角都相等的三角形是等边三角形；

⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对等角；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； ③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴； ④等边三角形的三个内角都等于60°。

知识点5 直角三角形 直角三角形的识别：

①有一个角等于90°的三角形是直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互余；

②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点6 相似三角形

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨⎧⎪⎩⎪

⎨⎧三条对应边的比相等两个对应角相等夹角相等两对应边的比相等判定方法定义相似三角形,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⎪

⎭

⎪

⎬⎫相似比平方面积比等于相似比

周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质

知识点7 锐角三角函数与解直角三角形

例题讲解

例1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。 （2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。

例2. 已知：如图，⊿ABC 和⊿ECD 都是等腰三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，D 为

AB 边上的一点，求证：（1）⊿ACE ≌⊿BCD ，（2）AD 2＋AE 2＝DE 2

。

例3. 已知△ABC 中，∠ACB ＝90º，CH ⊥AB ，HE ⊥BC ，HF ⊥AC 。 求证：（1）△HEF ≌△EHC ；

E

D

C

B

A

例4. 两个全等的含30º，60º角的三角板ADE 和ABC 如图所示放置，E ，A ，C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连结ME ，MC 。试判断△EMC 是什么样的三角形，并说明理由。

1．在下列四个结论中，正确的是（ ）

（A ）三角形的三个内角中最多有一个锐角（B ）等腰三角形的底角一定大于顶角 （C ）钝角三角形最多有一个锐角（D ）三角形的三条内角平分线都在三角形内 2．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ）

（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1

3．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于G ，AG 的延

长线交BC 于F ，那么图中全等三角形的对数是（ ）

（A ）4对 （B ）5对 （C ）6对 （D ）7对

4．如图4，∠B ＝60°，∠C ＝40°，∠BDC ＝3∠A ，则∠A 的度数为（ ）

（A ）80° （B ）30° （C ）50° （D ）无法确定

5.AE 与BF 交于C ，且AB ＝AC ，CE ＝CF ．∠E ＝α．那么，∠A 用α可表示（ ）

（A ）180°－α （B ）180°－ 4α （C ）2α－180° （D ）4α－180°

１．△ABC 中，∠A ＝2∠B ，∠C ＝∠A ＋∠B ＋12°，则∠A ＝ ，∠B ＝ ，∠C ＝ ；

２．如图1，l 1∥l 2， ∠β＝142°，∠γ＝73°，则∠α＝ ；

３．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为 ；

C

E

A

D M

B

┌ ┐ A

B C D

1l 2l

α β γ

A

B

C D E

４．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，AB ＝10，则BC ＝ ； ５．如图2，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，∠CAD ＝40°，∠CEA ＝70°，

则∠EAB ＝ . 2. （1）已知如图①，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝60º。

求证：①AC ＝BD ，②∠APB ＝60º。

（2）如图②，在△AOB 和△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝α，则AC 与BD 间的等量关系式为______________；∠APB 的大小为_____________。

（3）如图③，在△AOB 和△COD 中，OA ＝kOB ，OC ＝kOD （k >1），∠AOB ＝∠

COD ＝α，则AC 与BD 间的等量关系式为_________________；∠APB 的大小为

_____________。

B

A

C

D

O

P ①

A

C B

O

P D

②

A

C

B P

O

D

③

3. 一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.5m 2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形，请两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计的方案如图（2）。你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由。（加工损耗忽略，计算结果可保留分数）

(1) (2)

5. 如图，已知∠MON ＝90º，等边三角形ABC 的一个顶点A 是射线OM 上的一定点，顶点B 与点O 重合，顶点C 在∠MON 内部。

（1）当顶点B 在射线ON 上移动到B 1时，连结AB 1为一边的等边三角形AB 1C 1（保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）设AB 1与OC 交于点Q ，AC 的延长线与B 1C 1交于点D 。求证：

AQ AB AD AC ⋅=⋅1；

（3）连结CC 1，试猜想∠ACC 1为多少度？并证明你的猜想。